1
2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（四）
本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 若集合 ，集合 , 则
（A） （B） （C） （D）
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知数列 满足 ，则
（A） （B） （C） （D）
4. 将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5. 已知直线 与圆 相交于 两点,且 为正三角形,则实数
的值为
{ }02 = xxB =BA
R ( )2,∞− ( )2,0 ( )+∞,2
(0, )+∞
( ) ln | |f x x= ( ) 2 xf x −=
3( )f x x= 2( )f x x= −
{ }na 1 2 3 22 ( 1,2,3, )na a a a a n+ + + + = =
01 a 21 aa ≠ 02 =a
sin(2 )6y x
π= +
6
π
sin 2y x= cos2y x=
sin(2 )3y x
π= + sin(2 )6y x
π= −
0x y m− + = 2 2: 1O x y+ = ,A B OAB
m2
（A） （B） （C） 或 （D） 或
6. 设 是不为零的实数,则“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 在 中, , 是 边的中点,则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:
①三棱锥的体积为
②三棱锥的四个面全是直角三角形
③三棱锥四个面的面积中最大的是
所有正确的说法是
（A）① （B）①③ （C）①② （D）②③
9. 已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则 的值分别为
（A） （B）
（C） （D）
10. 已知正方体 的棱长为 2, 分别是棱 的中点,点 在平面
内,点 在线段 上.若 ,则 长度的最小值为
3
2
6
2
3
2
3
2
− 6
2
6
2
−
m 0m >
2 2
1x y
m m
− =
ABC 1AB AC= = D AC BD CD⋅
3 1( , )4 4
− 1( , )4
−∞ 3( ,+ )4
− ∞ 1 3( )4 4
，
1
6
3
2
)sin(
1)( ϕ+ω=
xxf 0, 2
ω φ π> < ϕω,
1, 6
π
1, 6
π− 2, 3
π
2, 3
π−
1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1BC C D、 P
1 1 1 1A B C D Q 1A N 5PM = PQ3
（A） （B）
（C） （D）
2 1− 2
3 5 15
− 3 5
54
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11） 复数
（12）已知公差为1的等差数列 中, 成等比数列,则 的前100项的和为 .
（13）设抛物线 的顶点为 ,经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛物线
交于 两点,则 .
（ 14 ） 函 数 的 最 大 值 为 ; 若 函 数 的 图 象 与 直 线
有且只有一个公共点,则实数 的取值范围是 .
（15）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列四个结论：
①f(0)＝0；
②若 f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则 f(x)在(－∞，0]上有最大值 1；
③若 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则 f(x)在(－∞，－1]上为减函数；
④若 x＞0 时，f(x)＝x2－x，则 x＜0 时，f(x)＝－x2－x；
⑤若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的 f(x)有无数多个；
其中正确结论的为__________.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其
他得 3 分.
._____1
2 共轭复数的模长是
i
i
+
{ }na 1 2 4, ,a a a { }na ______
2: 4C y x= O C x C
,A B | | ______OA OB+ =
2 , 0,( )
(2 ), 0
x xf x
x x x
≤= − >
______ ( )f x
( 1)y k x= − k ______5
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.(本小题满分 14 分)
现在给出三个条件： ① ；② ；③ .试从中选出两个条件，补充
在下面的问题中，使其能够确定 ，并以此为依据，求 的面积.
在 中，角 的对边分别为 ， ， ,且满足
,求 的面积.
（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
2a =
4B
π= 3c b=
ABC∆ ABC∆
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
3sin cos3a C c A= ABC∆6
17. （本小题满分 14 分）
如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ， 平 面 平 面 , ，
分别是 AC，A1B1 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.
1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC ⊥ ABC 90ABC∠ = °
1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = =
EF BC⊥7
（18）（本小题满分 14 分）8
在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种
职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用
分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统
计图:
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值;
（Ⅱ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率;
（Ⅲ）某研究机构提出,可以选取常数 ,若一名从业者该项身体指标检测
值大于 ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 ,则判断其未患有这种职业病.
从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错
误的概率最小的 的值及相应的概率（只需写出结论）.
*
0 0.5 ( )X n n= + ∈N
0X 0X
0X9
19. （本小题满分 15 分）
已知函数 , .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线的斜率;
（Ⅱ）判断方程 （ 为 的导数）在区间 内的根的个数,说明理由;
（Ⅲ）若函数 在区间 内有且只有一个极值点,求 的取值范围.
