雅安中学高 2018 级高二下期 6 月月考
数学试题（理科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4
页，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本
试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
注意事项：
必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共 12 小题。
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只
有一个是符合题目要求的。
1. 已知 ，则 （ ）
A.11 B. 12 C.13 D. 14
2. 如图,在复平面内,点 表示复数 ,则图中表示 的共轭复数的点是（ ）
A． B． C． D．
3. ，若 为假命题，则 的取值范围为（ ）
y
x
DB
A
O
C
2 132nA = n =
A z z
A B C D
1: 0p a
< p a
A. B. C. D.
4.已知 的展开式中 的系数为 ,则 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦
值等于（ ）
A． B． C． D．
6. 以下结论不正确的是（ ）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
7. 将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给
同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是（ ）
A.96 B.84 C.92 D.86
8. 已知函数 ,下列结论中错误的是（ ）
A． R, B.函数 的图像是中心对称图形
C．若 是 的极小值点,则 在区间 上单减
D．若 是 的极值点,则
9. 某射击手每次射击击中目标的概率为 0.8，则这名射击手在 4 次射击中至少击
中目标 1 次的概率为（ ）
A.0.9728 B.0.9984 C.0.9948 D. 0.9782
5)1)(1( xax ++ 2x 5 =a
4− 3− 2− 1−
3 2( )f x x ax bx c= + + +
0x∃ ∈ 0( ) 0f x = ( )y f x=
0x ( )f x ( )f x 0( , )x−∞
0x ( )f x 0'( ) 0f x =
0a < 0a ≤ 0a > 0a ≥
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= CD 1BDC
2
3
3
3
2
3
1
3
1y x−= ' 2y x−= − 5y x= ' 5y =
1
2y x=
1
' 21
2y x
−= ln(2 1)y x= + ' 1
2 1y x
= +
10.方程 的正整数解共有（ ）组
A.165 B.120 C.38 D.35
11. 设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）
A．若 , 则 z 是实数 B．若 , 则 z 是虚数
C．若 z 是虚数, 则 D．若 z 是纯虚数, 则
12. 设 a∈R，若函数 y=eax+3x，x∈R 有大于零的极值点,则( )
A. a> -3 B. a< -3 C. a> D. a< 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。 第Ⅱ卷分为填空题和解答题。 二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案书写在答题卡对应题号的 横 线上。 13. 设 ( 为虚数单位),则复数 的模为 . 14.某动物从出生开始能活到 20 岁的概率为 ，活到 25 岁的概率为 ，现有一 20 岁的这种动物，则它能活到 25 岁的概率为 . 15. 的展开式中系数最大的项的系数为 . 16. 设 ，定义 为 的导数，即 ， ，若 2 0z ≥ 2 0z < 2 0z ≥ 2 0z < xxf cos)(1 = )(1 xf n+ )(xf n )()(1 xfxf nn ′=+ +∈ Nn 1 2 3 4 12x x x x+ + + = 1 3 − 1 3 − 2)2( iz −= i z 3 5 3 10 7(1 2 )x+
的内角 满足 ，则 = .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时
应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数
百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,
其中观众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选
2 名. 观众乙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.
(1) 求观众甲选中 3 号歌手的概率；
(2) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙的票数之和，求 P(X=1).
18.(12 分)已知函数 .
（1）求 在点 P 处的切线方程；（2）求 的单调减区间.
ABC∆ A Asin0)()()( 201421 =+++ AfAfAf
( ) ln 2 1f x x x= − +
( )f x 1 1( , )− ( )f x
19.(12 分) 如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 、 外的一个动点，
垂 直 于 半 圆 所 在 的 平 面 ， ∥ ， ， ，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 体积最大值．
20.(12 分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中,摸奖者
先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个
白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三
等奖如下：
AB O C O A B
DC O DC EB DC EB= 4=AB
4
1tan =∠EAB
⊥ADE ACD
ADEC − A B
C
D
E
O
•O
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3 红 1 蓝 200 元
二等奖 3 红 0 蓝 50 元
三等奖 2 红 1 蓝 20 元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求摸奖者第一次摸球时恰好摸到 1 个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列.
