北京市海淀区2020届高三数学下学期二模试题（解析版）

2020 年北京市海淀区高考数学二模试卷 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1．（4 分）若全集 U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁UA D．∁UA⊆B 2．（4 分）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（　　） A．y＝x2 B．y＝|x﹣1| C．y＝cosx D．y＝lnx 3．（4 分）若抛物线 y2＝12x 的焦点为 F，点 P 在此抛物线上且横坐标为 3，则|PF|等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（4 分）已知三条不同的直线 l，m，n 和两个不同的平面 α，β，下列四个命题中正确的 为（　　） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 l∥m，m⊂α，则 l∥α C．若 l∥α，l∥β，则 α∥β D．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β 5．（4 分）在△ABC 中，若 a＝7，b＝8，cosB＝ ，则∠A 的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（4 分）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，则 g（x）＝（　　） A． B． C．cos2x D．﹣cos2x 7．（4 分）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥 的体积为（　　） A． B． C．2 D．48．（4 分）对于非零向量 ， ，“（ + ）• ＝2 2”是“ ＝ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（4 分）如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动．若 D1O⊥OP，则△D1C1P 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．（4 分）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公 司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全， 公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示 情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就 座人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．（5 分）若复数（2﹣i）（a+i）为纯虚数，则实数 a＝　 　． 12．（5 分）已知双曲线 E 的一条渐近线方程为 y＝x，且焦距大于 4，则双曲线 E 的标准方 程可以为　 　．（写出一个即可） 13 ．（ 5 分 ） 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 2 ， an+1 ＝ 2an ， n∈N* ． 若 其 前 k 项 和 为 126 ， 则 k ＝　 　． 14．（5 分）已知点 A（2，0），B（1，2），C（2，2）， ，O 为坐标原点，则 ＝　 　， 与 夹角的取值范围是　 　． 15．（5 分）已知函数 ，给出下列三个结论： ①当 a＝﹣2 时，函数 f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）； ②若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+∞）； ③若 a＜1 且 a≠0，则∃b∈R，使得函数 y＝f（x）﹣b 恰有 3 个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3＝﹣ 1． 其中，所有正确结论的序号是　 　． 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（14 分）已知{an}是公差为 d 的无穷等差数列，其前 n 项和为 Sn．又___，且 S5＝40， 是否存在大于 1 的正整数 k，使得 Sk＝S1？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． 从①a1＝4，②d＝﹣2 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 17．（14 分）在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC ＝CD＝ AD＝1，E 为线段 AD 的中点，PE⊥底面 ABCD，点 F 是棱 PC 的中点，平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G． （Ⅰ）求证：BE∥FG； （Ⅱ）若 PC 与 AB 所成的角为 ，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值． 18．