1
2020 年下学期无锡期末考试高二数学备考限时训练（三）
本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共计 24 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数 z 满足 ，则 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．定义在 R 上的可导函数 满足 ，若 ，则 m 的
取值范围是
A．( ，﹣1] B．( ， ] C．[﹣1， ) D．[ ， )
3．已知正态密度曲线的函数关系式是 ，设有一正态总体，它的概率
密度曲线是函数 的图象，且 (x R)，则这个正态总体的平均
数 与标准差 分别是
A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10
4．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，DC＝2，DA＝DD1
＝1，点 M、N 分别为 A1D 和 CD1 上的动点，若 MN∥平面
AA1C1C，则 MN 的最小值为
A． B． C． D．
5．已知函数 ，对于任意的 a＜0，b R，都存在 [1，m]使得
≥1 成立，则实数 m 的取值范围是
A．[ ， ) B．[ ， ) C．[ ， ] D．(1， ]
6．今有 6 个人组成的旅游团，包括 4 个大人，2 个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观
光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘 3 人，为了安全起见，小孩乘缆
车必须要大人陪同，则不同的乘车方式种数有
A．204 B．288 C．348 D．396
二、 多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分， 共计 10 分．在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
7．独立性检验中，为了调查变量 X 与变量 Y 的关系，经过计算得到 P(K2≥6.635)＝0.01，
表示的意义是
A．有 99%的把握认为变量 X 与变量 Y 没有关系
B．有 1%的把握认为变量 X 与变量 Y 有关系
C．有 99%的把握认为变量 X 与变量 Y 有关系
1 3i 1z − − = z
( )f x ( ) 1f x′ < ( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − ≥ −
−∞ −∞ 1
3
+∞ 1
3
+∞
2
2
( )
21( ) e
2
x
f x
µ
σ
πσ
−
=
( )f x
2( 10)
81( ) e
8
x
f x πσ
−
= ∈
µ σ
5
3
5
2
5
6
2
3
( ) lnf x x ax b= − − ∈ 0x ∈ 0( )f x
2e +∞ e +∞ e 2e 2e
第 4 题2
D．有 1%的把握认为变量 X 与变量 Y 没有关系
8．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白
球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，
则下列结论中正确的是
A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝
C．事件 B 与事件 A1 相互独立 D．A1，A2，A3 是两两互斥的事件
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．）
9．已知变量 x，y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数 ＝4， ＝5，线性回归方程
中的系数 b，a 满足 b＋a＝4，则线性回归方程为 ．
10．已知 a，b，c 均为正实数，若(abc＋4)(a＋bc)＝ abc，则实数 的最小值为 ．
11．若 ，则
＝ ．
12．已知函数 ， ，若方程 有 4 个不等实根，则
实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 4 小题，共计 46 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．）
13．（本题满分 8 分）
如图①，在平行四边形 ABCD 中，BD⊥CD，BE⊥AD，将△ABD 沿对角线 BD 折起使
AB⊥BC，连接 AC、EC，得到如图②所示的三棱锥 A—BCD．若 ED＝1，二面角 C—BE—
D 的平面角的正切值为 ，求直线 BD 与平面 ADC 所成角的正弦值．
14．（本题满分 12 分）
记 ， ．
（1）求 ；
（ 2 ） 设 ， 求 和 ：
2
5
5
11
x y y
bx a= +
λ λ
6 2 6
0 1 2 6(2 1) ( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x+ = + + + + + + + 0 1 2 3 42 3 4a a a a a+ + + +
5 65 6a a+ +
2( )f x x a x= − + 2
ln( ) xg x x
= ( ( )) 1f g x =
6
2 1 2 2 +1
0 1 2 2 1(1 2 ) n n
nx a a x a x a x+
+− = + + + + Nn ∗∈
0 1 2 2 1na a a a ++ + + +
( 2)k
k ka b= −3
．
15．（本题满分 12 分）
2018 年 3 月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4
月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018—2020 年）》，提出到 2020
年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强
社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分
类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献
一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．
