1
2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（五）
本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合 , ，则 =
（A） （B） （C） （D）
2. 下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是
（A） （B） （C） （D）
3. 已知函数 ,则“ ”是“ 为奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 函数 在区间 上的零点之和是
（A） （B） （C） （D）
5. 已知函数 是定义域为 的奇函数,且 ,那么
（A） （B） （C） （D）
6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面中最大面积是
（A）
（B）
（C）
（D）
{ }0,1,2A = 2{ | 3}B x x= < A B
φ { 1,0,1}− {0,1,2} {0,1}
1y x
= − lny x= siny x= 1, 0
1, 0
x xy x x
+ >= − > , , 2a b −
a b+
7 6 5
xxy 33 −= )2,1( −
1 2 3 4
1111 DCBAABCD − 1 ABCD M BCMN ⊥
N 1|||| 22
1 =− MNMA M
i Z iZi =− )1( Z Z ______
0, 0x y> > 2 4 4x y⋅ = xy ______
ABCD E DC AB AC AEλ µ= +
λ µ+ ______
( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x⋅
E
A B
CD3
例如当 且 时, 不是增函数.
（15）已知函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列三个结论：
① 的单调递减区间是 ；
②函数 在 处取得极小值；
③ .
正确的结论是____________
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.(本小题满分 14 分)
已知_________，函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（Ⅰ）若 且 ，求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递减区间．
在①函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，
图象关于原点对称；
②向量 ， ；
③函数
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
( )f x = ______ ( )g x = ______ ( ) ( )f x g x⋅
cbxaxxxf +++= 23)( )(xfy ′=
)(xf )3,1(
)(xf 1=x
9,6 =−= ba
( )f x
2
π
0 2
πθ< < ， 2sin 2
θ = ( )f θ
( )f x [ ]0,2π
( ) ( )1 sin 2 0,2 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > = ⋅
( ) 1cos sin 6 4f x x x
πω ω = + −
( )0ω >4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17. （本小题满分 14 分）
已知 为直角梯形， ，
平面 ， ， .
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值.
ABCD 90=∠=∠ ABCDAB
⊥SA ABCD 1=AD 2=== BCABSA
AB SC
SA SCD
CSDA −−56
（18）（本小题满分 14 分）
2020 年我国全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米.下表
为 2007 年—2016 年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位:平方米.
（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取一年数据,试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的
概率;
（Ⅱ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米
的概率;
（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记 2012—2016 年中城镇人均
住房面积的方差为 ,农村人均住房面积的方差为 ,判断 与 的大小.（只需写出结论）.
（注:方差 ,其中 为 ,…… 的平均数）
2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年
城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6
农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8
2
1s 2
2s 2
1s 2
2s
2 2 2 2
1 2
1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn
= − + − + + − x 1x 2x nx7
19. （本小题满分 15 分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
（Ⅱ）求函数 的单调区间;
（Ⅲ）当 时,求函数 在上区间 零点的个数.
ln( ) 1x af x x
+= −
1a = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x
1a ≤ ( )f x ( ]0,e8
20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 的焦点为 和 ，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 .C )0,2(− )0,2( 249
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于 两点.当 变化时，求 面积的最大值（
为坐标原点）.
C
)(: Rmmxyl ∈+= C BA, m AOB∆ O10
21.（本小题满分 14 分）
已知集合 .
对于 ,定义 与 之间的距离为 .
（Ⅰ） ,写出所有 的 ;
（Ⅱ）任取固定的元素 ,计算集合 中元素个数;
（Ⅲ）设 , 中有 个元素,记 中所有不同元素间的距离的最小值为 .
证明: .