（14 分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊 疗模式，某地区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为 2000 万， 从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图 1 所示．为了解各年龄段居民签约家 庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图 2 所 示．（Ⅰ）估计该地区年龄在 71～80 岁且已签约家庭医生的居民人数； （Ⅱ）若以图 2 中年龄在 71～80 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生 的概率，则从该地区年龄在 71～80 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有 1 人已签约家 庭医生的概率； （Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为 44%．为把该地区年满 18 周岁居民的签约率提 高到 55%以上，应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解 释． 19．（15 分）已知椭圆 w： （a＞b＞0）过 A（0，1），B（0，﹣1）两点，离心 率为 ． （Ⅰ）求椭圆 w 的方程； （Ⅱ）过点 A 的直线 l 与椭圆 w 的另一个交点为 C，直线 l 交直线 y＝2 于点 M，记直线 BC，BM 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2 的值． 20．（14 分）已知函数 f（x）＝ex（sinx+cosx）． （Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）求证：曲线 y＝f（x）在区间（0， ）上有且只有一条斜率为 2 的切线． 21．（14 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．对任意的点 P（x，y），定义|OP|＝ |x|+|y|．任取点 A（x1，y1），B（x2，y2），记 A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|OA|2+|OB|2≥ |OA'|2+|OB'|2 成立，则称点 A，B 相关． （Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．（Ⅱ）给定 n∈N*，n≥3，点集 Ωn＝{（x，y）|﹣n≤x≤n，﹣n≤y≤n，x，y∈Z}． （i）求集合 Ωn 中与点 A（1，1）相关的点的个数； （ii）若 S⊆Ωn，且对于任意的 A，B∈S，点 A，B 相关，求 S 中元素个数的最大值．2020 年北京市海淀区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1．【分析】由集合间的关系直接判断． 【解答】解：∵∁RA＝{x|x≥1}，∁RB＝{x|x≤﹣1}，∴∁RA⊆B， 故选：D． 2．【分析】由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求 解． 【解答】解：A：y＝x2 为偶函数，且值域[0，+∞），符合题意； B：y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意； C：y＝cosx 的值域[﹣1，1]，不符合题意； D：y＝lnx 为非奇非偶函数，且值域 R，不符合题意． 故选：A． 3．【分析】利用抛物线的标准方程，求出 p，通过定义转化求解即可． 【解答】解：抛物线 y2＝12x 的焦点在 x 轴上，P＝6， 由抛物线的定义可得：|PF|＝xP+ ＝3+ ＝6． 故选：B． 4．【分析】对于 A，m 与 n 相交、平行或异面；对于 B，l∥α 或 l⊂α；对于 C，α 与 β 平行 或相交；对于 D，由面面垂直的判定定理得 α⊥β． 【解答】解：三条不同的直线 l，m，n 和两个不同的平面 α，β， 对于 A，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 对于 B，若 l∥m，m⊂α，则 l∥α 或 l⊂α，故 B 错误； 对于 C，若 l∥α，l∥β，则 α 与 β 平行或相交，故 C 错误； 对于 D，若 l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得 α⊥β，故 D 正确． 故选：D． 5．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，由正弦定理可得 sinA，结 合大边对大角可求 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求 A 的值．【解答】解：∵a＝7，b＝8，cosB＝ ， ∴sinB＝ ＝ ， ∴由正弦定理 ，可得 sinA＝ ＝ ＝ ， ∵a＜b，A 为锐角， ∴A＝ ． 故选：C． 6．【分析】根据平移变换法则求解 g（x）解析式． 【解答】解：函数 的图象向左平移 个单位长度后， 可得 y＝sin[2（x+ ）﹣ ]＝sin（2x+ ）＝cos2x； 故选：C． 7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体 A﹣BCD， 如图所示： VA﹣BCD＝VA﹣BCE﹣VA﹣CDE＝ ＝ ． 故选：A． 8．【分析】“（ + ）• ＝22”化为： + • ＝2 ， • ＝ ．