( ) cosf x x x a= + a∈R
( )y f x=
2x
π=
( ) 0f x′ = ( )f x′ ( )f x (0,1)
( ) sin cosF x x x x ax= + + (0,1) a10
20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C1：푥2
푎2+푦2
푏2=1（a＞b＞0）的离心率为 2
2 ，右焦点 F 是抛物线 C2：y2=2px
（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线 C2 上．
（1）求椭圆 C1 的方程；
（2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1 于 A，B 两点，M（0，2），直线 AM 与 BM
的斜率乘积为﹣
1
2，若在椭圆上存在点 N，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最
小值．11
21.（本小题满分 14 分）
给定数列 .对 ，该数列前 项 的最小值记为 ，
后 项 的最大值记为 ，令 .
（I）设数列 为 写出 的值；
1 2, , , na a a⋅⋅⋅ 1,2, , 1i n= ⋅⋅⋅ − i 1 2, , , ia a a⋅⋅⋅ iA
n i− 1 2, , ,i i na a a+ + ⋅⋅⋅ iB i i id B A= −
{ }na 2,1,6,3, 1 2 3, ,d d d12
（II）设 是等比数列，公比 ，且 ，证明：
是等比数列；
（III）设 是公差大于 的等差数列，且 ，证明： 是等差
数列.
1 2, , , na a a⋅⋅⋅ ( 4)n ≥ 0 1q< < 1 0a > 1 2 1, , , nd d d −⋅⋅⋅
1 2 1, , , nd d d −⋅⋅⋅ 0 1 0d > 1 2 1, , , na a a −⋅⋅⋅13
2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（四）
本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 若集合 ，集合 , 则
（A） （B） （C） （D）
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知数列 满足 ，则
（A） （B） （C） （D）
4. 将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5. 已知直线 与圆 相交于 两点,且 为正三角形,则实数
的值为
{ }02 = xxB =BA
R ( )2,∞− ( )2,0 ( )+∞,2
(0, )+∞
( ) ln | |f x x= ( ) 2 xf x −=
3( )f x x= 2( )f x x= −
{ }na 1 2 3 22 ( 1,2,3, )na a a a a n+ + + + = =
01 a 21 aa ≠ 02 =a
sin(2 )6y x
π= +
6
π
sin 2y x= cos2y x=
sin(2 )3y x
π= + sin(2 )6y x
π= −
0x y m− + = 2 2: 1O x y+ = ,A B OAB
m14
（A） （B） （C） 或 （D） 或
6. 设 是不为零的实数,则“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 在 中, , 是 边的中点,则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:
①三棱锥的体积为
②三棱锥的四个面全是直角三角形
③三棱锥四个面的面积中最大的是
所有正确的说法是
（A）① （B）①③ （C）①② （D）②③
10. 已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则 的值分别
为
（A） （B）
（C） （D）
10. 已知正方体 的棱长为 2, 分别是棱 的中点,点 在平面
内,点 在线段 上.若 ,则 长度的最小值为
3
2
6
2
3
2
3
2
− 6
2
6
2
−
m 0m >
2 2
1x y
m m
− =
ABC 1AB AC= = D AC BD CD⋅
3 1( , )4 4
− 1( , )4
−∞ 3( ,+ )4
− ∞ 1 3( )4 4
，
1
6
3
2
)sin(
1)( ϕ+ω=
xxf 0, 2
ω φ π> < ϕω,
1, 6
π
1, 6
π− 2, 3
π
2, 3
π−
1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1BC C D、 P
1 1 1 1A B C D Q 1A N 5PM = PQ15
（A） （B）
（C） （D）
2 1− 2
3 5 15
− 3 5
516
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11） 复数
（12）已知公差为1的等差数列 中, 成等比数列,则 的前100项的和为 .
答案
（14）设抛物线 的顶点为 ,经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛物线
交于 两点,则 .
答案 2
（ 14 ） 函 数 的 最 大 值 为 ; 若 函 数 的 图 象 与 直 线
有且只有一个公共点,则实数 的取值范围是 .
