2020 年北京市东城区高考数学二模试卷
一、选择题(共 10 小题).
1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,1,2},B={5},那么(∁UA)∪B=
( )
A.{0,1,2} B.{3,4,5} C.{1,4,5} D.{0,1,2,5}
2.已知三个函数 y=x3,y=3x,y=log3x,则( )
A.定义域都为 R
B.值域都为 R
C.在其定义域上都是增函数
D.都是奇函数
3.平面直角坐标系中,已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),
且四边形 ABCD 为平行四边形,那么 D 点的坐标为( )
A.(3,3) B.(﹣5,1) C.(3,﹣1) D.(﹣3,3)
4.双曲线 C:x2 ―
푦2
푏2 = 1 的渐近线与直线 x=1 交于 A,B 两点,且|AB|=4,那么双曲线 C
的离心率为( )
A. ퟐ B. ퟑ C.2 D. ퟓ
5.已知函数 f(x)=logax+b 的图象如图所示,那么函数 g(x)=ax+b 的图象可能为( )A. B.
C. D.
6.已知向量→
풂 = (0,5),→
풃 = (4,﹣3),→
풄 = (﹣2,﹣1),那么下列结论正确的是
( )
A.→
풂 ― →
풃与→
풄为共线向量 B.→
풂 ― →
풃与→
풄垂直
C.→
풂 ― →
풃与→
풂的夹角为钝角 D.→
풂 ― →
풃与→
풃的夹角为锐角
7.《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书
中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步=1.5
米)意思是现有扇形田,弧长为 45 米,直径为 24 米,那么扇形田的面积为( )
A.135 平方米 B.270 平方米 C.540 平方米 D.1080 平方米
8.已知函数 f(x)=lnx+ax2,那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知一个几何体的三视图如图所示,正(主)视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边
拼接而成的,俯视图和侧(左)视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体
的体积是( )A.1 +
휋
2 B.1 +
휋
4 C.1 +
휋
8 D.1+π
10.函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的最小正周期是 T,已知 f(x) =
{풙,풙 ∈ [ퟎ,
푇
4]
푇
2 ― 풙,풙 ∈ (
푇
4 ―
푇
2]
,g(x)=f(x+a)(a∈R).给出下列四个判断:
①对于给定的正整数 n,存在 a∈R,使得
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成立;
②当 a =
푇
4时,对于给定的正整数 n,存在 k∈R(k≠1),使得
풏
풊=ퟏ
품(풌
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) =
ퟎ成立;
③当 a=k
푇
4(k∈Z)时,函数 g(x)+f(x)既有对称轴又有对称中心;
④当 a=k
푇
4(k∈Z)时,g(x)+f(x)的值只有 0 或푇
4.
其中正确判断的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分.
11.复数 z =
1 ― 푖
푖 的共轭复数풛为 .
12.已知 cos2α =
1
3,则 cos2(휋
2 + 휶)﹣2cos2(π﹣α)的值为 .13.设 α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列三个结论:
①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;
②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;
③若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β.
其中,正确结论的序号为 .
14.从下列四个条件①a = ퟐc;②C =
휋
6;③cosB = ―
2
4 ;④b = ퟕ中选出三个条件,能
使满足所选条件的△ABC 存在且唯一,你选择的三个条件是____(填写相应的序号),
所选三个条件下的 c 的值为 .
15.配件厂计划为某项工程生产一种配件,这种配件每天的需求量是 200 件.由于生产这
种配件时其他生产设备必须停机,并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费,所以需
要周期性生产这种配件,即在一天内生产出这种配件,以满足从这天起连续 n 天的需求,
称 n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天 2 元
(当天生产出的配件不需要支付存储费,从第二天开始付存储费).在长期的生产活动
中,为使每个生产周期内每天平均的总费用最少,那么生产周期 n 为 .
三、解答题共 6 题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.如图①,四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD=1,AD=2,E 为 AD 中
点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图②.
(Ⅰ)求证:平面 A1EB⊥平面 A1ED;
( Ⅱ ) 若 ∠ A1ED = 90 ° , 求 A1C 与 平 面 A1BD 所 成 角 的 正 弦
值.17.已知{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,且满足 a3=1,S3=3a2+1.{bn}为等差数列,
其前 n 项和为 Tn,如图_____,Tn 的图象经过 A,B 两个点.
