2020数学中考考点28：圆的有关概念（解析版）

中考数学试题分类汇编：考点 28 圆的有关概念 一．选择题（共 26 小题） 1．（2018•安顺）已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC 的长为（　　） A．2 cm B．4 cm C．2 cm 或 4 cm D．2 cm 或 4 cm 【分析】先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行 讨论． 【解答】解：连接 AC，AO， ∵⊙O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM= AB= ×8=4cm，OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM= = =3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC= = =4 cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在 Rt△AMC 中，AC= = =2 cm． 故选：C． 　 2．（2018•聊城）如图，⊙O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（　　） A．25° B．27.5° C．30° D．35° 【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数， 再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°， ∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°， ∴∠AOC=2∠B=50°， ∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35° 故选：D． 　 3．（2018•张家界）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC=5cm， CD=8cm，则 AE=（　　） A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 【分析】根据垂径定理可得出CE 的长度，在 Rt△OCE 中，利用勾股定理可得出 OE 的长度，再利用 AE=AO+OE 即可得出 AE 的长度． 【解答】解：∵弦 CD⊥AB 于点 E，CD=8cm， ∴CE= CD=4cm． 在 Rt△OCE 中，OC=5cm，CE=4cm， ∴OE= =3cm， ∴AE=AO+OE=5+3=8cm． 故选：A．　 4．（2018•菏泽）如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA 的度数是 （　　） A．64° B．58° C．32° D．26° 【分析】根据垂径定理，可得 = ，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3， 根据直角三角形的性质，可得答案． 【解答】解：如图， 由 OC⊥AB，得 = ，∠OEB=90°． ∴∠2=∠3． ∵∠2=2∠1=2×32°=64°． ∴∠3=64°， 在 Rt△OBE 中，∠OEB=90°， ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°， 故选：D． 　 5．（2018•白银）如图，⊙A 过点 O（0，0），C（ ，0），D（0，1），点 B 是 x 轴下方⊙A 上的一点，连接 BO，BD，则∠OBD 的度数是（　　）A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】连接 DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠ DBO=30°即可． 【解答】解：连接 DC， ∵C（ ，0），D（0，1）， ∴∠DOC=90°，OD=1，OC= ， ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选：B． 　 6．（2018•襄阳）如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的⊙O 上，若 OA⊥BC，∠ CDA=30°，则弦 BC 的长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【分析】根据垂径定理得到CH=BH， = ，根据圆周角定理求出∠AOB，根据 正弦的定义求出 BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC， ∴CH=BH， = ， ∴∠AOB=2∠CDA=60°， ∴BH=OB•sin∠AOB= ， ∴BC=2BH=2 ， 故选：D． 　 7．（2018•济宁）如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度 数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 【分析】首先圆上取一点 A，连接 AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可 得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求 得答案． 【解答】解：圆上取一点 A，连接 AB，AD， ∵点 A、B，C，D 在⊙O 上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°，故选：D． 　 8．（2018•通辽）已知⊙O 的半径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（　　） A．30° B．60° C．30°或 150° D．60°或 120° 【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可． 【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5， 在 Rt△OAD 中， ∵OA=10，OD=5，AD= ， ∴tan∠1= ，∠1=60°， 同理可得∠2=60°， ∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°， ∴圆周角的度数是 60°或 120°． 故选：D． 　 9．（2018•南充）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC=32°，则∠ B 的度数是（　　） A．58° B．60° C．64° D．68° 【分析】根据半径相等，得出 OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定 理解答即可． 【解答】解：∵OA=OC， ∴∠C=∠OAC=32°，∵BC 是直径， ∴∠B=90°﹣32°=58°， 故选：A． 　 10．（2018•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A．55° B．110°C．120°D．125° 【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 【解答】解：根据圆周角定理，得 ∠ACB= （360°﹣∠AOB）= ×250°=125°． 故选：D． 　 11．