2020 浙江高考数学冲刺卷
本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分
钟
第（Ⅰ）卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．（原创）设全集 ，集合 ，集合 ，则
（ ）
A． 4 B． 2，3，6 C． 2，3，7 D． 2，3，4，7
2．（原创）若双曲线的两条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D． 或
3．（原创）实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（原创）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
5．（原创）冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋
晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）
A． B． C． D．
{1,2,3,4,5,6,7,8}U = {2,3,4,6}A = {1,4,7,8}B = ( )UA C B =
{ } { } { } { }
2 0x y± =
5 2 5
2 5 5
2
,x y
3
2 3
1
x y
x y
y
− ≥ −
+ ≤
≥
2x y+
[ 4,6]− [ 4,3]− [ 6,4]− [ 6,3]−
x∈R 2 2 0x x− < 1 2x − <
3
222 ( )π⋅
3
22( )π 3
2
π 3
1
π6．（原创）函数 的图象大致为（ ）
7．（原创）已知 成等差数列，随机变量 的分布列如下，则下列结论正确的是
（ ）
0 1 2
P a b c
A ． B． C．
D．
0 1 2
P c b a
1( ) ( )lnf x x xx
= +
a b c， ， ξ η，
ξ
( ) ( )E Eξ η= ( ) ( )D Dξ η=
( ) ( )E Eξ η> ( ) ( )D Dξ η>
η
1-1
x
y
o1-1 x
y
o x
y
o
1-1
x
y
o
1
-1
A B C D
2
2
2
2
2
2
正视图 侧视图 俯视图8．（改编）已知函数 ，若关于 的方程 恰有 4 个不相
等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（原创）如图，点 是矩形 的边 上一点，将 沿直线 折起至 ，点
在平面 上的投影为 ，平面 与平面 所成锐二面角为 ，直线 与平面
所成角为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（改编）数列 满足 ，下列说法正确的是（ ）
A．存在正整数 ，使得 B．存在正整数 ，使得
C．对任意正整数 ，都有 D．数列 单调递增
第（Ⅱ）卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题 7 小题，多空题每题 6 分，单空每题 4 分，共 36 分，把答案填在题中的横线
上．
11．（原创）复数 满足 ，则 _____； _____
12．（原创）点 是圆 上的动点，点 满足 （ 为坐标原点），则
3
1
4 1 ( 0)
( )
( 0)
x x x
f x
x x−
− − ≥=
2α β<
{ }na 2
1 1
3 2 22 n n na a a a+= = − +，
k 3
4ka = k 3ka =
k 1 2ka< < { }na
z ( 2) 2 1i z i+ = + z = z =
Q 2 2( 1) 1C x y+ − =： P 3OP OQ= O
E
D
CB
A
O
M
D
CEB
A点 的轨迹方程是_______________；若点 又在直线 上，则 的最小值
是________
13．（原创）已知在 的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则 _____； 项
的系数为______
14．（原创）四边形 内接于圆 ，其中 为直径，若 ，则
_______；四边形 的面积是_______
15 ． （ 原 创 ） 函 数 且 ， 若 ， 且
， 则 _______
16．（改编）过点 的直线与抛物线 相交于 两点， 为 轴上一点，若
为等边三角形，则 _______
17．（原创） 中， 依次为 的三等分点，若 ，则 的
最小值是__ _
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题 14 分）（原创）已知函数
（1）已知 ，函数 为奇函数，求 值；
（2）求函数 的值域.
