内江六中高三年级，理科数学试卷，第 1 页（共 4 页）
内江六中高 20 届第一次强化训练
理科数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷 选择题（满分 60 分）
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1. 设全集푈 = 푅，集合퐴 = {푥|0 < 푥 < 2}，퐵 = {푥|푥 < 1}，则图中阴影部分表示的集合
为( )
A. {푥|푥 ≥ 1} B. {푥|푥 ≤ 1} C. {푥|0 < 푥 ≤ 1} D. {푥|1 ≤ 푥 < 2}
2. 已知复数푧1 = 2 + 푖，푧2在复平面内对应的点在直线푥 = 1上，且满足 ―
푧1·푧2是实数，则푧2等于( )
A. 1 ― 1
2푖 B. 1 + 1
2푖 C. 1
2 + 푖 D. 1
2 ― 푖
3. 已知向量푎，푏，푐满足|푎| = 1，|푏| = 2，푐 = 푎 + 푏，푐 ⊥ 푎，则푎，푏的夹角等于( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39
万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数푦(万公顷)关于年数푥(年)的函数关系较为接近的是( )
A. 푦 = 0.2푥 B. 푦 = 0.1푥2 +0.1푥
C. 푦 = 0.2 + log4푥 D. 푦 = 2푥
10
5. 甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示．若甲、
乙两人的平均成绩分别是푥甲，푥乙，则下列结论正确的是 ( )
A. 푥甲 < 푥乙；乙比甲成绩稳定
B. 푥甲 > 푥乙；甲比乙成绩稳定
C. 푥甲 > 푥乙；乙比甲成绩稳定内江六中高三年级，理科数学试卷，第 2 页（共 4 页）
D. 푥甲 < 푥乙；甲比乙成绩稳定
6. 已知函数푓(푥) = {|2푥 ― 1|,푥 < 2
3
푥 ― 1,푥 > 2 若方程푓(푥) ― 푎 = 0有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为
( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (0,3) D. (1,3)
7. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为 6，则这个球的半径为( )
A. 2 B. 5 C. 6 D. 3
8. 已知双曲线 C：푥2
푎2 ― 푦2
푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的一条渐近线方程是푦 = 2푥，过其左焦点퐹( ― 3,0)作
斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，则截得的弦长|퐴퐵| = ( )
A. 2 5 B. 4 5 C. 10 D. 10 2
9. 将函数푓(푥) = 푠푖푛휔푥(其中휔 > 0)的图象向右平移휋
4个单位长度，所得图象经过点(3휋
4 ,0)，则휔的最
小值是 ( )
A. 1
3 B. 1 C. 5
3 D. 2
10. 在 △ 퐴퐵퐶中，若푏 = 2，퐴 = 120°，三角形的面积푆 = 3，则三角形外接圆的半径为( )
A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4
11. 已知抛物线 W：푦2 = 4푥的焦点为 F，点 P 是圆 O：푥2 + 푦2 = 푟2(푟 > 0)与抛物线 W 的一个交点，
点퐴( ― 1,0)，则当|푃퐹|
|푃퐴|最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是( )
A. 2
2 B. 1 C. 2 D. 1
2
12. 在平面内，定点 A，B，C，D 满足|퐷퐴| = |퐷퐵| = |퐷퐶|，퐷퐴 ⋅ 퐷퐵 = 퐷퐵 ⋅ 퐷퐶 = 퐷퐶 ⋅ 퐷퐴 = ―2，动
点 P，M 满足|퐴푃| = 1，푃푀 = 푀퐶，则퐵푀2的最大值是( )
A.
43
4 B. 49
4 C. 37 + 6 3
4 D. 37 + 2 33
4内江六中高三年级，理科数学试卷，第 3 页（共 4 页）
第Ⅱ卷 非选择题（满分 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 如图，已知正方形的边长为 10，向正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数得落在阴影外
的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 ．
14. 已知푎 > 푏 > 1，若log푎푏 + log푏푎 = 10
3 ，푎푏 = 푏푎，则푎 + 푏 = ．
15. 有一块直角三角板 ABC， ， ，BC 边贴于桌面上，当三角板和桌面成45°角
时，AB 边与桌面所成的角的正弦值是_______．
16. 已知푓(푥) = ln푥 + 8
2 ― 푥定义域为 D，对于任意x1,x2 ∈ D当|x1 - x2| = 2时,,则|f(x1) - f(x2)|的最小值是
______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
（一）必考题：共 60 分
17. 已知数列{푎푛}满足푎1 = 7
3，푎푛+1 = 3푎푛 ― 4푛 +2．
(1)求푎2，푎3的值;
(2)试说明数列{푎푛 ― 2푛}是等比数列，并求出数列{푎푛}的前 n 项和푆푛．内江六中高三年级，理科数学试卷，第 4 页（共 4 页）
18. 某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为 1，2，