1 2{ | ( , , ), {0,1}, 1,2, , }n n iS X X x x x x i n= = ∈ = … ， ( 2)n ≥
1 2 1 2( , , , ), ( , , )n n nA a a a B b b b S= = ∈ … A B
1
( , ) | |
n
i i
i
d A B a b
=
= −∑
nI S∈ { | ( , ) }(1 )k nM A S d A I k k n= ∈ ≤ ≤ ≤
nP S⊆ P ( 2)m m ≥ P d
12n dm − +≤
2,A B S∀ ∈ ( , ) 2d A B = ,A B11
2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（五）
本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合 , ，则 =
（A） （B） （C） （D）
2. 下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是
（A） （B） （C） （D）
3. 已知函数 ,则“ ”是“ 为奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 函数 在区间 上的零点之和是
（A） （B） （C） （D）
5. 已知函数 是定义域为 的奇函数,且 ,那么
（A） （B） （C） （D）
6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面中最大面积是
（A）
（B）
{ }0,1,2A = 2{ | 3}B x x= < A B
φ { 1,0,1}− {0,1,2} {0,1}
1y x
= − lny x= siny x= 1, 0
1, 0
x xy x x
+ >= − > , , 2a b −
a b+
7 6 5
xxy 33 −= )2,1( −
1 2 3 4
1111 DCBAABCD − 1 ABCD M BCMN ⊥
N 1|||| 22
1 =− MNMA M13
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11） 设 为虚数单位,如果复数 满足 ,那么 的共轭复数 的模长为 .
答案
（12）已知 ,且 ，则 的最大值为 .
答案
（15）如右图,正方形 中, 为 的中点,若 ,
则 的值为 .
答案 8
（16）已知 和 在定义域内均为增函数,但 不一定是增函数,
例如当 且 时, 不是增函数.
答案 （答案不唯一）
（15）已知函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列三个结论：
① 的单调递减区间是 ；
②函数 在 处取得极小值；
③ .
正确的结论是____________
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.
答案 ①③
i Z iZi =− )1( Z Z ______
2
2
0, 0x y> > 2 4 4x y⋅ = xy ______
1
2
ABCD E DC AB AC AEλ µ= +
λ µ+ ______
( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x⋅
( )f x = ______ ( )g x = ______ ( ) ( )f x g x⋅
3)(,)( xxgxxf ==
cbxaxxxf +++= 23)( )(xfy ′=
)(xf )3,1(
)(xf 1=x
9,6 =−= ba
E
A B
CD14
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.(本小题满分 14 分)
已知_________，函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（Ⅰ）若 且 ，求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递减区间．
在①函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，
图象关于原点对称；
②向量 ， ；
③函数
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解方案一： 选条件①
( )f x
2
π
0 2
πθ< < ， 2sin 2
θ = ( )f θ
( )f x [ ]0,2π
( ) ( )1 sin 2 0,2 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > = ⋅
( ) 1cos sin 6 4f x x x
πω ω = + −
( )0ω >15
由题意可知， ，
， ，
又函数 图象关于原点对称， ，
， ， ，
（Ⅰ） ， ， ；
（Ⅱ）由 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
函数 在 上的单调递减区间为 ．
方案二：选条件②
，
，又 ， ， ，
（Ⅰ） ， ， ；
2
2T
π πω= = 1ω∴ =
( ) ( )1 sin 22f x x ϕ∴ = + ( ) 1 sin 22 6g x x
πϕ ∴ = + −
( )g x ,6k k Z
πϕ π∴ = + ∈
2
πϕ =<
SCAB
SCABSCAB
AB SC 3
3
)1,1,1(2)2,2,2( −=−=SC )0,1,2(=DC
SCD ),,( zyxm = 0· =SCm 0· =DCm
0)1,1,1(·),,( =−zyx 0)0,1,2(·),,( =zyx
=+
=−+
02
0
yx
zyx 1=x )1,2,1( −−=m
)1,0,0(2)2,0,0( −=−=SA 6
6
6
1
||||
·m,cos ==>=<
SAm
SASAm
18
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………8 分
（Ⅲ）平面 的法向量 ，
平面 的法向量 .
.
由图形可知二面角 的大小为钝角，
所以二面角 的余弦值为 . ………14 分
（18）（本小题满分 14 分）
2020 年我国全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米.下
表为 2007 年—2016 年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位:平方米.