(Ⅰ)求 Sn;
(Ⅱ)若存在正整数 n,使得 bn>Sn,求 n 的最小值.
从图①,图②,图③中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答.
18.某志愿者服务网站在线招募志愿者,当报名人数超过计划招募人数时,将采用随机抽
取的方法招募志愿者,如表记录了 A,B,C,D 四个项目最终的招募情况,其中有两个
数据模糊,记为 a,b.
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B 60 a
C 80 b
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目,记 ξ 为甲同学最终被招募的项目个数,已知 P(ξ=0) =
1
40,P(ξ=4) =
1
10.
(Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率;
(Ⅱ)求 a,b 的值;
(Ⅲ)假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D,试判断 Eξ 如何变
化(结论不要求证明).
19.已知椭圆 C:푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1(a>b>0)的一个顶点坐标为 A(0,﹣1),离心率为 3
2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若直线 y=k(x﹣1)(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,线段 PQ 的中点
为 M,点 B(1,0),求证:点 M 不在以 AB 为直径的圆上.
20.已知 f(x)=ex+sinx+ax(a∈R).
(Ⅰ)当 a=﹣2 时,求证:f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;
(Ⅱ)若对任意 x≥0,f(x)≥1 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(Ⅲ)若 f(x)有最小值,请直接给出实数 a 的取值范围.
21.设数列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知 ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…,
n;j=1,2,…, n),定义 n×n 数表푿(푨,푩) = (풙ퟏퟏ 풙ퟏퟐ ⋯ 풙ퟏ풏
풙ퟐퟏ 풙ퟐퟐ ⋯ 풙ퟐ풏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
풙풏ퟏ 풙풏ퟐ ⋯ 풙풏풏
),其中 xij =
{ퟏ,풂풊 = 풃풋
ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋.
(Ⅰ)若 A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,写出 X(A,B);
(Ⅱ)若 A,B 是不同的数列,求证:n×n 数表 X(A,B)满足“xij=xji(i=1,
2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j)”的充分必要条件为“ ak+bk=1(k=1,2,…,
n)”;
(Ⅲ)若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个,求证:n×n 数表 X(A,B)中 1 的个数不大于푛2
2
.参考答案
一、选择题共 10 题,每题 4 分,共 40 分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求
的一项。
1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,1,2},B={5},那么(∁UA)∪B=
( )
A.{0,1,2} B.{3,4,5} C.{1,4,5} D.{0,1,2,5}
【分析】进行补集和并集的运算即可.
解:∵U={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},B={5},
∴∁UA={3,4,5},(∁UA)∪B={3,4,5}.
故选:B.
2.已知三个函数 y=x3,y=3x,y=log3x,则( )
A.定义域都为 R
B.值域都为 R
C.在其定义域上都是增函数
D.都是奇函数
【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可.
解:函数 y=log3x 的定义域为(0,+∞),即 A 错误;
函数 y=3x 的值域是(0,+∞),即 B 错误;
函数 y=3x 和 y=log3x 是非奇非偶函数,即 D 错误,
故选:C.3.平面直角坐标系中,已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),
且四边形 ABCD 为平行四边形,那么 D 点的坐标为( )
A.(3,3) B.(﹣5,1) C.(3,﹣1) D.(﹣3,3)
【分析】设 D(x,y),由四边形 ABCD 为平行四边形,得 →
푨푫 = →
푩푪,由此能求出 D 点
的坐标.
解:设 D(x,y),
∵点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),
且四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ →
푨푫 = →
푩푪,∴(x,y﹣1)=(3,2),
解得 x=3,y=3,
∴D 点的坐标为(3,3).
故选:A.
4.双曲线 C:x2 ―
푦2
푏2 = 1 的渐近线与直线 x=1 交于 A,B 两点,且|AB|=4,那么双曲线 C
的离心率为( )
A. ퟐ B. ퟑ C.2 D. ퟓ
【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程,与直线 x=1 联立求出|AB|的值,进而求出
|b|的值,求出双曲线的离心率.
解:由双曲线的方程可得 a=1,且渐近线的方程为:y=±bx,
与 x=1 联立可得 y=±b,所以|AB|=|2b|,
由题意可得 4=2|b|,解得|b|=2,c2=a2+b2,
所以双曲线的离心率 e =
푐
푎 =
푎2 + 푏2
푎2 =
1 + 4
1 = ퟓ,故选:D.