19．（本题 15 分）（改编）如图，菱形 与正 的边长均为 ，且平面 平面
， 平面 ，且
P P ( 3 3)y k x= − k
1(2 )nx x x
− n = 4x
ABCD O AB 7, 3BC CD DA= = = AB =
ABCD
( ) log 1 ( 0,af x x a= − > 1)a ≠ 1 2 3 4x x x x< < <
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x= = =
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + + =
( 1,0)P − 2y x= ,A B ( ,0)M t x
ABM∆ t =
ABC∆ ,D E BC 2AB AD AC AE⋅ = ⋅ cos ADC∠
( ) cosf x x=
[0,2 )θ π∈ ( )f x θ+ θ
sin ( )6y x f x
π= ⋅ +
ABCD BCE∆ 2 BCE ⊥
ABCD FD ⊥ ABCD 3FD =（1）求证： 平面
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20．（本题 15 分）（改编）正项数列 的前 项和为 ，满足对每个 ，
成等差数列，且 成等比数列.
（1）求 的值；（2）求 的通项公式；（3）求证：
21．（本题 15 分）（改编）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆
上，直线 与椭圆的另一个交点分别为 .
（1）若 点坐标为 ，且 ，求椭圆的方程；
（2）设 ， ，求证： 为定值.
22．（本题 15 分）（改编）已知函数
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求实数 的值；
/ /EF ABCD
60ABC∠ = ° A BF E− −
{ }na n nS n N +∈ 11 2n
n nS a ++， ，
1 2 3 6a a a +， ，
1a { }na 2
1 2
1 1 1 1 1(13 )10 3n
na a a −+ + + ≤ −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F P
1 2,PF PF ,A B
P 3(1, )2 1 2 4PF PF+ =
1 1PF F Aλ=
2 2PF F Bµ= λ µ+
( ) lnf x x a x= +
( )y f x= 2x = 2y x= a
P
BA 2F
y
O1F x
F
E
C
B
D
A（2）若 在 上恒成立，求 的最小值. ( ) a xf x x e−≥ − (1, )+∞ a数学试卷参考答案与解题提示
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
1.【答案】B
【考查目标】本题考查集合的交、补运算，属于基础题.
【试题解析】 ， ，故选择 B
2. 【答案】D
【考查目标】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线、离心率的概念，考查考生基本运
算求解能力，属于基础题.
【试题解析】易得双曲线方程为 ，当 时离心率 ，当 时离心
率 ，故选择 D
3. 【答案】A
【考查目标】本题考查简单的线性规划问题，考查考生的作图能力和直观想象能力，属于基础题.
【试题解析】作图即得平面区域，由几何意义截距可知
4. 【答案】A
【考查目标】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判
断，考查考生等价转化思想，属于稍难题.
【试题解析】易得 ， ，故选 A
{2,3,4,6}UC B= {2,3,6}UA C B=
2 24 ( 0)x y λ λ− = ≠ 0λ > 5e= 0λ <
5
2e =
2 [ 6,3]z x y= + ∈ −
2 2 0 0 2x x x− < ⇔ < < 1 2 1 3x x− < ⇔− < ( ) 0f x >
1, 2a b c b a c+ + = = +
1 2,3 3b a c∴ = + =
2 , 2E b c E b aξ η= + = + 2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b c b cξ ξ ξ= − = + − +
2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b a b aη η η= − = + − + 24( )(1 ) 03D D c a bξ η− = − − − =
3 2( ) 4 1( 0), ( ) 3 4g x x x x g x x′= − − > = − 2 3(0, )3x∈ ( )g x
2 3( , )3x∈ +∞ ( )g x
D
A
C
B直线 与 在 处有一个交点，在 处有一个交点，故在 处
需 2 个交点，直线经过 点时 ，当直线与 相切于 时 ，故选择
D
9. 【答案】A
【考查目标】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考
查考生空间想象能力和作图能力，属于难题.
【试题解析】易得当 时，
设 交 于 ，则 ，
又由于 ，
故选择 A
10. 【答案】C
【考查目标】本题考查数列的递推关系、数列的通项、数列的求和、数列与不等式的综合问题，考
查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于难题.
【试题解析】 ，
， ，故选择 C
二、填空题：本大题 7 小题，多空题每题 6 分，单空每题 4 分，共 36 分．
11.【答案】 ；
【考查目标】本题考查复数的四则运算，考查考生基本运算求解能力，属于基础题.
