人教版高中数学知识点总结

高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{ | 具有的性质}，其中 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合 叫做空集( ). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A 中的任一元素都属 于 B (1)A A (2) (3)若 且 ，则 (4)若 且 ，则 或 真子集 A B （或 B A） ，且 B 中至 少有一元素不属于 A （1） （A 为非空子集） (2)若 且 ，则 集合 相等 A 中的任一元素都属 于 B，B 中的任一元素 都属于 A (1)A B (2)B A （7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集， 它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 A(B) B A B A A(B) N N ∗ N+ Z Q R a M a M∈ a M∉ x x x ∅ BA ⊆ )AB ⊇ ⊆ A∅ ⊆ BA ⊆ B C⊆ A C⊆ BA ⊆ B A⊆ A B= ≠ ⊂ ≠ ⊃ BA ⊆ A≠ ∅⊂ A B≠ ⊂ B C≠ ⊂ A C≠ ⊂ A B= ⊆ ⊆ A ( 1)n n ≥ 2n 2 1n − 2 1n − 2 2n −（8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3） 并集 或 （1） （2） （3） 补集 1 2 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 ， 型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 （其中 无实根 或 A O =O L O A B { | ,x x A∈ }x B∈ A A A= A ∅ = ∅ A B A⊆ A B B⊆ A B { | ,x x A∈ }x B∈ A A A= A A∅ = A B A⊇ A B B⊇ U A { | , }x x U x A∈ ∉且 ( )UA A = ∅  ( )UA A U=  | | ( 0)x a a< > { | }x a x a− < < | | ( 0)x a a> > |x x a< − }x a> | | ,| | ( 0)ax b c ax b c c+ < + > > ax b+ | |x a< | | ( 0)x a a> > 2 4b ac∆ = − 0∆ > 0∆ = 0∆ < 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 2 0( 0)ax bx c a+ + = > 2 1,2 4 2 b b acx a − ± −= 1 2 )x x< 1 2 2 bx x a = = − 2 0( 0)ax bx c a+ + > > 1{ |x x x< 2}x x> { |x }2 bx a ≠ − R ( ) ( ) ( )U U UA B A B=    ( ) ( ) ( )U U UA B A B=   的解集 的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ） 叫做集合 到 的一个函数，记作 ． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集 合分别记做 ． 注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 是整式时，定义域是全体实数． ② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1． ⑤ 中， ． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集． 2 0( 0)ax bx c a+ + < > 1 2{ | }x x x x< < ∅ ∅ A B f A x B ( )f x A B A B f A B :f A B→ ,a b a b< a x b≤ ≤ x [ , ]a b a x b< < x ( , )a b a x b≤ < a x b< ≤ x [ , )a b ( , ]a b , , ,x a x a x b x b≥ > ≤ < x [ , ),( , ),( , ],( , )a a b b+∞ +∞ −∞ −∞ { | }x a x b< < ( , )a b a b a b< ( )f x ( )f x ( )f x tany x= ( )2x k k Z ππ≠ + ∈ ( )f x⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的定义域应由不等式 解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念 ①设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都 有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的映射，记作 ． ②给定一个集合 到集合 的映射，且 ．如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象． ( )f x [ , ]a b [ ( )]f g x ( )a g x b≤ ≤ ( )y f x= y x 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y+ + = ( ) 0a y ≠ ,x y 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y∆ = − ⋅ ≥ A B f A B A B A B f A B :f A B→ A B ,a A b B∈ ∈ a b b a a by xo 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x1< x2 时，都 有 f(x1)f(x2) ， 那 么 就 说 f(x) 在 这 个 区 间 上 是 减 函 数． （1）利用定义 （2）利用已知函数的 单调性 （3）利用函数图象（在 某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③ 对 于 复 合 函 数 ， 令 ， 若 为 增 ， 为 增 ， 则 为增；若 为减， 为减，则 为增；若 为 增 ， 为 减 ，则 为 减；若 为 减 ， 为 增 ，则 为减． （2）打“√”函数 的图象与性质 分别在 、 上为增函数，分别在 、 上为减函数． （3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1） 对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是函数 的最大值，记作 ． x 1 x 2 y=f(X) x y f(x )1 f(x )2 o y=f(X)y xo x x 2 f(x ) f(x )2 1 1 [ ( )]y f g x= ( )u g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( ) ( 0)af x x ax = + > ( )f x ( , ]a−∞ − [ , )a +∞ [ ,0)a− (0, ]a ( )y f x= I M x I∈ ( )f x M≤ 0x I∈ 0( )f x M= M ( )f x max ( )f x M=②一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是函数 的最小值，记作 ． 