5.已知函数 f(x)=logax+b 的图象如图所示,那么函数 g(x)=ax+b 的图象可能为( )
A. B.
C. D.
【分析】结合已知函数的图象可知,f(1)=b<﹣1,a>1,结合指数函数的性质及函
数图象的平移可知,y=ax+b 的图象单调递增,且由 y=ax 的图象向下平移超过 1 个单位,
结合选项即可判断.
解:结合已知函数的图象可知,f(1)=b<﹣1,a>1,
结合指数函数的性质及函数图象的平移可知,y=ax+b 的图象单调递增,且由 y=ax 的图
象向下平移超过 1 个单位,
结合选项可知,D 符合题意.
故选:D.6.已知向量→
풂 = (0,5),→
풃 = (4,﹣3),→
풄 = (﹣2,﹣1),那么下列结论正确的是
( )
A.→
풂 ― →
풃与→
풄为共线向量 B.→
풂 ― →
풃与→
풄垂直
C.→
풂 ― →
풃与→
풂的夹角为钝角 D.→
풂 ― →
풃与→
풃的夹角为锐角
【分析】根据题意,求出向量(→
풂 ― →
풃)的坐标,进而由向量平行、垂直的判断方法分析
可得答案.
解:根据题意,向量→
풂 = (0,5),→
풃 = (4,﹣3),→
풄 = (﹣2,﹣1),则→
풂 ― →
풃 = (﹣
4,8),
又由→
풄 = (﹣2,﹣1),有(﹣4)×(﹣1)≠(﹣2)×8,则(→
풂 ― →
풃)与→
풄不是共线
向量,
→
풄 = (﹣2,﹣1),则(→
풂 ― →
풃)•→
풄 = (﹣4)×(﹣2)+(﹣1)×8=0,则(→
풂 ― →
풃)
与→
풄垂直;
故选:B.
7.《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书
中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步=1.5
米)意思是现有扇形田,弧长为 45 米,直径为 24 米,那么扇形田的面积为( )
A.135 平方米 B.270 平方米 C.540 平方米 D.1080 平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
解:根据扇形的面积公式,计算扇形田的面积为
S =
1
2lr =
1
2 × 45 ×
24
2 = 270(平方米).
故选:B.8.已知函数 f(x)=lnx+ax2,那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可.
解:f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x) =
1
푥 + 2ax = 2푎푥2 + 1
푥
,
a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,
故 a>0⇒f(x)递增,是充分条件,
由 f(x)递增,得 a>0 或 a=0,不是必要条件,
故选:A.
9.已知一个几何体的三视图如图所示,正(主)视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边
拼接而成的,俯视图和侧(左)视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体
的体积是( )
A.1 +
휋
2 B.1 +
휋
4 C.1 +
휋
8 D.1+π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图,进一步求出几何体的体积.
解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为一个棱长为 1 的正方体和一个底面半径为1
2,高为 1 的半个圆柱.
如图所示:
所以:V = ퟏ × ퟏ × ퟏ +
1
2 × 흅 × (
1
2)ퟐ × ퟏ = ퟏ +
휋
8.
故选:C.
10.函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的最小正周期是 T,已知 f(x) =
{풙,풙 ∈ [ퟎ,
푇
4]
푇
2 ― 풙,풙 ∈ (
푇
4 ―
푇
2]
,g(x)=f(x+a)(a∈R).给出下列四个判断:
①对于给定的正整数 n,存在 a∈R,使得
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成立;
②当 a =
푇
4时,对于给定的正整数 n,存在 k∈R(k≠1),使得
풏
풊=ퟏ
품(풌
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) =
ퟎ成立;
③当 a=k
푇
4(k∈Z)时,函数 g(x)+f(x)既有对称轴又有对称中心;
④当 a=k
푇
4(k∈Z)时,g(x)+f(x)的值只有 0 或푇
4.
其中正确判断的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【分析】对于①,易知当풂 =
푇
4时,n∈N•,都符合
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ;对于②,即풇(
푇
푛) ⋅ 품(풌 ⋅
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅
2푇
푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = ퟎ成立,取 k=0 即可证明结论
成立;对于③④,分别取 k=1,2,3,4,结合函数图象的平移变换即可得出③对④错;
综合即可得出正确选项.
