北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习(二)试题(解析版)
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北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习(二)试题(解析版)

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资料简介
2020 年北京市东城区高考数学二模试卷 一、选择题(共 10 小题). 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,1,2},B={5},那么(∁UA)∪B= (  ) A.{0,1,2} B.{3,4,5} C.{1,4,5} D.{0,1,2,5} 2.已知三个函数 y=x3,y=3x,y=log3x,则(  ) A.定义域都为 R B.值域都为 R C.在其定义域上都是增函数 D.都是奇函数 3.平面直角坐标系中,已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2), 且四边形 ABCD 为平行四边形,那么 D 点的坐标为(  ) A.(3,3) B.(﹣5,1) C.(3,﹣1) D.(﹣3,3) 4.双曲线 C:x2 ― 푦2 푏2 = 1 的渐近线与直线 x=1 交于 A,B 两点,且|AB|=4,那么双曲线 C 的离心率为(  ) A. ퟐ B. ퟑ C.2 D. ퟓ 5.已知函数 f(x)=logax+b 的图象如图所示,那么函数 g(x)=ax+b 的图象可能为(  )A. B. C. D. 6.已知向量→ 풂 = (0,5),→ 풃 = (4,﹣3),→ 풄 = (﹣2,﹣1),那么下列结论正确的是 (  ) A.→ 풂 ― → 풃与→ 풄为共线向量 B.→ 풂 ― → 풃与→ 풄垂直 C.→ 풂 ― → 풃与→ 풂的夹角为钝角 D.→ 풂 ― → 풃与→ 풃的夹角为锐角 7.《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书 中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步=1.5 米)意思是现有扇形田,弧长为 45 米,直径为 24 米,那么扇形田的面积为(  ) A.135 平方米 B.270 平方米 C.540 平方米 D.1080 平方米 8.已知函数 f(x)=lnx+ax2,那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知一个几何体的三视图如图所示,正(主)视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边 拼接而成的,俯视图和侧(左)视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体 的体积是(  )A.1 + 휋 2 B.1 + 휋 4 C.1 + 휋 8 D.1+π 10.函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的最小正周期是 T,已知 f(x) = {풙,풙 ∈ [ퟎ, 푇 4] 푇 2 ― 풙,풙 ∈ ( 푇 4 ― 푇 2] ,g(x)=f(x+a)(a∈R).给出下列四个判断: ①对于给定的正整数 n,存在 a∈R,使得 풏 풊=ퟏ 품( 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ成立; ②当 a = 푇 4时,对于给定的正整数 n,存在 k∈R(k≠1),使得 풏 풊=ퟏ 품(풌 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ成立; ③当 a=k 푇 4(k∈Z)时,函数 g(x)+f(x)既有对称轴又有对称中心; ④当 a=k 푇 4(k∈Z)时,g(x)+f(x)的值只有 0 或푇 4. 其中正确判断的有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分. 11.复数 z = 1 ― 푖 푖 的共轭复数풛为   . 12.已知 cos2α = 1 3,则 cos2(휋 2 + 휶)﹣2cos2(π﹣α)的值为   .13.设 α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列三个结论: ①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中,正确结论的序号为   . 14.从下列四个条件①a = ퟐc;②C = 휋 6;③cosB = ― 2 4 ;④b = ퟕ中选出三个条件,能 使满足所选条件的△ABC 存在且唯一,你选择的三个条件是____(填写相应的序号), 所选三个条件下的 c 的值为   . 15.配件厂计划为某项工程生产一种配件,这种配件每天的需求量是 200 件.由于生产这 种配件时其他生产设备必须停机,并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费,所以需 要周期性生产这种配件,即在一天内生产出这种配件,以满足从这天起连续 n 天的需求, 称 n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天 2 元 (当天生产出的配件不需要支付存储费,从第二天开始付存储费).