【1.3.2】奇偶性 （4）函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x，都有 f(－x)=－ f(x),那么函数 f(x)叫做奇函 数． （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于原点对称） 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x，都有 f(－x)=f(x), 那么函数 f(x)叫做偶函数． （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于 y 轴对称） ②若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ． ③奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或 奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 〖补充知识〗函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： ①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象． ①平移变换 ②伸缩变换 ( )y f x= I m x I∈ ( )f x m≥ 0x I∈ 0( )f x m= m ( )f x max ( )f x m= ( )f x 0x = (0) 0f = y y 0, 0, |( ) ( )h h h hy f x y f x h> = → =伸 缩③对称变换 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．当 是奇数时， 的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方 根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根． ②式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶数时， ． ③ 根 式 的 性 质 ： ； 当 为 奇 数 时 ， ； 当 为 偶 数 时 ， ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0 的正分数指数 幂等于 0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 0 1, 1,( ) ( )A Ay f x y Af x< < >= → =缩 伸 ( ) ( )xy f x y f x= → = −轴 ( ) ( )yy f x y f x= → = −轴 ( ) ( )y f x y f x= → = − −原点 1( ) ( )y xy f x y f x−== → =直线 ( ) (| |)y y yy f x y f x= → =去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象 ( ) | ( ) |x xy f x y f x= → =保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 , , , 1nx a a R x R n= ∈ ∈ > n N+∈ x a n n a n n a n a n n a n n a− n a n n a n a n a n 0a ≥ ( )nn a a= n n na a= n ( 0)| | ( 0) n n a aa a a a ≥= = − ∈ 1)n > 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n Na a − += = > ∈ 1)n >① ② ③ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 且 叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低． 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： ． （2）几个重要的对数恒等式 ( 0, , )r s r sa a a a r s R+⋅ = > ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R= > > ∈ ( 0xy a a= > 1)a ≠ 1a > 0 1a< < R (0, )+∞ (0,1) 0x = 1y = R R 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x > > = = < < 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x < > = = > < a a a ( 0, 1)xa N a a= > ≠且 x a N logax N= a N log ( 0, 1, 0)x ax N a N a a N= ⇔ = > ≠ > 0 1 xay = x y (0,1) O 1y = 0 1 xay = x y (0,1) O 1y =， ， ． （3）常用对数与自然对数 常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）． （4）对数的运算性质 如果 ，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 且 叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 log 1 0a = log 1a a = log b a a b= lg N 10log N ln N loge N 2.71828e = 0, 1, 0, 0a a M N> ≠ > > log log log ( )a a aM N MN+ = log log loga a a MM N N − = log log ( )n a an M M n R= ∈ loga Na N= log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb = ≠ ∈ loglog ( 0, 1)log b a b NN b ba = > ≠且 log ( 0ay x a= > 1)a ≠ 1a > 0 1a< < (0, )+∞ R (1,0) 1x = 0y = (0, )+∞ (0, )+∞ log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x > > = = < < < log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x < > = = > < < 0 1 x y O (1,0) 1x = logay x= 0 1 x y O (1,0) 1x = logay x=变化对 图象的影响 在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ， 从 式 子 中 解 出 ， 得 式 子 ．如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和 它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 ． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 ，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称． ②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域． ③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上． ④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数． （2）幂函数的图象 a a a ( )y f x= A C ( )y f x= x ( )x yϕ= y C ( )x yϕ= x A ( )x yϕ= x y ( )x yϕ= ( )y f x= 1( )x f y−= 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )x f y−= 1( )x f y−= 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )y f x−= y x= ( )y f x= 1( )y f x−= ( , )P a b ( )y f x= ' ( , )P b a 1( )y f x−= ( )y f x= y xα= x α（3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第 一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶 函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． ③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数 的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ， 其图象在直线 下方． 〖补充知识〗二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式： （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是 ． ②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， y (0, )+∞ (1,1) 0α > [0, )+∞ 0α < (0, )+∞ x y α α q p α = ,p q p q Z∈ p q q py x= p q q py x= p q q py x= , (0, )y x xα= ∈ +∞ 1α > 0 1x< < y x= 1x > y x= 1α < 0 1x< < y x= 1x > y x= 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠ 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠ x ( )f x 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ,2 bx a = − 24( , )2 4 b ac b a a −− 0a > ( , ]2 b a −∞ − [ , )2 b a − +∞ 2 bx a = −；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上 递减，当 时， ． ③二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点 ． （4）一元二次方程 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 2 min 4( ) 4 ac bf x a −= 0a < ( , ]2 b a −∞ − [ , )2 b a − +∞ 2 bx a = − 2 max 4( ) 4 ac bf x a −= 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2 4 0b ac∆ = − > x 1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x a ∆= − = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + + a 2 bx a = − ∆ ⇔ x y 1x 2x 0>a O • a bx 2 −= 0)( >kf k x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf 0)( 2 >kf a bx 2 −= x y 1x 2xO • 0a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a −①若 ，则 ② ，则 (Ⅱ)当 时(开口向下) ①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ①若 ，则 ② ，则 ． 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即： 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零 点． 3、函数零点的求法： 求函数 的零点： ○1 （代数法）求方程 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用 02 b xa − ≤ ( )M f q= 02 b xa − > ( )M f p= 0a < 2 b pa − < ( )M f p= 2 bp qa ≤ − ≤ ( )2 bM f a = − 2 b qa − > ( )M f q= 02 b xa − ≤ ( )m f q= 02 b xa − > ( )m f p= ))(( Dxxfy ∈= 0)( =xf x ))(( Dxxfy ∈= )(xfy = 0)( =xf )(xfy = x 0)( =xf ⇔ )(xfy = x ⇔ )(xfy = )(xfy = 0)( =xf )(xfy = x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x  x y0 a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a β b β a∩b = P β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直，记作 L⊥α，直 线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B 　　 α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 第三章 直线与方程 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那 么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒 数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线 经过点 ，且斜率为 2、、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程 1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点 其 中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2 、直线的截距式方 程 ： 已 知 直 线 与 轴 的 交 点 为 A ， 与 轴 的 交 点 为 B ， 其 中 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 l ),( 000 yxP k )( 00 yy −=− l k y ),0( b bkxy += ),(),,( 222211 yxPxxP ),( 2121 yyxx ≠≠ l x )0,(a y ),0( b 0,0 ≠≠ ba yx, 0=++ CByAx( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 1PP x x y y= − + − 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距 离公式 3.3.3 点 到直线的距离公式 1．