解:对于①,要使
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成立,即풇(
푇
푛) ⋅ 품(
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(
2푇
푛 ) + ⋯⋯ +
풇(푻) ⋅ 품(푻) = ퟎ,
当풂 =
푇
4时,n∈N•,都符合
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ,故①正确;
对 于 ② , 要 使
풏
풊=ퟏ
품(풌
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成 立 , 即 풇(
푇
푛) ⋅ 품(풌 ⋅
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅
2푇
푛
) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = ퟎ,
取 k = 0 , 此 时 풇(
푇
푛) ⋅ 품(풌 ⋅
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅
2푇
푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = 풇(
푇
푛) + 풇(
2푇
푛
) + ⋯⋯ + 풇(푻) = ퟎ,故②正确;
对于③④,当 k=1,k=3 时,g(x)为将 f(x)左移푇
4,
3푇
4 个单位,此时周期变为5푇
4 ,
既有对称轴也有对称中心,值域为[ ―
푇
4,
푇
4],
当 k=2 时,g(x)为将 f(x)左移푇
2个单位,此时 g(x)+f(x)=0,
当 k=4 时,g(x)为将 f(x)左移 T 个单位,此时 g(x)+f(x)=2f(x),故③正
确,④错误;
故选:C.
二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分.
11.复数 z =
1 ― 푖
푖 的共轭复数풛为 ﹣1+i .
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.
解:∵z =
1 ― 푖
푖 =
(1 ― 푖)( ― 푖)
― 푖2 = ― ퟏ ― 풊,
∴풛 = ― ퟏ + 풊.故答案为:﹣1+i.
12.已知 cos2α =
1
3,则 cos2(휋
2 + 휶)﹣2cos2(π﹣α)的值为 ﹣1 .
【分析】由 cos2α =
1
3求得 cos2α 的值,再化简并计算所求三角函数值.
解:由 cos2α =
1
3,得 2cos2α﹣1 =
1
3,即 cos2α =
2
3;
所以 cos2(휋
2 + 휶)﹣2cos2(π﹣α)=sin2α﹣2cos2α
=1﹣3cos2α
=1﹣3 ×
2
3
=﹣1.
故答案为:﹣1.
13.设 α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列三个结论:
①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;
②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;
③若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β.
其中,正确结论的序号为 ①② .
【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行,可判断①;由同垂直于同一直线的两平面
平行,可判断②;考虑墙角处的三个平面两两垂直,可判断③.
解:α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,
对于①,若 m⊥α,n⊥α,由同垂直于同一平面的两直线平行,可得 m∥n,故①正确;
对于②,若 m⊥α,m⊥β,由同垂直于同一直线的两平面平行,可得 α∥β,故②正确;
对于③,若 α⊥γ,β⊥γ,考虑墙角处的三个平面两两垂直,可判断 α、β 相交,则 α∥β不正确.
故答案为:①②.
14.从下列四个条件①a = ퟐc;②C =
휋
6;③cosB = ―
2
4 ;④b = ퟕ中选出三个条件,能
使满足所选条件的△ABC 存在且唯一,你选择的三个条件是____(填写相应的序号),
所选三个条件下的 c 的值为 ①③④, 7
2 ,或者②③④, ퟐ .
【分析】由①②结合正弦定理可得, 푎
푠푖푛퐴 =
푐
푠푖푛퐶,可求 sinA,但是 A 不唯一,故所选
条件中不能同时有①②,只能是①③④或②③④,
若选①③④,结合余弦定理可求 c;若选②③④,结合正弦定理即可求解.
解:由①②结合正弦定理可得, 푎
푠푖푛퐴 =
푐
푠푖푛퐶,
所以 sinA = ퟐsinC =
2
2 ,此时 A 不唯一,故所选条件中不能同时有①②,
故只能是①③④或②③④,
若选①③④a = ퟐc,cosB = ―
2
4 ,b = ퟕ,
由余弦定理可得, ―
2
4 = 2푐2 + 푐2 ― 7
2푐 ⋅ 2푐
,
解可得,c =
7
2 ;
若选②③④,C =
휋
6,cosB = ―
2
4 ,b = ퟕ,
∴sinB =
14
4 ,且 B 为钝角,
由正弦定理可得,
7
14
4
=
푐
1
2
,
解可得,c = ퟐ.故答案为①③④, 7
2 ,②③④, ퟐ.
