四川省内江市第六中学2020届高三数学（文）强化训练（一）试题（Word版附答案）

内江六中高三年级，文科数学试卷，第 1 页（共 4 页） 内江六中高 20 届第一次强化训练 文科数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷 选择题（满分 60 分） 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1. 设全集푈 = 푅，集合퐴 = {푥|0 < 푥 < 2}，퐵 = {푥|푥 < 1}，则图中阴影部分表示的集 合为(    ) A. {푥|푥 ≥ 1} B. {푥|푥 ≤ 1} C. {푥|0 < 푥 ≤ 1} D. {푥|1 ≤ 푥 < 2} 2. 已知复数푧1 = 2 + 푖，푧2在复平面内对应的点在直线푥 = 1上，且满足 ― 푧1·푧2是实数，则푧2等于(    ) A. 1 ― 1 2푖 B. 1 + 1 2푖 C. 1 2 + 푖 D. 1 2 ― 푖 3. 已知向量푎，푏，푐满足|푎| = 1，|푏| = 2，푐 = 푎 + 푏，푐 ⊥ 푎，则푎，푏的夹角等于( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39 万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数푦(万公顷)关于年数푥(年)的函数关系较为接近的是(    ) A. 푦 = 0.2푥 B. 푦 = 0.1푥2 +0.1푥 C. 푦 = 0.2 + log4푥 D. 푦 = 2푥 10 5. 甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示．若 甲、乙两人的平均成绩分别是푥甲，푥乙，则下列结论正确的是 ( ) A. 푥甲 < 푥乙；乙比甲成绩稳定 B. 푥甲 > 푥乙；甲比乙成绩稳定 C. 푥甲 > 푥乙；乙比甲成绩稳定 D. 푥甲 < 푥乙；甲比乙成绩稳定内江六中高三年级，文科数学试卷，第 2 页（共 4 页） 6. 已知函数푓(푥) = {|2푥 ― 1|,푥 < 2 3 푥 ― 1,푥 > 2 若方程푓(푥) ― 푎 = 0有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. (0,1) B. (0,2) C. (0,3) D. (1,3) 7. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为 6，则这个球的半径为(    ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 3 8. 已知双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的一条渐近线方程是푦 = 2푥，过其左焦点퐹( ― 3,0)作 斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，则截得的弦长|퐴퐵| = (    ) A. 2 5 B. 4 5 C. 10 D. 10 2 9. 将函数푓(푥) = 푠푖푛휔푥(其中휔 > 0)的图象向右平移휋 4个单位长度，所得图象经过点(3휋 4 ,0)，则휔的最 小值是 ( ) A. 1 3 B. 1 C. 5 3 D. 2 10. 在 △ 퐴퐵퐶中，若푏 = 2，퐴 = 120°，三角形的面积푆 = 3，则三角形外接圆的半径为(    ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4 11. 已知抛物线 W：푦2 = 4푥的焦点为 F，点 P 是圆 O：푥2 + 푦2 = 푟2(푟 > 0)与抛物线 W 的一个交点， 点퐴( ― 1,0)，则当|푃퐹| |푃퐴|最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是(    ) A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 1 2 12. 