数学中考考点：平行四边形与多边形练习+答案

平行四边形与多边形 1. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 2.如图，在▱ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，则下列结论中错误的是(　　) A. OA＝OC B. ∠ABC＝∠ADC C. AB＝CD D. AC＝BD 第 2 题 　第 3 题 2. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四 边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是(　　) A. ①②　 B. ①④　　 C. ③④　　D. ②③ 4.如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，则∠ABE 的度数为(　　) A. 30° B. 36° C. 54° D. 72° 第 4 题 　 第 5 题 5. 如图，在▱ABCD 中，连接 AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则 BC 的长是(　　) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 6. 如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于 E，交 BC 于 F.若▱ABCD 的周长为 18，OE＝1.5， 则四边形 EFCD 的周长为(　　) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 　 第 6 题 第 7 题 第 8 题 7. 如图，▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BC，垂足为 E，AB＝ 3，AC＝2，BD＝4， 则 AE 的长为(　　) A. 3 2 B. 3 2 C. 21 7 D. 2 21 7 8. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE.则下列结论成立的个数是(　　) ①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形 ACDF 是平行四边形；⑤六边形 ABCDEF 既是 中心对称图形，又是轴对称图形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 一个 n 边形的内角和是 720°，那么 n＝________． 10. 如图，在▱ABCD 中，∠D＝100°，∠DAB 的角平分线 AE 交 DC 于点 E，连接 BE，若 AE＝AB， 则∠EBC 的度数为________． 第 10 题 　　 第 11 题 11.如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 A′处，若∠1＝∠2＝50°，则∠A′ 为________． 12. 如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，若∠EAF＝56°，则∠B＝________. 第 12 题 第 13 题 第 14 题 13. 如图，在四边形 ABCD 中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°，则四边形 ABCD 的面积 是 ． 14. 如图，E 是▱ABCD 的边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于 F，若 CD＝6，求 BF 的 长． 15. 如图，延长▱ABCD 的边 AD 到点 F，使 DF＝DC，延长 CB 到点 E，使 BE＝BA，分别连接点 A、 E 和点 C、F. 求证：AE＝CF. 16. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F. 试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论．17.如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC. (1)求证：△ABC≌△DFE； (2)连接 AF，BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形． 18 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为 E、F，AE、CF 分别与 BD 交 于点 G 和 H，且 AB＝2 5. (1)若 tan∠ABE＝2，求 CF 的长； (2)求证：BG＝DH.答案： 1. C　2. D　3. D　4. B　5、C 6、C 7、D 8、D 9、6 10、30°11、105° 12、56°13、120 14. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，CD＝6，∴AD∥BC，AB＝CD＝6， ∵E 为 AD 的中点， ∴AE＝ 1 2AD＝ 1 2BC，∴AE 为△CBF 的中位线，∴A 为 BF 的中点，∴BF＝2AB ＝12. 15. 