15.配件厂计划为某项工程生产一种配件,这种配件每天的需求量是 200 件.由于生产这
种配件时其他生产设备必须停机,并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费,所以需
要周期性生产这种配件,即在一天内生产出这种配件,以满足从这天起连续 n 天的需求,
称 n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天 2 元
(当天生产出的配件不需要支付存储费,从第二天开始付存储费).在长期的生产活动
中,为使每个生产周期内每天平均的总费用最少,那么生产周期 n 为 5 .
【分析】求出每天的平均费用关于 n 的式子,利用基本不等式得出结论.
解:每个周期内的总费用为 5000+400+400×2+400×3+…+400(n﹣1)=5000+200n(n
﹣1),
∴ 每 个 周 期 内 每 天 的 平 均 费 用 为 : 5000 + 200푛(푛 ― 1)
푛 =
5000
푛 + 200n ﹣ 200 ≥ 2
5000
푛 ⋅ ퟐퟎퟎ풏 ― 200=1800,
当且仅当5000
푛 = 200n 即 n=5 时取等号.
故答案为:5.
三、解答题共 6 题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.如图①,四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD=1,AD=2,E 为 AD 中
点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图②.
(Ⅰ)求证:平面 A1EB⊥平面 A1ED;
( Ⅱ ) 若 ∠ A1ED = 90 ° , 求 A1C 与 平 面 A1BD 所 成 角 的 正 弦值.
【分析】(Ⅰ)证明 BE⊥AD.BE⊥A1E,BE⊥DE.然后证明 BE⊥平面 A1DE.即可
证明平面 A1EB⊥平面 A1DE.
(Ⅱ)建立以 E 为原点,EB,ED,DA 为 x,y,z 轴的空间直角坐标系 E﹣xyz.求出平
面 A1BD 的法向量,结合 →
푨ퟏ푪 = (ퟏ,ퟏ, ― ퟏ),利用空间向量的数量积求解直线 A1C 与
平面 A1BD 所成角的正弦函数值.
【解答】(Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=1,AD=2,E
为 AD 中点,
所以 BE⊥AD.
故 图②中,BE⊥A1E,BE⊥DE.
又 因为 A1E∩DE=E,A1E,DE⊂平面 A1DE,
所以 BE⊥平面 A1DE.
又 因为 BE⊂平面 A1EB,
所以 平面 A1EB⊥平面 A1DE.
(Ⅱ)解:由∠A1ED=90°得 A1E⊥DE,
又 A1E⊥BE,BE⊥DE,
因此,建立如图所示的空间直角坐标系 E﹣xyz.
由 A1E=CD=DE=1,得 A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), →
푨ퟏ푩 = (ퟏ,ퟎ, ― ퟏ
), →
푨ퟏ푫 = (ퟎ,ퟏ, ― ퟏ),
设平面 A1BD 的法向量为→
풏 = (x,y,z),
则{→
풏 ⋅
→
푨ퟏ푩 = ퟎ,
→
풏 ⋅
→
푨ퟏ푫 = ퟎ,
即{풙 ― 풛 = ퟎ,
풚 ― 풛 = ퟎ,,令 z=1 得 x=1,y=1,
所以→
풏 = (1,1,1)是平面 A1BD 的一个法向量.
又 →
푨ퟏ푪 = (ퟏ,ퟏ, ― ퟏ),
设直线 A1C 与平面 A1BD 所成角为 θ,
所以풔풊풏휽 = |풄풐풔〈→
풏, →
푨ퟏ푪〉| =
|
→
푛 ⋅
→
퐴1퐶|
|
→
푛||
→
퐴1퐶|
=
1
3 ⋅ 3 =
1
3.
17.已知{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,且满足 a3=1,S3=3a2+1.{bn}为等差数列,
其前 n 项和为 Tn,如图_____,Tn 的图象经过 A,B 两个点.
(Ⅰ)求 Sn;
(Ⅱ)若存在正整数 n,使得 bn>Sn,求 n 的最小值.
从图①,图②,图③中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答.【分析】(Ⅰ)设{an}为公比为 q 的等比数列,运用等比数列的通项公式,解方程可得
首项和公比,再由等比数列的求和公式,可得所求和;
(Ⅱ)分别考虑图①、②、③,判断数列{bn}的单调性,选择②③均可能满足“存在
n,使得 bn>Sn”.讨论两种情况,等差数列的通项公式和恒成立思想,即可得到所求最
小值.