【试题解析】
( 3)y a x= + ( )f x 0x < 2 3( , )3
+∞ 2 3(0, )3
0,1（ ） 1
3a = 3 4 +1y x x=− + (1, 4) 1a =
OB OC= MBO MCO β∠ = ∠ =
BO AE F AE MF⊥ MFO α∠ =
BF MF= MBF FMB β∴ ∠ = ∠ =
2 =β α∴
2 2
1 2 2 ( 1) 1 1n n n na a a a+ = − + = − + >
2
1 3 2 ( 2)( 1) 0n n n n n na a a a a a+ − = − + = − − < 11 2n na a+∴ < < <
4 3
5 5 i+ 1
2 1 4 3( 2) 2 1 , 12 5 5
ii z i z i zi
++ = + ⇒ = = + =+
F
A
C
D
O
M
EB12.【答案】 ；
【考查目标】本题考查直线与圆的位置关系，动点轨迹方程的求法，直线的倾斜角与斜率，考查考
生用数形结合方法解决问题的能力，属于基础题.
【试题解析】设 ，则 代入方程 得 ；
数形结合，直线与圆相切时 取得最小值
13.【答案】 ；
【考查目标】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题.
【试题解析】由二项式系数的对称性质得 ，由通项公式
令 ，故得含 的项系数为
14.【答案】 ；
【考查目标】本题考查三角形中的边角关系、三角形面积公式、倍角公式的应用，考查考生三角恒
等变形能力、图形识别能力、方程思想，属于稍难题.
【试题解析】连接 得
由面积公式的面积为
15.【答案】
【考查目标】本题考查对数的运算法则、对数函数的图像和性质，考查考生观察能力、运算求解能
力、画图能力，属于稍难题.
2 2( 3) 9C x y+ − =： 3−
0 0( , ), ( , )P x y Q x y
0
0
0
3
3
xx
yy
=
=
2 2
0 0( 1) 1x y+ − = 2 2( 3) 9x y+ − =
k 3−
6 240
6n = 3
6 12
1 6 (2 ) ( )r r r
rT C x x− −
+ = −
18 5
6 2
6 2 ( 1)
r
r r rC x
−
−= −
18 5 4 22
r r
− = ⇒ = 4x 2 4
6 2 240C =
9 16 2
BD
23 9 49 ( 9)cos cos 0 0 92 3 6
xDAB BCD xx
+ − −∠ + ∠ = ⇒ + = ⇒ =⋅ ⋅
16 2
2【 试 题 解 析 】 根 据 函 数 图 象 性 质 得 函 数 的 图 象 关 于 直 线 对 称 ， 则 易 得
又
同理可得 ，则
16.【答案】
【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题
【试题解析】由题意可知，直线 的斜率存在且不为 0，
故设直线方程为： 代入抛物线方程得 ①
设 ， ②
，则 中点坐标为
中垂线方程为 ，令 得 ，则
为正三角形， 到 直线的距离 ，
代入②满足，则
17.【答案】
【考查目标】本题考查向量的运算、平面向量的基本定理，考查考生综合运用向量、三角、不等式
1x =
1 4 2 3 1 2 3 42, 2, 4x x x x x x x x+ = + = ∴ + + + =
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1( ) ( ) log ( 1) log ( 1) ( 1)( 1) 1 1a af x f x x x x x x x
= ⇒ − = − − ⇒ − − = ⇒ + =
3 4
1 1 1x x
+ =
1 2 3 4
1 1 1 1 2x x x x
+ + + =
5
3
AB
( 1), 0y k x k= + ≠ 2 2 2 2(2 1) 0k x k x k+ − + =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 21 4 0k∆ = − >
2
1 2 1 22
1 2 , 1kx x x xk
−+ = = AB
2
2
1 2 1( , )2
k
k k
−
AB
2
2
1 1 1 2( )2
ky xk k k
−− = − − 0y =
2
1 1
2 2t k
= − 2
1 1( ,0)2 2M k
−
ABE∆ M AB 3
2d AB=
2 2
2 2
1 2 2
1 3 3 1 4 391 12 2 2 13
k kk x x k kk k
+ −∴ = + − = + ⇒ = ±
5
3t =
4
7等知识解决问题的能力，属于难题.