证明：在▱ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∵AB＝BE，CD＝DF， ∴BE＝DF， 又∵AF＝AD＋DF，EC＝EB＋BC， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AE＝CF. 16. 解：四边形 ABFC 是平行四边形． 证明如下：∵CD∥AB， ∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE， ∵E 是 BC 的中点， ∴CE＝BE，∴△CFE≌△BAE(AAS)，∴EF＝AE，∴四边形 ABFC 是平行四 边形． 能力提升训练 1. 如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 G，∠ABC 的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 H，AG 与 BH 交于点 O，连接 BE.下列结论错误的是(　　) A. BO＝OH B. DF＝CE C. DH＝CG D. AB＝AE 第 1 题　　 　 第 2 题 2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上的一点，且 BC＝EC，CF⊥BE 交 AB 于点 F，P 是 EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝ PC. 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3. 在△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 F 在 AC 上，点 E 在 AB 上，四边形 FDEA 是平行四边形，且 AB ＝AC＝3 2BC，则△ABC 与四边形 FDEA 的周长之比是________． 第 3 题　　　 4 题 第 5 题 4. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E、F 分别是边 AD、AB 的中点，EF 交 AC 于点 H，则AH HC的值为________． 5. 如图，在▱ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC，GH∥AB，且 CG＝2BG，S △BPG＝1， 则 S▱AEPH＝________6. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E 是 AB 的中点，F 是 AC 延长线上的 一点． (1)若 ED⊥EF，求证：ED＝EF； (2)在(1)的条件下，若 DC 的延长线与 FB 交于点 P，试判定四边形 ACPE 是否为平行四边形？并证 明你的结论(请先补全图形，再解答)； (3)若 ED＝EF，ED 与 EF 垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由． 第 6 题 拓展培优训练 1. 注重开放探究(10 分)如图，在▱ABCD 中，P1、P2、P3…Pn－1 是 BD 的 n 等分点，连接 AP2，并延 长交 BC 于点 E，连接 APn－2 并延长交 CD 于点 F，连接 EF. (1)求证：EF∥BD； (2)设▱ABCD 的面积是 S，若 S△AEF＝3 8S，求 n 的值．答案 1. C　2. D　3. D　4. B　5、C 6、C 7、D 8、D 9、6 10、30°11、105° 12、56°13、120 5. C　【解析】∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠ABC＝∠CAD ＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，AB＝AC，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝2，∴BC＝ AB2＋AC2＝ 22＋22＝2 2. 6. C　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△OAE 和△OCF 中，{∠DAC＝∠ACB OA＝OC ∠AOE＝∠COF ，∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴CF＝AE，OE＝OF，∵OE＝1.5，∴EF＝ 2OE＝3，∵▱ABCD 的周长为 18，∴AD＋DC＝9，∴四边形 EFCD 的周长＝DE＋EF＋CF＋CD＝DE ＋AE＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12. 7. D　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC＝2，BD＝4，∴AO＝OC＝1，BO＝OD＝2， 又 ∵AB ＝ 3， ∴ AB2 ＋ AO2 ＝ BO2 ， ∴ ∠ BAO ＝ 90° ， 在 Rt △ BAC 中 ， BC ＝ AB2＋AC2＝ （ 3）2＋22＝ 7，∵S△ABC＝ 1 2AB·AC＝ 1 2BC·AE，∴AE＝ AB·AC BC ＝ 3 × 2 7 ＝ 2 21 7 . 