2020 年北京市丰台区高考数学二模试卷
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．（4 分）集合 A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．（4 分）函数 f（x）＝ 的定义域为（ ）
A．（0，2） B．[0，2]
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
3．（4 分）下列函数中，最小正周期为 π 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2﹣n，则 a2+a3＝（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
5．（4 分）设 ， 为非零向量，则“ ⊥ ”是“| + |＝| ﹣ |”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4 分）已知抛物线 M：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线 N： ﹣x2＝1 的一个焦点重
合，则 p＝（ ）
A． B．2 C．2 D．4
7．（4 分）已知函数 f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则 f（x）（ ）
A．是奇函数，且在定义域上是增函数
B．是奇函数，且在定义域上是减函数
C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数
D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数
8．（4 分）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三
角形，则该棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．
9．（4 分）在△ABC 中，AC＝3， ，AB＝2，则 AB 边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
10．（4 分）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后
角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a，b，c（a＞
b＞c，且 a，b，c∈N*）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，
乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分 a 为 4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．（5 分）已知复数 z＝2﹣i，则|z|＝ ．
12．（5 分）已知直线 x+y+1＝0 的倾斜角为 α，则 cosα＝ ．
13．（5 分）双曲线 M： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程
为 ．
14．（5 分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年
方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、
丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 …
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 …
干支 甲子 乙丑 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 …纪年 年 年 寅年 卯年 辰年 巳年 午年 未年 申年 酉年 戌年 亥年 子年
2049 年是新中国成立 100 周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支
纪年法，2049 年是己巳年，则 2059 年是 年；使用干支纪年法可以得到 种不
同的干支纪年．
15．（5 分）已知集合 P＝{（x，y）|（x﹣cosθ） 2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合 P
中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列
结论：
①“水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为（0，1）；
②在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3；
③阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则 ；
④白色“水滴”图形的面积是 ．
其中正确的有 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（14 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，MA∥PB，MA⊥BC，AB⊥PB，MA＝1，AB＝
PB＝2．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面 ABCD；
（Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值．
17．（14 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，S5＝20．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{bn}满足 a4+b4＝9，且公比为 q，从①q＝2；② ；③q＝﹣1 这三个
条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{an﹣bn}的前 n 项和 Tn．
18．（14 分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了
模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北
京市中小学学校中随机抽取了 10 所学校，10 所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查．求选出的 2 所学校参与越野滑轮人
数都超过 40 人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练选
中参加旱地冰壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行技
术指导．规定：这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该
校甲同学 3 个动作中每个动作达到“优”的概率为 0.1．在指导后的考核中，甲同学总考核
成绩为“优”．能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理
由．
19．（15 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：当 x∈（0，+∞）时， ；