点到直线距离公式： 点 到直线 的距离为： 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则 与 的距离为 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程： 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 与圆 的关系的判断方法： （1） > ，点在圆外 （2） = ，点在圆上 （3） < ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程： 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0．　②没有 xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定 了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 3 4 2 0 2 2 2 0 x y x y + − =  + + = ),( 00 yxP 0: =++ CByAxl 22 00 BA CByAxd + ++= 1l 2l 1l 01 =++ CByAx 2l 02 =++ CByAx 1l 2l 22 21 BA CCd + −= 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 0 0( , )M x y 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 022 =++++ FEyDxyx4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设 直 线 ： ， 圆 ： ， 圆 的 半 径 为 ， 圆 心 到直线的距离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，直线 与圆 相离；（2）当 时，直线 与圆 相切； （3）当 时，直线 与圆 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，圆 与圆 相离；（2）当 时，圆 与圆 外切； （3）当 时，圆 与圆 相交； （4）当 时，圆 与圆 内切；（5）当 时，圆 与圆 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ， 、 、 分别是 P、Q、R 在 、 、 轴上的坐标 2、有序实数组 ，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系 中的坐标，记 M ， 叫做点 M 的横坐标， 叫做点 M 的纵坐标， 叫做点 M 的竖坐标。 4.3.2 空间两点间的距离公式 l 0=++ cbyax C 022 =++++ FEyDxyx r )2,2( ED −− d rd > l C rd = l C rd < l C l 21 rrl +> 1C 2C 21 rrl += 1C 2C > Α 2π ωΤ = 1 2f ω π= =Τ xω ϕ+ ϕ ( )siny xω ϕ= Α + + Β 1x x= miny 2x x= maxy ( )max min 1 2 y yΑ = − ( )max min 1 2 y yΒ = + ( )2 1 1 22 x x x x Τ = − < siny x= cosy x= tany x= R R ,2x x k k ππ ≠ + ∈Ζ    [ ]1,1− [ ]1,1− R 2 2x k ππ= + ( )k ∈Ζ max 1y = 2 2x k ππ= − ( )k ∈Ζ min 1y = − ( )2x k kπ= ∈Ζ max 1y = 2x kπ π= + ( )k ∈Ζ min 1y = − 2π 2π π 函 数性 质偶 性 单 调 性 在 上是增函数；在 上是减函数． 在 上 是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数． 对 称 性 对称中心 对称轴 对 称 中 心 对称轴 对称中心 无对称轴 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 的向量． 单位向量：长度等于 个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： ． ⑷运算性质：①交换律： ； ②结合律： ；③ ． ⑸坐标运算：设 ， ，则 ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设 ， ，则 ． 设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ． 19、向量数乘运算： ⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ． 2 ,22 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ 32 ,22 2k k π ππ π + +   ( )k ∈Ζ [ ]( )2 ,2k k kπ π π− ∈Ζ [ ]2 ,2k kπ π π+ ( )k ∈Ζ ,2 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ ( )( ),0k kπ ∈Ζ ( ) 2x k k ππ= + ∈Ζ ( ),02k k ππ + ∈Ζ   ( )x k kπ= ∈Ζ ( ),02 k k π  ∈Ζ   0 1 a b a b a b− ≤ + ≤ +     a b b a+ = +   ( ) ( )a b c a b c+ + = + +     0 0a a a+ = + =    ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= ( )1 2 1 2,a b x x y y+ = + + ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= ( )1 2 1 2,a b x x y y− = − − Α Β ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )1 2 1 2,x x y yΑΒ = − − λ a aλ  b a C Β Α a b C C− = Α − ΑΒ = Β   ① ； ②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ． ⑵运算律：① ；② ；③ ． ⑶坐标运算：设 ，则 ． 20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ． 设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线． 21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量 的一组基底） 22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．（当 23、平面向量的数量积： ⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ． ⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ．③ ． ⑶运算律：① ；② ；③ ． ⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ． 