2020 年高考数学模拟试题
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．双曲线 的渐近线方程是
A． B． C． D．
3．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
5．已知 是等差数列， ， 为数列 的
前 项和，且 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
6．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，则“ ”是“
为等腰三角形”的
{ }2A x x= < 2{ 3 0}B x x x= − < A B =
( )0,2 ( )0,3 ( )2,3 ( )2,3−
2
2 14
yx − =
5
2y x= ± 5y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ±
,x y
0
2 2 0
0
y
x y
x y
≥
+ − ≤
− ≥
| 2 |z x y= −
2
3
2 5
5
2 5
2 4 4 2 12
{ }na 1 11a = nS { }na
n 5 7S S= nS
66 56 46 36
ABC∆ A B C a b c
AC
cb
B
a
sinsinsin +
+= ABC∆
俯视图
侧视图正视图
3
22
第 4 题图y
x-1 1O
第 8 题图
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知随机变量 满足 ， ，且 ，令随机变量
，则
A． B． C． D．
8．已知函数 的部分图象如图所示，则
A．
B．
C．
D．
9．已知椭圆 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆的下顶点，直线
交椭圆于另一点 ，若 ，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
10．如图，三棱锥 的侧棱长都相等，底面 与侧面 都是以 为斜边的等腰直
角三角形， 为线段 的中点， 为直线 上的动点，若平面 与平面 所成锐二面角
的平面角为 ，则 的最大值是
A． B．
C． D．
ξ ( 0) 1P pξ = = − ( 1)P pξ = = 0 1p< <
( )Eη ξ ξ= −
( ) ( )E Eη ξ< ( ) ( )E Eη ξ> ( ) ( )D Dη ξ< ( ) ( )D Dη ξ>
2
( ) ( 0)ex
ax bx cf x a
+ += ≠
0a <
0a c− >
0b c− <
3 2 0a b c− + <
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F A
2AF P 1PF PA=
3
3
1
3
2
2
1
2
V ABC− ABC VAC AC
E AC F AB VEF VBC
θ cosθ
3
3
2
3
5
3
6
3
EA C
V
B
F
第 10 题
图非选择题部分（共 110 分）
二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分。
11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一．”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上
一层灯数的 2 倍．请问塔顶层有 ▲ 盏灯，塔底层有 ▲ 盏灯．
12．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部是 ▲ ， = ▲ ．
13．已知多项式
，则
▲ ， ▲ ．
14．已知圆 ，过点 作两条互相垂直的直线 ， ，其中 交该圆于 ，
两点， 交该圆于 ， 两点，则 的最小值是 ▲ ， 的最大值是
▲ ．
15．新型冠状病毒疫情期间，5 位党员需要被安排到 3 个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，
其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 ▲ 种不同安排方法．（用数字作答）
16．已知 ，若函数 在区间 上存在最小值，则 的取值范围是
▲ ．
17．已知 三边长分别为 ， ， ， 是平面 内任意一点，则
的最小值是 ▲ ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分 14 分）已知函数 ．
z (1 i) 2+iz + = − i z | |z
2 5 2 7 2 7
0 1 2 7 0 1 2 7( 1)( 1) ( 2) ( 2) ( 2)x x a a x a x a x b b x b x b x+ − = + + + + + + + = + + + +
0 1 2 7a a a a+ + + + = 5b =
2 2 4O x y+ =： ( )3,0P 1l 2l 1l A
B 2l C D | |AB | | | |AB CD+
a∈R e( ) 2 e
x
x
af x = − )2,1(∈x a
ABC∆ 3 10 13 P ABC
PA PB PB PC PC PA⋅ + ⋅ + ⋅
( ) π2sin cos cos3f x x x x
= ⋅ − + 第 19 题
图
（Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）求 在 上的最大值，并求此时的 值．
19．（本小题满分 15 分）如图，已知三棱锥 中，平面 平面 ，
， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 和平面 所成角的正弦值．
20．（本小题满分 15 分）已知数列 满足： ， . 正
项数列 满足：对每个 ， ，且 ， ， 成等比数列．
( )f x ( )f x 0, 2x
π ∈ x
P ABC− PAC ⊥ ABC
2AB AC BC PA= = = = °=∠ 120PAC 3PM MC=
BM PC⊥
AB PBC
{ }na 1 1a = 2 2
1(2 1) (2 1)n nn a n a ++ = − *( )n∈N
{ }nc *n∈N 2 1n nc a− = 2 1nc − 2nc 2 1nc +（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，证明： ．
21．（本小题满分 15 分）已知点 是抛物线 的焦点， 是其准线 上任意一点，
过点 作直线 ， 与抛物线 相切， ， 为切点， ， 与 轴分别交于 ，
两点．
（Ⅰ）求焦点 的坐标，并证明直线 过点 ；
（Ⅱ）求四边形 面积的最小值．
{ }na { }nc
2n ≥
1 2 3
5 1 1 1 1 1 7
3 1 4nn c c c c
− ≤ + + + + −− a
ln3 1.10≈一、选择题
ADCBD ACBAD
二、填空题
11． ， 12． ， 13． ，
14． ， 15． 16． 17．
三、解答题
18．解：
3 192 3
2
10
2
64− 11
2 2 10 114
4 2 2 4e e e e( ) ( )2 2 2 2
− − ， ， 16
3
−
( )
2
π 3 32sin cos cos =2sin cos sin 13 2 2
3 3 33sin cos 3sin sin 2 cos2 32 2 2
3 3sin(2 ) 56 2
f x x x x x x x
x x x x x
x
π
= ⋅ − + +
= + = − +
= − + ⋅⋅
（1） （ ） 分
分
分
分7π=∴T
50, 2 , 82 6 6 6
1sin 2 ,1 106 2
3 3( )= 3sin(2 )+ 3. 126 2 2
2 = ( ) . 146 2 3
x x
x
f x x
x x f x
π π π π
π
π
π π π
∈ − ∈ −
∴ − ∈ − ⋅⋅
∴ −
− =
（2）当 ，则 分
， 分
的最大值为 分
此时 即 时， 取到最大值 分19.解法一：
（1）取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， .
，
………………………………………1’
又 ， 是 的中点
， ………………………………………2’
又 又
……………………………4’
又 面 ， ……………………………6’
（2） 由①知 面 ， 面 面 且交于 ，
过 作 垂足为 ， 即是 到面 的距离 ……………………………9’
， ………………………12’
又 是 的中点， 到面 的距离 …… …………………14’
与面 所成角的正弦值为 ……………………………15’
AC E PC F AF ME BE
PA AC=
AF PC∴ ⊥
3PM M C=
M∴ CF
AF ME∴ PCME ⊥
AB BC= BE AC∴ ⊥ PAC ABC AC⊥ 面 面 且交于
BE PAC BE PC∴ ⊥ ⊥面 ，
ME BE E= PC∴ ⊥ MBE PC BM∴ ⊥
PC ⊥ MBE ∴ MBE ⊥ PBC MB
∴ E MBEH⊥ H EH E PBC
BE ME⊥
1 3 392
1313
2
ME BEEH MB
⋅⋅∴ = = =
E AC A∴ PBC 13
3922 == EHhA
AB∴ PBC
13
39
2
1
13
392 =⋅=
AB
hA解法二：（1）取 的中点 ，连 、
， ， ，
又 面 面 且交于
面 ， ………………………2’
， ，又
， ……………………………………4’
面 ，
. ………………………………………6’
（2） 过 作 交其延长线于
面 面 且交于
面 ，连 可得 ………………………………………8’
又 ，
， ，
又 ， ……………………10’
，
………………………………………12’
令 到面 的距离为 ，则
AC E ME EB
2AB BC= = BE AC∴ ⊥ 1CE =
PAC ⊥ ABC AC
BE∴ ⊥ PAC BE PC∴ ⊥
2PA AC= = 120PAC∠ = ° 3PM M C=
1 3
4 2CM PC∴ = = °=∠=∠ 30APCPCA
2 2 23cos 2 2
CE CM MEPCA CE CM
+ −∠ = = ⋅
1
2ME∴ = CM ME⊥
PC∴ ⊥ MBE
PC BM⊥
P PO CA⊥ O
PAC ⊥ ABC AC
PO∴ ⊥ ABC BO 222 BOPOPB +=
2AC AP= = 120PAC∠ = °
3P O∴ = 2 3PC = 1AO =
2 2 7OB BE OE= + =
2 2 10PB PO BO∴ = + =
2 2 2 1cos 2 2 10
PB BC PCPBC BC PB
+ −∴ ∠ = =⋅
39sin
2 10
PBC∴ ∠ =
