四川省成都高 2020 届第一次高考适应性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若集合 A＝{x|log2x＜3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则 A∪B＝
A．{x|x＜8} B．{x|﹣2≤x≤4} C．{x|﹣2≤x＜8} D．{x|0＜x≤4}
2．复数 的虚部为
A．﹣ i B．﹣ C． i D．
3．已知 ，则
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm）
表示正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 10≡4（mod6）．执行该程序框图，则
输出的 n 等于
A．11 B．13
C．14 D．17
5.新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如
图 1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的
方法抽取 4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图 2．下列说法错误的是
i
iz +
+−=
2
1A．样本容量为 240
B．若样本中对平台三满意的人数为 40，则 m＝40%
C．总体中对平台二满意的消费者人数约为 300
D．样本中对平台一满意的人数为 24 人
6．设不同直线 l1：x﹣my+1＝0，l2：（m﹣1）x﹣2y﹣2＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7． 的展开式的常数项为
A．112 B．48 C．﹣112 D．﹣48
8．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6＝2，（a2+a10）（2a3+a9）＝12，则 S5＝
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5
9．已知 ， 是单位向量，且 + ＝（ ，﹣1），则| ﹣ |＝
A．1 B． C． D．2
10．已知圆 x2+y2﹣2x+4y＝0 关于双曲线 的一条渐近线对称，则 m＝
A． B． C． D．
11．已知函数 f（x）＝2x+log2x，且实数 a＞b＞c＞0，满足 f（a）f（b）f（c）＜0，若实数 x0
是函数 y＝f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是
A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c
12．如图，二面角 α﹣1﹣β 的平面角的大小为 60°，A，B 是 1 上的两个定点，且 AB＝
2．C∈α，D∈β，满足 AB 与平面 BCD 所成的角为 30°，且点 A 在平面 BCD 上的射影 H 在
△BCD 的内部（包括边界），则点 H 的轨迹的长度等于
52 )21)(1( −−
xxA． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若变量 x，y 满足 ，则 x+y 的最小值为 ．
14．已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7 成等比数列，且 2a1+a2＝1，则 a1
＝ ，d＝ ．
15．已知 y＝f（x）的定义域为 R 的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝ ，
若关于 x 的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0（a，b∈R）有且仅有 6 个不同的实数根，在实数 a
的取值范围是 ．
16．△ABC 中，（3 +2 ）• ＝0，且对于 t∈R，| ﹣t |最小值为 |BC|，则∠BAC
＝ ．
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）△ABC 为直角三角形，斜边 BC 上一点 D，满足 ．
（I）若∠BAD＝30°，求∠C；
（II）若 ，AD＝2，求 BC．
18．（12 分）某省即将实行新高考，不再实行文理分科．某校为了研究数学成绩优秀是否对
选择物理有影响，对该校 2018 级的 1000 名学生进行调查，收集到相关数据如下：
（I）根据以上提供的信息，完成 2×2 列联表，并完善等高条形图；
选物理 不选物理 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀 260总计 600 1000
（II）能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？
附：
临界值表：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（12 分）如图，在多面体 ABCDFE 中，AB∥CD∥EF，四边形 ABCD 和四边形 ABEF 是两
个全等的等腰梯形．
（I）求证：四边形 CDFE 为矩形；
（II）若平面 ABEF⊥平面 ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2 ，求在多面体 ABCDFE 的体
积．
20．（12 分）已知函数 f（x）＝a（x+1）2，g（x）＝xex．
（I）若 g（x）的切线过（﹣4，0），求该切线方程；
（II）讨论 f（x）与 g（x）图象的交点个数．21．（12 分）已知圆 ，圆 ，如图，C1，C2 分别交 x 轴正半
轴于点 E，A．射线 OD 分别交 C1，C2 于点 B，D，动点 P 满足直线 BP 与 y 轴垂直，直线 DP
与 x 轴垂直．
（I）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（II）过点 E 作直线 l 交曲线 C 与点 M，N，射线 OH⊥l 与点 H，且交曲线 C 于点 Q．问：
的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理
由．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数），以坐标
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．
（I）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（II）已知曲线 C3 的极坐标方程为 θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，
点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，A、B 均异于原点 O，且|AB|＝2 ，求实数 α 的值．23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．
（I）解不等式 f（x）≤9；
（II）若方程 f（x）＝﹣x2+a 在区间[0，2]有解，求实数 a 的取值范围．四川省成都高 2020 届第一次高考适应性考试
理科数学参考答案与试题解析
1-5：CBBDB 6-10:CDDAD 11-12:DA
13.-3 14. 15. 16.