（Ⅲ）当 x＞0 时，若曲线 y＝f（x）在曲线 y＝ax2+1 的上方，求实数 a 的取值范围．
20．（14 分）已知椭圆 经过 A（1，0），B（0，b）两点．O 为坐标原点，且△AOB 的面积为 ．过点 P（0，1）且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与椭圆 C 有
两个不同的交点 M，N，且直线 AM，AN 分别与 y 轴交于点 S，T．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
（Ⅲ）设 ，求 λ+μ 的取值范围．
21．（14 分）已知无穷集合 A，B，且 A⊆N，B⊆N，记 A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，定义：满足
N*⊆（A+B）时，则称集合 A，B 互为“完美加法补集”．
（Ⅰ）已知集合 A＝{a|a＝2m+1，m∈N}，B＝{b|b＝2n，n∈N}．判断 2019 和 2020 是否属于
集合 A+B，并说明理由；
（Ⅱ）设集合 A＝{x|x＝ε0+ε2×22+ε4×24+…+ε2i×22i+…+ε2s×22s，ε2i＝0，1；i＝
0，1，…，s，s∈N}，B＝{x|x＝ε1×21+ε3×23+…+ε2i﹣1×22i﹣1+…+ε2s﹣1×22s﹣1，ε2i
﹣1＝0，1；i＝1，…，s，s∈N*}．
（ⅰ）求证：集合 A，B 互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记 A（n）和 B（n）分别表示集合 A，B 中不大于 n（n∈N*）的元素个数，写出满足 A
（n）B（n）＝n+1 的元素 n 的集合．（只需写出结果，不需要证明）2020 年北京市丰台区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．【分析】先求出集合 A，再根据集合 A 的元素个数即可求出集合 A 的子集个数．
【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，
∴集合 A 的子集个数为 23＝8 个，
故选：D．
2．【分析】由分母中根式内部的代数式大于 0 求解一元二次不等式得答案．
【解答】解：由 x2﹣2x＞0，得 x＜0 或 x＞2．
∴函数 f（x）＝ 的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：C．
3．【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．
【解答】解：∵函数 y＝ sinx 的最小正周期为 2π，故排除 A；
∵函数 y＝sin x 的最小正周期为 ＝4π，故排除 B；
∵函数 y＝cos（x+ ）的最小正周期为 2π，故排除 C；
∵函数 y＝ tanx 的最小正周期为 π，故 D 满足条件，
故选：D．
4．【分析】Sn＝n2﹣n，可得 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1．即可得出结论．
【解答】解：∵Sn＝n2﹣n，
∴n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2．
则 a2+a3＝2×2﹣2+2×3﹣2＝6．
故选：B．
5．【分析】 ， 为非零向量，“| + |＝| ﹣ |”展开，进而判断出结论．
【解答】解： ， 为非零向量，“| + |＝| ﹣ |”展开为： +2 • + ＝ ﹣2 • + ⇔• ＝0⇔ ⊥ ．
∴“ ⊥ ”是“| + |＝| ﹣ |”的充要条件．
故选：C．
6．【分析】求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到结论．
【解答】解：抛物线 x2＝2py（p＞0）的焦点坐标为（0， ），
∵双曲线的方程为 ﹣x2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，则 c2＝a2+b2＝4，
即 c＝2，
∵抛物线 x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线 ﹣x2＝1 的一个焦点重合，
∴ ＝c＝2，
即 p＝4，
故选：D．
7．【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得 f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函
数为奇函数，求出函数的导数，分析可得 f（x）为（﹣1，1）上的减函数；即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则有 ，解可得﹣1＜
x＜1，即 f（x）的定义域为（﹣1，1）；
设任意 x∈（﹣1，1），f（﹣x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）＝﹣f（x），则函数 f（x）为奇函数；
f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝ln ，其导数 f′（x）＝ ，
在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，则 f（x）为（﹣1，1）上的减函数；
故选：B．
8．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体 A﹣BCD．
如图所示：所以：BC＝ ，
由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，
所以 ，
所以 ＝ ．
故选：A．
9．【分析】由已知及余弦定理可求 cosA 的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求 sinA
的值，设 AB 边上的高为 h，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：∵AC＝3， ，AB＝2，
∴由余弦定理可得：cosA＝ ＝ ＝ ，可得 sinA＝ ＝
，
∴设 AB 边上的高为 h，则 AB•h＝ AB•AC•sinA，
∴ ×2×h＝ ，解得：h＝ ．
故选：B．
10．【分析】根据四场比赛总得分，结合 a，b，c 满足的条件，可求出 a，b，c，再根据已
知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．
【解答】解：∵甲最后得分为 16 分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1 场第一名，3 场第二名，则 a+3b＝8，则 3b＝8﹣a＜4，而 b∈N*，则
b＝1，
又 c∈N*，a＞b＞c，此时不合题意；②若乙得分名次为：1 场第一名，2 场第二名，1 场第三名，则 a+2b+c＝8，则 2b+c＝8﹣a＜
4，
由 a＞b＞c，且 a，b，c∈N*可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；
③若乙得分名次为：1 场第一名，1 场第二名，2 场第三名，则 a+b+2c＝8，则 b+2c＝8﹣a＜
4，
由 a＞b＞c，且 a，b，c∈N*可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；