在长期的生产活动 中,为使每个生产周期内每天平均的总费用最少,那么生产周期 n 为   . 三、解答题共 6 题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.如图①,四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD=1,AD=2,E 为 AD 中 点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图②. (Ⅰ)求证:平面 A1EB⊥平面 A1ED; ( Ⅱ ) 若 ∠ A1ED = 90 ° , 求 A1C 与 平 面 A1BD 所 成 角 的 正 弦 值.17.已知{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,且满足 a3=1,S3=3a2+1.{bn}为等差数列, 其前 n 项和为 Tn,如图_____,Tn 的图象经过 A,B 两个点. (Ⅰ)求 Sn; (Ⅱ)若存在正整数 n,使得 bn>Sn,求 n 的最小值. 从图①,图②,图③中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答. 18.某志愿者服务网站在线招募志愿者,当报名人数超过计划招募人数时,将采用随机抽 取的方法招募志愿者,如表记录了 A,B,C,D 四个项目最终的招募情况,其中有两个 数据模糊,记为 a,b. 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D 160 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目,记 ξ 为甲同学最终被招募的项目个数,已知 P(ξ=0) = 1 40,P(ξ=4) = 1 10. (Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率; (Ⅱ)求 a,b 的值; (Ⅲ)假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D,试判断 Eξ 如何变 化(结论不要求证明). 19.已知椭圆 C:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(a>b>0)的一个顶点坐标为 A(0,﹣1),离心率为 3 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y=k(x﹣1)(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,线段 PQ 的中点 为 M,点 B(1,0),求证:点 M 不在以 AB 为直径的圆上. 20.已知 f(x)=ex+sinx+ax(a∈R). (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求证:f(x)在(﹣∞,0)上单调递减; (Ⅱ)若对任意 x≥0,f(x)≥1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 f(x)有最小值,请直接给出实数 a 的取值范围. 21.设数列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知 ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…, n;j=1,2,…, n),定义 n×n 数表푿(푨,푩) = (풙ퟏퟏ 풙ퟏퟐ ⋯ 풙ퟏ풏 풙ퟐퟏ 풙ퟐퟐ ⋯ 풙ퟐ풏 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 풙풏ퟏ 풙풏ퟐ ⋯ 풙풏풏 ),其中 xij = {ퟏ,풂풊 = 풃풋 ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋. (Ⅰ)若 A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,写出 X(A,B); (Ⅱ)若 A,B 是不同的数列,求证:n×n 数表 X(A,B)满足“xij=xji(i=1, 2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j)”的充分必要条件为“ ak+bk=1(k=1,2,…, n)”; (Ⅲ)若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个,求证:n×n 数表 X(A,B)中 1 的个数不大于푛2 2 .参考答案 一、选择题共 10 题,每题 4 分,共 40 分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项。 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,1,2},B={5},那么(∁UA)∪B= (  ) A.{0,1,2} B.{3,4,5} C.{1,4,5} D.{0,1,2,5} 【分析】进行补集和并集的运算即可. 解:∵U={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},B={5}, ∴∁UA={3,4,5},(∁UA)∪B={3,4,5}. 故选:B. 2.