若 ， 则 ， 或 ． 设 ， ， 则 ． 设 、 都 是 非 零 向 量 ， ， ， 是 与 的 夹 角 ， 则 ． a aλ λ=  0λ > aλ  a 0λ < aλ  a 0λ = 0aλ =  ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ λ+ = +   ( ),a x y= ( ) ( ), ,a x y x yλ λ λ λ= = ( )0a a ≠   b λ b aλ=  ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 0b ≠  1 2 2 1 0x y x y− = a ( )0b b ≠   1e 2e a 1 λ 2 λ 1 1 2 2a e eλ λ= +  1e 2e Ρ 1 2 Ρ Ρ 1 Ρ 2 Ρ ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 λΡ Ρ = ΡΡ  Ρ 1 2 1 2,1 1 x x y yλ λ λ λ + +   + +  时，就为中点公式。）1=λ ( )cos 0, 0,0 180a b a b a bθ θ⋅ = ≠ ≠ ≤ ≤       0 a b 0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   a b a b a b⋅ =   a b a b a b⋅ = −   22a a a a⋅ = =    a a a= ⋅   a b a b⋅ ≤   a b b a⋅ = ⋅   ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅      ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 1 2 1 2a b x x y y⋅ = + ( ),a x y= 2 2 2a x y= + 2 2a x y= + ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 1 2 1 2 0a b x x y y⊥ ⇔ + = a b ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= θ a b 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y θ +⋅= = + +  第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ ； ⑸ （ ）； ⑹ （ ）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ ． ⑵ 升幂公式 降幂公式 ， ． ⑶ ． 26、 （后两个不用判断符号，更加好用） 27 、 合 一 变 形 把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为 “ 一 个 三 角 函 数 ， 一 个 角 ， 一 次 方 ” 的 形式。 ，其中 ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角 公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差， 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； ② ；问： ； ； ( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ( )sin sin cos cos sinα β α β α β− = − ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β −− = + ⇒ ( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β− = − + ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β ++ = − ⇒ ( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β+ = + − sin 2 2sin cosα α α= 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 ααααααα ±=±+=±⇒ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − ⇒ 2sin2cos1,2cos2cos1 22 αααα =−=+ ⇒ 2 cos2 1cos 2 αα += 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 2tantan 2 1 tan αα α= − ⇒ ⇒ BxAy ++= )sin( ϕϖ ( )2 2sin cos sinα α α ϕΑ + Β = Α + Β + tanϕ Β= Α α2 α α4 α2 α 2 α 2 α 4 α 2 304560304515 o ooooo =−=−= = 12sin π = 12cos π α α α α α αα αααα 半角公式 sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan 2 cos1 2sin;2 cos1 2cos : −=+=+ −±= −±=+±= 2tan1 2tan1 cos; 2tan1 2tan2 sin : 2 2 2 α α αα α α 万能公式 + − = + =③ ；④ ； ⑤ ；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常 化切为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的 代换变形有： （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如： ； ； ； ； ； ； ； ； ； = ； = ；（其中 ；） ； ； （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊 值与特殊角的三角函数互化。 如： ； 。 高中数学 必修 5 知识点 （一）解三角形： 1 、 正 弦 定 理 ： 在 中 ， 、 、 分 别 为 角 、 、 的 对 边 ，， 则 有 ββαα −+= )( )4(24 αππαπ −−=+ )4()4()()(2 απαπβαβαα −−+=−++= oo 45tan90sincottancossin1 22 ===+= αααα αcos1+ _______________tan1 tan1 =− + α α ______________tan1 tan1 =+ − α α ____________tantan =+ βα ___________tantan1 =− βα ____________tantan =− βα ___________tantan1 =+ βα =αtan2 =− α2tan1 =++ oooo 40tan20tan340tan20tan =+ αα cossin =+ αα cossin ba =ϕtan =+ αcos1 =− αcos1 =+ )10tan31(50sin oo =− αα cottan C∆ΑΒ a b c Α Β C 2sin sin sin a b c RC = = =Α Β   无穷数列 有穷数列按项数 2 2 2 1, 2 1 ( 1) 2 n n a a n a a n a n =  = + = = − +  = − ⋅ n n n n n 常 数 列 : 递 增 数 列 :按 单 调 性 递 减 数 列 : 摆 动 数 列 : ( 为 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：① ， ， ； ② ， ， ；③ ； 3、三角形面积公式： ． 