数学中考考点29：与圆有关的位置关系

中考数学试题分类汇编：考点 29 与圆有关的位置关系 　 一．选择题（共 9 小题） 1．（2018•宜宾）在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立．依据以上结论， 解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（　　） A． B． C．34 D．10 【分析】设点M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的 三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2 即可求出结论． 【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值． ∵DE=4，四边形 DEFG 为矩形， ∴GF=DE，MN=EF， ∴MP=FN= DE=2， ∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1， ∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10． 故选：D． 　 2．（2018•泰安）如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥ PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】由 Rt△APB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交⊙M 于点 P′， 当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得． 【解答】解：∵PA⊥PB， ∴∠APB=90°， ∵AO=BO， ∴AB=2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值， 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q，则 OQ=3、MQ=4， ∴OM=5， 又∵MP′=2， ∴OP′=3， ∴AB=2OP′=6， 故选：C． 　 3．（2018•滨州）已知半径为 5 的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧 的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【解答】解：如图：连接 AO，CO， ∵∠ABC=25°， ∴∠AOC=50°， ∴劣弧 的长= ， 故选：C． 　 4．（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为 R 的⊙O，且∠A=60°，连接 OB、OC，则边 BC 的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又 BD=2R，根据锐角三角函数的定 义得 BC= R． 【解答】解：延长 BO 交⊙O 于 D，连接 CD， 则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°， ∴∠CBD=30°， ∵BD=2R， ∴DC=R， ∴BC= R， 故选：D．　 5．（2018•湘西州）已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系 为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【分析】根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5，则直线和圆相切． 【解答】解：∵圆心到直线的距离 5cm=5cm， ∴直线和圆相切． 故选：B． 　 6．（2018•徐州）⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3，则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1 与⊙O2 的位置关系． 【解答】解：∵⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3， 则 5﹣2=3， ∴⊙O1 和⊙O2 内切． 故选：B． 　 7．（2018•台湾）如图，两圆外切于 P 点，且通过 P 点的公切线为 L，过 P 点作两直线，两直线与两圆的 交点为 A、B、C、D，其位置如图所示，若 AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（　　） A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDBD．∠PBD＜∠PDB 【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断； 【解答】解：如图，∵直线 l 是公切线 ∴∠1=∠B，∠2=∠A， ∵∠1=∠2， ∴∠A=∠B， ∴AC∥BD， ∴∠C=∠D， ∵PA=10，PC=9， ∴PA＞PC， ∴∠C＞∠A， ∴∠D＞∠B． 故选：D． 　 8．（2018•内江）已知⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2=4cm，则⊙O1 与⊙O2 的位 置关系是（　　）A．外高 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】由⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm，根据两圆位置关系与圆心距 d， 两圆半径 R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 【解答】解：∵⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm， 又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5， ∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是相交． 故选：C． 　 9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的⊙ A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（　　） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，可 得结论． 【解答】解：设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4， 当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1， ∵BC=3， ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5； 当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9， ∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9， 故选：A． 　 二．填空题（共 7 小题） 10．（2018•临沂）如图．在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直 径是　 　cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC 外接圆的直径，本题得以解 决． 【解答】解：设圆的圆心为点 O，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外接圆， ∵在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm， ∴∠BOC=120°， 作 OD⊥BC 于点 D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°， ∴BD= ，∠OBD=30°， ∴OB= ，得 OB= ， ∴2OB= ， 即△ABC 外接圆的直径是 cm， 故答案为： ． 　 11．（2018•内江）已知△ABC 的三边 a，b，c，满足 a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC 的外接圆半 径=　 　． 【分析】根据题目中的式子可以求得 a、b、c 的值，从而可以求得△ABC 的外接圆半径的长． 【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b， ∴（a﹣1﹣4 +4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0， ∴（ ﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0， ∴ ，b﹣5=0，c﹣6=0， 解得，a=5，b=5，c=6， ∴AC=BC=5，AB=6， 作 CD⊥AB 于点 D， 则 AD=3，CD=4， 设△ABC 的外接圆的半径为 r， 则 OC=r，OD=4﹣r，OA=r， ∴32+（4﹣r）2=r2， 解得，r= ， 故答案为： ．　 12．（2018•黄冈）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB，若 AD=6，则 AC=　2 　． 【分析】连接 BD．在 Rt△ADB 中，求出 AB，再在 Rt△ACB 中求出 AC 即可解决问题； 【解答】解：连接 BD． ∵AB 是直径， ∴∠C=∠D=90°， ∵∠CAB=60°，AD 平分∠CAB， ∴∠DAB=30°， ∴AB=AD÷cos30°=4 ， ∴AC=AB•cos60°=2 ， 故答案为 2 ． 　 13．（2018•新疆）如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为 2，则图中阴影部的面积是　 　． 【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即 可． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C=60°， 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°， ∴阴影部分的面积是 = π， 故答案为： 　 14．