2019—2020 学年第二学期期中考试（高二年级文科数学试题） 第 1页，共 4页
2019－2020 学年第二学期期中考试
高二文科数学试题
命题人：周婷婷 审题人：朱士军
考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分
所有选择题的答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不予记分。
一、单选题（本大题共 12 小题，共
60
分）
1
．若集合 1,2,3,4U ,集合 1,2A , 2,3B ,则
( )
A
． 2
B
． 1,3
C
． 1,2,3
D
． 1,2,4
2
．若复数 z 满足
1
az i
（i 为虚数单位， a R ），且 z 的虚部为 1 ，则 a （ ）
A
．1
B
．2
C
． 2
D
． 1
3
．对具有线性相关关系的变量 x ， y 有一组观测数据 ,i ix y （ 1,2, ,8i ），其回归直线方
程是 1ˆ
8
ˆy bx ，且 1 2 3 8x x x x 1 2 3 82 6y y y y ，则实数 ˆb 的值是
（ ）
A
． 1
16
B
． 1
4
C
． 1
3
D
． 1
2
4
．已知圆 A:x2+y2=1 在伸缩变换 2
3
x x
y y
的作用下变成曲线 C,则曲线 C 的方程为（ ）
A
．
2
4
x +
2
9
y =1
B
．
2
9
x +
2
4
y =1
C
．
2
2
x +
2
3
y =1
D
．
2
3
x +
2
2
y =1
5
．已知 1 2 2 3p x q x ： ， ： ，则 p 是 q的（ ）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
6
．若直线 2 2 0( 0, 0)ax by a b 始终平分圆 2 2 2 4 1 0x y x y 的圆周，则 1 2
a b
的最小值为（ ）
A
．3 2 2
B
．3 2 3
C
．4
D
．5
7
．下列几种推理中是演绎推理的为（ ）
A
．由 0 22 2 ， 1 22 3 ， 2 22 4 ，…猜想 21 *2 1n n n N
B
．半径为 r 的圆的面积 2S r ，则单位圆的面积 S
C
．猜想数列 1
1 2
， 1
2 3
， 1
3 4
，…的通项为 *1
1na n Nn n
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D
．由平面直角坐标系中，圆的方程为 2 2 2x a y b r 推测空间直角坐标系中球的方程
为 2 2 2 2x a y b z c r
8
．若 1a b ， lg lgP a b ， 1 lg lg2Q a b ， lg 2
a bR
，则（ ）
A
． R P Q
B
． P Q R
C
．Q P R
D
． P R Q
9
．函数 2 3 0y x xx
的最小值是 ( )
A
． 33
2 18
B
．
C
．
D
．
10
．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
11 11 1
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11 xx
求得
1 5
2x ，类似上述过程，则 3 3 （ ）
A． 13 1
2
B．3 C．6 D． 2 2
11.对于非空集合 P，Q，定义集合间的一种运算“★”
:P
★
Q = {x|x ∈ P Q
且
如
果
= {|
，
= {|ܠ =
，则 P★Q=( )
A.
{|
B.
{|⺁
或
C.
{|⺁
或
D.
{|⺁
或
12.设
ሺܠ =
⺁
ሺ ܠ⺁
，
ሺܠ = ሻ
， 若对任意的
∈
，存在
∈
，使得
ሺܠ = ሺܠ
，则实数 a 的取值范围为
ሺܠ
A.
⺁ܠ ሺ⺁
B.
ሺ ܠ
C.
⺁ܠ ሺ⺁
D.
ሺ ܠ
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13
．集合
= {
，
= {
2，
，若
，则
=
______．
14.对于函数 f x ，若 1 0f ， 2 3f ， 3 8f ， 4 15f .运用归纳推理的方法可
猜测 f n
______
.
15．设 ,P x y 是曲线 2 cos: sin
xC y
（ 为参数，0 2 ）上任意一点，则 y
x
的取值
范围是________．
16
．已知实数
满足
ሺ ܠ
=
则
的最大值为
________
. 2019—2020 学年第二学期期中考试（高二年级文科数学试题） 第 3页，共 4页
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17
．（本小题共 10 分）已知复数 2( 4) ( 2) ,z a a i a R ．
（1）若 z 为纯虚数，求实数 a 的值；
（2）若 z 在复平面上对应的点在直线 2 1 0x y 上，求实数 a 的值．
18
．（本小题共 12 分）已知： 2: ,2 1p x R x m x ， 0: ,q x R 2
0 02 1 0x x m ，
（1）若 q 是真命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若 p q 为真命题，求实数 m 的取值范围.
19
．（本小题共 12 分）已知 1 5f x x x ，
（1）解不等式 2f x ；
（2）若 2 1 0f x m 存在实数解，求实数 m 的取值范围．
20
．（本小题共 12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
21 2
2
2
x t
y t
（t 为参数），
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
2
2
2
12
4 3sin cos
，直线l 与曲线 C 交于 ,A B 两点．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求 AB ． 2019—2020 学年第二学期期中考试（高二年级文科数学试题） 第 4页，共 4页
21
．（本小题共 12 分）已知函数
ሺܠ =
．
ሺܠ
若
⺁
，用分析法证明：
ሺܠ ሺ
ܠ
ሺܠ
若
⺁
，
⺁
，且
，求证：
ሺܠ
与
ሺܠ
中至少有一个大于
．
22.（本小题共 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
ሺ
单位：
千元
ܠ
对年销售量
ሺ
单位：
ܠ
和年利润
ሺ
单位：千元
ܠ
的影响，对近 8 年的宣传费
和年销售量
ሺ = ܠ
的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，表中
=
，
8
1
1
8 i
i
w w
.
x y w
8
2
1
( )i
i
x x
8
2
1
( )i
i
w w
8
1
( ) ( )i i
i
x x y y
8
1
( ) ( )i i
i
w w y y
563
1469 108.8
ሺ
Ⅰ
ܠ
根据散点图判断，
=
与
=
，哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费
x 的回归方程类型
ሺ
给出判断即可，不必说明理由
ܠ
；
ሺ
Ⅱ
ܠ
根据
ሺ
Ⅰ
ܠ
的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
ሺ
Ⅲ
ܠ
已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为
= ⺁
，根据
ሺ
Ⅱ
ܠ
的结果回答下列问题：
ሺܠ
当年宣传费
=
时，年销售量及年利润的预报值是多少？
ሺܠ
当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据
ሺܠ
，
ሺܠ
，
，
ሺܠ
，其回归线
=
的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：
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