2020届陕西省榆林市绥德县高三下数学理第五次模拟试题

2020 届陕西省榆林市绥德县高三 下数学理第五次模拟试题 数 学（理） 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若 ，则 （ ） A．－1 B．1 C．－3 D．3 2. 设集合 ，若 ，则 a 的取值范围为 （ ） A．(1，2) B． C．[1，2] D． 3. 若曲线 关于点 对称，则 （ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 4. 若 >0， 2 B． C．2 －2 > 2 D. 2 －2 > 2 5. 如图，AB 是圆 O 的一条直径，C、D 是半圆弧的两个三等分点，则 （ ） A． B． C． D． 6. 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一 个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那 2 1 iz i −= + z z+ = 2{ }, { 3 2}A x x a B x x a= > = < − A B φ= ( ,1) (2, )−∞ +∞ ( ,1] [2, )−∞ +∞ sin(4 )(0 2 )y x ϕ ϕ π= + < < ( ,0)12 π ϕ = 2 3 π 5 3 π 3 π 4 3 π 5 6 π 11 6 π 6 π 7 6 π x y x y x 1 2 2 2 log (1+ )x y x− > y x x 1 2 2 2 log (1+ )y x x− > x y x AB = AC AD−  2 2AC AD−  AD AC−  2 2AD AC− 么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有 两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三 角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36° 的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角 形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五 边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中， 。根据这些信息，可得 sin234° ＝（ ） A． B. C． D． 7. 若函数 在(－∞， ]上的最大值为 4，则 的取值范围 为)（ ） A．[0，17] B．(－∞，17] C．[1，17] D．[1，＋∞) 8. 如图，图 C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为 1)，图中 直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆 C 经过点 A(2，15)，则圆 C 的半径为]（ ） A． B．8 C． D．10 5 1 2 BC AC −= 1 2 5 4 − 3 5 8 += 5 1 4 +− 4 5 8 +− 2 2 2, 1( ) log ( 1), 1 x xf x x x  + ≤=  − > a a y xO 7 2 8 29. 函数 的图象大致为]（ ） 10. 2019 年 7 月 1 日迎来了我国建党 98 周年，6 名老党员在这天相约来到革命圣 地之一的西柏坡。6 名老党员中有 3 名党员当年在同一个班，他们站成一排拍 照留念时，要求同班的 3 名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张 照片，若将照片洗出来，每张照片 0.5 元(不含过塑费)，且有一半的照片需要 过塑，每张过塑费为 0.75 元。若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片 也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为 （ ） A．20.5 元 B．21 元 C．21.5 元 D．22 元 11. 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G 分别为 AA1、BC、C1D1 的中点， 现有下面三个结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线 A1G 与 C1F 所成角 为 60°；③AC∥平面 EFG。其中所有正确结论的编号是]（ ） A．① B．②③ C．①② D.①③ 12. 函数 在区间[－3，2)∪(2，3]上的零点个数为)（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的 横线上。 13. 随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活。网购的苹果在运输过 程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为 0.7，每箱苹 果在运输中互不影响，则网购 2 箱苹果恰有 1 箱在运输中出现碰伤的概率 为 ▲ 14. 设 、 、 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边。已知 sinA＝2 cosAcosC ＋2 cosAcosB，则 tanA＝ ▲ 15. 以椭圆 在 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方 程为 ；此双曲线的渐近线方程为 16. 已知直线 与双曲线 的一条渐近线交于点 P，双 曲线 C 的左、右顶点分别为 A1、A2，若 ，则双曲线 C 的离 ||lg)33()( xxf xx −+= 3 1( ) ( 3 ) 2 xf x x x e x = − − − a b c a b c 2 2 : 15 4 x yC + = x ay = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 1 2 5 2PA A A=心率为 ▲ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每道试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据 要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. （12 分） 在公差为 的等差数列 中， ＝6， N， N，且 > 。 （1）求 的通项公式； （2）若 、 、 成等比数列，求数列 的前 项和 。 18. （12 分） 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为菱形， D 为 AB 的中点，△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝ ， ∠ABB1＝ ，且 AB＝B1C。 （1）证明：CD⊥平面 ABB1A1 ； （2）求 CD 与平面 A1BC 所成角的正弦值。 19. （12 分） 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测， 现对某条生产线上随机抽取的 100 个产品进行相关数据的对比，并对每个 产品进行综合评分(满分 100 分)，将每个产品所得的综合评分制成如图所示 的频率分布直方图，记综合评分为 80 分及以上的产品为一等。 （1）求图中 a 的值，并求综合评分的中位数； （2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线 中随机抽取 3 个产品，求所抽取的产品中一等品数的分 布列和数学期望。 20. （12 分） 已知椭圆 C： ( )的长轴长为 ，焦 距为 2，抛物线 M： 的准线经过 C 的左焦点 F。 （1）求 C 与 M 的方程； d }{ na da1 1a ∈ d ∈ 1a d }{ na 1a 4a 13a 1 1 n na a +       n nS 2 π 3 π 2 2 2 2 1x y a b + = 0>> ba 2 2 )0(22 >= ppxy（2）直线 经过 C 的上顶点且 与 M 交于 P、Q 两点，直线 FP、FQ 与 M 分别交于点 D(异于点 P)，E(异于点 Q)，证明：直线 DE 的斜率为定值。 21. （12 分） 已知函数 。 （1）讨论 的单调性； （2）试问是否存在 ，使得 对 恒成立？ 若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。 22. [选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)，以 坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 M 的极坐 标方程为 ， 。 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）已知 β 为锐角，直线 ：θ＝β 与曲线 C 的交点为 A(异于极点)， 与曲线 M 的交点为 B，若 ，求 的直角坐标方程。 23. [选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知 、 、 为正数，且满足 。 （1）证明： ； （2）证明： 。 l l 2 21 1( ) (2ln 1) (ln 2)4 2f x x x ax x x= − − − − ( )f x ( , ]a e∈ −∞ 1( ) 3 sin4 4 af x π> + [1, )x∈ +∞ a xOy 2cos 2 2sin x y α α =  = + x 2 sin 2 32ρ θ = (0 )2 πθ< < l ( )Rρ ∈ l 16 2OA OB⋅ = l a b c 3=++ cba 3ab bc ac+ + ≤ 9 4 12ab bc ac abc+ + ≥