已知三个函数 y=x3,y=3x,y=log3x,则(  ) A.定义域都为 R B.值域都为 R C.在其定义域上都是增函数 D.都是奇函数 【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可. 解:函数 y=log3x 的定义域为(0,+∞),即 A 错误; 函数 y=3x 的值域是(0,+∞),即 B 错误; 函数 y=3x 和 y=log3x 是非奇非偶函数,即 D 错误, 故选:C.3.平面直角坐标系中,已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2), 且四边形 ABCD 为平行四边形,那么 D 点的坐标为(  ) A.(3,3) B.(﹣5,1) C.(3,﹣1) D.(﹣3,3) 【分析】设 D(x,y),由四边形 ABCD 为平行四边形,得 → 푨푫 = → 푩푪,由此能求出 D 点 的坐标. 解:设 D(x,y), ∵点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2), 且四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ → 푨푫 = → 푩푪,∴(x,y﹣1)=(3,2), 解得 x=3,y=3, ∴D 点的坐标为(3,3). 故选:A. 4.双曲线 C:x2 ― 푦2 푏2 = 1 的渐近线与直线 x=1 交于 A,B 两点,且|AB|=4,那么双曲线 C 的离心率为(  ) A. ퟐ B. ퟑ C.2 D. ퟓ 【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程,与直线 x=1 联立求出|AB|的值,进而求出 |b|的值,求出双曲线的离心率. 解:由双曲线的方程可得 a=1,且渐近线的方程为:y=±bx, 与 x=1 联立可得 y=±b,所以|AB|=|2b|, 由题意可得 4=2|b|,解得|b|=2,c2=a2+b2, 所以双曲线的离心率 e = 푐 푎 = 푎2 + 푏2 푎2 = 1 + 4 1 = ퟓ,故选:D. 5.已知函数 f(x)=logax+b 的图象如图所示,那么函数 g(x)=ax+b 的图象可能为(  ) A. B. C. D. 【分析】结合已知函数的图象可知,f(1)=b<﹣1,a>1,结合指数函数的性质及函 数图象的平移可知,y=ax+b 的图象单调递增,且由 y=ax 的图象向下平移超过 1 个单位, 结合选项即可判断. 解:结合已知函数的图象可知,f(1)=b<﹣1,a>1, 结合指数函数的性质及函数图象的平移可知,y=ax+b 的图象单调递增,且由 y=ax 的图 象向下平移超过 1 个单位, 结合选项可知,D 符合题意. 故选:D.6.已知向量→ 풂 = (0,5),→ 풃 = (4,﹣3),→ 풄 = (﹣2,﹣1),那么下列结论正确的是 (  ) A.→ 풂 ― → 풃与→ 풄为共线向量 B.→ 풂 ― → 풃与→ 풄垂直 C.→ 풂 ― → 풃与→ 풂的夹角为钝角 D.→ 풂 ― → 풃与→ 풃的夹角为锐角 【分析】根据题意,求出向量(→ 풂 ― → 풃)的坐标,进而由向量平行、垂直的判断方法分析 可得答案. 解:根据题意,向量→ 풂 = (0,5),→ 풃 = (4,﹣3),→ 풄 = (﹣2,﹣1),则→ 풂 ― → 풃 = (﹣ 4,8), 又由→ 풄 = (﹣2,﹣1),有(﹣4)×(﹣1)≠(﹣2)×8,则(→ 풂 ― → 풃)与→ 풄不是共线 向量, → 풄 = (﹣2,﹣1),则(→ 풂 ― → 풃)•→ 풄 = (﹣4)×(﹣2)+(﹣1)×8=0,则(→ 풂 ― → 풃) 与→ 풄垂直; 故选:B. 7.《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书 中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步=1.5 米)意思是现有扇形田,弧长为 45 米,直径为 24 米,那么扇形田的面积为(  ) A.135 平方米 B.270 平方米 C.540 平方米 D.1080 平方米 【分析】根据扇形的面积公式计算即可. 解:根据扇形的面积公式,计算扇形田的面积为 S = 1 2lr = 1 2 × 45 × 24 2 = 270(平方米). 故选:B.8.已知函数 f(x)=lnx+ax2,那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可. 解:f(x)的定义域是(0,+∞), f′(x) = 1 푥 + 2ax = 2푎푥2 + 1 푥 , a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增, 故 a>0⇒f(x)递增,是充分条件, 由 f(x)递增,得 a>0 或 a=0,不是必要条件, 故选:A. 9.已知一个几何体的三视图如图所示,正(主)视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边 拼接而成的,俯视图和侧(左)视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体 的体积是(  ) A.1 + 휋 2 B.1 + 휋 4 C.1 + 휋 8 D.1+π 【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图,进一步求出几何体的体积. 