④若乙得分名次为：1 场第一名，3 场第三名，则 a+3c＝8，此时显然 a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为 3 场第一名，1 场第三名，共 3×5+1＝16 分，
乙的得分情况为 1 场第一名，3 场第三名，共 5+3×1＝8 分，
丙的得分情况为 4 场第二名，则 4b＝8，即 b＝2，此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．
【解答】解：∵复数 z＝2﹣i，
∴|z|＝ ＝ ．
故答案为： ．
12．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解 cosα 的值．
【解答】解：直线 x+y+1＝0 的斜率 k＝﹣1，
∴直线 x+y+1＝0 的倾斜角 α＝ ．
∴cosα＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
13．【分析】运用离心率公式和 a，b，c 的关系，可得 b＝ ＝ a，即可得到所求
双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由题意可得 e＝ ＝ ，
即 c＝ a，b＝ ＝ a，
可得双曲线的渐近线方程 y＝± x，即为 y＝± x．
故答案为：y＝± x．
14．【分析】根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得 2059
年是己卯年，又由天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，据此可
得天干地支共有 60 种组合，即可得答案．
【解答】解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，
地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；
其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、
丙戌、…、癸巳，…，
若 2049 年是己巳年，则 2059 年是己卯年；
天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，
则天干地支共有 60 种组合，即使用干支纪年法可以得到 60 种不同的干支纪年；
故答案为：己卯，60．
15．【分析】①方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4 中，令 x＝0 求得 y 的取值范围，得出最
高点的坐标；
②利用参数法求出点 M 到原点的距离 d，求出最大值；
③求出知最高点 C 与最低点 D 的距离|CD|；
④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．
【解答】解：对于①，方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4 中，
令 x＝0，得 cos2θ+y2﹣2ysinθ+sin2θ＝4，
所以 2sinθ＝y﹣ ，其中 θ∈[0，π]，
所以 sinθ∈[0，1]，
所以 y﹣ ∈[0，2]，
解得 y∈[﹣ ，﹣1]∪[ ，3]；
所以点 A（0， ），点 B（0，﹣1），点 C（0，3），点 D（0，﹣ ），所以①错误；
对于②，由（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，设 ，
则点 M 到原点的距离为
d＝ ＝ ＝ ，当 α＝θ 时，cos（α﹣θ）＝1，d 取得最大值为 3，所以②正确；
对于③，由①知最高点为 C（0，3），最低点为 D（0，﹣ ），
所以 ，③正确；
对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；
计算它的面积是 S＝S 半圆+2S 弓形+S△＝ ×π×1 2+2×（ ﹣ ）+ ×2× ＝
，
所以④正确；
综上知，正确的命题序号是②③④．
故答案为：②③④．
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．【分析】（Ⅰ）推导出 PB⊥BC，AB⊥PB，由此能证明 PB⊥平面 ABCD．
（Ⅱ）推导出 PB⊥AB，PB⊥AD．AB⊥BC．建立空间直角坐标系 B﹣xyz，利用向量法能求
出直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）因为 MA⊥BC，MA∥PB，所以 PB⊥BC，
因为 AB⊥PB，AB∩BC＝B，
所以 PB⊥平面 ABCD．
（Ⅱ）解：因为 PB⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，
所以 PB⊥AB，PB⊥AD．
因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AB⊥BC．
如图建立空间直角坐标系 B﹣xyz，
则 P（0，0，2），M（2，0，1），C（0，2，0），D（2，2，0），
， ， ．
设平面 PDM 的法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，即
令 z＝2，则 x＝1，y＝﹣1．于是 u＝（1，1，2）．
平面 PDM 的法向量为 ＝（1，1，2）．设直线 PC 与平面 PDM 所成的角为 θ，所以 sinθ＝ ＝ ．
所以直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值为 ．
17．【分析】（Ⅰ）先由题设条件求出等差数列{an}的基本量：首项与公差，再求其通项公式；
（Ⅱ）先选择公比 q 的值，再结合其它题设条件计算出结果．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，又因为 ，且 a1＝2，
所以 S5＝10+10d＝20，故 d＝1，
所以 an＝n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a4＝5，又 a4+b4＝9，所以 b4＝4．
若选择条件①q＝2，可得 ，Tn＝（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（an﹣bn）＝（a1+a2+…
+an）﹣（b1+b2+…+bn）＝ ＝ ；
若选择条件② ，可得 ，T n＝（a1﹣b1）+（a 2﹣b2）+…+（a n﹣bn）＝
（a1+a2+…+an）﹣（b1+b2+…+bn）＝ ＝ ；
若选择条件③q＝﹣1，可得 ，T n＝（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（a n﹣bn）＝
（ a1+a2+ … +an ） ﹣ （ b1+b2+ … +bn ） ＝ ＝．
18．【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人”为事件 S，从这 10
所学校中随机选取 2 所学校进行调查，可得基本事件总数为 ．参与越野滑轮人数超过 40
人的学校共 4 所，随机选择 2 所学校共 种，利用古典概率计算公式即可得出概率．
（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2，参加旱地冰壶人数在 30 人以上的学校共 4 所．利用
超几何分布列计算公式即可得出．
（Ⅲ）答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指
导后总考核达到“优”的概率发生了变化．