【试题解析】 ，设
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．
18. 【答案】（1） 或 ；（2）
【考查目标】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查考生三角函数的恒等变形能
力，属于基础题.
【试题解析】
（1） 奇 恒成立——————2 分
恒成立————4 分
，又 ，所以 或 .————————6 分
（2） ——8 分
——————10 分
————————12 分
( )
( )
1
22
1 2
2
AD AB AE AB AD AE
AE AE ADAE AD AC
= + = − ⇒ = − = +
, ,AD x AE y DE m= = =
2 2 2 22 2 4 2 4 2AB AD AC AE x AD AE y AD AE AD AE y x⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ = −
2 2 2
2 2 2 2 25 14 22 7 7
x y m y x y x m
+ −∴ = − ⇒ = −
2 2
2 2 2
2 8
47 7cos 2 2 7
x mx m yADC mx mx
++ −∴ ∠ = = ≥
2
π 3
2
π 3 1[ , ]4 4
−
( )f x θ+ ( ) ( ) 0f x f xθ θ⇔ + + − + =
cos( ) cos( ) 0 2 cos cos 0x x xθ θ θ⇔ + + − + = ⇔ =
cos 0θ⇔ = [0,2 )θ π∈
2
πθ = 3
2
π
3 1sin ( ) sin cos( ) sin ( cos sin )6 6 2 2y x f x x x x x x
π π= ⋅ + = + = −
23 1 3 1sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4x x x x x= − = − −
1 1 1 1( 3 sin 2 cos 2 ) sin(2 )4 4 2 6 4x x x
π= + − = + −因为 ，所以 ，
所以函数 的值域是 .————————14 分
19. 【答案】（1）见解析；（2）
【考查目标】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面
角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.
【试题解析】
（1）如图，作 于 ，连 ，————1 分
平面 平面 ， 平面 ，
且 ————3 分
又 平面 ，且 ，
，且 ，四边形 是平行四边形， ————5 分，
——————7 分
（2） ，——————8 分
以 为原点， 所在直线为 轴建立空
间直角坐标系，如图所示.————9 分
则
有 ————10 分
1 sin(2 ) 16x
π− ≤ + ≤ 3 1
4 4y− ≤ ≤
sin ( )6y x f x
π= ⋅ + 3 1[ , ]4 4
−
7
8
−
EH BC⊥ H DH
BCE ⊥ ABCD ∴ EH ⊥ ABCD
3EH =
FD⊥ ABCD 3FD=
∴ / /EH FD EH FD= EFDH / /EF HD∴
/ /
/ /
EF ABCD
HD ABCD EF ABCD
EF HD
⊄
⊂ ⇒
平面
平面 平面
60
ABCD
ABC AH BC
H BC
∠ = ° ⇒ ⊥
菱形
是 中点
H , ,HB HA HE , ,x y z
(0, 3,0), (1,0,0), (0, 3, 3), (2, 3, 3)A B E F
( 1, 3,0), ( 1,0, 3), ( 3, 3, 3)BA BE BF= − = − = −
z
y
x
H
F
E
DC
B A设平面 的一个法向量为 ，
由 ，令 ，取 ，————11 分
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，令 ，取 ，————12 分
则 ，——————14 分
由题意知二面角 是钝二面角，故二面角 的余弦值是 .——15 分
20.【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【考查目标】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前 项和公式，递推数列求通项的方法，
考查考生运用所学的数学方法：数学归纳法，比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题.