解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为一个棱长为 1 的正方体和一个底面半径为1 2,高为 1 的半个圆柱. 如图所示: 所以:V = ퟏ × ퟏ × ퟏ + 1 2 × 흅 × ( 1 2)ퟐ × ퟏ = ퟏ + 휋 8. 故选:C. 10.函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的最小正周期是 T,已知 f(x) = {풙,풙 ∈ [ퟎ, 푇 4] 푇 2 ― 풙,풙 ∈ ( 푇 4 ― 푇 2] ,g(x)=f(x+a)(a∈R).给出下列四个判断: ①对于给定的正整数 n,存在 a∈R,使得 풏 풊=ퟏ 품( 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ成立; ②当 a = 푇 4时,对于给定的正整数 n,存在 k∈R(k≠1),使得 풏 풊=ퟏ 품(풌 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ成立; ③当 a=k 푇 4(k∈Z)时,函数 g(x)+f(x)既有对称轴又有对称中心; ④当 a=k 푇 4(k∈Z)时,g(x)+f(x)的值只有 0 或푇 4. 其中正确判断的有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】对于①,易知当풂 = 푇 4时,n∈N•,都符合 풏 풊=ퟏ 품( 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ;对于②,即풇( 푇 푛) ⋅ 품(풌 ⋅ 푇 푛) + 풇( 2푇 푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅ 2푇 푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = ퟎ成立,取 k=0 即可证明结论 成立;对于③④,分别取 k=1,2,3,4,结合函数图象的平移变换即可得出③对④错; 综合即可得出正确选项. 解:对于①,要使 풏 풊=ퟏ 품( 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ成立,即풇( 푇 푛) ⋅ 품( 푇 푛) + 풇( 2푇 푛 ) ⋅ 품( 2푇 푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(푻) = ퟎ, 当풂 = 푇 4时,n∈N•,都符合 풏 풊=ퟏ 품( 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ,故①正确; 对 于 ② , 要 使 풏 풊=ퟏ 품(풌 푖 ⋅ 푇 푛 )풇( 푖 ⋅ 푇 푛 ) = ퟎ成 立 , 即 풇( 푇 푛) ⋅ 품(풌 ⋅ 푇 푛) + 풇( 2푇 푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅ 2푇 푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = ퟎ, 取 k = 0 , 此 时 풇( 푇 푛) ⋅ 품(풌 ⋅ 푇 푛) + 풇( 2푇 푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅ 2푇 푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = 풇( 푇 푛) + 풇( 2푇 푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) = ퟎ,故②正确; 对于③④,当 k=1,k=3 时,g(x)为将 f(x)左移푇 4, 3푇 4 个单位,此时周期变为5푇 4 , 既有对称轴也有对称中心,值域为[ ― 푇 4, 푇 4], 当 k=2 时,g(x)为将 f(x)左移푇 2个单位,此时 g(x)+f(x)=0, 当 k=4 时,g(x)为将 f(x)左移 T 个单位,此时 g(x)+f(x)=2f(x),故③正 确,④错误; 故选:C. 二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分. 11.复数 z = 1 ― 푖 푖 的共轭复数풛为 ﹣1+i . 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案. 解:∵z = 1 ― 푖 푖 = (1 ― 푖)( ― 푖) ― 푖2 = ― ퟏ ― 풊, ∴풛 = ― ퟏ + 풊.故答案为:﹣1+i. 12.已知 cos2α = 1 3,则 cos2(휋 2 + 휶)﹣2cos2(π﹣α)的值为 ﹣1 . 【分析】由 cos2α = 1 3求得 cos2α 的值,再化简并计算所求三角函数值. 解:由 cos2α = 1 3,得 2cos2α﹣1 = 1 3,即 cos2α = 2 3; 所以 cos2(휋 2 + 휶)﹣2cos2(π﹣α)=sin2α﹣2cos2α =1﹣3cos2α =1﹣3 × 2 3 =﹣1. 故答案为:﹣1. 13.设 α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列三个结论: ①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中,正确结论的序号为 ①② . 