解:(Ⅰ)设{an}为公比为 q 的等比数列,
由 a3=1,S3=3a2+1,得 a1=2a2,即 q =
푎2
푎1
=
1
2,a1q2=1,
所以풒 =
1
2,a1=4.
所以푺풏 =
4(1 ― 1
2푛)
1 ― 1
2
= ퟖ(ퟏ ―
1
2푛) = ퟖ ― ퟐퟑ―풏;
(Ⅱ)由图①知:T1=b1=1,T3=﹣3,可判断 d<0,数列{bn}是递减数列;
而{8﹣23﹣n}递增,由于 b1<S1,
所以选择①不满足“存在 n,使得 bn>Sn”;
由图②知:T1=b1=1,T3=6,可判断 d>0,数列{bn}是递增数列;由图③知:T1=b1=﹣3,T3=0,可判断 d>0,数列{bn}是递增数列.
所以选择②③均可能满足“存在 n,使得 bn>Sn”.
第一种情况:
如果选择条件②即 T1=b1=1,T3=6,可得:d=1,bn=n.
当 n=1,2,3,4,5,6,7 时,bn>Sn 不成立,
当 n=8 时,풃ퟖ = ퟖ,푺ퟖ = ퟖ ― ퟐퟑ―ퟖ<풃ퟖ,
所以 使得 bn>Sn 成立的 n 的最小值为 8.
第二种情况:
如果选择条件③即 T1=b1=﹣3,T3=0,可得:d=3,bn=3n﹣6.
当 n=1,2,3,4 时,bn>Sn 不成立,
当 n=5 时,풃ퟓ = ퟗ,푺ퟓ = ퟖ ― ퟐퟑ―ퟓ<풃ퟓ成立,
所以 使得 bn>Sn 成立的 n 的最小值为 5.
18.某志愿者服务网站在线招募志愿者,当报名人数超过计划招募人数时,将采用随机抽
取的方法招募志愿者,如表记录了 A,B,C,D 四个项目最终的招募情况,其中有两个
数据模糊,记为 a,b.
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B 60 a
C 80 b
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目,记 ξ 为甲同学最终被招募的项目个数,已知 P(ξ=0) =
1
40,P(ξ=4) =
1
10.
(Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率;
(Ⅱ)求 a,b 的值;
(Ⅲ)假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D,试判断 Eξ 如何变
化(结论不要求证明).
【分析】(Ⅰ)由푷(흃 = ퟎ) =
1
40,得 a>60,且 b>80.设事件 A 表示“甲同学被项目A
招募”,则푷(푨) =
50
100 =
1
2;设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”,则푷(푩) =
60
푎 ;设
事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”,则푷(푪) =
80
푏 ;设事件 D 表示“甲同学被项目 D
招募”,则푷(푫) =
160
200 =
4
5,由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ=4”
是对立的,由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率.
(Ⅱ)由题意可知,푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푪푫) = (ퟏ ―
1
2) ⋅ (ퟏ ―
60
푎 ) ⋅ (ퟏ ―
80
푏 ) ⋅ (ퟏ ―
4
5) =
1
40,
푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푪푫) =
1
2 ⋅
60
푎 ⋅
80
푏 ⋅
4
5 =
1
10,由此能求出 a,b.
(Ⅲ)Eξ 变大.
解:(Ⅰ)因为푷(흃 = ퟎ) =
1
40,
所以 a>60,且 b>80.
设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”,由题意可知,푷(푨) =
50
100 =
1
2;
设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”,由题意可知,푷(푩) =
60
푎 ;
设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”,由题意可知,푷(푪) =
80
푏 ;
设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”,由题意可知,푷(푫) =
160
200 =
4
5,
由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ=4”是对立的,所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ퟏ ― 푷(흃 = ퟒ) = ퟏ ―
1
10 =
9
10,
(Ⅱ)由题意可知,푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푪푫) = (ퟏ ―
1
2) ⋅ (ퟏ ―
60
푎 ) ⋅ (ퟏ ―
80
푏 ) ⋅ (ퟏ ―
4
5) =
1
40,
푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푪푫) =
1
2 ⋅
60
푎 ⋅
80
푏 ⋅
4
5 =
1
10,
解得 a=120,b=160.