【试题解析】
（1） ————————2 分
————3 分
因为 ，所以 ————4 分
（2）
ABF 1 1 1 1( , , )n x y z=
1 1 1 1
1 1 1
0 3 3 3 0
0 3 0
n BA x y z
n BF x y
⋅ = − + + = ⇒ ⋅ = − + =
1 1y = 1 ( 3,1,2)n =
BEF 2 2 2 2( , , )n x y z=
2 2 2 2
2 2 2
0 3 3 3 0
0 3 0
n BE x y z
n BF x z
⋅ = − + + = ⇒ ⋅ = − + =
2 1z = 2 ( 3,2,1)n =
1 2
1 2
1 2
7cos 8
n nn n
n n
⋅〈 〉 = =
，
A BF E− − A BF E− − 7
8
−
1 1a = 3 2n n
na = −
n
1 2
2
2 3
2
2 1 3
2( 2) 1
2( 2 ) 1
( 6)
S a
S a
a a a
+ = +
+ = + ⇒
= +
1 2
1 2 3
2
2 1 3
2( 2) 1
2( 4) 1
( 6)
a a
a a a
a a a
+ = +
+ + = +
= +
2 1
2 2
3 1 1 1 1 1 1
2
2 1 3
2 3
6 13 (2 3) (6 19) 2 7 9 0
( 6)
a a
a a a a a a a
a a a
= +
⇒ = + ⇒ + = + ⇒ + − =
= +
1 0a > 1 1a =
1
1 12( 2 ) 1 2 2 1n n
n n n nS a S a +
+ ++ = + ⇒ = − +当 时， ————6 分
又 符合上式，所以 ————7 分
是首项为 ，公比为 的等比数列
————10 分
（3）因为，当 时，
————13 分
易知 时，原不等式成立；当 时：
综上，原不等式 成立————15 分
21. 【答案】（1） ；（2）
【考查目标】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程
思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力.
【试题解析】
（1） ，所以椭圆方程为 ——————4 分
2n ≥
1
1
1 1
1
2 2 1 2 2 3 2
2 2 1
n
n n n n
n n n n nn
n n
S a a a a a a
S a
+
+
+ +
−
= − + ⇒ = − − ⇒ = + = − +
1 2 2 11, 5 3 2a a a a= = ⇒ = + 1 3 2n
n nn N a a+
+∀ ∈ = +，
1
1
3 1
2 2 2 2
n n
n n
a a+
+⇒ = ⋅ + ⇒ 1
1
31 ( 1) { 1}2 2 2 2
n n n
n n n
a a a+
+⇒ + = + ⇒ + 3
2
3
2
31 ( ) 3 22 2
n n nn
nn
a a⇒ + = ⇒ = −
2n ≥
2 2 25 5(3 2 ) 3 4 3 2 4(3 2 ) 0 3 2 39 9
n n n n n n n n n n− − −− − ⋅ = ⋅ − = − ≥ ⇒ − ≥ ⋅
1 9 1
3 2 5 3n n n
⇒ ≤ ⋅−
1n = 2n ≥
1
2 3 2
1 2
111 1 1 5 1 1 1 9 1 1 131 ( ) 1 (13 )19 3 3 3 5 9 10 31 3
n
n n
na a a
−
−
−
+ + + ≤ + + + + = + ⋅ ⋅ = −
−
n N +∀ ∈
2 2
14 3
x y+ =
2
2
12 1
e
e
+⋅ −
2 2
2 4
2, 31 9 14
a
a b
a b
= ⇒ = = + =
2 2
14 3
x y+ =（2）法一：坐标法
设 ，
当 时， ——————5 分
当 时， ， ，——————7 分
其中： ，从而 ————9
分
由 ——————
11 分
同理 ，从而 ——————13 分
——————15 分
法二：三角法
不妨设点 在 轴上方，由余弦定理易得：
，
0 0 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )P x y A x y B x y， ，
0 0y = 2 2 2
2 2 2
2( ) 2(1 )
1
a c a c a c e
a c a c a c e
λ µ − + + ++ = + = =+ − − −
0 0y ≠ PA x my c= −： PB x ny c= +：
0 0
0 0
x c x cm ny y
+ −= =，
2 2
2 2 2 2 2 2 20
0 02
0
2( ) ( ) 2( )x cm n y m n x cy
++ = ⇒ + = +
4
2 2 2 2 2 4
0 1 2 2 22 2 2 2 2 2 ( ) 2 0x my c ba b m y b mcy b y y a b mb x a y a b