【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行,可判断①;由同垂直于同一直线的两平面 平行,可判断②;考虑墙角处的三个平面两两垂直,可判断③. 解:α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线, 对于①,若 m⊥α,n⊥α,由同垂直于同一平面的两直线平行,可得 m∥n,故①正确; 对于②,若 m⊥α,m⊥β,由同垂直于同一直线的两平面平行,可得 α∥β,故②正确; 对于③,若 α⊥γ,β⊥γ,考虑墙角处的三个平面两两垂直,可判断 α、β 相交,则 α∥β不正确. 故答案为:①②. 14.从下列四个条件①a = ퟐc;②C = 휋 6;③cosB = ― 2 4 ;④b = ퟕ中选出三个条件,能 使满足所选条件的△ABC 存在且唯一,你选择的三个条件是____(填写相应的序号), 所选三个条件下的 c 的值为 ①③④, 7 2 ,或者②③④, ퟐ . 【分析】由①②结合正弦定理可得, 푎 푠푖푛퐴 = 푐 푠푖푛퐶,可求 sinA,但是 A 不唯一,故所选 条件中不能同时有①②,只能是①③④或②③④, 若选①③④,结合余弦定理可求 c;若选②③④,结合正弦定理即可求解. 解:由①②结合正弦定理可得, 푎 푠푖푛퐴 = 푐 푠푖푛퐶, 所以 sinA = ퟐsinC = 2 2 ,此时 A 不唯一,故所选条件中不能同时有①②, 故只能是①③④或②③④, 若选①③④a = ퟐc,cosB = ― 2 4 ,b = ퟕ, 由余弦定理可得, ― 2 4 = 2푐2 + 푐2 ― 7 2푐 ⋅ 2푐 , 解可得,c = 7 2 ; 若选②③④,C = 휋 6,cosB = ― 2 4 ,b = ퟕ, ∴sinB = 14 4 ,且 B 为钝角, 由正弦定理可得, 7 14 4 = 푐 1 2 , 解可得,c = ퟐ.故答案为①③④, 7 2 ,②③④, ퟐ. 15.配件厂计划为某项工程生产一种配件,这种配件每天的需求量是 200 件.由于生产这 种配件时其他生产设备必须停机,并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费,所以需 要周期性生产这种配件,即在一天内生产出这种配件,以满足从这天起连续 n 天的需求, 称 n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天 2 元 (当天生产出的配件不需要支付存储费,从第二天开始付存储费).在长期的生产活动 中,为使每个生产周期内每天平均的总费用最少,那么生产周期 n 为 5 . 【分析】求出每天的平均费用关于 n 的式子,利用基本不等式得出结论. 解:每个周期内的总费用为 5000+400+400×2+400×3+…+400(n﹣1)=5000+200n(n ﹣1), ∴ 每 个 周 期 内 每 天 的 平 均 费 用 为 : 5000 + 200푛(푛 ― 1) 푛 = 5000 푛 + 200n ﹣ 200 ≥ 2 5000 푛 ⋅ ퟐퟎퟎ풏 ― 200=1800, 当且仅当5000 푛 = 200n 即 n=5 时取等号. 故答案为:5. 三、解答题共 6 题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.如图①,四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD=1,AD=2,E 为 AD 中 点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图②. (Ⅰ)求证:平面 A1EB⊥平面 A1ED; ( Ⅱ ) 若 ∠ A1ED = 90 ° , 求 A1C 与 平 面 A1BD 所 成 角 的 正 弦值. 【分析】(Ⅰ)证明 BE⊥AD.BE⊥A1E,BE⊥DE.然后证明 BE⊥平面 A1DE.即可 证明平面 A1EB⊥平面 A1DE. (Ⅱ)建立以 E 为原点,EB,ED,DA 为 x,y,z 轴的空间直角坐标系 E﹣xyz.求出平 面 A1BD 的法向量,结合 → 푨ퟏ푪 = (ퟏ,ퟏ, ― ퟏ),利用空间向量的数量积求解直线 A1C 与 平面 A1BD 所成角的正弦函数值. 【解答】(Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=1,AD=2,E 为 AD 中点, 所以 BE⊥AD. 故 图②中,BE⊥A1E,BE⊥DE. 又 因为 A1E∩DE=E,A1E,DE⊂平面 A1DE, 所以 BE⊥平面 A1DE. 又 因为 BE⊂平面 A1EB, 所以 平面 A1EB⊥平面 A1DE. (Ⅱ)解:由∠A1ED=90°得 A1E⊥DE, 又 A1E⊥BE,BE⊥DE, 因此,建立如图所示的空间直角坐标系 E﹣xyz. 由 A1E=CD=DE=1,得 A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), → 푨ퟏ푩 = (ퟏ,ퟎ, ― ퟏ ), → 푨ퟏ푫 = (ퟎ,ퟏ, ― ퟏ), 设平面 A1BD 的法向量为→ 풏 = (x,y,z), 则{→ 풏 ⋅ → 푨ퟏ푩 = ퟎ, → 풏 ⋅ → 푨ퟏ푫 = ퟎ, 即{풙 ― 풛 = ퟎ, 풚 ― 풛 = ퟎ,,令 z=1 得 x=1,y=1, 所以→ 풏 = (1,1,1)是平面 A1BD 的一个法向量. 