在平面内，定点 A，B，C，D 满足|퐷퐴| = |퐷퐵| = |퐷퐶|，퐷퐴 ⋅ 퐷퐵 = 퐷퐵 ⋅ 퐷퐶 = 퐷퐶 ⋅ 퐷퐴 = ―2，动 点 P，M 满足|퐴푃| = 1，푃푀 = 푀퐶，则퐵푀2的最大值是( ) A. 43 4 B. 49 4 C. 37 + 6 3 4 D. 37 + 2 33 4 第Ⅱ卷 非选择题（满分 90 分）内江六中高三年级，文科数学试卷，第 3 页（共 4 页） 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 如图，已知正方形的边长为 10，向正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数得落在阴影 外的黄豆数为 114 颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 ． 14. 已知푎 > 푏 > 1，若log푎푏 + log푏푎 = 10 3 ，푎푏 = 푏푎，则푎 + 푏 = ． 15. 有一块直角三角板 ABC， ， ，BC 边贴于桌面上，当三角板和桌面成45°角 时，AB 边与桌面所成的角的正弦值是_______． 16. 已知푓(푥) = ln푥 + 8 2 ― 푥定义域为 D，对于任意x1,x2 ∈ D当|x1 - x2| = 2时,,则|f(x1) - f(x2)|的最小值是 ______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） （一）必考题：共 60 分 17. 已知数列{푎푛}满足푎1 = 7 3，푎푛+1 = 3푎푛 ― 4푛 +2． (1)求푎2，푎3的值; (2)试说明数列{푎푛 ― 2푛}是等比数列，并求出数列{푎푛}的前 n 项和푆푛． 18. 新高考3 + 3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政 治、历史、地理这 6 科中自由选择 3 门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理(选 择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的 650 名学生中随机抽取男生，内江六中高三年级，文科数学试卷，第 4 页（共 4 页） 女生各 25 人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多 10 人． (1)请完成下面的2 × 2列联表． 选择全理 不选择全理 合计 男生 5 女生 合计 (2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由； (3)现从这 50 名学生中已经选取了男生 3 名，女生 2 名进行座谈，从中抽取 2 名代表作问卷调 查，求至少抽到一名女生的概率． 附：퐾2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)，其中푛 = 푎 + 푏 + 푐 + 푑． 푃(푘2 ≥ 푘) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在四棱柱퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，퐴퐵1 = 퐶퐵1． (1)证明：平面퐵퐷퐷1퐵1 ⊥ 平面 ABCD； (2)若∠퐷퐴퐵 = 60°， △ 퐷퐵1퐵是等边三角形，求点퐷1到平面퐶1퐵퐷的距离． 内江六中高三年级，文科数学试卷，第 5 页（共 4 页） 20. 已知椭圆퐶:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为 6 3 ，短轴长为 4． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l 过点(2,0)且与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，直线푥 = 6与 x 轴交于点 D，E 是直 线푥 = 6上异于 D 的任意一点，当퐴퐸 ⋅ 퐷퐸 = 0时，直线 BE 是否恒过 x 轴上的定点？若过，求出 定点坐标；若不过，请说明理由． 