2020届四川省天立教育集团高一数学下学期入学联测试题及答案

高一春季入学联测 第 1 页 共 4 页 天立教育集团 2020 年春季高一年级入学联测 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1 至 2 页，第Ⅱ卷（非选择题）3、4 页， 满分 120 分，考试时间 100 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必填班级、姓名、准考证号，贴好条形码。 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干 净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所用题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，只将答题卡交回。 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1.已知集合 M＝{x | 0＜x＜6, x ϵ Z}，N＝{x|x＞3}，P＝M∩N，则 P 的子集共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．8 个 2.已知 ( ), ( )f x g x ，分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 3 2( ) ( ) 1f x g x x x    ，则 (1) (1)f g  （ ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 3.已知幂函数 22 12 2( ) m my m m x     在 (0, ) 上单调递增，则实数 m 的值为（ ） A． 1 B．3 C． 1 或 3 D．1 或 3 4.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，且在 ， ∞）上单调递减，则下列各式成立的是（ ） A. (0) (1) ( 2)f f f   B． ( 2) (0) (1)f f f   C. ( 2) ( 1) (0)f f f    D． (1) ( 2) (0)f f f   5.若 14log,10log,6log 753  cba ，则 cba ,, 的大小关系是（ ） A. cba  B. acb  C. cab  D. abc  6.已知函数 f x − 1 = 2 − 2x 1 ，则 f x = （ ） A． 12 2 1x x   B． 12 2 1x x   C． 12 2 1x x   D． 12 2 1x x   7.下列各组函数是同一函数的是 （ ） ① 3( ) 2f x x  与 ( ) 2g x x x  ；② ( )f x x 与 2( )g x x ； ③ 0( )f x x 与 0 1( )g x x  ；④ 2( ) 2 1f x x x   与 2( ) 2 1g t t t   。高一春季入学联测 第 2 页 共 4 页 A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 8.若 ABC 所在的平面上的点 D 满足 2BD DC  ，则 AD  （ ） A． 3 1 4 4AD AB AC    B． 1 3 4 4AD AB AC    C． 2 1 3 3AD AB AC    D． 1 2 3 3AD AB AC    9.如图所示的水杯，向水杯中匀速注水时，杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图像应该是下图中的 哪一幅？（ ） （A） (B) (C) (D) 10.经科学检测发现，游泳运动员的游泳速度 v（单位：米╱秒），可以表示为 v= 1 2 歨࠳3 1 ,其中 x 表 示运动员的耗氧量单位，则运动员游速为 2 米╱秒时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ） A.8100 B.900 C. 81 D.9 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案写在答题卡上。 11.求满足 82 4 1 －x      ＞ x－24 的 x 的取值集合是 。 12.将集合 A ∩ C ∩ 在图中用阴影部分表示出来. （ 12 题图高一春季入学联测 第 3 页 共 4 页 13.若指数函数    1xf x a a  在区间 0,2 上的最大值和最小值之和为10，则 a 的值为 __________________。 14.关于 x 的不等式 2 3 2 0kx kx k    的解集为 R ，则实数 k 的取值范围是_________ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）＝ax+1﹣3（a＞0 且 a≠1）的图象经过点（1，6）． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求使 f（x）≥0 成立的 x 的取值范围． 16.（本题满分 12 分）已知函数   4 4cos 2sin cos sin ,f x x x x x   （1）求函数 ( )f x 的最小周期. （2）求使函数 ( )f x 取得最大值时自变量 x 的集合. 17.（本题满分 12 分）记函数 f(x)= 歨࠳22 3Ā 的定义域为集合 ，函数 g x = 3Ā 1Ā的定义域为集合 ,集合 C= 2 ܽ ܽ 1 ． （1）求集合 A ∪ B , A ∩ . （2）若 A ∪ B ∩ C = ∅ ，求实数 a 的取值范围. 18.（本题满分 12 分）在新冠肺炎肆虐期间，某市为了落实中央的防控 精神，确保“应收尽收”政策的落实，决定开创性地将边长为 100 米 的正方形体育中心 ABCD 改建为五边形的“方舱医院”AEFCD，不计 经济成本地挽救病人生命。方案如图，点 B 在线段 EF 上，AE⊥EF， 且 AE=EF。其中△ABE 和△ BCF 分别为诊疗室和手术室，正方形 ABCD 为病员室，放置病床。病员室床位按 10 平方米一张床，每张床按 200 元标准购置；新建的△ABE 和△ BCF 每平方米的房屋造价为 200 元（即每万高一春季入学联测 第 4 页 共 4 页 平方米造价 200 万元）；诊疗室△ABE 的设备造价 1 （单位：万元）与 EB 边的长度（单位：百米） 的平方成正比，比例系数为 100；手术室△ BCF 的设备造价 W2 （单位：万元）与 BF 的长度（单位： 百米）成正比，比例系数为 100 2 。