答案
（15）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列四个结论：
①f(0)＝0；
②若 f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则 f(x)在(－∞，0]上有最大值 1；
③若 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则 f(x)在(－∞，－1]上为减函数；
④若 x＞0 时，f(x)＝x2－x，则 x＜0 时，f(x)＝－x2－x；
⑤若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的 f(x)有无数多个；
其中正确结论的为__________.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其
._____1
2 共轭复数的模长是
i
i
+
答案 2
{ }na 1 2 4, ,a a a { }na ______
5050
2: 4C y x= O C x C
,A B | | ______OA OB+ =
2 , 0,( )
(2 ), 0
x xf x
x x x
≤= − >
______ ( )f x
( 1)y k x= − k ______
[ )∞+，， 1117
他得 3 分.
答案 ①②④⑤
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.(本小题满分 14 分)
现在给出三个条件： ① ；② ；③ .试从中选出两个条件，补充
在下面的问题中，使其能够确定 ，并以此为依据，求 的面积.
在 中，角 的对边分别为 ， ， ,且满足
,求 的面积.
（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
解：因为 ，且 ,所以 ,
又因为 ，所以 ，即： ， .
若选①②： ,则 ， ；
2a =
4B
π= 3c b=
ABC∆ ABC∆
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
3sin cos3a C c A= ABC∆
3sin cos3a C c A=
sin sin
a c
A C
= 3sin sin sin cos3A C C A=
sin 0C ≠ 3sin cos3A A= 3tan , (0, )3A A π= ∈
6A
π=
sin sin
a b
A B
= 2
sin sin6 4
b
π π= 2 2b =
1 2 3 2 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 2 2 2 2 4C A B A B A B
+= + = + = × + × =
1 1 6 2sin 2 2 2 3 12 2 4ABCS ab C
+= = × × × = +
18
若选①③：因为 ,且 所以 ，
解得：
若选②③：
,
.
而 与 矛盾，所以不能同时选②③.
17. （本小题满分 14 分）
如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ， 平 面 平 面 , ，
分别是 AC，A1B1 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.
解：方法一：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 3c b= 2 2 34 3 2 3 2b b b b= + − × ×
2, 2 3b c= =
1 1 1sin 2 2 3 32 2 2ABCS bc A= = × × × =
5
12C A B
ππ= − − =
1 2 3 2 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 2 2 2 2 4C A B A B A B
+= + = + = × + × =
6 2
4sin 3 1 3sin 22
2
C
B
+=
+
= ≠ 3c b=
1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC ⊥ ABC 90ABC∠ = °
1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = =
EF BC⊥19
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．
所以BC⊥平面A1EF．
因此EF⊥BC．
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
⊂
3 3
1 15
2 2
AGEO OG= = =
2 2 2 3cos 2 5
EO OG EGEOG EO OG
+ −∠ = =⋅
3
5
⊂20
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–
xyz．
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ，
，C(0，2，0)．
因此， ， ．
由 得 ．
（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由（1）可得 ．
设平面A1BC的法向量为n ，
由 ，得 ，
取n ，故 ，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 ．
（18）（本小题满分 14 分）
3 3 1( 3,3,2 3)B
3 3( , ,2 3)2 2F
3 3( , ,2 3)2 2EF = ( 3,1,0)BC = −
0EF BC⋅ = EF BC⊥
1=( 3 1 0) =(0 2 2 3)BC A C− − ，， ， ， ，
( )x y z= ， ，
1
0
0
BC
AC
⋅ = ⋅ =
n
n
3 0
3 0
x y
y z
− + =
− =
(1 3 1)= ， ， | | 4sin | cos | = 5| | |
EFEF
EF
θ ⋅= =
⋅
， nn
n |
3
521
在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种
职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用
分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统
计图:
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值;
（Ⅱ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率;
（Ⅲ）某研究机构提出,可以选取常数 ,若一名从业者该项身体指标检测
值大于 ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 ,则判断其未患有这种职业病.
从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错
误的概率最小的 的值及相应的概率（只需写出结论）.
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则,容量为 100 的样本中,患病者的人数为 人.
,
.
（Ⅱ）指标检测数据为 4 的样本中,
有患病者 人,未患病者 人.
设事件 A 为“从中随机选择 2 人,其中有患病者”.
则 ,
所以 .
*
0 0.5 ( )X n n= + ∈N
0X 0X
0X
3.4100 408.5
× =
1 0.10 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05a = − − − − − =
1 0.10 0.20 0.30 0.40b = − − − =
40 0.20 8× = 60 0.15 9× =
2
9
2
17
C 9(A) C 34P = =
25(A) 1 (A) 34P P= − =22
（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的 .