又 → 푨ퟏ푪 = (ퟏ,ퟏ, ― ퟏ), 设直线 A1C 与平面 A1BD 所成角为 θ, 所以풔풊풏휽 = |풄풐풔〈→ 풏, → 푨ퟏ푪〉| = | → 푛 ⋅ → 퐴1퐶| | → 푛|| → 퐴1퐶| = 1 3 ⋅ 3 = 1 3. 17.已知{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,且满足 a3=1,S3=3a2+1.{bn}为等差数列, 其前 n 项和为 Tn,如图_____,Tn 的图象经过 A,B 两个点. (Ⅰ)求 Sn; (Ⅱ)若存在正整数 n,使得 bn>Sn,求 n 的最小值. 从图①,图②,图③中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答.【分析】(Ⅰ)设{an}为公比为 q 的等比数列,运用等比数列的通项公式,解方程可得 首项和公比,再由等比数列的求和公式,可得所求和; (Ⅱ)分别考虑图①、②、③,判断数列{bn}的单调性,选择②③均可能满足“存在 n,使得 bn>Sn”.讨论两种情况,等差数列的通项公式和恒成立思想,即可得到所求最 小值. 解:(Ⅰ)设{an}为公比为 q 的等比数列, 由 a3=1,S3=3a2+1,得 a1=2a2,即 q = 푎2 푎1 = 1 2,a1q2=1, 所以풒 = 1 2,a1=4. 所以푺풏 = 4(1 ― 1 2푛) 1 ― 1 2 = ퟖ(ퟏ ― 1 2푛) = ퟖ ― ퟐퟑ―풏; (Ⅱ)由图①知:T1=b1=1,T3=﹣3,可判断 d<0,数列{bn}是递减数列; 而{8﹣23﹣n}递增,由于 b1<S1, 所以选择①不满足“存在 n,使得 bn>Sn”; 由图②知:T1=b1=1,T3=6,可判断 d>0,数列{bn}是递增数列;由图③知:T1=b1=﹣3,T3=0,可判断 d>0,数列{bn}是递增数列. 所以选择②③均可能满足“存在 n,使得 bn>Sn”. 第一种情况: 如果选择条件②即 T1=b1=1,T3=6,可得:d=1,bn=n. 当 n=1,2,3,4,5,6,7 时,bn>Sn 不成立, 当 n=8 时,풃ퟖ = ퟖ,푺ퟖ = ퟖ ― ퟐퟑ―ퟖ<풃ퟖ, 所以 使得 bn>Sn 成立的 n 的最小值为 8. 第二种情况: 如果选择条件③即 T1=b1=﹣3,T3=0,可得:d=3,bn=3n﹣6. 当 n=1,2,3,4 时,bn>Sn 不成立, 当 n=5 时,풃ퟓ = ퟗ,푺ퟓ = ퟖ ― ퟐퟑ―ퟓ<풃ퟓ成立, 所以 使得 bn>Sn 成立的 n 的最小值为 5. 18.某志愿者服务网站在线招募志愿者,当报名人数超过计划招募人数时,将采用随机抽 取的方法招募志愿者,如表记录了 A,B,C,D 四个项目最终的招募情况,其中有两个 数据模糊,记为 a,b. 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D 160 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目,记 ξ 为甲同学最终被招募的项目个数,已知 P(ξ=0) = 1 40,P(ξ=4) = 1 10. (Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率; (Ⅱ)求 a,b 的值; (Ⅲ)假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D,试判断 Eξ 如何变 化(结论不要求证明). 【分析】(Ⅰ)由푷(흃 = ퟎ) = 1 40,得 a>60,且 b>80.设事件 A 表示“甲同学被项目A 招募”,则푷(푨) = 50 100 = 1 2;设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”,则푷(푩) = 60 푎 ;设 事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”,则푷(푪) = 80 푏 ;设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”,则푷(푫) = 160 200 = 4 5,由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ=4” 是对立的,由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率. (Ⅱ)由题意可知,푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푪푫) = (ퟏ ― 1 2) ⋅ (ퟏ ― 60 푎 ) ⋅ (ퟏ ― 80 푏 ) ⋅ (ퟏ ― 4 5) = 1 40, 푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푪푫) = 1 2 ⋅ 60 푎 ⋅ 80 푏 ⋅ 4 5 = 1 10,由此能求出 a,b. (Ⅲ)Eξ 变大. 解:(Ⅰ)因为푷(흃 = ퟎ) = 1 40, 所以 a>60,且 b>80. 