4、余弦定理：在 中，有 ，推论： （二）数列： 1.数列的有关概念： （1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数 N*或它的有限子 集{1,2,3,…,n}上的函数。 （2） 通项公式：数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的 通项公式。如: 。 （3） 递推公式：已知数列{an}的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与他的前一项 an-1（或前几项） 可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。 如: 。 2．数列的表示方法： （1） 列举法：如 1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3．数列的分类： 4．数列{an}及前 n 项和之间的关系: 5．等差数列与等比数列对比小结： 等差数列 等比数列 一、定 义 二、公 式 1． 2． 1． 2． 三、性 质 1． ， 称 为 与 的等差中项 2 ． 若 （ 、 、 、 ）， 则 3． ， ， 成等差数列 1． ， 称 为 与 的等比中项 2 ． 若 （ 、 、 、 ），则 3． ， ， 成等比数列 R C∆ΑΒ 2 sina R= Α 2 sinb R= Β 2 sinc R C= sin 2 a R Α = sin 2 b R Β = sin 2 cC R = : : sin :sin :sina b c C= Α Β 1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac∆ΑΒ = Α = = Β C∆ΑΒ 2 2 2 2 cosa b c bc= + − Α 2 2 2 cos 2 b c a bc + −Α = 22 1na n= − 1 21, 2,a a= = 1 2 ( 2)n n na a a n− −= + > 1 2 3n nS a a a a= + + + + 1 1 , ( 1) , ( 2 )n n n S na S S n− ==  − ≥ 1 ( 2)n na a d n−− = ≥ 1 ( 2)n n a q na − = ≥ ( )1 1na a n d= + − ( ) ( ),n ma a n m d n m= + − > ( )1 2 n n n a aS += ( ) 1 1 2 n nna d −= + 1 1 n na a q −= ,( )n m n ma a q n m−= − ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 1 n n n na q S a q a a q qq q = = − −= ≠ − − , , 2a b c b a c⇔ = +成等差 b a c m n p q+ = + m n p *q∈Ν m n p qa a a a+ = + nS 2n nS S− 3 2n nS S− 2, ,a b c b ac⇔ =成等比 b a c m n p q+ = + m n p *q∈Ν m n p qa a a a⋅ = ⋅ nS 2n nS S− 3 2n nS S−（三）不等式 1、 ； ； ． 2、不等式的性质： ① ； ② ； ③ ； ④ ， ；⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ． 小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式： ；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移： 移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ① -----直线的截距；② -----两点的距离或圆的半径； 4、均值定理： 若 ， ，则 ，即 ． ； 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数 、 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设 、 都为正数，则有 ⑴若 （和为定值），则当 时，积 取得最大值 ． ⑵若 （积为定值），则当 时，和 取得最小值 ． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。 选修 1-1,1-2 知识点 第一部分 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若 ，则 ”形式的命题中的 称为命题的条件， 称为命题的结论. 3、原命题：“若 ，则 ” 逆命题： “若 ，则 ” 否命题：“若 ，则 ” 逆否命题：“若 ，则 ” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． 若 ，则 是 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若 ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件； 若 A=B，则 A 是 B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式 ；⑵或（or）：命题形式 ； 0a b a b− > ⇔ > 0a b a b− = ⇔ = 0a b a b− < ⇔ < a b b a> ⇔ < ,a b b c a c> > ⇒ > a b a c b c> ⇒ + > + , 0a b c ac bc> > ⇒ > , 0a b c ac bc> < ⇒ < ,a b c d a c b d> > ⇒ + > + 0, 0a b c d ac bd> > > > ⇒ > ( )0 , 1n na b a b n n> > ⇒ > ∈Ν > ( )0 , 1n na b a b n n> > ⇒ > ∈Ν > 2 0,( 0)ax bx c a+ + > > z ax by= + 2 2( ) ( )z x a y b= − + − 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ ( )2 0, 02 a bab a b + ≤ > >   2 a b+ a b ab a b x y x y s+ = x y= xy 2 4 s xy p= x y= x y+ 2 p p q p q p q q p p¬ q¬ q¬ p¬ p q⇒ p q q p p q⇔ p q BA ⊆ p q∧ p q∨⑶非（not）：命题形式 . 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ ”表示； 全称命题 p： ； 全称命题 p 的否定 p： 。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“ ”表示； 特称命题 p： ； 特称命题 p 的否定 p： ； 第二部分 圆锥曲线 1、平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭 圆． 即： 。