21.(12 分)如图，四棱锥 中,底面 是正方形，且四个侧面均为等
边三角形.延长 至点 使 = ，连接 .
(1)证明: ；
(2)求二面角 平面角的余弦值.
P ABED− ABED
BE C BE EC ,DC PC
PB CD⊥
A PD C− −
E
22.(12 分) 设函数 (e=2.71828 是自然对数的底数, ).
(1)求 的最值；
(2)讨论方程 的根的个数.
2( ) x
xf x ce
= + c R∈
( )f x
( ) lnf x x=
高二下 6 月月考理科数学参考答案
选择题：1.B 2.B 和 C 都得 5 分 DDA DACBA CB 填空题：5 672
解答题： 17、（1） ；（2） 18、（1） ；（2） 19、（1）略；
（2）
20、
21、（1）略；（2）
22、 (Ⅰ) , 由 ,解得 , 当 时, , 单调
递减 ，所以,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,
最大值为 ，无最小值
(Ⅱ)令
(1)当 时, ,则 ,
' 2( ) (1 2 ) xf x x e−= − ' ( ) 0f x = 1
2x = 1
2x > ' ( ) 0f x < ( )f x ( )f x 1( , )2 −∞ 1( , )2 +∞ 1 1( )2 2f ce = + 2( ) ln ( ) ln x xg x x f x x ce = − = − − (0, )x∈ +∞ (1, )x∈ +∞ ln 0x > 2( ) ln x
xg x x ce
= − −
1
2
2
2
2
3
7
15
0x y+ = 1( , )2
+∞
4
3
6
3
−
所以,
因为 , 所以 ，因此 在 上单调递增.
(2)当 时,当时, ,则 ,
所以, ，因为 , ,又
所以 所以 ，因此 在 上单调递减.
综合(1)(2)可知 当 时, ,
当 ,即 时, 没有零点,
故关于 的方程 根的个数为 0;
当 ,即 时, 只有一个零点,
故关于 的方程 根的个数为 1;
当 ,即 时,
①当 时,由(Ⅰ)知 ，要
使 ,只需使 ,即 ;
②当 时,由(Ⅰ)知
; 要 使 , 只 需 使
,即 ; 所以当 时, 有两个零点,故关于 的方
2
' 2( ) ( 2 1)
x
x eg x e xx
−= + −
2 1 0x − >
2
0
xe
x
> ' ( ) 0g x > ( )g x (1, )+∞
(0,1)x∈ ln 0x < 2( ) ln x xg x x ce = − − − 2 ' 2( ) ( 2 1) x x eg x e xx −= − + − 2 2(1, )xe e∈ 2 1 0xe x> > > 2 1 1x − < 2 2 1 0 xe xx − + − < ' ( ) 0g x < ( )g x (0,1) (0, )x∈ +∞ 2( ) (1)g x g e c−≥ = − − 2(1) 0g e c−= − − > 2c e−< − ( )g x x ln ( )x f x= 2(1) 0g e c−= − − = 2c e−= − ( )g x x ln ( )x f x= 2(1) 0g e c−= − − < 2c e−> −
(1, )x∈ +∞ 1
2
1( ) ln ln ( ) ln 12x
xg x x c x e c x ce
−= − − ≥ − + > − −
( ) 0g x > ln 1 0x c− − > 1( , )cx e +∈ +∞
(0,1)x∈
1
2
1( ) ln ln ( ) ln 12x
xg x x c x e c x ce
−= − − − ≥ − − + > − − − ( ) 0g x >
ln 1 0x c− − − > 1(0, )cx e− −∈ 2c e−> − ( )g x x
程 根的个数为 2;
当 时,关于 的方程 根的个数为 0;
当 时,关于 的方程 根的个数为 1;
当 时,关于 的方程 根的个数为 2.
ln ( )x f x=
2c e−< − x ln ( )x f x= 2c e−= − x ln ( )x f x= 2c e−> − x ln ( )x f x=
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