当 时,判断错误的概率为 .
19. （本小题满分 15 分）
已知函数 , .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线的斜率;
（Ⅱ）判断方程 （ 为 的导数）在区间 内的根的个数,说明理由;
（Ⅲ）若函数 在区间 内有且只有一个极值点,求 的取值范围.
解:（Ⅰ） . .
（Ⅱ）设 , .
当 时, ,则函数 为减函数.
又因为 , ,
所以有且只有一个 ,使 成立.
所以函数 在区间 内有且只有一个零点.即方程 在区间 内有且只有一
个实数根.
（Ⅲ）若函数 在区间 内有且只有一个极值点,由于 ,
即 在区间 内有且只有一个零点 ,且 在 两侧异号.
因为当 时,函数 为减函数,所以在 上, ,即 成立,函
数 为增函数;
在 上, ,即 成立,函数 为减函数,
0 4.5X =
0 4.5X = 21
100
( ) cosf x x x a= + a∈R
( )y f x=
2x
π=
( ) 0f x′ = ( )f x′ ( )f x (0,1)
( ) sin cosF x x x x ax= + + (0,1) a
( ) cos sinf x x x x′ = − π π( )2 2k f ′= = −
( ) ( )g x f x′= ( ) sin (sin cos ) 2sin cosg x x x x x x x x′ = − − + = − −
(0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
(0) 1 0g = > (1) cos1 sin1 0g = − <
0 (0,1)x ∈ 0( ) 0g x =
( )g x (0,1) ( ) 0f x′ = (0,1)
( ) sin cosF x x x x ax= + + (0,1) ( ) ( )F x f x′ =
( ) cosf x x x a= + (0,1) 1x ( )f x 1x
(0,1)x∈ ( )g x 0(0, )x 0( ) ( ) 0g x g x> = ( ) 0f x′ >
( )f x
0( ,1)x 0( ) ( ) 0g x g x< = ( ) 0f x′ < ( )f x23
则函数 在 处取得极大值 .
当 时,虽然函数 在区间 内有且只有一个零点 ,但 在 两侧同号,不
满足 在区间 内有且只有一个极值点的要求.
由于 , ,显然 .
若函数 在区间 内有且只有一个零点 ,且 在 两侧异号,则只需满足:
即
解得 .
20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C1：푥2
푎2+푦2
푏2=1（a＞b＞0）的离心率为 2
2 ，右焦点 F 是抛物线 C2：y2=2px
（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线 C2 上．
（1）求椭圆 C1 的方程；
（2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1 于 A，B 两点，M（0，2），直线 AM 与 BM
的斜率乘积为﹣
1
2，若在椭圆上存在点 N，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最
小值．
解：（1）∵点（2，4）在抛物线 y2=2px 上，
∴16=4p，
解得 p=4，
0x
( )f x 0x x= 0( )f x
0( ) 0f x = ( )f x (0,1) ( )f x 0x
( )F x (0,1)
(1) cos1f a= + (0)f a= (1) (0)f f>
( )f x (0,1) 1x ( )f x 1x
(0) 0,
(1) 0,
f
f
1 2 1, , , na a a −⋅⋅⋅
1 4d = 2 5d = 3 2d =
1 0a > 0 1q< < 1 2, , , na a a
1, 2, , 1i n= − 1,i i i iA a B a += =
1, 2, , 1i n= −
1i i i i id B A a a+= − = − 1
1( 1) ia q q −= −
0id ≠ 1i
i
d qd
+ = 1,2, , 2i n= −
1 2 1, , , nd d d −
d 1 2 1, , , nd d d −⋅⋅⋅ 0d >
1 2i n −≤ ≤ 1i iB B +≥
1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A+ + + += − ≤ − = − − < − = 1i iA A+ <
1 1min{ , }i i iA A a+ += 1 1i i i ia A A a+ += < ≤
1 2 1, , , na a a − i iA a= 1,2, , 1i n= −
1 1 1 1 1 1+ +B A d a d a= = > 1 1 2 1nB a a a −> > > >27
因此 ．
所以 ． ．
因此对 都有 ，
即 是等差数列． ----------------14 分
1na B=
1 2 1n nB B B a−= = = = i i i i n ia A B d a d= = − = −
1,2, , 2i n= − 1 +1i i i ia a d d d+ − = − = −
1 2 1, , , na a a −
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