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 短轴的长 长轴的长 焦点 、 、 焦距 p¬ p q p q∧ p q∨ p¬ ∀ )(, xpMx ∈∀ ¬ )(, xpMx ¬∈∃ ∃ )(, xpMx ∈∃ ¬ )(, xpMx ¬∈∀ 1F 2F 1 2F F |)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF >=+ x y ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > a x a− ≤ ≤ b y b− ≤ ≤ b x b− ≤ ≤ a y a− ≤ ≤ ( )1 ,0aΑ − ( )2 ,0aΑ ( )1 0, bΒ − ( )2 0,bΒ ( )1 0, aΑ − ( )2 0,aΑ ( )1 ,0bΒ − ( )2 ,0bΒ 2b= 2a= ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )1 0,F c− ( )2 0,F c ( )2 2 2 1 2 2F F c c a b= = −对称性 关于 轴、 轴、原点对称 离心率 3、平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹 称为双曲线．即： 。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 范围 或 ， 或 ， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长 实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 离心率 渐近线方程 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 6、平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 称为 抛物线的焦点，定直线 称为抛物线的准线． 7、抛物线的几何性质： 标准方程 x y ( )2 21 0 1c be ea a = = − < < 1F 2F 1 2F F |)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF > ( )2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b − = > > x a≤ − x a≥ y R∈ y a≤ − y a≥ x R∈ ( )1 ,0aΑ − ( )2 ,0aΑ ( )1 0, aΑ − ( )2 0,aΑ 2b= 2a= ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )1 0,F c− ( )2 0,F c ( )2 2 2 1 2 2F F c c a b= = + x y ( )2 21 1c be ea a = = + > by xa = ± ay xb = ± F l F l 2 2y px= 2 2y px= − 2 2x py= 2 2x py= −图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 范围 8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 ，称为抛物线的 “通径”，即 ． 9、焦半径公式： 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ； 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ； 第三部分 导数及其应用 1、函数 从 到 的平均变化率： 2、导数定义： 在点 处的导数记作 ；． 3、函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切 线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ① ；② ； ③ ；④ ； ( )0p > ( )0p > ( )0p > ( )0p > ( )0,0 x y , 02 pF      , 02 pF  −   0, 2 pF      0, 2 pF  −   2 px = − 2 px = 2 py = − 2 py = 1e = 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ Α Β ΑΒ 2pΑΒ = ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0y px p= > F 0 2 pF xΡ = + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0x py p= > F 0 2 pF yΡ = + ( )f x 1x 2x ( ) ( )2 1 2 1 f x f x x x − − ( )f x 0x x xfxxfxfy xxx ∆ −∆+=′=′ →∆= )()(lim)( 00 000 ( )y f x= 0x ( )y f x= ( )( )0 0,x f xΡ 'C 0= 1')( −= nn nxx xx cos)(sin ' = xx sin)(cos ' −=⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ 5、导数运算法则： ； ； ． 6、在某个区间 内，若 ，则函数 在这个区间内单调递增； 若 ，则函数 在这个区间内单调递减． 7、求函数 的极值的方法是：解方程 ．当 时： 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值； 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值． 8、求函数 在 上的最大值与最小值的步骤是： 求函数 在 内的极值； 将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． 9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。 第四部分 复数 1．概念： (1) z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0； (2) z=a+bi 是虚数 b≠0(a,b∈R)； (3) z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z2 ( )y f x= ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )y f x= ( ) 0f x′ = ( )0 0f x′ = ( )1 0x ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )0f x ( )2 0x ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > ( )0f x ( )y f x= [ ],a b ( )1 ( )y f x= ( ),a b ( )2 ( )y f x= ( )f a ( )f b ⇔ ⇔ z ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ z ⇔ ⇔ =−+ −+ ))(( ))(( dicdic dicbia idc adbc dc bdac 2222 + −++ +3．几个重要的结论： (1) ；⑷ (2) 性质：T=4； ； (3) 。 4．运算律：（1） 5．共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。 6．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ； 第五部分 统计案例 1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程： （最小二乘法） 注意：线性回归直线经过定点 。 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）： 注：⑴ >0 时，变量 正相关；