（2018•临安区）如图，⊙O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙ O 于 B、C 点，则 BC=（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理先求 BC 一半的长，再求 BC 的长． 【解答】解：设 OA 与 BC 相交于 D 点． ∵AB=OA=OB=6 ∴△OAB 是等边三角形． 又根据垂径定理可得，OA 平分 BC， 利用勾股定理可得 BD= =3所以 BC=6 ． 故选：A． 　 12．（2018•贵港）如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，若∠A=66°，则∠OCB 的度数 是（　　） A．24° B．28° C．33° D．48° 【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB 的度数，再根据等边对等角可得∠OCB= ∠OBC，进而可得答案． 【解答】解：∵∠A=66°， ∴∠COB=132°， ∵CO=BO， ∴∠OCB=∠OBC= （180°﹣132°）=24°， 故选：A． 　 13．（2018•威海）如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为 的中点，若∠ABC=30°， 则弦 AB 的长为（　　） A． B．5 C． D．5【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出 AB 即可． 【解答】解：连接 OC、OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵AB 为弦，点 C 为 的中点， ∴OC⊥AB， 在 Rt△OAE 中，AE= ， ∴AB= ， 故选：D． 　 14．（2018•盐城）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠ CAB 的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角 和定理计算即可． 【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°， 故选：C． 　15．（2018•淮安）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度 数是（　　） A．70° B．80° C．110°D．140° 【分析】作 对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°， 然后根据圆周角定理求∠AOC 的度数． 【解答】解：作 对的圆周角∠APC，如图， ∵∠P= ∠AOC= ×140°=70° ∵∠P+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣70°=110°， 故选：C． 　 16．（2018•咸宁）如图，已知⊙O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是∠ AOB，COD，若∠AOB 与∠COD 互补，弦 CD=6，则弦 AB 的长为（　　） A．6 B．8 C．5 D．5 【分析】延长 AO 交⊙O 于点 E，连接 BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠ BOE=∠COD，据此可得 BE=CD=6，在 Rt△ABE 中利用勾股定理求解可得． 【解答】解：如图，延长 AO 交⊙O 于点 E，连接 BE，则∠AOB+∠BOE=180°， 又∵∠AOB+∠COD=180°， ∴∠BOE=∠COD， ∴BE=CD=6， ∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE=90°， ∴AB= = =8， 故选：B． 　 17．（2018•衢州）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB=35°，则∠AOB 的度数 是（　　） A．75° B．70° C．65° D．35° 【分析】直接根据圆周角定理求解． 【解答】解：∵∠ACB=35°， ∴∠AOB=2∠ACB=70°． 故选：B． 　 18．（2018•柳州）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°， 则∠C 的度数为（　　）A．84° B．60° C．36° D．24° 【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案． 【解答】解：∵∠B 与∠C 所对的弧都是 ， ∴∠C=∠B=24°， 故选：D． 　 19．（2018•邵阳）如图所示，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD=120°， 则∠BOD 的大小是（　　） A．80° B．120°C．100°D．90° 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠A=180°﹣∠BCD=60°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°， 故选：B． 　 20．（2018•苏州）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的点，若∠BOC=40°，则∠D 的度数为（　　）A．100°B．110°C．120°D．130° 【分析】根据互补得出∠AOC 的度数，再利用圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵∠BOC=40°， ∴∠AOC=180°﹣40°=140°， ∴∠D= ， 故选：B． 　 21．（2018•台湾）如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交 点，有一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 L 与 y 轴的交点．若 A、B、C 的 坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中 a＜0，则 a 的值为何？（　　） A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7 【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA， 得到答案． 【解答】解：连接 AC， 由题意得，BC=OB+OC=9， ∵直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直， ∴直线 L 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AC=BC=9， 在 Rt△AOC 中，AO= =2 ， ∵a＜0， ∴a=﹣2 ， 故选：A．　 22．（2018•衢州）如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的长度是（　　） A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm 【分析】根据垂径定理得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 BC 的长，再利用 相似三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：连接 OB， ∵AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，BD=8cm，AE=2cm， 在 Rt△OEB 中，OE2+BE2=OB2， 即 OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3， ∴OB=3+2=5， ∴EC=5+3=8， 在 Rt△EBC 中，BC= ， ∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°， ∵∠C=∠C， ∴△OFC∽△BEC， ∴ ， 即 ， 解得：OF= ， 故选：D． 　 