【解答】解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人”为事件 S，现从
这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查，可得基本事件总数为 ．
参与越野滑轮人数超过 40 人的学校共 4 所，随机选择 2 所学校共 种，
所以 ．………（4 分）
（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2，参加旱地冰壶人数在 30 人以上的学校共 4 所．
， ， ．
X 的分布列为：
X 0 1 2
P
．………（11 分）
（Ⅲ）答案不唯一．
答案示例 1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： ．
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到
“优”的概率发生了变化．
答案示例 2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： ．
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变
化． ………（14 分）
19．【分析】（Ⅰ）求导，列出随 x 的变化，f'（x）和 f（x）的情况表，进而求得极值；
（Ⅱ）令 ，求导，由＞0 得 ex﹣1＞0，则 g'
（x）＞0，进而得出函数 g（x）的单调性，由此得证；
（Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）知符合题意，再令 ，分
及 a≥0 均可判断不合题意，进而得出实数 a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ，定义域 R，
所以 ．
令 f'（x）＝0，解得 x＝0．
随 x 的变化，f'（x）和 f（x）的情况如下：
x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）
f′（x） + 0 ﹣
f（x） 增 极大值 减
由表可知函数 f（x）在 x＝0 时取得极大值 f（0）＝1，无极小值；
（ Ⅱ ） 证 明 ： 令 ，
．
由 x＞0 得 ex﹣1＞0，
于是 g'（x）＞0，
故函数 g（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以当 x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）＝0，即 ；（Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）知 ，满足题意．
令 ， ．
当 时，若 ，h'（x）＜0，则 h（x）在 上是
减函数．
所以 时，h（x）＜h（0）＝0，不合题意．
当 a≥0 时，h'（x）＜0，则 h（x）在（0，+∞）上是减函数，所以 h（x）＜h（0）＝0，
不合题意．
综上所述，实数 a 的取值范围 ．
20．【分析】（Ⅰ）把点 A 坐标代入椭圆的方程得 a＝1．由△AOB 的面积为 可知，
，解得 b，进而得椭圆 C 的方程．
（Ⅱ） 设直线 l 的方程为 y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立直线 l 与椭圆 C 的方程
的关于 x 的一元二次方程．△＞0，进而解得 k 的取值范围．
（Ⅲ）因为 A（1，0），P（0，1），M（x1，y1），N（x2，y2），写出直线 AM 的方程，令 x＝
0，解得 ．点 S 的坐标为 ．同理可得：点 T 的坐标为 ．用
坐标表示 ， ， ，代入 ，得 ．同理
．由（Ⅱ）得 ，代入 λ+μ，化简再求
取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆 经过点 A（1，0），
所以 a2＝1 解得 a＝1．
由△AOB 的面积为 可知， ，
解得 ，
所以椭圆 C 的方程为 x2+2y2＝1．（Ⅱ） 设直线 l 的方程为 y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立 ，消 y 整理可得：（2k2+1）x2+4kx+1＝0．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以△＝16k2﹣4（2k2+1）＞0，解得 ．
因为 k＞0，所以 k 的取值范围是 ．
（Ⅲ）因为 A（1，0），P（0，1）M（x1，y1），N（x2，y2），
所以直线 AM 的方程是： ．
令 x＝0，解得 ．
所以点 S 的坐标为 ．
同理可得：点 T 的坐标为 ．
所以 ， ， ．
由 ，
可得： ，
所以 ．
同理 ．
由（Ⅱ）得 ，
所以 ＝所以 λ+μ 的范围是 ．
21．【分析】（Ⅰ）由 a 为奇数，b 为偶数，可得 a+b 为奇数，即可判断 2019 和 2020 是否属
于集合 A+B；
（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数 p 可表示为唯一一数组（ε0，ε1，ε2，…，ε
i ， … ， ε k ）， 其 中 ε i ＝ 0 ， 1 ； i ＝ 0 ， 1 ， … ， k ， k∈N ， 使 得
，考虑自然数 p 的个数即可得证；
下 证 ＝
，其中εi＝0，1；εi′＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，则ε'i＝εi．由反证法即可得证；
（ⅱ）考虑集合中元素为奇数，可为{n|n＝2k﹣1，k∈N*}．
【解答】解：（Ⅰ）由 a＝2m+1，b＝2n 得 a+b＝2（m+n）+1 是奇数，
当 a＝2×1009+1，b＝2×0＝0 时，a+b＝2019，
所以 2019∈A+B，2020∉A+B；
（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数 p 可表示为唯一一数组（ε0，ε1，ε2，…，ε
i，…，εk），
其中εi＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，
使 得
，
由 于，
这种形式的自然数 p 至多有 2k+1 个，且最大数不超过 2k+1﹣1．
由εi＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，每个εi 都有两种可能，
所以这种形式的自然数 p 共有 个结果．
下 证 ＝
，
其中εi＝0，1；εi′＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，则ε'i＝εi．
假设存在ε'i≠εi 中，取 i 最大数为 j，
则
＝|（ɛ0'﹣ɛ0）+（ɛ1'﹣ɛ1）×21+…+（ɛj'﹣ɛj）×2j|≥|（ɛj'﹣ɛj）×2j|﹣|（ɛ0'﹣ɛ0）+（ɛ1'﹣
ɛ1）×21+…+（ɛj﹣1'﹣ɛj﹣1）×2j﹣1|
≥|（ɛj'﹣ɛj）×2j|﹣（|ɛ0'﹣ɛ0|+|ɛ1'﹣ɛ1|×21+…+|ɛj﹣1'﹣ɛj﹣1|×2j﹣1）≥2j﹣（1+21+…+2j﹣1）
＝2j﹣ ＝1，
所以 0≥1 不可能．
综 上 ， 任 意 正 整 数 p 可 唯 一 表 示 为
＝
显然 ，
满足 N*⊆（A+B），所以集合 A，B 互为“完美加法补集”．
（ⅱ）{n|n＝2k﹣1，k∈N*}
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