第 8 题解图 8. D　【解析】如解图，连接 DF、AC，∵内角都相等，∴六边形 ABCDEF 是正六边形，∴每个内 角为 120°，又∵∠DAB＝60°，∴∠FAD＝60°，根据四边形的内角和为 360°，可知∠EDA＝ 60°，故 AB∥DE, ①正确；∵六边形的内角都相等，则∠EFA＝∠FAB＝120°，又∵∠DAB＝ 60° ， ∴ ∠ FAD ＝ 60° ， ∴ ∠ EFA ＋ ∠FAD ＝ 180° ， ∴ EF ∥ AD ， 同 理 ， BC ∥ AD ， 即 EF∥AD∥BC, ②正确；∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴AF＝CD，③正确；∵∠E＝∠B，AB＝ BC＝DE＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC＝DF，∵AF＝DC，∴四边形 ACDF 是平行四边形，④ 正确；正六边形 ABCDEF 既是中心对称图形，也是轴对称图形，⑤正确． 9. 6　【解析】∵180°·(n－2)＝720°，∴n＝6. 10. 30°　【解析】∵在▱ABCD 中，∠D＝100°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC＝∠D＝100°，∴∠ DAB＝180°－∠D＝80°， ∵AE 平分∠DAB，∴∠AED＝∠BAE＝∠DAE＝40°，又∵AE＝AB，∴ 在等腰三角形 ABE 中，∠ABE＝70°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°. 11. 105°　【解析】由折叠的性质知：∠2＝∠DBA′＝50°，∠ADB＝∠BDA′，∵AD∥BC，∴∠ ADB＝∠DBG，∴∠BDG＝∠DBG，又∵∠1＝∠BDG＋∠DBG，∠1＝∠2＝50°，∴∠BDG＝ 25°，根据三角形的内角和为 180°，∴在△DBA′中，∠A ′＝180°－50°－25°＝105°. 12. 56°　【解析】在四边形 AECF 中，有两个内角是直角，根据“四边形内角和等于 360°”得 ∠EAF＋∠C＝180°，又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠EAF＝56°.13. 120　【解析】在△AOD 中，∠ADB＝90°，AD＝12，OD＝5，根据勾股定理得 OA2＝OD2＋AD2 ＝52＋122＝169，解得 OA＝13，又∵AC＝26，∴OC＝13，∴OA＝OC，又∵OD＝OB，∴四边形 ABCD 是平行四边形，又∵∠ADB＝90°，即 AD⊥BD，∴S 四边形 ABCD＝AD·BD＝12×(5＋5)＝120. 14. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，CD＝6，∴AD∥BC，AB＝CD＝6， ∵E 为 AD 的中点， ∴AE＝ 1 2AD＝ 1 2BC，∴AE 为△CBF 的中位线，∴A 为 BF 的中点，∴BF＝2AB ＝12. 15. 证明：在▱ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∵AB＝BE，CD＝DF， ∴BE＝DF， 又∵AF＝AD＋DF，EC＝EB＋BC， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AE＝CF. 16. 解：四边形 ABFC 是平行四边形． 证明如下：∵CD∥AB， ∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE， ∵E 是 BC 的中点， ∴CE＝BE，∴△CFE≌△BAE(AAS)，∴EF＝AE， ∴四边形 ABFC 是平行四边形． 17. 证明：(1)∵BE＝FC， ∴BE＋EC＝EC＋CF，∴BC＝FE， 在△ABC 和△DFE 中， {AB＝DF AC＝DE BC＝FE ， ∴△ABC≌△DFE(SSS)； (2)连接 AF，BD， 第 17 题解图 由(1)知△ABC≌△DFE， ∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF， 又∵AB＝DF， ∴四边形 ABDF 是平行四边形． 18. (1)解：∵在 Rt△ABE 中，tan∠ABE＝ AE BE＝2， ∴AE＝2BE， 又∵AE2＋BE2＝AB2， ∴(2BE)2＋BE2＝(2 5)2， 解得 BE＝2， ∴AE＝4， 又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AF∥EC， 又∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴CF＝AE＝4； (2)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC 且 AD∥BC，∠FDB＝∠EBD，由(1)可知四边形 AECF 是平行四边形，∴EC＝AF，∠AEC＝∠AFC， 又∵BE＋EC＝BC，FD＋AF＝AD， ∴BE＝FD， 又∵∠AEB＝∠CFD，即∠GEB＝∠HFD， ∴在△GEB 和△HFD 中， {∠GBE＝∠HDF BE＝DF ∠GEB＝∠HFD ， ∴△GEB≌△HFD(ASA)，∴BG＝DH. 