21.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,内江六中高三年级，文科数学试卷，第 6 页（共 4 页） (i)求函数 f(x)的最大值； (ii)设 0 푏 > 1，知푡 > 1，代入log푎푏 + log푏푎 = 푡 + 1 푡 = 10 3 ， 即3푡2 ― 10푡 +3 = 0，解得푡 = 3或푡 = 1 3(舍去)， 所以log푏푎 = 3，即푎 = 푏3，因为푎푏 = 푏푎， 所以푏3푏 = 푏푎，则푎 = 3푏 = 푏3， 解得푏 = 3，푎 = 3 3，则푎 + 푏 = 4 3． 故答案为4 3． 15. 6 4 解：过 A 作 AO 垂直桌面于 O，连接 OC，OB， 퐴푂 ⊥ 平面 OBC，퐵퐶 ⊂ 平面 PBC，所以퐴푂 ⊥ 퐵퐶， 因为퐵퐶 ⊥ 퐴퐶，퐴퐶 ∩ 퐴푂 = 퐴，所以퐵퐶 ⊥ 平面 OAC， 因为푂퐶 ⊂ 平面 OAC，所以퐵퐶 ⊥ 푂퐶， 故∠퐴퐶푂即为三角板所在平面与桌面所成角，则∠퐴퐶푂 = 45°， 设퐴푂 = 1，则퐴퐶 = 2， ∴ 퐴퐵 = 2 6 3 ． ∵ 퐴퐵边与桌面所成角等于∠퐴퐵푂， ∴ sin∠퐴퐵푂 = 퐴푂 퐴퐵 = 6 4 ．故答案为 6 4 ． 16. 解：由题意，由푥 + 8 2 ― 푥 > 0，即(푥 + 8)(푥 ― 2) < 0，解得 ― 8 < 푥 < 2， ∴ 函数푓(푥)定义域为( ―8,2)，不妨设푥1 < 푥2， ∵ |푥1 ― 푥2| = 2内江六中高三年级，文科数学试卷，第 13 页（共 4 页） ∴ 푥2 = 푥1 +2，푥1 ∈ ( ― 8,0)， ， ∵ 푥1 ∈ ( ― 8,0)，则푥1 2 +8푥1 < 0， ∴ 1 ― 20 푥1 2 + 8푥1 > 1， ， ， 根据对数函数性质可知，当푥1 2 +8푥1取得最小值，即푥1 = ―4时，|푓(푥2) ― 푓(푥1)|取得最小值， ，故答案为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17.解：(1)由已知得푎2 = 3푎1 ― 4 + 2 = 3 × 7 3 ― 4 + 2 = 5， 푎3 = 3푎2 ― 4 × 2 + 2 = 3 × 5 ― 8 + 2 = 9． (2) ∵ 푎푛+1 = 3푎푛 ― 4푛 +2， ∴ 푎푛+1 ― 2푛 ― 2 = 3푎푛 ― 6푛， 即푎푛+1 ― 2(푛 +1) = 3(푎푛 ― 2푛)． ∵ 푎1 ― 2 = 7 3 ― 2 = 1 3， ∴ 푎푛 ― 2푛 ≠ 0， ∴ 数列{푎푛 ― 2푛}是首项为1 3，公比为 3 的等比数列． ∴ 푎푛 ― 2푛 = 1 3 × 3푛―1， ∴ 푎푛 = 3푛―2 +2푛， ∴ 푆푛 = 푎1 + 푎2 +… + 푎n = 3―1 + 30 + 31 +… + 3푛―2 +2(1 + 2 + 3 + … + 푛) = 3-1 × (1 - 3푛) 1 - 3 +2 × 푛(푛 + 1) 2 = 3푛-1 2 ― 1 6 + 푛(푛 +1)． 18.解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是퐶 310 = 120， 设甲抽奖一次所得奖金为휉，则奖金휉的可能取值是 0，30，60，240， 所以푃(휉 = 240) = 1 120，푃(휉 = 60) = 8 120 = 1 15，内江六中高三年级，文科数学试卷，第 14 页（共 4 页） 푃(휉 = 30) = 7 × 2 + 6 × 7 120 = 7 15，푃(휉 = 0) = 1 ― 1 120 ― 1 15 ― 7 15 = 11 24． 所以휉的分布列是 휉0 30 60 240 P 11 24 7 15 1 15 1 120 所以퐸(휉) = 30 × 7 15 +60 × 1 15 +240 × 1 120 = 20． (2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1 ― 11 24 = 13 24，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数휂～퐵 (4,13 24)， 所以퐷(휂) = 4 × 13 24 × 11 24 = 143 144． 