23．（2018•青岛）如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，∠AOC=140°，点 B 是 的 中点，则∠D 的度数是（　　） A．70° B．55° C．35.5° D．35° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB= ∠AOC，再根据圆周角定 理解答． 【解答】解：连接 OB， ∵点 B 是 的中点， ∴∠AOB= ∠AOC=70°， 由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°， 故选：D． 　 24．（2018•广州）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，交⊙O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB 的度数是（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即 可． 【解答】解：∵∠ABC=20°， ∴∠AOC=40°， ∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB， ∴∠AOC=∠BOC=40°， ∴∠AOB=80°， 故选：D． 　 25．（2018•遂宁）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连 接 BE，若 AB=2 ，CD=1，则 BE 的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出 OD，根据三角形中位线 定理计算即可． 【解答】解：∵半径 OC 垂直于弦 AB， ∴AD=DB= AB= ， 在 Rt△AOD 中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即 OA2=（OA﹣1）2+（ ）2， 解得，OA=4 ∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB， ∴BE=2OD=6， 故选：B． 　 26．（2018•钦州三模）如图，BC 是⊙O 的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC 的度数是（　　） A．70° B．35° C．45° D．60° 【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解． 【解答】解：∵A、B、C、D 是⊙O 上的四点，OA⊥BC， ∴弧 AC=弧 AB （垂径定理）， ∴∠ADC= ∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）； 又∠AOB=70°， ∴∠ADC=35°． 故选：B． 　 二．填空题（共 13 小题） 27．（2018•孝感）已知⊙O 的半径为 10cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥ CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是　2 或 14　cm． 【分析】分两种情况进行讨论：①弦 AB 和 CD 在圆心同侧；②弦 AB 和 CD 在圆 心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏 解． 【解答】解：①当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF﹣OE=2cm； ②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm． 故答案为：2 或 14． 　 28．（2018•曲靖）如图：四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 BC 延长线上一点，若∠ A=n°，则∠DCE=　n　°． 【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠DCB=180°， 又∵∠DCE+∠DCB=180° ∴∠DCE=∠A=n° 故答案为：n 　 29．（2018•南通模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC 于点 D，则 OD 的长为　2　． 【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出 AC=4，再 根据垂径定理得到 BD=CD，则可判断 OD 为△ABC 的中位线，然后根据三角形中 位线性质求解． 【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC= =4， ∵OD⊥BC， ∴BD=CD， 而 OB=OA， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD= AC= ×4=2． 故答案为 2． 　 30．（2018•北京）如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上， = ，∠CAD=30°，∠ ACD=50°，则∠ADB=　70°　． 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ ACB=∠ ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案． 【解答】解：∵ = ，∠CAD=30°， ∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°， ∵∠ACD=50°， ∴∠ABD=50°， ∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°． 故答案为：70°． 　 31．（2018•杭州）如图，AB 是⊙O 的直轻，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DE⊥AB， 交 ⊙O 于 D，E 两 点 ， 过 点 D 作 直 径 DF， 连 结 AF， 则 ∠DFA=　 30°　． 【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用 圆周角定理得出∠DFA=30°即可． 【解答】解：∵点 C 是半径 OA 的中点， ∴OC= OD， ∵DE⊥AB， ∴∠CDO=30°， ∴∠DOA=60°， ∴∠DFA=30°， 故答案为：30° 　 32．（2018•吉林）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点， = ，若∠ AOB=58°，则∠BDC=　29　度．【分析】根据∠BDC= ∠BOC 求解即可； 【解答】解：连接 OC． ∵ = ， ∴∠AOB=∠BOC=58°， ∴∠BDC= ∠BOC=29°， 故答案为 29． 　 33．（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐 标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为　（﹣1，﹣2）　． 