（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分
社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃
圾分类志愿者占男性居民的 ，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 ，
若研究得到在犯错误概率不超过 0.010 的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别
有关，则被调查的女性辱民至少多少人？
附： ，其中 ．
P( ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）某垃圾站的日垃圾分拣量 y（千克）与垃圾分类志愿者人数 x（人）满足回归直线
方程 ，数据统计如下：
志愿者人数 x（人） 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量 y（千克） 25 30 40 45 t
已知 ， ， ，请利用所给数据求 t 和回归直线
方程 ；
附： ， ．
（3）用（2）中所求的线性回归方程得到与 对应的日垃圾分拣量的估计值 ．当分
拣数据 与估计值 满足 时，则将分拣数据( ， )称为一个“正常数据”．现
从 5 个分拣数据中任取 3 个，记 X 表示取得“正常数据”的个数，求 X 的分布列和数学期
0 1 2 2 11 2 3 ( 1) (2 2)k nb b b k k n b +⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅
3
5
1
5
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2
0K k≥
0k
y bx a= +
5
1
1 405 i
i
y y
=
= =∑ 5
2
1
90i
i
x
=
=∑ 5
1
885i i
i
x y
=
=∑
y bx a= +
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y b x= −
ix iy
iy iy 2iiy y− ≤ ix iy4
望．
16．（本题满分 14 分）
已知函数 ， ．
（1）当 a (﹣e，0]（其中 e 为自然对数的底数）时，记函数 的最小值为 m．
求证： ；
（2）记 ，若函数 有两个不同零点，求实数 a 的取值
范围．
2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − −
∈ ( )g x
31 2em− ≤ < −
( ) ( ) ( ) 2lnh x g x f x x′= − − ( )h x5
参考答案
1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C
7．CD 8．BD
9． 10．8 11．13 12．( ， ) ( ， )
13．解：
14．（1）
1 11
3 3y x= + −∞ 12 2e e
− − 12 2e e
+ +∞6
（2）
15．
7
16．解：（1）因为 ，所以 .
当 时， ，
所以 恒成立，
所以 在（0，+∞）上单调递增.
因为 ，
所以 ，使得 .，即 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
从而 .
令 ，则 .
所以 在 单调递减，
因此 ， .
所以 .
（2） 因为 ， ，
所以 ，
即 .
所以 ，
当 时， 在 上恒成立，则 h(x)在 上单调递减，
故 h(x)不可能有两个不同的零点.
( ) lng x x ax′ = − 1 1( ) axg x ax x
−′′ = − =
( e 0]a∈ − ， [0 e)a− ∈ ，
1 1( ) 0axg x ax x
−′′ = − = >
( ) lng x x ax′ = −
1 e(1) ( ) 1 0e e e
a ag a g +′ ′= − = − − = − ( )g x
2
0 0 0
min 0 0 0 0 0
ln( ) ( ) ln 2 2
ax x xm g x g x x x x x= = = − − = −
(ln 1( ) 12 e
x xx x xϕ = − ∈ ， ， ln 1( ) 02
xxϕ −′ = <
ln( ) 2
x xx xϕ = − (1 1e
，
( ) (1) 1xϕ ϕ =−≥ 1 3( ) ( )e 2exϕ ϕ< = −
31 2em− < −≤
2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − −
2( ) ( ) ( ) 2ln ( 1) ln 1 1 2lnh x g x f x x ax a x x ax x′= − − = + − + + − − −
2( ) lnh x ax x x= − −
21 2 1( ) 2 1 ax xh x ax x x
− −′ = − − =
0a ≤ ( ) 0h x′ < (0 )+∞， (0 )+∞，8
当 时， ，令 ，
则函数 与函数 零点相同.
因为 ，令 ，
则 在 上恒成立，因为 ，则
x 1
- 0 +
递减 极小值 递增
所以 的极小值为 ，
所以要使 由两个不同零点，则必须 ，
所以 a 的取值范围为 .
因为 ， ，又 在 内连续且单调，
所以 在 内有唯一零点.
又 ，且 ，
又 在 内连续且单调，所以 在 内有唯一零点.
所以满足条件的 a 的取值范围为 .
0a > 2
2
ln( ) x xh x x a x
+= − 2
ln( ) x xF x a x
+= −
( )h x ( )F x
3
1 2 ln( ) x xF x x
− +′ = ( ) 1 2lnG x x x= − +
2( ) 1 0G x x
′ = + > (0 )+∞， (1) 0G =
(0 1)， (1 )+∞，
( )F x′
( )F x
( )F x (1) 1F a= −
( )F x (1) 1 0F a= − <
( )0 1，
(1) 0F < 1( ) 0eF > ( )F x ( )0 1，
( )F x ( )0 1，
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2 2 22 2ln2 0
2 2
a a a aa aF aa
a a
⋅ − −+
= − > = 2 1a
>
( )F x ( )1 +∞， ( )F x ( )1 +∞，
( )0 1，
微信/支付宝扫码支付