进而判断出结论． 【解答】解；“（ + ）• ＝2 2”化为： + • ＝2 ，即 • ＝ ． 由“ ＝ ”⇒ • ＝ ． 反之不成立，可能| |cos＜ ， ＞＝| |．∴“（ + ）• ＝2 2”是“ ＝ ”的必要不充分条件． 故选：B． 9．【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得 P 的轨迹，求出 P 到棱 C1D1 的最大值，代入三角形面积公式求解． 【解答】解：如图， 由正方体性质知，当 P 位于 C 点时，D1O⊥OC， 当 P 位于 BB1 的中点 P1 时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝ ， BP1＝B1P1＝1， ， 求得 ，OP1＝ ， ． ∴ ，得 OD1⊥OP1． 又 OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面 OP1 C，得到 P 的轨迹在线段 P1C 上． 由 C1P1＝CP1＝ ，可知∠C1CP1 为锐角，而 CC1＝2 ， 知 P 到棱 C1D1 的最大值为 ． 则△D1C1P 面积的最大值为 ． 故选：C． 10．【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安 排第三排人员就坐，从而得出结论． 【解答】解：第一步，在第一排安排 3 人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座 位， 第二步，在第二排安排 3 人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位， 第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐， 若四步，在第四排安排 3 人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳 3+3+1+3＝10人， 重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排 2 人在中间位置就坐， 重复第四步，在第四排安排 3 人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳 3+3+2+3＝11 人． 故选：C． 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解． 【解答】解：∵（2﹣i）（a+i）＝（2a+1）+（2﹣a）i 为纯虚数， ∴ ，即 a＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 12．【分析】由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为 x2﹣y2＝λ（λ≠0），讨论 λ＞0，λ ＜0 时，求得双曲线的焦距，解不等式可得所求范围，可取一个特殊值，可得所求的双曲线 的标准方程． 【解答】解：双曲线 E 的一条渐近线方程为 y＝x， 设双曲线的方程为 x2﹣y2＝λ（λ≠0）， 若 λ＞0，可得 ﹣ ＝1，可得焦距为 2 ＞4，解得 λ＞2； 若 λ＜0，则 ﹣ ＝1，可得焦距为 2 ＞4，解得 λ＜﹣2， 故双曲线的方程为 x2﹣y2＝λ（λ＞2 或 λ＜﹣2），取 λ＝4，双曲线的方程为 ﹣ ＝1， 故答案为： ﹣ ＝1． 13．【分析】由已知可得数列{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，然后结合等比数 列的求和公式即可求解． 【解答】解：∵a1＝2，an+1＝2an， ∴数列{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ＝126， 故 k＝6． 故答案为：6 14．【分析】根据题意，分析可得 ﹣ ＝ ＝（1，0），进而可得| ﹣ |＝1，即可得| |＝1，据此分析可得 P 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆，则设 P（2+cosα，sinα）， 与 夹 角为 θ，即可得向量 、 的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，A（2，0），B（1，2），C（2，2），则 ﹣ ＝ ＝（1，0）， 则| ﹣ |＝1， 又由 ，则| |＝1，P 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆，则设 P（2+cosα， sinα）， 与 夹角为 θ，（0≤α≤2π，0≤θ≤π）； 则 ＝（2+cosα，sinα）， ＝（2，0）， 则 | | ＝ ， | | ＝ 2 ， • ＝ 4+2cosα ， 则 有 cosθ ＝ ＝ ＝ ＝ （ ）＝ （ + ）， 又由 + ≥2 ，当且仅当 5+4cosα＝3，即 cosα＝﹣1 时，等号成立， 则有 cosθ＝ （ + ）≥ ，又由 0≤θ≤π，则 0≤θ≤ ，即 与 夹角的取值范围是[0， ]； 故答案为：1，[0， ]． 15．【分析】对于①，当 a＝﹣2 时，函数 y＝ax+1 在（﹣∞，0]单调递减，y＝|lnx|在（0， 1）上单调递减，作出函数图象即可判断出结论 对于②，对 a 分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误； 对于③，令 f（x）﹣b＝0，即当 x≤0 时，ax+1＝b；当 x＞0 时，|lnx|＝b；不妨设 x1≤0＜x2 ＜x3，若函数有三个零点，可得 x1＝ ≤0，x2＝e﹣b，x3＝eb，进而判断出结论． 