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2019-2020 学年度下学期实验三部第二次月考
高二 数学理科试题
第 I 卷（选择题)
一、单选题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)
1．已知集合 2| 3 2 1 0 , | 2 3A x x x B x a x a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 10 1, ,3 2
B． 10 1( , ] [ , )3 2
C． 1, 2,6
D． 1( , ] [2, )6
2．复数 z 满足 2z i ，则 z z 的最大值是（ ）
A． 3 B． 49 C．9 D．81
3．已知函数 ，若 是从 1，2，3 三个数中任取的一个数， 是从 0，1，2 三个数中任
取的一个数，则该函数 在 上恒单调递增的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 ( 0)a b m m ， ， 为整数，若 a 和b 被 m
除得的余数相同，则称 a 和b 对模 m 同余，记为 (mod )a b m ．若 0 1 2 2 20 20
20 20 20 202 2 ... 2a C C C C ，
(mod8)a b ，则b 的值可以是（ ）
A．2020 B．2021 C．2024 D．2025
5．惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通话时间，其中有 6
个月的月平均通话时间分别为 520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有 2 个月的数据未统计出来.根据以
上数据，该教师这 8 个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（ ）
A．520 B．540 C．580 D．620
6．已知有穷数列 ( 1,na n
2
，
3
，，6) 满足 {1,na
2
，
3
，，10}，且当 ( , 1,i j i j
2
，
3
，，6) 时， .i ja a
若 1 2 3a a a ，则符合条件的数列 na 的个数是 （ ）答案第 2页，总 5页
A． 6
3 3
10C A B． 3 3
10 10C C C． 3 3
10 7A A D． 6 3
10 6C A
7．已知 m ， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 / /m n ， / /m ，则 / /n B．若 / /m n ， m , n ，则 / /
C．若 n ， n ，则 / / D．若 ， ，则 / /
8．已知抛物线 2 4y x 的焦点与椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长
为 2 ，那么该椭圆的离心率为 ( )
A．
2
B． 2
3 C． 2
2
D． 1
2
9．已知函数 2ln 1f x x ax 的导数为 f x ，且 1 0f ，则函数 cosxg x f e x 图象的大致形状
是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知回归方程 5 1y x ，则该方程在样本 (1,4) 处的残差为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．5
11．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左右焦点分别为 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，以线段 1 2F F 为直径的圆与双曲线
在第二象限的交点为 P ，若直线 2PF 与圆
2 2
2: 3 36
c bE x y
相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． 4
7y x B． 2y x C． 3
5y x D． 2y x
12．已知当 0x 时，函数 0f x 恒成立， f x 的导数为 'f x ，且 1 ' 32 f x f x f x ，则 (3)
(2)
f
f
的范
围是（ ）答案第 3页，总 5页
A． 2
1 1( , )e e B． 2( , )e e C． 3,e e D． 1( , )ee
第 II 卷（非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市 6 万名高一学生中随机抽取了 400 名，对他们
的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率
之比依次是5:7:12:10:6 ，则这 400 名学生视力的众数为__________，中位数为________________。
14．已知定义在 1,3 上的函数 f x 满足
11 1f x f x
，且当 2,3x 时， 5 1
12 2f x x .则函数 f x
在 1,3 上的最大值是________.
15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆
周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式 11 11 1
中“…”即代表无数次重复，
但原式却是个定值，它可以通过方程 11 xx
求得 5 1
2x ．类比上述过程，则 2 3 2 3 __________．
16．已知正四面体的外接球与内切球上各有一个动点 M 、 N ，若线段 MN 的最小值为 6 ，则下列几个命题中，
真命题的序号是__________．
①正四面体的体积与其外接球的体积的比为 2 ：3 3 ；
②正四面体的内切球的表面积为 6 ；
③正四面体的棱长为 6 ；
④线段 MN 的最大值为 2 6 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos
3 3sin
x
y
（ 为参数），点 M 是曲线C 上
的任意一点，将点 M 绕原点O 逆时针旋转90 得到点 N .以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐答案第 4页，总 5页
标系.
（1）求点 N 的轨迹C 的极坐标方程；
（2）若曲线 3
3y x （ 0y ）与曲线C ，C 分别交于点 A ， B ，点 ( 6,0)D ，求 ABD 的面积.
18.（满分 12 分）在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形， BC // AD ，
90ADC ， 1 12BC CD AD ， PA PD ， ,E F 为 ,AD PC 的中点．
（1）若平面 PAB 平面 PCD ,求 EF 的长；
（2）在（1）的条件下，求直线 AB 与平面 BEF 所成角的余弦值.
19．（满分 12 分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱.王老师是一位资深的马拉
松爱好者，他的微信朋友圈内也有大量的好友加入了他的“马拉松跑友群”，他随机选取了其中的100人（男、女
各50人），记录了他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：
跑步公里数
性 别
5~10 10~15 15~20 20~25 25~30 >30
男 4 8 10 12 10 6
女 8 4 14 14 6 4
（1）已知某人一天的跑步公里数超过 20 公里被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成下面
的 2 2 列联表，并据此判断能否有 97.5％的把握认为“评定级别”与“性别”有关？
初级 高级 总计
男
女
总计答案第 5页，总 5页
附：
2
2 n ad bck a b c d a c b d
，
2
0P K k 0.05 0.025 0.010
0k 3.841 5.024 6.635
（2）若王老师以这 100 位好友该日跑步公里数的频率分布来估计其跑群中所有跑友每日跑步公里数的概率分布，
现从王老师的所有跑群好友中任选 2 人，其中每日跑步公里数不超过 10 公里的有 X 人，超过 30 公里的有Y 人，
设 X Y ，求 的分布列及数学期望.
20．（满分 12 分）已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，当 2n ， *n N 时， 1 1 2n nS a ，且 1
1
2a .
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设 2
( 2) n
n
n ab n n
，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT .
21. （满分 12 分）设函数 2( ) (ln 3) (4 2 1)( , )f x ax x b x x a b R ,已知 1(1) 2f ，且曲线 ( )y f x 在点
( , ( ))e f e 处的切线与直线 4 12 0x ey 垂直.
(1)判断函数 ( )f x 在区间 ,a b 上的单调性;
(2)若不等式 2 32 3 | ( ) | 2m m f x 在(0,1) 上恒成立，求 m 的取值范围.
22. （满分 12 分）已知椭圆 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，c 为半焦距，椭圆 C 的左、右焦点分别为 1 2,F F ，
左、右顶点分别为 1 2,A A ,上、下顶点分别为 1 2,B B ,椭圆 C 的离心率为 e ．
（1）若椭圆过点 7( , )2e ，且
1 1 1 1 1 2
: (3 2 2) :1A B F F B AS S ，求椭圆 C 的标准方程；
（2）设直线 y kx 与椭圆 C 相交于 ,P Q 两点，且 1 2, , ,P F Q F 四点共圆，若 2b c ，试求 2k 的最大值．
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