19.【答案】解：在平面 SCD 内作퐷퐸 ⊥ 퐶퐷交 SC 于点 E， 因为侧面푆퐶퐷 ⊥ 底面 ABCD，侧面푆퐶퐷 ∩ 底面퐴퐵퐶퐷 = 퐷퐶，퐷퐸 ⊂ 平面 SCD， 所以퐷퐸 ⊥ 底面 ABCD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 所以퐴(1,0，0)，퐵(1 2,1，0)，퐶(0,1，0)，퐷(0,0，0)， 由cos∠푆퐷퐶 = 1 + 1 ― 3 2 × 1 × 1 = ― 1 2，得 ， 所以点 S 的坐标为(0, ― 1 2, 3 2 )，则푆퐴 = (1,1 2, ― 3 2 )， 푆퐵 = (1 2,3 2, ― 3 2 )， 푆퐶 = (0,3 2, ― 3 2 )，푆퐷 = (0,1 2, ― 3 2 )，퐷퐴 = (1,0,0)， (1)设面 SAB 的法向量为푛 = (푥,y，푧)，则 {푛·푆퐴 = 0 푛·푆퐵 = 0即{푥 + 1 2푦 ― 3 2 푧 = 0 1 2푥 + 3 2푦 ― 3 2 푧 = 0 ， 取푧 = 3，得푛 = (6 5,3 5, 3)，则|푛| = 2 30 5 ， 设 SC 与平面 SAB 所成的角为휃，则 ； (2)设平面 SAD 的法向量为푚 = (푎,b，푐)，则{푚·푆퐴 = 0 ⇀ 푚·퐷퐴 = 0,内江六中高三年级，文科数学试卷，第 15 页（共 4 页） 即{푎 + 1 2푏 ― 3 2 푐 = 0 푎 = 0 ，取푏 = 3，则푚 = (0,3， 3)，|푚| = 2 3， 所以 ， 故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值为 10 5 ． 20.【答案】解：(1)由题意得{ 푐 푎 = 6 3 푏 = 2 푎2 = 푏2 + 푐2 , 解得푎 = 2 3，푏 = 2，所以椭圆 C 的标准方程为푥2 12 + 푦2 4 = 1． (2)直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4,  0).证明如下：因为퐴퐸  ⋅  퐷퐸 = 0,   所以퐴퐸 ⊥ 퐷퐸，因为直线 l 过点(2,  0)． ①当直线 l 的斜率不存在时，则直线 l 的方程为푥 = 2， 不妨设퐴(2,  2 6 3 ),  퐵(2,   ― 2 6 3 ),  则퐸(6,  2 6 3 )， 此时，直线 BE 的方程为푦 = 6 3 (푥 ― 4)，所以直线 BE 过定点(4,  0)； ②直线 l 的斜率存在且不为零(显然)时，设直线 l 的方程为푥 = 푚푦 +2(푚 ≠ 0)，퐴(푥1,  푦1)，퐵(푥2,  푦2 )，所以퐸(6,  푦1)，直线 BE：푦 ― 푦1 = 푦2 ― 푦1 푥2 ― 6 (푥 ― 6)， 令푦 = 0，得푥 ― 6 = ― 푦1(푥2 ― 6) 푦2 ― 푦1 ，即푥 = 6 + ― 푦1푥2 + 6푦1 푦2 ― 푦1 ， 又푥2 = 푚푦2 +2，所以푥 = 6 + ― 푦1(푚푦2 + 2) + 6푦1 푦2 ― 푦1 ， 即证6 + ― 푦1(푚푦2 + 2) + 6푦1 푦2 ― 푦1 = 4，即证2(푦1 + 푦2) ― 푚푦1푦2 = 0，( ∗ )， 联立{ 푥2 12 + 푦2 4 = 1,   푥 = 푚푦 + 2,  消 x 得(푚2 +3)푦2 +4푚푦 ― 8 = 0， 因为点(2,  0)在 C 内，所以直线 l 与 C 恒有两个交点， 由韦达定理得푦1 + 푦2 = ― 4푚 푚2 + 3，푦1푦2 = ― 8 푚2 + 3，代入( ∗ )中得2(푦1 + 푦2) ― 푚푦1푦2 = ― 8푚 푚2 + 3 ― ―8푚 푚2 + 3 = 0，所以直线 BE 过定点(4,  0)，综上所述，直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4,  0)．内江六中高三年级，文科数学试卷，第 16 页（共 4 页） 用퐴퐸 ⋅ 퐷퐸 = 0，即可得出． 21.(I)解：函数 f(x)的定义域是(-1,∞), (x)= .令 (x)=0，解得 x=0，当-10 时, (x)