【解答】解：对于①，当 a＝﹣2 时，函数 y＝ax+1 在（﹣∞，0]单调递减，y＝|lnx|在（0， 1）上单调递减，但是函数 f（x）在（﹣∞，1）不单调递减．因此①错误； 对于②，因为 y＝|lnx|≥0，当 a＝0 时，x≤0，y＝1，此时函数的最小值为 0； 当 a＞0 时，y＝ax+1 在（﹣∞，0]上单调递增，没有最小值，且 x→﹣∞是，y→﹣∞； 当 a＜0 时，y＝ax+1 在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为 1，所以函数 f（x）的最小值为 0； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+∞），②正确； 对于③，令 f（x）﹣b＝0，即当 x≤0 时，ax+1＝b；当 x＞0 时，|lnx|＝b； 不妨设 x1≤0＜x2＜x3， 若函数有三个零点，则 x1＝ ≤0，x2＝e﹣b，x3＝eb， 则 x2x3＝1． 令 x1＝ ＝﹣1，可得 b＝1﹣a． a＜0 时，b＝1﹣a＞0，则三个零点 x1x2x3＝﹣1． 0＜a＜1 时，1＞b＝1﹣a＞0，则三个零点 x1x2x3＝﹣1． 综上可得：③正确． 故答案为：②③三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．【分析】分别选择①②，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判 断． 【解答】解：若选①，a1＝4， 因为{an}是等差数列， 所以 S5＝5×4+10d＝40， 故 d＝2， ＝k2+3k，S1＝a1＝4， 由 Sk＝S1 可得 k2+3k＝4 可得 k＝1 或 k＝﹣4（舍）， 故不存在 k＞1 使得 Sk＝S1； 若选②，d＝﹣2，因为{an}是等差数列， 由 S5＝5a1+10×（﹣2）＝40，可得 a1＝12， ＝13k﹣k2， 因为 Sk＝S1， 所以 13k﹣k2＝12，解可得 k＝1 或 k＝12， 因为 k＝12＞1， 存在在 k＞1 使得 Sk＝S1； 17．【分析】（Ⅰ）由已知证明四边形 BCDE 为平行四边形，得 BE∥CD，由直线与平面平行 的判定可得 BE∥平面 PDC，再由直线与平面平行的性质得到 BE∥GF； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，BE∥CD，结合∠ADC＝90°，且 PE⊥平面 ABCD，以 E 为坐标原 点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 A（0，0，p）， 由 PC 与 AB 所成的角为 ，利用数量积求夹角公式解得 p，再求出平面 BEF 的一个法向 量及 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵E 为线段 AD 的中点，且 BC＝ AD， ∴DE＝BC， 又∵AD∥BC，∴DE∥BC， ∴四边形 BCDE 为平行四边形，得 BE∥CD， ∵CD⊂平面 PDC，BE⊄平面 PDC，∴BE∥平面 PDC， ∵BE⊂平面 BEGF，平面 BEGF∩平面 PDC＝FG， ∴BE∥GF；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，BE∥CD， ∵∠ADC＝90°，∴AEB＝90°，且 PE⊥平面 ABCD， ∴以 E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 A（0，0，p），A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0）， ， ， ∵PC 与 AB 所成的角为 ， ∴ ＝ ＝ ，（p＞0）， 解得 p＝ ． 则 P（0，0， ），F（ ， ， ），E（0，0，0）． ， ， ． 设平面 BEF 的一个法向量为 ． 由 ，取 z＝1，得 ． ． 设直线 PB 与平面 BEF 所成角为 α， 则 sinα＝ ＝ ＝ ． 即直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值为 ．18．【分析】（Ⅰ）由题知该地区居民约为 2000 万，由图 1 知该地区年龄在 71～80 岁的居民 人数为 80 万，由图 2 知年龄在 71～80 岁的居民签约率为 0.7，由此能求出该地区年齡在 71～80 岁且已签约家庭医生的居民人数． （Ⅱ）由题知此地区年龄段在 71～80 的每个居民签约家庭医生的概率为 p＝0.7，设“从该 地区年龄在 71～80 岁居民中随机抽取两人”为事件 B，由此能求出这两人中恰有 1 人已签 约家庭医生的概率． （Ⅲ）由图 1，2，列出表格，得到这个地区在 31～50 这个年龄段的人为 740 万，基数较其 他年齡段是最大的，且签约率为 37.1%，非常低，为把该地区满 18 周岁居民的签约率提高 到 55%以上，应该着重提高 31～50 这个年龄段的签约率． 