2020届吉林省长春市一中高二数学（文）下学期期中试题

1 文科数学试题 注意事项: 1.回答选择题时，选出每小题答案后，在手机或电脑上点击所选答案。 2.回答非选择题时，将答案写在空白纸上，每道题标好题号，各题之间要留一定的间距。答完题后一道 题一拍照一上传。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符 合题目要求的 1.设集合 1{ | 0}2 xAxx  ， { |1 2}B x x≤ ，则 AB （ ） A. (1, 2 ) B. (1, 2 ] C. [ 1, 2 ] D. [ 1, 2 ) 2. 已知复数 =1zi ，则下列命题中正确的个数为 ① | | 2z  ；② 1zi ；③ z 的虚部为i ；④ z 在复平面上对应点在第一象 限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知条件 :1px ，条件 :2qx≥ ，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.下列函数中，与函数 y＝x＋1 是相等函数的是( ) A.y＝( x＋1)2 B.y＝ 3 x3＋1 C.y＝x2 x ＋1 D.y＝ x2＋1 5. 下列说法中正确的是 A.“ (0) 0f  ”是“函数 ()fx是奇函数”的充要条件； B. 若 2 0 0 0: , 1 0p x x x    R .则 2: , 1 0p x x x     R ； C. 若 pq 为假命题,则 ,pq均为假命题； D. “若 6   ,则 1sin 2  ”的否命题是“若 6   ,则 1sin 2  ” 长春市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试2 6.下面几种推理中是演绎推理的是( ) A．因为 y＝2x 是指数函数，所以函数 y＝2x 经过定点(0,1) B 猜想数列 1 1×2， 1 2×3， 1 3×4，…的通项公式为 an＝ 1 nn＋1(n∈N*) C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平 面平行” D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程 为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 7.过极点且倾斜角为π 3的直线的极坐标方程可以为( ) Aθ＝π 3 B．θ＝π 3，ρ≥0 C．θ＝4π 3 ，ρ≥0 D．θ＝π 3和 θ＝4π 3 ，ρ≥0 8.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为(1，－ 3)．若以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是( ) A. 2，－π 3 B. 2，4π 3 C. 1，－π 3 D. 2，－4π 3 9.下列在曲线   x＝sin 2θ y＝cos θ＋sin θ (θ 为参数)上的点是( ) A. 1 2，－ 2 B. －3 4，1 2 C．(2， 3) D．(1， 3) 10.下列说法正确的个数有（ ） ①用 2 2 1 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy         刻画回归效果，当 2R 越大时，模型的拟合效果越差；反之， 则越好； ②命题“ xR ， 2 10xx   ”的否定是“ xR ， 2 10xx   ”； ③若回归直线的斜率估计值是 2.25，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程是 2.25 4yx  ； 3 ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11.将 的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标伸长为原来的 2 倍，则曲线的方程变为 （ ） A． B． C． D． 12.已知在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线 1C 的极坐标方程为 4cos ，直线l ： 251 5 51 5 xt yt     （t 为参数）.若曲线 2C 的参数方 程为 2cos sin x y      （ 为参数），曲线 1C 上点 P 的极角为 4  ，Q 为曲线 2C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线l 距离的最大值为 A．2 B． 63 2  C． 3+1. D． 10 5 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13. 已知复数 z 满足 5 2z i  ，则||z  ___________. 14.函数 ( ) 4 ( 1)f x x x x   的定义域为 ___________. 15 已知函数 f(x)＝ax－b(a>0)，且 f[f(x)]＝4x－3，则 f(2)＝________. 16 若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则S1 S2 ＝1 4.推广到空间几何可以得 到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则V1 V2 ＝_____ 4 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） m∈R 复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i，当 m 为何值时， (1)z 为实数； (2)z 为纯虚数． 18 （本小题满分 12 分） 设 p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且 p 是 q 的充分不必 要条件，求实数 m 的取值范围. 19. （本小题满分 12 分） 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位： 千元)的数据资料，算得 i＝1 10 xi＝80， i＝1 10 yi＝20，  i＝1 10 xiyi＝184， i＝1 10 x2 i ＝720. ˆy bx a， 1 22 1 () n ii i n i i x y nxy b a y bx x nx          ， (1)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程y^＝b^x＋a^； (2)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄． 20. （本小题满分 12 分） 为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷调查, 结果如下: 女生: 睡眠时间(小时)  4,5  5,6  6,7  7,8  8,9 人数 2 4 8 4 2 5 男生: 睡眠时间(小时)  4,5  5,6  6,7  7,8  8,9 人数 1 5 6 5 3 (1)现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足 6 小时的女 生中随机抽取 3 人，求此 3 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率; (2)完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？ 睡眠时间少于 7 小时 睡眠时间不少于 7 小时 合计 男生 女生 合计 2( ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P K k k ≥ （ 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ） 21. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 1C 的参数方程为 2 cos sin x y      （ 为参数）. （1）求曲线 1C 的直角坐标方程； （2）曲线 2C 的极坐标方程为 ()6 R ，求 1C 与 2C 的公共点的极坐标. 22. （本小题满分 12 分） 在极坐标系中，点 P 的坐标是 (1,0) ，曲线C 的方程为 2 2 cos( )4 .以极点为 坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1 的直线l 经过点 P . （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 和曲线C 相交于两点 AB, ，求 22| | | |PA PB 的值.