（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取一年数据,试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的
概率;
（Ⅱ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米
的概率;
2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年
城
镇
18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6
农
村
23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8
SA SCD 6
6
SCD )1,2,1( −−=m
SAD )0,0,1(=n
6
6
6
1
||||
n·m,cos ==>=<
nmnm
CSDA −−
CSDA −−
6
6−19
（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记 2012—2016 年中城镇人
均住房面积的方差为 ,农村人均住房面积的方差为 ,判断 与 的大小.（只需写出结
论）.
（注:方差 ,其中 为 ,…… 的平均数）
解（Ⅰ）记事件 为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准
所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为
（Ⅱ）随机抽取连续两年数据:共 9 次.
两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米:共 5 次.
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米”为事件 ,
因此
（Ⅲ） .
19. （本小题满分 15 分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
（Ⅱ）求函数 的单调区间;
（Ⅲ）当 时,求函数 在上区间 零点的个数.
解（Ⅰ）当 时, ,
,
,切点 ,
2
1s 2
2s 2
1s 2
2s
2 2 2 2
1 2
1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn
= − + − + + − x 1x 2x nx
A
2( ) 5P A =
2
5
A
5( ) 9P A =
2
1s < 2
2s
ln( ) 1x af x x
+= −
1a = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x
1a ≤ ( )f x ( ]0,e
1a = 2
ln( ) xf x x
−′ =
(1) 0f ′ = 0k∴ =
(1) 0f = (1,0)20
切线方程是 .
（Ⅱ） ,
令 ,
、 及 的变化情况如下
0
增 减
所以, 在区间 上单调递增,
在区间 上单调递减
（Ⅲ）法一:由（Ⅱ）可知 的最大值为
（1）当 时, 在区间 单调递增,在区间 上单调递减
由 ,故 在区间 上只有一个零点
（2）当 时, , ,
且
因为 ,所以, 在区间 上无零点
综上,当 时, 在区间 上只有一个零点
当 时, 在区间 上无零点
∴ 1y =
2
1 ln( ) x af x x
− −′ =
( ) 0f x′ = 1 ax e −=
x ( )f x′ ( )f x
x 1(0, )ae − 1 ae − 1( , )ae − +∞
( )f x′ + −
( )f x
( )f x 1(0, )ae −
( )f x 1( , )ae − +∞
( )f x
1
1
1
1( )
a
a
a
ef e e
−
−
−
−=
1a = ( )f x (0,1) (1, )e
(1) 0f = ( )f x ( ]0,e
1a < 1a− > − 1 0a− > 1 1ae − >
1
1
1
1( ) 0
a
a
a
ef e e
−
−
−
−= <
( ) 0af e− < ( )f x ( ]0,e
1a = ( )f x ( ]0,e
1a < ( )f x ( ]0,e21
（Ⅲ）法二:
令 ,
令
,
0
减 极小值 1 增
由已知
所以,当 时, 在区间 上只有一个零点
当 时, 在区间 上无零点
20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 的焦点为 和 ，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于 两点.当 变化时，求 面积的最大值（
为坐标原点）.
解（Ⅰ）设椭圆的标准方程为 ，
长轴长 ， ，半焦距 ， . ………2 分
ln( ) 1 0x af x x
+= − = ln 1x a
x
+ =
lna x x= − ( ) lng x x x= −
1 1( ) 1 0xg x x x
−′ = − = = 1x =
x (0,1) 1 ( )1,e
( )g x′ − +
( )g x
1a ≤
1a = ( )f x ( ]0,e
1a < ( )f x ( ]0,e
C )0,2(− )0,2( 24
C
)(: Rmmxyl ∈+= C BA, m AOB∆ O
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
242 =a 22=a 2=c 4222 =−= cab22
椭圆 的标准方程为 . ………3 分
（Ⅱ） ，消去 并整理，得 . ………5 分
判别式 ，
解得 .由题意，知 . ………6 分
设 ， ，由韦达定理，
得 ， . ………7 分
设直线 与 轴的交点为 ，则 .
所以 面积 . ………9 分
所以，当 ，即 时， 面积取得最大值 . ………14 分
C 148
22
=+ yx
+=
=+
mxy
yx 82 22
y 08243 22 =−++ mmxx
0)82(34)4( 22 >−××−=∆ mm
3232
微信/支付宝扫码支付