数学
总分 120 分，时量 100 分钟
一、单项选择题（每小题 5 分，共 10 小题）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 为第三象限角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 终边落在直线 上的角的集合为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 化简 的结果为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
A. B. C. D.
7. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. △ABC 中，设角 所对的边分别为 ，若 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
9. 将函数 的图象所有点向右平移 个单位得到图象 C，则图象 C 的解析
式为 （ ）
=°300sin
2
1
2
1−
2
3
2
3−
α
5
52sin −=α =αcos
5
5
5
5−
5
52
5
52−
xy =
},42|{ Zkk ∈+= ππαα },4|{ Zkk ∈+= ππαα
},42|{ Zkk ∈±= ππαα },4|{ Zkk ∈±= ππαα
)2,3(),1,1( −== ba =− ba 23
)7,3(− )7,0( )5,3( )5,3(−
)2cos()2
3sin(
)3cos()sin(
πααπ
απαπ
−⋅+
+⋅−
1− αsin αcos
π
xy sin= xy cos= xxy cossin += xxy cossin ⋅=
1tan,1cos,1sin === cba cba ,,
cba >> bca >> bac >> abc >>
CBA ,, cba ,, 222 babac +=−
=C
6
π
3
π
2
π
3
2π
xy 2sin=
4
π
=y
A. B. C. D.
10. 如图，△ABC 中，设 ，D 为 BC 中点，又 ，
则 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题）
11. 半径为 1，圆心角为 120°的扇形的面积为
12. 计算
13. 已知角 终边经过点（ ），则
14. 下列关于函数 的描述，正确的是 （填序号）
① ； ② 是 的一个零点；
③ 是 的一个单调递增区间； ④若 ，
则
三、解答题（每小题 10 分，共 5 小题，答题要求有必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
15. 已知 ，求:
（1） ；
（2）
16. 已知向量
（1）求 与 的夹角
（2）若 ，求实数 的值
)42sin(
π−x )42sin(
π+x x2cos− x2cos
bACaAB == , EDAE 2=
=AE
ba 4
1
4
1 + ba 3
1
3
1 +
ba 2
1
2
1 + ba 3
2
3
2 +
=°°−°° 20sin140cos110sin40sin
α 2,1 − =α2sin
1)62sin(2)( ++= π
xxf
3)(,3)( minmax −== xfxf 20
π=x )(xf
]3
2,6[
ππ
)(xf Zkkxx ∈+=+ ,321
ππ
)()( 21 xfxf =
3
1tan =α
α2tan
αα
αα
sincos2
cossin2
−
+
)1,3(,)1,2( −== ba
a b
bbak ⊥− k
a
b
E D
C
BA
17. 已知 为锐角，且 ，求：
（1）
（2）
18. 已知△ 中，角 所对的边分别为 ，且
（1）求角 的大小
（2）若角 ，求
19. 已知向量 ， ，设
（1）求 的解析式
（2）求 的单调递增区间
（3）当 时，求 的最大值和最小值
数学答案
一、单项选择题（每小题 5 分，共 10 小题）
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题）
11. ； 12. ； 13. ； 14. ②④
三、解答题（每小题 10 分，共 5 小题，答题要求有必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
15. 已知 ，求:
（1） ；
（2）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A A D C D C B
α
5
3)6sin( =− πα
αsin
)26
5cos( απ −
ABC CBA ,, cba ,, Babc cos22 +=
A
