2020届辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三数学理科第五次模拟试题及答案

2020 届辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三数学理科第五次模拟试题2020 届辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三数学理科第五次模拟 试题答案 一、单选题 1---121-6 B B C A B 7--12 D A C B D C .二、填空题 13． -160 14. 15． 16． . 三、解答题 【答案】（1） ；（2） ； 解：（1）由三角函数定义，可知 ， ， 所以 . …4 分 （2）由三角函数定义，知 ，所以 ， 所以 ， …6 分 因为 ，所以 ，即 ， …8 分 于是 ，所以 的取值范围是 . …10 分 当 时， ，即 ，解得 ，…11 分 易知四边形 为菱形，此时菱形 的面积为 . …12 分 18．【详解】(1)2×2 列联表 年龄低于 45 岁的人 年龄不低于 45 岁的 合计 D 1− 1 3k ≥ 40 10 3 π 3 2 − 10, 2      3 2 3sin 2 α = 1cos 2 α = − 3 1 3sin2 2sin cos 2 2 2 2 α α α  = = × × − = −   ( )cos2 ,sin2P θ θ ( )1 cos2 sin 2OQ OA OP θ θ → → → = + = + , ( ) ( )1 3 11 cos2 sin 2 sin 22 2 6 2f OB OQ πθ θ θ θ → →  = = − + + = − −   ⋅ π π 6 2 θ≤ ≤ π π 5π26 6 6 θ≤ − ≤ 1 πsin 2 12 6 θ ≤ − ≤   ( ) 10 2f θ≤ ≤ ( )f θ 10, 2      OB OQ → → ⊥ ( ) 0f OB OQθ → → = ⋅ = π 12 06 2sin θ − − =   π2 3 θ = OAQP OAQP 1 π 32 1 1 sin2 3 2 × × × × =数 人数 了解 a=3 c=29 32 不了解 b=7 d=11 18 合计 10 40 50 …3 分, …4 分 …5 分 所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． …6 分 ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ; ; ; ; …10 分 所以 X 的分布列是 …11 分 所以 X 的期望值是 . …12 分 19． 【详解】证明：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ， ， ．如图，∵三棱柱的所 有棱长均为 2， ， ∴ 和 是边长为 2 的等边三角形，且 ．∴ ， ． X 0 1 2 3 P 1152 7225 18324010 )297113(50 ))()()(( )( 22 2 =××× ×−×=++++ −= dbcadcba bcadnk 635.6272.62 ( )1 0f = ( ) 2 2 1 1a axf x x x x −′ = − = 0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( ) 0f x′ = 1x a = x 10, a      1 a 1 ,a  +∞   ( )f x′ − + ( )f x   1 1a = 1a = ( )f x 1x = 1 1a > 0 1a< < 1 1ae > ( )1 1 0f fa   < =   1 1 1 1 1ln 1 0a a a a f e a e e e   = + − = >    ( )f x ( )0, ∞+ 1 0 1 , ax ea  ∈    ( ) 0f x = ( )f x ( )0, ∞+ 1x = 1 0 1 , ax x ea  = ∈    0 1a< < 10 1a < < 1a > ( )1 1 0f fa   < =  令 ， ， ， 所以 在 上是单调增函数， ， 所以 在 上是单调增函数， ． 所以 ，且 ， 的图像在 上不间断， 所以存在 ，使得 ． 此时， 在 恰有两个不同得零点 和 ． 所以 符合题意． 综上所述，实数 的取值范围是 或 ． …9 分 （3）依题意 ， ． 则 ，令 ， ， ， 所以 在 上是单调增函数． 要使得 在 上存在极值， 则须满足 即 所以 ， ，即 ． 由（2）可知，当 时， ，所以 ， ． 所以 ，即 ， ( ) ( ) 2 1a aa f e e aϕ −= = − − ( ) 2aa e aϕ′ = − ( ) 2 0aa eϕ′′ = − > ( )aϕ′ ( )1,+∞ ( ) ( ) 2 0a a eϕ ϕ′ > = − > ( )aϕ ( )1,+∞ ( ) ( )1 2 0a eϕ ϕ> = − > ( ) 0af e− > 0 1ae−< < ( )f x ( )0, ∞+ 0 1,ax e a − ∈   ( ) 0f x = ( )f x ( )0, ∞+ 1x = 0 1,ax x e a − = ∈   1a > a 0 1a< < 1a > ( ) 1 1ln 1 ln 1x xg x e a x e a xx x  = + − + − = − +   0 ax e−< < ( ) x x a xe ag x e x x −′ = − = ( ) xt x xe a= − ( )0, ax e−∈ ( ) ( 1) 0xt x e x′ = + > ( )t x ( )0, ae− ( )g x ( )0, ae− ( ) ( ) 0 0, 0,a t t e−   0, 0,aa e a e e a −− > ⋅ − > 0a aee a − − > > lnee a a− − > lnae a a− > + 0x > ( ) 1ln 1 0f x x x = + − ≥ 0a > 1ln 1 0a a + − ≥ 1 1 11 ln 1 ln 1 0ae a a a a a aa a − −+ − − > + + − − = + − ≥ 1 1 0ae a a− −+ − − >所以 ． …12 分 22．【详解】（Ⅰ）曲线 的参数方程为 （ 为参数）． 消去 得 ，将 ， 代入上式得曲线 的极坐标方程 ，…3 分 整理得 ； …3 分 因为 ， 所以曲线 的普通方程为 ． …6 分 （Ⅱ）因为 在曲线 上， 所以将 的参数方程 （ 为参数）． 代入到 的直角坐标方程 ，得 ， …8 分 设 分别为点 对应的参数，则有 ， 由参数 的几何意义得 ． …10 分 23．【答案】(1) .(2)见解析. 1 1ae a a− −+ > + 1C 3 3 ,3 2 2 1 3 2 x t y t  = +  = − + t t 3 3 0x y− − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 3 sin 3ρ θ ρ θ− = 3sin 6 2 πρ θ − = −   2 2 2 2 2 1 sin 2 cos cos yx ϕ ϕ ϕ− = − 2 2 1 sin 1cos ϕ ϕ −= = 2C 2 2 12 yx − = 3 2,3 3P  −    1C 1C 3 3 ,3 2 2 1 3 2 x t y t  = +  = − + t 2C 2 2 12 yx − = 25 4 8 08 3 9t t+ − = 1 2,t t ,A B 1 2 64 45t t⋅ = − t 1 2 64| | | | 45PA PB t t⋅ = ⋅ = 2 1m− ≤ ≤【详解】（1）∵ ，…2 分 ∵存在 ，使得 ，∴ ，∴ . …6 分 （2）由（1）知： 的最大值为 1，∴ ， ∴ ， ∴ .…9 分 当且仅当 时取“=”. …10 分 ( ) | 2 1| 2 | 1| 2 1 2( 1) 3f x x x x x= − + + ≥ − − + = 0x R∈ ( ) 2 0 5f x m m+ ≤ − 23 5m m+ ≤ − 2 1m− ≤ ≤ m 1a b+ = 2 2 2 2 2 2a b b aa b a bb a a b + + + ≥ ⋅ + ⋅ 2 2a b= + 2 2 1a b a bb a + ≥ + = a b=