1 39sin2 2PBCS BC PB PBC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ =
A PBC Oh ABCPPBCA VV −− =， ………………………14’
与面 所成角的正弦值为 ……………………………15’
解法三：（1）取 的中点 ，建立如图所示的坐标系
由已知可得
，
………………………………………3’
，
………………………………………6’
（2）由（1）可知 ………………………9’
设面 的法向量为 则
令 ，则 ， ，
………………………………………12’
与面 所成角的正弦值为
………………………………………15’
1 1
3 3PBC O ABCS h S PO∆ ∆∴ ⋅ = ⋅
39
6=⋅=
∆
∆
PBC
ABC
O S
POSh
AB∴ PBC
13
39
392
6 ==
AB
ho
AC O
( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,0O C B A −
( 2,0, 3)P −
1 3( ,0, )4 4M
1 3( , 3, )4 4BM∴ = − (3,0, 3)PC = −
3 3 0,4 4BM PC BM PC∴ ⋅ = − = ⊥
BM PC∴ ⊥
(1, 3,0), (2, 3, 3), (1, 3,0)AB PB BC= = − = −
PBC ( , , )n x y z=
=−=⋅
=−+=⋅
03
0332
yxBCn
zyxPBn 1y = 3x = 3z =
( 3,1,3)n =
AB∴ PBC
2 3 39cos , 132 13
AB n
AB n
AB n
⋅
< > = = =
⋅
20.解：（Ⅰ）解法一：由已知可得
时， （2 分）
，又
（3 分）
解法二： ，即
为常数列， ， （2 分）
又 （3 分）
又 （ 为奇数） （5 分）
又 是等比数列
（ 是偶数）
综上可得 （7 分）
2
1
2
(2 1)
(2 1)
n
n
a n
a n
+ +=
－
2n∴ ≥ 1 3 2
1
1 2 2 1
n n
n
n n
a a a aa aa a a a
−
− −
∴ = ⋅ …… ⋅ ⋅
2 2 2
2 2
2 2 2
(2 1) (2 3) 3 1 (2 1)(2 3) (2 5) 1
n n nn n
= ⋅ …… ⋅ =－ － －－ －
2
1 (2 1 1)a = × −
2(2 1)na n∴ = −
1
2 2(2 1) (2 1)
n na a
n n
+ =+ － [ ]
1
2 2(2 1)2( 1) 1
n na a
nn
+ =
+ − －
2(2 1)
na
n
∴
－
1
2 2(2 1) (2 1 1)
na a
n
∴ = ×－ －
2
1 (2 1 1)a = × −
2(2 1)na n∴ = −
2
2 1 (2 1)n nc a n= = − －
2
nc n∴ = n
2 1 2 2 1, ,n n nc c c + －
2 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1n n nc c c n n− +∴ = ⋅ = − ⋅ +（ ）（ ）
2 (2 1) (2 1)nc n n∴ = − ⋅ +
2( 1) ( 1)nc n n n∴ = − ⋅ + = - 1 n
2(2 1)na n= − ，
2
2 1n
n nc
n n
=
是奇数
－ 是偶数（Ⅱ）先证
证法一 直接放缩、裂项相消求和
时， ，显然成立。 （8 分）
时， 时， （9 分）
（11 分)
证法二 分奇偶讨论
时， ，显然成立。 （8 分）
时，① 为偶数时，
（9 分）
1 2 3
1 1 1 1 7
4nc c c c
+ + + + −+ ++
2
1 1
( 1)( 2)( 1) k kk
> + ++
2( 1)( 2) ( 1)k k k+ + > + 2 1k k+ > +
1n k= +综上所述，不等式在 且 时均成立。 （15 分）
证法二（分析法证明）
令 ， 为数列 的前 项和。
只需要证 ，且 （ 时）
① ， ，显然成立。 （12 分）
② 时，不论 为奇数偶数都有 ， （13 分）
，则 也成立。
综上所述，不等式在 且 时均成立。 （15 分）
证法三（放缩法证明）
① 时，左边 ，右边 ，成立； （12 分）
② 时， （13 分）
（14 分）
（15 分）
*n N∈ 2n ≥
1 2 3
1 1 1 1
c c c cn
n
S = + + +……+ 5 1
3 1nT n
= − +
{ }nd n
1 2
1 2
1 1
c c d d+ ≥ + 1
c n
n
d≥ 3n ≥
1 2
1 1 4
c c 3
+ =
1 2 2
4
3d d T+ = =
3n ≥ n 2
1 1
cn n
≥
2
1 1 1 1
1 (n 1)nd n n n n
= − =
*n N∈ 2n ≥
2n = 1 41 3 3
= + = 4
3
=
3n ≥ 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 11 + +c c c c 3 3 4k n
+ + +……+ ≥ + + +
1 1 1 11 + +3 3 4 4 5 ( 1)n n
≥ + + +× × × +
4 1 1 1 1 1 1+3 3 4 4 5 1n n
= + − + − + − +
5 1 5
3 1 3n
= − + + + + +…+ × × × − +
1 1 11 (1 )6 2 1n
> + + − +
5 1 5 1