设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”,由题意可知,푷(푨) = 50 100 = 1 2; 设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”,由题意可知,푷(푩) = 60 푎 ; 设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”,由题意可知,푷(푪) = 80 푏 ; 设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”,由题意可知,푷(푫) = 160 200 = 4 5, 由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ=4”是对立的,所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ퟏ ― 푷(흃 = ퟒ) = ퟏ ― 1 10 = 9 10, (Ⅱ)由题意可知,푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푪푫) = (ퟏ ― 1 2) ⋅ (ퟏ ― 60 푎 ) ⋅ (ퟏ ― 80 푏 ) ⋅ (ퟏ ― 4 5) = 1 40, 푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푪푫) = 1 2 ⋅ 60 푎 ⋅ 80 푏 ⋅ 4 5 = 1 10, 解得 a=120,b=160. (Ⅲ)Eξ 变大. 19.已知椭圆 C:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(a>b>0)的一个顶点坐标为 A(0,﹣1),离心率为 3 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y=k(x﹣1)(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,线段 PQ 的中点 为 M,点 B(1,0),求证:点 M 不在以 AB 为直径的圆上. 【分析】(Ⅰ)利用已知条件列出{풃ퟐ + 풄ퟐ = 풂ퟐ, 푐 푎 = 3 2 , 풃 = ퟏ, 求出 a,b 然后得到椭圆方程. (Ⅱ)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).联立直线与椭圆方程,利用 韦达定理以及线段 PQ 的中点为 M,结合向量的数量积,判断点 M 不在以 AB 为直径的 圆上. 【解答】(Ⅰ)解:由题意可知{풃ퟐ + 풄ퟐ = 풂ퟐ, 푐 푎 = 3 2 , 풃 = ퟏ, 解得{풂 = ퟐ, 풃 = ퟏ, 풄 = ퟑ, 所以椭圆 C 的方程为푥2 4 + 풚ퟐ = ퟏ. (Ⅱ)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).由{푥2 4 + 풚ퟐ = ퟏ, 풚 = 풌(풙 ― ퟏ), 得 (4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0, 所以△=(﹣8k2)2﹣4×(4k2+1)(4k2﹣4)=48k2+16. 所以当 k 为任何实数时,都有△>0. 所以 풙ퟏ + 풙ퟐ = 8푘2 4푘2 + 1 ,풙ퟏ풙ퟐ = 4푘2 ― 4 4푘2 + 1 . 因为线段 PQ 的中点为 M, 所以 풙ퟎ = 푥1 + 푥2 2 = 4푘2 4푘2 + 1 ,풚ퟎ = 풌(풙ퟎ ― ퟏ) = ―푘 4푘2 + 1 , 因为 B(1,0), 所以 → 푨푴 = (풙ퟎ,풚ퟎ + ퟏ), → 푩푴 = (풙ퟎ ― ퟏ,풚ퟎ). 所以 → 푨푴 ⋅ → 푩푴 = 풙ퟎ(풙ퟎ ― ퟏ) + 풚ퟎ(풚ퟎ + ퟏ) = 풙ퟎ ퟐ ― 풙ퟎ + 풚ퟎ ퟐ + 풚ퟎ = ( 4푘2 4푘2 + 1 )ퟐ ― 4푘2 4푘2 + 1 +( ―푘 4푘2 + 1)ퟐ + ―푘 4푘2 + 1 = ―4푘3 ― 3푘2 ― 푘 (4푘2 + 1)2 = ―푘(4푘2 + 3푘 + 1) (4푘2 + 1)2 = ―푘[4(푘 + 3 8) 2 + 7 16] (4푘2 + 1)2 . 又因为 k≠0,ퟒ(풌 + 3 8)ퟐ + 7 16>ퟎ, 所以 → 푨푴 ⋅ → 푩푴 ≠ ퟎ, 所以点 M 不在以 AB 为直径的圆上. 20.已知 f(x)=ex+sinx+ax(a∈一、选择题). (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求证:f(x)在(﹣∞,0)上单调递减; (Ⅱ)若对任意 x≥0,f(x)≥1 恒成立,求实数 a 的取值范围;(Ⅲ)若 f(x)有最小值,请直接给出实数 a 的取值范围. 【分析】(I)把 a=﹣2 代入后对函数求导,然后结合单调性与导数关系即可证明; (II)由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题,结合导数对 a 进行分类讨论可求; (III)结合最值与极值及导数关系可求. 【解答】(Ⅰ)解:a=﹣2,f'(x)=ex+cosx﹣2, 当 x<0 时,ex<1,cosx≤1, 所以 f'(x)=ex+cosx﹣2<0. 所以 f(x)在(﹣∞,0)上单调递减. (Ⅱ)解:当 x=0 时,f(x)=1≥1,对于 a∈R,命题成立, 当 x>0 时,设 g(x)=ex+cosx+a, 则 g'(x)=ex﹣sinx. 因为 ex>1,sinx≤1, 所以 g'(x)=ex﹣sinx>1﹣1=0,g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又 g(0)=2+a, 所以 g(x)>2+a. 所以 f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f'(x)>2+a. ①当 a≥﹣2 时,f'(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为 f(0)=1, 所以 f(x)>1 恒成立.