【解答】解：（Ⅰ）由题知该地区居民约为 2000 万， 由图 1 知该地区年龄在 71～80 岁的居民人数为：0.004×10×2000＝80 万， 由图 2 知年龄在 71～80 岁的居民签约率为 0.7， ∴该地区年齡在 71～80 岁且已签约家庭医生的居民人数为：80×0.7＝56 万． （Ⅱ）由题知此地区年龄段在 71～80 的每个居民签约家庭医生的概率为 p＝0.7， 且每个居民之间是否签约都是独立的， ∴设“从该地区年龄在 71～80 岁居民中随机抽取两人”为事件 B， 随机变量为 x，这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为： P（x＝1）＝ ＝0.42． （Ⅲ）由图 1，2，知， 年龄段 该地区人数（万） 签约率% 18～30 0.005×10×2000＝100 0.018×10×2000＝360 大于 360，小于 460 30.3 31～40，41～50 （0.021+0.016）×10×2000 ＝740 37.1 51～60 0.015×10×2000＝300 55.7 61～70 0.010×10×2000＝200 61.7 71～80 0.004×10×2000＝80 55.7 80 以上 0.010×10×2000＝200 61.7 由以上数据可知这个地区在 31～50 这个年龄段的人为 740 万， 基数较其他年齡段是最大的， 且签约率为 37.1%，非常低， ∴为把该地区满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以上，应该着重提高 31～50 这个年龄段 的签约率． 19．【分析】（Ⅰ）由题意可得 ，解得 a＝2，b＝1，c＝ ，即可求出椭圆方 程； （Ⅱ）设直线 l：y＝kx+1，与直线方程联立求出 C 的坐标，再根据斜率公式即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 ，解得 a＝2，b＝1，c＝ ， 所以椭圆 w 的方程为 +y2＝1； （Ⅱ）由题意可知，直线 l 斜率存在且不为 0，设直线 l：y＝kx+1， 由 可得（4k2+1）x2+8kx＝0，解得 xC＝ ， 在直线 l：y＝kx+1，令 y＝2，可得 xM＝ ，即 M（ ，2）， ∴k1＝ ＝ ＝k+ ＝k﹣ ＝﹣ ， k2＝ ＝3k， ∴k1k2＝﹣ •3k＝﹣ ． 20．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）问题等价于在区间（0， ）上，方程 excosx＝1 有唯一解，设 g（x）＝excosx，x∈（0， ），求出 g（x）＝1 在（0， ）上存在唯一一个根，从而证明结论． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）＝2excosx， 令 f′（x）＝2excosx＞0，解得：2kπ﹣ ＜x＜2kπ+ ，k∈Z， 故 f（x）在（2kπ﹣ ，2kπ+ ）（k∈Z）递增； （Ⅱ）原命题等价于：在区间（0， ）上，方程 excosx＝1 有唯一解， 设 g（x）＝excosx，x∈（0， ）， 则 g′（x）＝excosx﹣exsinx＝﹣ exsin（x﹣ ）， x，g′（x），g（x）的变化如下表： x （0， ） （ ， ） g′（x） + 0 ﹣ g（x） 递增 极大值 递减 而 g（0）＝1，g（ ）＝ ＞1，g（ ）＝0， ∴g（x）＝1 在（0， ）上存在唯一一个根， 即 f′（x）＝2excosx﹣2＝0 在（0， ）上存在唯一一个零点， 曲线 y＝f（x）在区间（0， ）上有且只有一条斜率为 2 的切线． 21．【分析】（Ⅰ）根据题意若点 A（x1，y1），B（x2，y2）相关，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥ 0，利用此不等式即可判定两点是否相关， （Ⅱ）（i）根据（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，分别讨论在 4 个象限内，及坐标轴上与点 A（1， 1）相关的点的个数，即可算出结果； （ii）由（Ⅰ）可知若两个不同的点 A（x1，y1），B（x2，y2）相关，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥ 0，再证明|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≥1，即可求出 S 中元素个数的最大值． 【解答】解：若点 A（x1，y1），B（x2，y2）相关，不妨设 x1，y1，x2，y2≥0， 则 ，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0， （1）①（2﹣3）（1﹣2）≥0，因此相关；②（4﹣2）（3﹣4）＜0，因此不相关， （2）（i）在第一象限内，（x﹣1）（y﹣1）≥0，可知 1≤x≤n 且 1≤y≤n，有 n2 个点，同理 可得在第二，第三，第四象限内，各有 n2 个点， 在 x 轴正半轴上，点（1，0）满足条件， 在 y 轴正半轴上，点（0，1）满足条件， 原点（0，0）满足条件， 因此集合 Ωn 中共有 4n2+5 个点与点 A（1，1）相关， （ii）若两个不同的点 A（x1，y1），B（x2，y2）相关，其中 x1，x2≥0，y1，y2≥0， 可知（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，下面证|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≥1， 若 x1＝x2，则 y1≠y2，成立，若 x1＞x2，则 y1≥y2，若 x1＜x2，则 y1≤y2，亦成立， 由于|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≤（n+n）﹣（0+0）＝2n， 因此最多有 2n+1 个点两两相关，其中最多有 2n﹣1 个点在第一象限，最少有 1 个点在坐标 轴正半轴上，一个点为原点， 因此 S 中元素个数的最大值为 4（2n﹣1）+2×1+1＝8n﹣1