6,72 == ca b
)2cos,sin3( += xxa )2cos,cos( −= xxb baxf ⋅=)(
)(xf
)(xf
]3,6[
ππ−∈x )(xf
3
2π
2
3
5
4−
3
1tan =α
α2tan
αα
αα
sincos2
cossin2
−
+
解：（1）
... ... 5 分
（2） ... ... 10 分
16. 已知向量
（1）求 与 的夹角
（2）若 ，求实数 的值
解：（1）设 与 的夹角为
， ，... ...3 分
，又 ， ... ...5 分
（2） ，又 ， ... ...7 分
， ... ... 10 分
17. 已知 为锐角，且 ，求：
（1）
（2）
解：（1） 为锐角， ，
， ... ... 2 分
... ... 4 分
... ... 5 分
（2）
... ...7 分
... ....10 分
4
3
)3
1(1
3
12
tan1
tan22tan
22
=
−
×
=−= α
αα
1
3
12
13
2
tan2
1tan2
sincos2
cossin2 =
−
+
=−
+=−
+
α
α
αα
αα
)1,3(,)1,2( −== ba
a b
bbak ⊥− k
a b θ
10)1(3||,512|| 2222 =−+==+= ba 5)1(132 =−×+×=⋅ba
2
2
105
5
||||
cos =
⋅
=
⋅
⋅=∴
ba
baθ ),0( πθ ∈
4
πθ =∴
)1,32( +−=− kkbak bbak ⊥− 0)( =⋅−∴ bbak
0105)1()32(3)( =−=+−−=⋅−∴ kkkbbak 2=∴ k
α
5
3)6sin( =− πα
αsin
)26
5cos( απ −
α )3,6(6
πππα −∈−∴
5
4)6(sin1)6cos( 2 =−−=−∴ παπα
6sin)6cos(6cos)6sin(]6)6sin[(sin
ππαππαππαα −+−=+−=∴
10
433
2
1
5
4
2
3
5
3 +=×+×=
)32sin()]26
5(2sin[)26
5cos(
πααππαπ −=−−=−
25
24
5
4
5
32)6cos()6sin(2 =××=−⋅−= παπα
18. 已知△ 中，角 所对的边分别为 ，且
（1）求角 的大小
（2）若角 ，求
解：（1） ，又由正弦定理可得：
， ，
又 ，
， ... ... 2 分
又 ， ， ，
， ... ... 5 分
（2）由余弦定理 ... ... 8 分
或 ... ... 10 分
19. 已知向量 ， ，设
（1）求 的解析式
（2）求 的单调递增区间
（3）当 时，求 的最大值和最小值
解：（1）由条件得
所以 ... ... 2 分
（2）由（1）得 ... ... 4 分
所以 递增时， ，
ABC CBA ,, cba ,, Babc cos22 +=
A
6,72 == ca b
Babc cos22 +=
BARBRCR cossin4sin2sin2 += BABC cossin2sinsin2 +=∴
BABABABAC sincoscossin)sin()](180sin[sin +=+=+−°=
BABBABA cossin2sinsincos2cossin2 +=+∴
BBA sinsincos2 =∴
),0( π∈B 0sin ≠B 2
1cos =∴ A
),0( π∈A 3
π=∴ A
22222 )72(366cos626 =+−=⋅×−+= bbAbba
0862 =+−∴ bb
4=∴ b 2=b
)2cos,sin3( += xxa )2cos,cos( −= xxb baxf ⋅=)(
)(xf
)(xf
]3,6[
ππ−∈x )(xf
)2(cos)2(coscossin3)( −⋅++⋅=⋅= xxxxbaxf
4coscossin3)( 2 −+⋅= xxxxf
2
7)62sin(42
2cos12sin2
3)( −+=−++= π
xxxxf
)(xf Zkkxk ∈+≤+≤− ,226222
πππππ
化简得
所以 的单调递增区间为 ... ...6 分
（3）当 时， ，
所以当 时， ... ... 8 分
当 时，
所以 的最大值和最小值分别为 ... ...10 分
Zkkxk ∈+≤≤− ,63
ππππ
)(xf )(]6,3[ Zkkk ∈+− ππππ
]3,6[
ππ−∈x ]6
5,6[62
πππ −∈+x
662
ππ −=+x 42
7)6sin()( min −=−−= π
xf
262
ππ =+x 2
5
2
7
2sin)( max −=−= π
xf
)(xf 4,2
5 −−
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