②当 a<﹣2 时,f'(0)=2+a<0, 因为 f'(x)在[0,+∞)上单调递增, 又当 x=ln(2﹣a)时,f'(x)=﹣a+2+cosx+a=2+cosx>0, 所以 存在 x0∈(0,+∞),对于 x∈(0,x0),f'(x)<0 恒成立. 所以 f(x)在(0,x0)上单调递减, 所以 当 x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=1,不合题意. 综上,当 a≥﹣2 时,对于 x≥0,f(x)≥1 恒成立. (Ⅲ)解:a<0. 21.设数列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知 ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…, n;j=1,2,…, n),定义 n×n 数表푿(푨,푩) = (풙ퟏퟏ 풙ퟏퟐ ⋯ 풙ퟏ풏 풙ퟐퟏ 풙ퟐퟐ ⋯ 풙ퟐ풏 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 풙풏ퟏ 풙풏ퟐ ⋯ 풙풏풏 ),其中 xij = {ퟏ,풂풊 = 풃풋 ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋. (Ⅰ)若 A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,写出 X(A,B); (Ⅱ)若 A,B 是不同的数列,求证:n×n 数表 X(A,B)满足“xij=xji(i=1, 2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j)”的充分必要条件为“ ak+bk=1(k=1,2,…, n)”; (Ⅲ)若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个,求证:n×n 数表 X(A,B)中 1 的个数不大于 푛2 2 . 【分析】(I)根据 xij = {ퟏ,풂풊 = 풃풋 ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋得出 X(A,B)的各行各列的数值; (II)根据 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi 证明充分性,根据 a1,b1 的各 种不同取值分类证明必要性; (III)讨论 ai 的不同取值,计算 X(A,B)的第 i 行中 1 的个数,从而得出 X(A,B)中 1 的总数,利用基本不等式得出结论. 【解答】(Ⅰ)解:푿(푨,푩) = (ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ ퟏ ퟎ ퟏ ퟏ). (Ⅱ)证明:充分性 若 ak+bk=1(k=1,2,…,n),由于 xij = {ퟏ,풂풊 = 풃풋 ퟎ,풂풊 ≠ 풃풋,xji = {ퟏ,풂풋 = 풃풊 ퟎ,풂풋 ≠ 풃풊, 令 A:a1,a2,…,an,由此数列 B:1﹣a1,1﹣a2,…,1﹣an. 由于 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi. 从而有 xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j). 必要性 若 xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;i≠j). 由于 A,B 是不同的数列, (1)设 a1=1,b1=0,对任意的正整数 k>1, ①若 x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1,ak=b1=0, 所以 ak+bk=1. ②若 x1k=xk1=0,可得 bk=0,ak=1, 所以 ak+bk=1. 同理可证 a1=0,b1=1 时,有 ak+bk=1(k=1,2,…,n)成立. (2)设 a1=1,b1=1,对任意的正整数 k>1, ①若 x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1,ak=b1=1, 所以有 ak=bk=1,则 A,B 是相同的数列,不符合要求. ②若 x1k=xk1=0,可得 bk=0,ak=0,所以有 ak=bk,则 A,B 是相同的数列,不符合要求. 同理可证 a1=0,b1=0 时,A,B 是相同的数列,不符合要求. 综上,有 n×n 数表 X(A,B)满足“xij=xji”的充分必要条件为“ak+bk=1(k=1, 2,…,n)”. (Ⅲ)证明:由于数列 A,B 中的 1 共有 n 个,设 A 中 1 的个数为 p, 由此,A 中 0 的个数为 n﹣p,B 中 1 的个数为 n﹣p,B 中 0 的个数为 p. 若 ai=1,则数表 X(A,B)的第 i 行为数列 B:b1,b2,…,bn, 若 ai=0,则数表 X(A,B)的第 i 行为数列 B:1﹣b1,1﹣b2,…,1﹣bn, 所以 数表 X(A,B)中 1 的个数为풑(풏 ― 풑) + (풏 ― 풑)풑 = ퟐ풑(풏 ― 풑) ≤ ퟐ( 푝 + (푛 ― 푝) 2 )ퟐ = 푛2 2 . 所以 n×n 数表 X(A,B)中 1 的个数不大于푛2 2 .

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