(Ⅲ)Eξ 变大.
19.已知椭圆 C:푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1(a>b>0)的一个顶点坐标为 A(0,﹣1),离心率为 3
2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若直线 y=k(x﹣1)(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,线段 PQ 的中点
为 M,点 B(1,0),求证:点 M 不在以 AB 为直径的圆上.
【分析】(Ⅰ)利用已知条件列出{풃ퟐ + 풄ퟐ = 풂ퟐ,
푐
푎 =
3
2 ,
풃 = ퟏ,
求出 a,b 然后得到椭圆方程.
(Ⅱ)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).联立直线与椭圆方程,利用
韦达定理以及线段 PQ 的中点为 M,结合向量的数量积,判断点 M 不在以 AB 为直径的
圆上.
【解答】(Ⅰ)解:由题意可知{풃ퟐ + 풄ퟐ = 풂ퟐ,
푐
푎 =
3
2 ,
풃 = ퟏ,
解得{풂 = ퟐ,
풃 = ퟏ,
풄 = ퟑ,
所以椭圆 C 的方程为푥2
4 + 풚ퟐ = ퟏ.
(Ⅱ)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).由{푥2
4 + 풚ퟐ = ퟏ,
풚 = 풌(풙 ― ퟏ),
得 (4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,
所以△=(﹣8k2)2﹣4×(4k2+1)(4k2﹣4)=48k2+16.
所以当 k 为任何实数时,都有△>0.
所以 풙ퟏ + 풙ퟐ =
8푘2
4푘2 + 1
,풙ퟏ풙ퟐ =
4푘2 ― 4
4푘2 + 1
.
因为线段 PQ 的中点为 M,
所以 풙ퟎ =
푥1 + 푥2
2 =
4푘2
4푘2 + 1
,풚ퟎ = 풌(풙ퟎ ― ퟏ) =
―푘
4푘2 + 1
,
因为 B(1,0),
所以 →
푨푴 = (풙ퟎ,풚ퟎ + ퟏ), →
푩푴 = (풙ퟎ ― ퟏ,풚ퟎ).
所以 →
푨푴 ⋅ →
푩푴 = 풙ퟎ(풙ퟎ ― ퟏ) + 풚ퟎ(풚ퟎ + ퟏ) = 풙ퟎ
ퟐ ― 풙ퟎ + 풚ퟎ
ퟐ + 풚ퟎ
= (
4푘2
4푘2 + 1
)ퟐ ―
4푘2
4푘2 + 1
+(
―푘
4푘2 + 1)ퟐ +
―푘
4푘2 + 1
=
―4푘3 ― 3푘2 ― 푘
(4푘2 + 1)2 =
―푘(4푘2 + 3푘 + 1)
(4푘2 + 1)2
= ―푘[4(푘 + 3
8)
2
+ 7
16]
(4푘2 + 1)2
.
又因为 k≠0,ퟒ(풌 +
3
8)ퟐ +
7
16>ퟎ,
所以 →
푨푴 ⋅ →
푩푴 ≠ ퟎ,
所以点 M 不在以 AB 为直径的圆上.
20.已知 f(x)=ex+sinx+ax(a∈一、选择题).
(Ⅰ)当 a=﹣2 时,求证:f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;
(Ⅱ)若对任意 x≥0,f(x)≥1 恒成立,求实数 a 的取值范围;(Ⅲ)若 f(x)有最小值,请直接给出实数 a 的取值范围.
【分析】(I)把 a=﹣2 代入后对函数求导,然后结合单调性与导数关系即可证明;
(II)由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题,结合导数对 a
进行分类讨论可求;
(III)结合最值与极值及导数关系可求.
【解答】(Ⅰ)解:a=﹣2,f'(x)=ex+cosx﹣2,
当 x<0 时,ex<1,cosx≤1,
所以 f'(x)=ex+cosx﹣2<0.
所以 f(x)在(﹣∞,0)上单调递减.
(Ⅱ)解:当 x=0 时,f(x)=1≥1,对于 a∈R,命题成立,
当 x>0 时,设 g(x)=ex+cosx+a,
则 g'(x)=ex﹣sinx.
因为 ex>1,sinx≤1,
所以 g'(x)=ex﹣sinx>1﹣1=0,g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又 g(0)=2+a,
所以 g(x)>2+a.
所以 f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f'(x)>2+a.