三．解答题（共 7 小题）
17．解：（1）∵△ABC 为直角三角形， ，∠BAD＝30°，
∴由正弦定理： ，即 ＝ ，
∴ ，可得∠ADB＝∠C+∠DAC＝120°，
∵∠BAD＝30°，∠C 为直角，可得∠DAC＝60°，∴∠C＝60°．
（2）设 BD＝ CD＝a，
∴AB＝ a， ，BC＝3a，∴cosC＝ ＝ ，∵AD＝2，
∴ 由 余 弦 定 理 得 ： cosC ＝ ＝ ＝ ， 得 ，
∴ ．
18．解：（1）根据题意填写列联表如下，
选物理 不选物理 总计
数学成绩优秀 420 320 740
数学成绩不优秀 180 80 260
总计 600 400 1000
1,3
2 − )1,4
9()4
9,2
5( −−−− 4
π完善等高条形图，如图所示；
（2）由表中数据，计算 K2＝ ≈12.474＞3.841，
所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关．
19．解：（1）证明：分别取 DF、CE 的中点 M，N，
∵四边形 ABCD 和四边形 ABEF 是两个全等的等腰梯形，
∴EF＝CD，且 CD∥EF，
∴四边形 CDEF 是平行四边形，
∵AD＝AF，M 为 DF 的中点，
∴AM⊥DF，同理 BN⊥CE，∴DF⊥BN，
∵M 为 DF 的中点，N 为 CE 的中点，
∴MN∥EF∥CD∥AB，且 MN＝EF＝CD，
∴A，B，N，M 四点共面，且四边形 ABNM 是以 AB，MN 为底的梯形，
∵DF⊥AM，DF⊥BN，且 AM，BN 是平面 ABNM 内的相交线，
∴DF⊥平面 ABNM，
∵MN⊂平面 ABNM，∴DF⊥MN，
又 MN∥EF，∴EF⊥DF，
∴四边形 CDFE 为矩形．
（2）解：连结 AC，CF，作 AH⊥CD，垂足为 H，则 AH⊥AB，
∵AB＝2，CD＝6，∴DH＝2，
在 Rt△AHD 中，AH＝ ＝ ＝2，
∵CD∥AB，CD⊄平面 ABEF，AB⊂平面 ABEF，
∴CD∥平面 ABEF，
∵平面 ABEF⊥平面 ABCD，AH⊥AB，平面 ABEF∩平面 ABCD＝AB，AH⊂平面 ABCD，∴AH⊥平面 ABEF，∴点 C 到平面 ABEF 的距离为 2，
同理，点 F 到平面 ABCD 的距离为 2，
∴S△ACD＝ ，VF﹣ACD＝ ＝4，
S 梯形 ABEF＝ ＝8，VC﹣ABEF＝ ，
∴多面体 ABCDFE 的体积：
V＝VF﹣ACD+VC﹣ABEF＝4+ ＝ ．
20 解：（1）g（x）＝xex 的导数为 g′（x）＝（x+1）ex，
设切点为（x0，y0），则 ，
化简得 x0＝x02+5x0+4，所以 x0＝﹣2，k＝﹣e﹣2，
切线方程为 y＝﹣e﹣2（x+4）；
（2）设 F（x）＝g（x）﹣f（x），即讨论 F（x）的零点个数．
F′（x）＝（1+x）ex﹣2a（1+x）＝（1+x）（ex﹣2a），
a＝0 时，F（x）只有一个零点；
a＜0 时，F（x）在（﹣∞，﹣1）↓，（﹣1，+∞）↑，
F（﹣1）＝﹣ ＜0，x→﹣∞，x→+∞时，F（x）均→+∞，此时，F（x）有两个零点；
a＞0 时，x→﹣∞时，F（x）→﹣∞，x→+∞时，F（x）→+∞，
由 F'（x）＝0 得 x＝﹣1，x＝ln（2a），
若 时，F（x）在 R 上递增，只有一个零点；若 a≠ 时，F（﹣1）＝﹣ ＜0，F（ln（2a））＝﹣a﹣aln2（2a）＜0，
极大值、极小值均小于 0，从而也只有一个零点．
综上，a≥0 时，f（x）与 g（x）的图象只有一个交点；a＜0 时，有两个交点．
21．解：方法一：（1）如图设∠BOE＝α，则 ，D（2cosα，
2sinα），所以 xP＝2cosα， ．所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 ．
方法二：（1）当射线 OD 的斜率存在时，设斜率为 k，OD 方程为 y＝kx，
由 得 ，同理得 ，所以 ，
即有动点 P 的轨迹 C 的方程为 ．
当射线 OD 的斜率不存在时，点 也满足．
（2）由（1）可知 E 为 C 的焦点，设直线 l 的方程为 （斜率不为 0 时），
且设点 M（x1，y1），N（x2，y2），由 ，
得 ，
所以 ，所以 ，
又射线 OQ 方程为 y＝﹣mx，代入椭圆 C 的方程得 x2+2（my）2＝4，
即 ， ， ， 所 以
，
又当直线 l 的斜率为 0 时，也符合条件．综上， 为定值，且为 ．
22 解：（1）由曲线 C1 的参数方程 为参数），得曲线 C1 的普通方
程为 ，由曲线 C2 的极坐标方程 ρ＝2cosθ，得 C2 的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；
（2）曲线 C1 化为极坐标方程为 ，
设 A（ρ1，α），B（ρ2，α），则 ，
∴ ，
由 知， ，
∵ ，∴ 或 ，∴ 或 ．
23．解：（1）f（x）≤9 可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，
故 ，或 ，或 ；…（2 分）
解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1； …（4 分）
不等式的解集为[﹣2，4]；…（5 分）
（2）由题意：f（x）＝﹣x2+a⇔a＝x2﹣x+5，x∈[0，2]．
故方程 f（x）＝﹣x2+a 在区间[0，2]有解⇔函数 y＝a 和函数 y＝x2﹣x+5，图象在区间[0，2]
上有交点
∵当 x∈[0，2]时，y＝x2﹣x+5∈[ ，7]
∴，实数 a 的取值范围是[ ，7]…………………（10 分）
日期：2020/6/16 9:23:03；用户：；邮箱：lxdwzx@xyh.com；学号：37250962
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