设∠ BAE = α，α ϵ （ ， 4 ） （1）试求体育中心改造的总费用 y 与α的函数关系 f(α). （2）体育中心最多需要多少费用？并求此时的α的值. 19.（12 分） 对于函数 )Ra(axf x  12 2）（ （1）判断并证明函数的单调性. （2）是否存在实数 a ，使函数 )x(f 为奇函数？证明你的结论.天立教育集团 2019 级高一联测试题 参考答案及评分标准 一、选择题（每题 5 分） 二、填空题（每空 5 分） 11、 12、 13、 3 14、 ， 三、解答题 15、（满分 10 分） 解（1）函数 f（x）＝ax+1﹣3（a＞0 且 a≠1）的图象经过点（1，6）， ∴a1+1﹣3＝6， ……………………………………………………2 分 解得 a＝3， ∴函数 f（x）的解析式为 f（x）＝3x+1﹣3； ……………………………………………………4 分 （2）由 f（x）≥0，得 3x+1﹣3≥0，即 3x+1≥3，………………………………………………6 分 ∴x+1≥1，得 x≥0， ……………………………………………………8 分 ∴f（x）≥0 的解集为[0，+∞） …………………………………………………10 分 16、（满分 10 分） 解：   4 4 4 4cos 2sin cos sin 2sin cos cos sinf x x x x x x x x x      = sin +( ⥈൷ x+ ൷⥈൷ x)( ( ⥈൷ x- ൷⥈൷ x) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D A C D C C= sin +cos2x = sin ……………………………………………………………2 分 （1）周期 T= = π …………………………………………………………4 分 （2）当 2 + =2 +4 2x k  时， 解得 = + ,8x k  …………………………………………………………6 分 所以 ( )f x 最大值是 2 ， ………………………………………………………8 分 此时使函数 ( )f x 取得最大值时自变量 x 的集合 x | = + 8x k k Z    ， ………10 分 17、（满分 10 分） 解： (1)由 2x-3>0 得 ， 由 得 ， 所以 , ……………………………………………………2 分 ……………………………………………………4 分 评分的时候注意区间的开闭 (2)当 时，应有 ，……………………………………………………6 分 当 时，应有 ， ……………………………………………………8 分 所以 的取值范围为 ……………………………………………………10 分 18、（满分 10 分） 解：(1)如图所示,过点 C 做 CG ⊥ 直线 BF 于点 G，因为四边形 ABCD 为正方形，而 AE ⊥ EF，CG ⊥ BG，所以 △ AE B ≅△ BGC ，所以 EB=CG. 因为在 RT △ ABE 中，AB=1, ∠ BAE= α ，， αϵ （ 0 ， ） 所以 BE= sin 、AE= cos ，CG=BE= sin ， 又因为 AE=EF 所以 BF=EF-BE=AE-BE= cos - sin ， ……………………………………1 分 则 ൷⪈൷ = ൷ ⪈൷ = cos sin ⪈⪈൷ = ⪈⪈ ൷⪈ = cos sin sin ……………………………………………2 分 由题意可得，因为 （单位：万元）与 EB 的长度（单位：百米）的平方成正比，比例系 数为 100，所以 =100 ൷⥈൷ ……………………………………………3 分 因为 （单位：万元）与 BF 的长度（单位：百米）成正比，比例系数为 100 所以 = 00 BF=100 （ cos sin ）。 ……………………………………………5 分 又病床需要 1000 张，每张 200 元，计 20 万元。 所以 f( α =200( ൷⪈൷ + ⪈⪈൷ )+ + +20 =200 sin cos cos sin sin +100 ൷⥈൷ +100 （ cos sin ）+20 =200 sin cos +100 （ cos sin ）+20 αϵ （ 0 ， ） ……………………………6 分 (2) 由（1）知 f( α = 200 sin cos +100 （ cos sin ）+20 αϵ （ 0 ， ） 令 t= cos sin = cos 因为 αϵ （ 0 ， ），所以 t ϵ （0,1）， 因为 1-2 sin cos =（ cos sin ）= 即 sin cos = 则，f( α =100 +100 t+20=100（- ）+20 t ϵ (0,1) ………………8 分 不妨设 h( t = - t ϵ (0,1) 因为函数 h( t 是二次函数，其图像开口向下，对称轴的方程为 t= , 所以 h( t 在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减。所以 ht⪈ =h( = ，此时 cos = ，因为 αϵ （ 0 ， ），所以 ϵ （ ， ） 所以 = ，即 α = ，即 ⪈ = = 00 0 = 0 , 所以，广场改造最多需要 170 万元，此时 α = ……………………………………………10 分 19、（满分 10 分） 解：（1）判断： )x(fa取任意实数， 都是 R 上的增函数。 证明如下：函数 )(xf 的定义域是 R …………………………………………2 分 任取 Rxx 21 , ,且 21 xx  02222 )12)(12( )22(2) 12 2( 12 2)()( 2121 21 21 21 21 21        xxxx xx xx xx xx aaxfxf  )()(0)()( 2121 xfxfxfxf  即  )x(fa取任意实数， 都是 R 上的增函数。 …………………………………………4 分 （2）方法一：假设存在实数 a，使函数 )(xf 为奇函数，则有 )()( xfxf   12 2 12 2      xx aa ………………………………………… 6 分 2 12 )12(2 12 2 12 22         x x xxa …………………………………………8 分 1a 故存在实数 1a ，使 )(xf 为奇函数， …………………………………………10 分 （2）方法二：假设存在实数 a，使函数 )(xf 为奇函数，则 0)0( f 得 1a ……6 分 此时 12 12 12 21)(     x x xxf 12 21 12 21 12 21)( 1         x x x x xxf …………………………………………8 分 )()( xfxf  ，所以存在实数 1a ，使 )(xf 为奇函数。 ………………………10 分说明：不写函数 )(xf 定义域扣 1 分。