能力提升训练 1.D　【解析】∵AH∥CG，∴∠H＝∠HBG，∵∠HBG＝∠HBA，∴∠H＝∠HBA，∴AH＝AB，同 理 AB＝BG，AD＝DE，BC＝CF，∵AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE，故 B 正确；∵AD＝BC，∴ DH＝CG，故 C 正确；∵AH＝AB，AO 平分∠HAB，∴BO＝HO，故 A 正确． 2. D　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CEB＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠ABE，∴BE 平分∠CBF，故①正确；设 CF 交 BE 于 O，∵CE＝CB，CF⊥BE 于 O，∴∠COE＝ ∠COB，∵OC＝OC，∴Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠ECO＝∠BCO，∴CF 平分∠DCB，故②正确； ∵CE∥BF，∴∠CFB＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，故③正确；∵BF＝BC，BO⊥CF，∴直线 BO 是线段 CF 的垂直平分线，∵点 P 在 OB 上，∴PF＝PC，故④正确，综上，正确结论的个数共 4 个． 3. 4 3　【解析】∵四边形 FDEA 是平行四边形，∴AE∥DF，∴AB∥DF，∴∠B＝∠FDC，又∵AB＝AC，∴∠ B＝∠C，∴∠C＝∠FDC，∴FD＝FC，同理可证∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴四边形 FDEA 的周长为 AE＋ ED＋DF＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC，四边形 FDEA 周长为 AC＋AB 两条线段长，设 BC＝2a，则 △ABC 周长为 8a，四边形 FDEA 周长为 6a，∴△ABC 与四边形 FDEA 的周长之比为 8a 6a＝ 4 3. 4. 1 3　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，∵点 E、F 分别是边 AD、AB 的中点，∴EF ∥BD，∴△AFH∽△ABO，∴ AH AO＝ AF AB，∴AH＝ 1 2AO，∴AH＝ 1 4AC，HC＝ 3 4AC，∴ AH HC＝ 1 3. 5. 4　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，又∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形 BEPG、四边形 GPFC、四边形 PHDF、四边形 AEPH 都是平行四边形，∵BD 是平行四边形 ABCD、平行四 边形 BEPG、平行四边形 PHDF 的对角线，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形， ∴S△ABD＝S△CBD，S△PHD＝S△PFD，S△BPG＝S△BEP，S▱AEPH＝S▱GPFC，又∵CG＝2BG，∴S▱GPFC＝2S▱BGPE＝4S△BPG ＝4，∴S▱AEPH＝4. 6. (1)证明：在▱ABCD 中，AD＝BC，AD∥BC， ∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC， 如解图，连接 CE，∵E 为 AB 中点，第 6 题解图 ∴AE＝EC， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠DAE＝∠ECF＝135°， 又∵∠AED＋∠CED＝90°，∠CEF＋∠CED＝90°， ∴∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF(ASA)，∴ED＝EF； (2)解：补全图形如解图，四边形 ACPE 是平行四边形．证明如下： ∵△AED≌△CEF， ∴AD＝CF，∴AC＝CF， 又∵CP∥AE， ∴CP 为△FAB 的中位线，∴CP＝AE，∴四边形 ACPE 是平行四边形； (3)解：ED⊥EF.证明如下：过点 E 作 EH⊥AF 于点 H，延长 PE 作 EG⊥DA 交 DA 延长线于点 G， ∵AE＝EC，∠EAG＝∠HCE＝45°， ∴△AGE≌△CHE(AAS)，∴EG＝EH， 又∵ED＝EF， ∴Rt△DEG≌Rt△FEH(HL)，∴∠ADE＝∠CFE， ∴∠DEA＝∠FEC， ∴∠DEA＋∠DEC＝∠FEC＋∠DEC＝90°，∴∠DEF＝90°，∴ED⊥EF. 拓展培优训练 1. (1)证明：∵AD∥BC，AB∥DC， ∴△Pn－2FD∽△Pn－2AB，△P2BE∽△P2DA， ∴ APn－2 Pn－2F＝ BPn－2 Pn－2D＝ n－2 2 ， AP2 P2E＝ DP2 P2B＝ n－2 2 ， ∴ APn－2 Pn－2F＝ AP2 P2E， ∴EF∥BD； (2)解：由(1)可知 DF AB＝ 2 n－2，∴S△AFD＝ 1 n－2S，同理可得 S△ABE＝ 1 n－2S， ∵ DF DC＝ 2 n－2， ∴ FC DC＝ DC－DF DC ＝1－ DF DC＝ n－4 n－2， ∴S△ECF＝ 1 2( n－4 n－2)2S， ∵S△AEF＝ 3 8S， ∴ 3 8S＝S－2× 1 n－2·S－ 1 2( n－4 n－2)2·S，即 1－ 2 n－2－ （n－4）2 2（n－2）2＝ 3 8，解得 n＝6.