（2018•扬州）如图，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°，则 AB=　2 　．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然 后根据勾股定理即可求得 AB 的长． 【解答】解：连接 AD、AE、OA、OB， ∵⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴AB=2 ， 故答案为：2 ． 　 15．（2018•泰安）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O 的直径为　4 　． 【分析】连接OB，OC，依据△BOC 是等腰直角三角形，即可得到 BO=CO=BC•cos45°=2 ，进而得出⊙O 的直径为 4 ． 【解答】解：如图，连接 OB，OC， ∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°， ∴△BOC 是等腰直角三角形， 又∵BC=4， ∴BO=CO=BC•cos45°=2 ， ∴⊙O 的直径为 4 ， 故答案为：4 ． 　 16．（2018•大庆）已知直线 y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移 m（m＞0）个单位，若 平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点），则 m 的取值范围为　m＜ 　． 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直 角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线 y=kx 得， ﹣5=12k， ∴k=﹣ ；由 y=﹣ x 平移平移 m（m＞0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y=﹣ x+m（m＞0）， 设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，（如下图所示） 当 x=0 时，y=m；当 y=0 时，x= m， ∴A（ m，0），B（0，m）， 即 OA= m，OB=m； 在 Rt△OAB 中， AB= ， 过点 O 作 OD⊥AB 于 D， ∵S△ABO= OD•AB= OA•OB， ∴ OD• = × ， ∵m＞0，解得 OD= ， 由直线与圆的位置关系可知 ＜6，解得 m＜ ． 故答案为：m＜ ． 　 三．解答题（共 4 小题） 17．（2018•福建）如图，D 是△ABC 外接圆上的动点，且 B，D 位于 AC 的两侧，DE⊥AB，垂足为 E，DE 的延长线交此圆于点 F．BG⊥AD，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，且 PC=PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB= DH，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小． 【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠ BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC 是⊙O 的直径，从而得：∠ADC=∠ AGB=90°，根据同位角相等可得结论； （2）先证明四边形 BCDH 是平行四边形，得 BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°， 所以 DH= AC，分两种情况： ①当点 O 在 DE 的左侧时，如图 2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质 得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由 DH=OD，可得结论； ②当点 O 在 DE 的右侧时，如图 3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论． 【解答】（1）证明：如图 1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC， ∵四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC， ∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD； （2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形 BCDH 是平行四边形， ∴BC=DH， 在 Rt△ABC 中，∵AB= DH， ∴tan∠ACB= = ， ∴∠ACB=60°，∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，BC= AC， ∴DH= AC， ①当点 O 在 DE 的左侧时，如图 2，作直径 DM，连接 AM、OH，则∠DAM=90°， ∴∠AMD+∠ADM=90° ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠BDE+∠ABD=90°， ∵∠AMD=∠ABD， ∴∠ADM=∠BDE， ∵DH= AC， ∴DH=OD， ∴∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20° ∵∠AOB=60°， ∴∠ADM+∠BDE=40°， ∴∠BDE=∠ADM=20°， ②当点 O 在 DE 的右侧时，如图 3，作直径 DN，连接 BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， ∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°， 综上所述，∠BDE 的度数为 20°或 40°．　 18．（2018•温州）如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在 BD 上． （1）求证：AE=AB． （2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求 BC 的长． 【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED 知∠ABD=∠ACD，从而得出 AB=AC， 据此得证； （2）作 AH⊥BE，由 AB=AE 且 BE=2 知 BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB 知 cos∠ABE=cos∠ADB= = ，据此得 AC=AB=3，利用勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED=∠ACD，AE=AC， ∵∠ABD=∠AED， ∴∠ABD=∠ACD， ∴AB=AC， ∴AE=AB；（2）如图，过 A 作 AH⊥BE 于点 H， ∵AB=AE，BE=2， ∴BH=EH=1， ∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB= ， ∴cos∠ABE=cos∠ADB= ， ∴ = ． ∴AC=AB=3， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴BC=3 ． 　 19．（2018•天门）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过 BC 延长线上一点 G，作 GD⊥AO 于点 D， 交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM． （1）判断 CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求 MF 的长． 【分 析】 （1）连 接 OC，如 图， 利用 圆周角 定理 得到 ∠ACB=90°，再 根据 斜边 上的中 线性 质得 MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系 的判断方法可判断 CM 为⊙O 的切线； （2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出 CE，再计算出 EF，然后计算 ME﹣EF 即可． 【解答】解：（1）CM 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OC，如图， ∵GD⊥AO 于点 D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∵M 点为 GE 的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM 为⊙O 的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5， 而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G， 而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴ = = ，即 = = ， ∴CE=4，EF= ， ∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ． 　 20．（2018•泰州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于 点 E． （1）试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案； （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案． 【解答】解：（1）DE 与⊙O 相切， 理由：连接 DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE 与⊙O 相切； （2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3 ， ∴BD= =6，∵sin∠DBF= = ， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°= = = ， ∴DO=2 ， 则 FO= ， 故图中阴影部分的面积为： ﹣ × ×3=2π﹣ ．