= − ⇒ + − − = ⇒ = − ++ =
4
0 2 2 2 2
by y a b n
= − +
2 2 2 2
4
0 1 0 2
1 1 2 ( )a b m n
y y y y b
+ ++ = −
2 2 2 2 2 22 2 2 2
0 0 2 2 0 0
0 0 4 4
1 2 0 1 0 2
2 ( )1 1 2 ( )( ) [ ]y y a y b y m na b m ny yy y y y y y b b
λ µ + ++ ++ = + = − + = =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
4 4 4 2
2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2a y b x c b x a y b c a b b c a c
b b b b
+ + + + + += = = = ⋅
2 2 2
2 2 2
2(1 )2 1
a c e
a c e
+ += ⋅ =− −
P x
2 2
1
1
cos 1 cos
b bPF a c a eα α= = ⋅− −
2
1
1
1 cos
bFA a e α= ⋅ +
βα
F2F1 BA
P， ——————8 分
所以 ，
——————10 分
又
————13 分
所以
————15 分
22. 【答案】（1） ；（2）
【考查目标】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考
生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，
证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.
【试题解析】
（1） ————2 分，
由题意知 ————4 分
（2）
——
——7 分
2 2
2
1
cos 1 cos
b bPF a c a eβ β= = ⋅− −
2
2
1
1 cos
bF A a e β= ⋅ +
1
1
1 cos 2 11 cos 1 cos
PF e
F A e e
αλ α α
+= = = −− −
2
2
1 cos 2 11 cos 1 cos
PF e
F A e e
βµ β β
+= = = −− −
2 2
1 2
1 12 21 cos 1 cos
b bPF PF a aa e a eα β+ = ⇒ ⋅ + ⋅ =− −
2
2
1 1 2
1 cos 1 cos
a
e e bα β⇒ + =− −
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 4 2(2 ) 2( ) 2(1 )2 21 cos 1 cos 1
a a b a c e
e e b b a c e
λ µ α β
− + ++ = + − = − = = =− − + −
3a = e−
( ) 1 af x x
′ = +
(2) 1 2 32
af a′ = + = ⇒ =
( ) ln ln ln lna x a x x a x x a af x x e x a x x e e x x a x e e x x− − − − −≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ − ≥ −设 ，则原不等式 ——————9 分
由 ，易知 时， ， 时， ，
所以 在 上单调减，在 上单调增——————11 分
因为是求 的最小值，故设 ，又 ，所以 ————12 分
所以 ，原不等式恒成立
————13 分
设 ，则 ，易知 时， ， 时， ，
所以 在 上单调增，在 上单调减 ———14 分
所以 ——————15 分
( ) lng t t t= − ( ) ( )x ag e g x−⇔ ≥
1 1( ) 1 tg t t t
−′ = − = 0 1t< < ( ) 0g t′ < 1t > ( ) 0g t′ >
( ) lng t t t= − (0,1) (1, )+∞
a 0a < 1x > , (0,1)x ae x− ∈
1 ln( ) ( )x a x a xg e g x e x a x
− −≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ max
1 ln( )x
a x
⇔ − ≥
ln( ) ( 1)xh x xx
= > 2
1 ln( ) xh x x
−′ = 1 x e< < ( ) 0h x′ > x e> ( ) 0h x′ <
ln( ) xh x x
= (1, )e ( , )e +∞ max
1( ) ( )h x h e e
⇒ = =
min
1 1 a e a ea e
− ≥ ⇒ ≥ − ⇒ = −
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