3 2( 1) 3 ( 1)n n
= − > −+ +
n
1 2 3
1 1 1 1
c c c nc
+ + +…+
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 11 + +3 5 7 2 1 4 1 6 1 -1) 1n
≥ + + + + +…+ − − − − （
1 1 1 5 1 5 11 (1 )6 2 3 2 3 ( 1)n n n
> + + − = − ≥ − +
(0,1)F
)1,(),4,(),4,( 0
2
2
2
2
1
1 −xPxxBxxA )(2: 1
1
1 xxxyylPA −=− 1
12
xy x y= −
2
2
2: yxxylPB −= 又 在 上,则 ,所以 6 分
所以直线 过焦点 F. 7 分
（I）解法二： 1 分
设 AB 直线方程 为
则由 得
所以 2 分
过 A 的切线方程为
过 B 的切线方程为 4 分
所以交点 P 的坐标为
因为 P 在直线 上，所以 6 分
所以 即直线过焦点 7 分
（II）由（I）知 ,代入 得
则 ,
则 , 9 分
到 AB 的距离 ,所以
P PBPA,
−=−
−=−
20
2
10
1
21
21
yxx
yxx
0: 12AB
xl y x= +
AB
(0,1)F
y kx m= +
2 4
y kx m
x y
= +
=
2 4 4 0x kx m− − =
1 2 4x x k+ = 1 2 4x x m⋅ = −
1
1 1( )2
xy y x x− = −
2
2 2( )2
xy y x x− = −
1 2 1 2( , )2 4
x x x x+
1y = − 1 2 4 4x x m⋅ = − = −
1m = F
12: 0 += xxyl AB yxC 4: 2 = 042 0
2 =−− xxx
−=
=+
4
2
21
021
xx
xxx
[ ] 422)(4
12 2
021
2
2121 +=+−+=++= xxxxxyyAB
P 42
0 += xd 2 2
0 0
1 ( 42 04) 1PABS x x∆ = + + 分由（1）知 ,则 ,
所以 ,令
则
在 上是增函数,
则四边形 面积的最小值为 3 15 分
22.解：（1） 的定义域为
= = …………2 分
（i） 若 ,则 ，所以 在 递增， 递减 …… 3 分
（ii） 若 ，则 在 递增， 递减，在 递增
…………4
分
（iii） 若 ,则 在 递增; 5 分
（iv） 若 ，则 在 递增，在 递减，在 递增
… …
6 分
（2）解法一： ,
)0,2(),0,2( 21 xRxQ 42
1 2
021 +=−= xxxQR
2
0
1 42PQRS x∆ = + 2
0 4, 2 12t x t= + ≥ 分
31 1 ,( 2) 132 2PAB PQRABRQS S S t t t∆ ∆= − = − ≥ 四边形 分
tttf 2
1
2
1)( 3 −= ),2[ +∞
ABRQ
6ln6)43()( 2 +++−= xxaaxxf }0|{ >xx
xaaxxf 6)43(2)(' ++−=
x
xaax 6)43(2 2 ++−
x
axx )2-)(32( −
0≤a 02 −
−
xx
xhxh
a
a
a
ttxx
xx
3
4
3
4
12)( 2
21
2
21 ==++=+ )3
1,4
1(
)12(3
4 ∈
++
=
tt
a
a )3
1,4
1(
6ln6)43()( 2 +++−= xxaaxxf axxg 3)( =
6ln64)()()( 2 ++−=+= xxaxxgxfxh
x
xax
xaxxh 642642)(
2
' +−=+−= )(xhy =
0322 =+− xax axxaxxxx 3,2,, 212121 ==+
0,0,0344 21 >>>×−=∆ xxa
3
10 − +− − −
1
2
1 2
ln ln3 04
x
x
x x
− >−由方程 ，得 ，令 ， ，则 ，
…………10 分
令 ，求导，
令 ，得到 ，所以 在 上单调递增，在 单调递减.
…………13 分
又 ， ，所以由 ，即 ，解得
. 故实数 的取值范围是 .
…………15 分
2 2 3 0ax x− + = 1,2
1 1 3ax a
± −= 1 3t a= − (0,1)t ∈ 21
3
ta
−=
1
2
2
1 2
2
1 1 3 1 3ln ln 2ln ln3ln3 ln31 1 3 1 1 0124 42 1 3
1
x a t t
x a t t
tx x a
ta
+ − + −− − − −− = − = >− −
−
2
1 3( ) 2ln ln31 1
t tG t t t
+= −− −
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2(1 ) 2 1 ( 2 ) 4 (1 )3ln3'( ) 3ln31 (1 ) (1 ) 1 (1 )
4(1 ) 3ln3(1 ) (4 3ln3) (4 3ln3)
(1 ) (1 )
t t t t tG t t t t t t
t t t
t t
− − − − += ⋅ − ⋅ = −+ − − − −
− − + − − += =− −
'( ) 0G t =
0
4 3ln3 14 3ln3t
−= ∈得 11-3 (0, )2a ∈
1 1
4 3a< < a 1 1
4 3
（ ，）
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