【分析】连接CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 O 的坐 标即可． 【解答】解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示： 在 CB 的垂直平分线上找到一点 D， CD═DB=DA= ， 所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心，即 D 的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）， 　 34．（2018•无锡）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，OC⊥OB，点 A 在劣弧 上， 且 OA=AB，则∠ABC=　15°　． 【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，OA=AB， ∴OA=OB=AB， 即△OAB 是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥OB， ∴∠COB=90°， ∴∠COA=90°﹣60°=30°， ∴∠ABC=15°， 故答案为：15° 　 35．（2018•广东）同圆中，已知弧 AB 所对的圆心角是 100°，则弧 AB 所对的圆 周角是　50°　． 【分析】直接利用圆周角定理求解． 【解答】解：弧 AB 所对的圆心角是 100°，则弧 AB 所对的圆周角为 50°． 故答案为 50°． 　 36．（2018•黑龙江）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD=6， EB=1，则⊙O 的半径为　5　．【分析】连接 OC，由垂径定理知，点 E 是 CD 的中点，AE= CD，在直角△OCE 中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可． 【解答】解：连接 OC， ∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CE=DE= CD= ×6=3， 设⊙O 的半径为 xcm， 则 OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1， 在 Rt△OCE 中，OC2=OE2+CE2， ∴x2=32+（x﹣1）2， 解得：x=5， ∴⊙O 的半径为 5， 故答案为：5． 　 37．（2018•绍兴）如图，公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪，A，B 是圆上 的点，O 为圆心，∠AOB=120°，从 A 到 B 只有路 ，一部分市民为走“捷径”， 踩坏了花草，走出了一条小路 AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少 B 走了　 15　步（假设 1 步为 0.5 米，结果保留整数）．（参考数据： ≈1.732，π 取 3.142）【分析】作 OC⊥AB 于 C，如图，根据垂径定理得到 AC=BC，再利用等腰三角形 的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则 OC=10，AC=10 ，所以 AB≈69 （步），然后利用弧长公式计算出 的长，最后求它们的差即可． 【解答】解：作 OC⊥AB 于 C，如图，则 AC=BC， ∵OA=OB， ∴∠A=∠B= （180°﹣∠AOB）= （180°﹣120°）=30°， 在 Rt△AOC 中，OC= OA=10，AC= OC=10 ， ∴AB=2AC=20 ≈69（步）； 而 的长= ≈84（步）， 的长与 AB 的长多 15 步． 所以这些市民其实仅仅少 B 走了 15 步． 故答案为 15． 　 38．（2018•随州）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A=40 度，∠C=20 度，则∠B=　 60　度． 【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角 形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接 OA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=20°， ∴∠OAB=60°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=60°， 故答案为：60． 　 39．（2018•金华）如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC 与 弓弦 BC 的中点，弓弦 BC=60cm．沿 AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1 时， 有 AD1=30cm，∠B1D1C1=120°． （1）图 2 中，弓臂两端 B1，C1 的距离为　30 　cm． （2）如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2 为半圆，则 D1D2 的长为　10 ﹣10　cm． 【分析】（1）如图 1 中，连接 B1C1 交 DD1 于 H．解直角三角形求出 B1H，再根 据垂径定理即可解决问题； （2）如图 3 中，连接 B1C1 交 DD1 于 H，连接 B2C2 交 DD2 于 G．利用弧长公式求 出半圆半径即可解决问题； 【解答】解：（1）如图 2 中，连接 B1C1 交 DD1 于 H．∵D1A=D1B1=30 ∴D1 是 的圆心， ∵AD1⊥B1C1， ∴B1H=C1H=30×sin60°=15 ， ∴B1C1=30 ∴弓臂两端 B1，C1 的距离为 30 （2）如图 3 中，连接 B1C1 交 DD1 于 H，连接 B2C2 交 DD2 于 G． 设半圆的半径为 r，则 πr= ， ∴r=20， ∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10， 在 Rt△GB2D2 中，GD2= =10 ∴D1D2=10 ﹣10． 故答案为 30 ，10 ﹣10， 　 三．解答题（共 1 小题） 40．（2018•宜昌）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D， 交 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF=AE，连接 FB，FC． （1）求证：四边形 ABFC 是菱形； （2）若 AD=7，BE=2，求半圆和菱形 ABFC 的面积．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形， 再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设 CD=x，连接 BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE， ∵AE=EF， ∴四边形 ABFC 是平行四边形， ∵AC=AB， ∴四边形 ABFC 是菱形． （2）设 CD=x．连接 BD． ∵AB 是直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， ∴（7+x）2﹣72=42﹣x2， 解得 x=1 或﹣8（舍弃） ∴AC=8，BD= = ， ∴S 菱形 ABFC=8 ． ∴S 半圆= •π•42=8π．