①当 a≥﹣2 时,f'(x)>0,
所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为 f(0)=1,
所以 f(x)>1 恒成立.②当 a<﹣2 时,f'(0)=2+a<0,
因为 f'(x)在[0,+∞)上单调递增,
又当 x=ln(2﹣a)时,f'(x)=﹣a+2+cosx+a=2+cosx>0,
所以 存在 x0∈(0,+∞),对于 x∈(0,x0),f'(x)<0 恒成立.
所以 f(x)在(0,x0)上单调递减,
所以 当 x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=1,不合题意.
综上,当 a≥﹣2 时,对于 x≥0,f(x)≥1 恒成立.
(Ⅲ)解:a<0.
21.设数列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知 ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…,
n;j=1,2,…, n),定义 n×n 数表푿(푨,푩) = (풙ퟏퟏ 풙ퟏퟐ ⋯ 풙ퟏ풏
풙ퟐퟏ 풙ퟐퟐ ⋯ 풙ퟐ풏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
풙풏ퟏ 풙풏ퟐ ⋯ 풙풏풏
),其中 xij =
{ퟏ,풂풊 = 풃풋
ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋.
(Ⅰ)若 A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,写出 X(A,B);
(Ⅱ)若 A,B 是不同的数列,求证:n×n 数表 X(A,B)满足“xij=xji(i=1,
2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j)”的充分必要条件为“ ak+bk=1(k=1,2,…,
n)”;
(Ⅲ)若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个,求证:n×n 数表 X(A,B)中 1 的个数不大于
푛2
2
.
【分析】(I)根据 xij = {ퟏ,풂풊 = 풃풋
ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋得出 X(A,B)的各行各列的数值;
(II)根据 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi 证明充分性,根据 a1,b1 的各
种不同取值分类证明必要性;
(III)讨论 ai 的不同取值,计算 X(A,B)的第 i 行中 1 的个数,从而得出 X(A,B)中 1 的总数,利用基本不等式得出结论.
【解答】(Ⅰ)解:푿(푨,푩) = (ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ
ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ
ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ
ퟏ ퟎ ퟏ ퟏ).
(Ⅱ)证明:充分性
若 ak+bk=1(k=1,2,…,n),由于 xij = {ퟏ,풂풊 = 풃풋
ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋,xji = {ퟏ,풂풋 = 풃풊
ퟎ,풂풋 ≠ 풃풊,
令 A:a1,a2,…,an,由此数列 B:1﹣a1,1﹣a2,…,1﹣an.
由于 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi.
从而有 xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j).
必要性
若 xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j).
由于 A,B 是不同的数列,
(1)设 a1=1,b1=0,对任意的正整数 k>1,
①若 x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1,ak=b1=0,
所以 ak+bk=1.
②若 x1k=xk1=0,可得 bk=0,ak=1,
所以 ak+bk=1.
同理可证 a1=0,b1=1 时,有 ak+bk=1(k=1,2,…,n)成立.
(2)设 a1=1,b1=1,对任意的正整数 k>1,
①若 x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1,ak=b1=1,
所以有 ak=bk=1,则 A,B 是相同的数列,不符合要求.
②若 x1k=xk1=0,可得 bk=0,ak=0,所以有 ak=bk,则 A,B 是相同的数列,不符合要求.
同理可证 a1=0,b1=0 时,A,B 是相同的数列,不符合要求.
综上,有 n×n 数表 X(A,B)满足“xij=xji”的充分必要条件为“ak+bk=1(k=1,
2,…,n)”.
(Ⅲ)证明:由于数列 A,B 中的 1 共有 n 个,设 A 中 1 的个数为 p,
由此,A 中 0 的个数为 n﹣p,B 中 1 的个数为 n﹣p,B 中 0 的个数为 p.
若 ai=1,则数表 X(A,B)的第 i 行为数列 B:b1,b2,…,bn,
若 ai=0,则数表 X(A,B)的第 i 行为数列 B:1﹣b1,1﹣b2,…,1﹣bn,
所以 数表 X(A,B)中 1 的个数为풑(풏 ― 풑) + (풏 ― 풑)풑 = ퟐ풑(풏 ― 풑) ≤ ퟐ(
푝 + (푛 ― 푝)
2 )ퟐ =
푛2
2
.
所以 n×n 数表 X(A,B)中 1 的个数不大于푛2
2
.