3，…，10 的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，
奖金 30 元；三球号码都连号为二等奖，奖金 60 元；三球号码分别为 1，5，10 为一等奖，奖金
240 元；其余情况无奖金．求：
(1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
19. 在四棱锥푆 ― 퐴퐵퐶퐷中，侧面푆퐶퐷 ⊥ 底面 ABCD，퐵퐶//퐴퐷，퐶퐷 ⊥ 퐴퐷，푆퐷 = 퐴퐷 = 퐶퐷 = 1，퐵퐶 =
1
2，푆퐶 = 3．
(1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值；
(2)求平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值．内江六中高三年级，理科数学试卷，第 5 页（共 4 页）
20. 已知椭圆퐶:푥2
푎2 + 푦2
푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为 6
3 ，短轴长为 4．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l 过点(2,0)且与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，直线푥 = 6与 x 轴交于点 D，E 是直
线푥 = 6上异于 D 的任意一点，当퐴퐸 ⋅ 퐷퐸 = 0时，直线 BE 是否恒过 x 轴上的定点？若过，求出
定点坐标；若不过，请说明理由．内江六中高三年级，理科数学试卷，第 6 页（共 4 页）
21. 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数 f(x)的最大值；
(ii)设 0 푏 > 1，知푡 > 1，代入log푎푏 + log푏푎 = 푡 + 1
푡 = 10
3 ，
即3푡2 ― 10푡 +3 = 0，解得푡 = 3或푡 = 1
3(舍去)，
所以log푏푎 = 3，即푎 = 푏3，因为푎푏 = 푏푎，
所以푏3푏 = 푏푎，则푎 = 3푏 = 푏3，
解得푏 = 3，푎 = 3 3，则푎 + 푏 = 4 3．
故答案为4 3．
15. 6
4
解：过 A 作 AO 垂直桌面于 O，连接 OC，OB，
퐴푂 ⊥ 平面 OBC，퐵퐶 ⊂ 平面 PBC，所以퐴푂 ⊥ 퐵퐶，
因为퐵퐶 ⊥ 퐴퐶，퐴퐶 ∩ 퐴푂 = 퐴，所以퐵퐶 ⊥ 平面 OAC，
因为푂퐶 ⊂ 平面 OAC，所以퐵퐶 ⊥ 푂퐶，
故∠퐴퐶푂即为三角板所在平面与桌面所成角，则∠퐴퐶푂 = 45°，
设퐴푂 = 1，则퐴퐶 = 2， ∴ 퐴퐵 = 2 6
3 ． ∵ 퐴퐵边与桌面所成角等于∠퐴퐵푂，
∴ sin∠퐴퐵푂 = 퐴푂
퐴퐵 = 6
4 ．故答案为 6
4 ．
16.
解：由题意，由푥 + 8
2 ― 푥 > 0，即(푥 + 8)(푥 ― 2) < 0，解得 ― 8 < 푥 < 2，
∴ 函数푓(푥)定义域为( ―8,2)，不妨设푥1 < 푥2， ∵ |푥1 ― 푥2| = 2内江六中高三年级，理科数学试卷，第 13 页（共 4 页）
∴ 푥2 = 푥1 +2，푥1 ∈ ( ― 8,0)，
，
∵ 푥1 ∈ ( ― 8,0)，则푥1
2 +8푥1 < 0， ∴ 1 ―
20
푥1
2 + 8푥1
> 1，
， ，
根据对数函数性质可知，当푥1
2 +8푥1取得最小值，即푥1 = ―4时，|푓(푥2) ― 푓(푥1)|取得最小值，
，故答案为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17.解：(1)由已知得푎2 = 3푎1 ― 4 + 2 = 3 × 7
3 ― 4 + 2 = 5，
푎3 = 3푎2 ― 4 × 2 + 2 = 3 × 5 ― 8 + 2 = 9．
(2) ∵ 푎푛+1 = 3푎푛 ― 4푛 +2， ∴ 푎푛+1 ― 2푛 ― 2 = 3푎푛 ― 6푛，
即푎푛+1 ― 2(푛 +1) = 3(푎푛 ― 2푛)． ∵ 푎1 ― 2 = 7
3 ― 2 = 1
3， ∴ 푎푛 ― 2푛 ≠ 0，
∴ 数列{푎푛 ― 2푛}是首项为1
3，公比为 3 的等比数列．
∴ 푎푛 ― 2푛 = 1
3 × 3푛―1， ∴ 푎푛 = 3푛―2 +2푛，
∴ 푆푛 = 푎1 + 푎2 +… + 푎n = 3―1 + 30 + 31 +… + 3푛―2 +2(1 + 2 + 3 + … + 푛) = 3-1 × (1 - 3푛)
1 - 3 +2 ×
푛(푛 + 1)
2 = 3푛-1
2 ― 1
6 + 푛(푛 +1)．
18.解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是퐶 310 = 120，
设甲抽奖一次所得奖金为휉，则奖金휉的可能取值是 0，30，60，240，
所以푃(휉 = 240) = 1
120，푃(휉 = 60) = 8
120 = 1
15，内江六中高三年级，理科数学试卷，第 14 页（共 4 页）
푃(휉 = 30) = 7 × 2 + 6 × 7
120 = 7
15，푃(휉 = 0) = 1 ― 1
120 ― 1
15 ― 7
15 = 11
24．
所以휉的分布列是
휉0 30 60 240
P
11
24
7
15
1
15
1
120
所以퐸(휉) = 30 × 7
15 +60 × 1
15 +240 × 1
120 = 20．
(2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1 ― 11
24 = 13
24，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数휂～퐵
(4,13
24)，
所以퐷(휂) = 4 × 13
24 × 11
24 = 143
144．
19.【答案】解：在平面 SCD 内作퐷퐸 ⊥ 퐶퐷交 SC 于点 E，
因为侧面푆퐶퐷 ⊥ 底面 ABCD，侧面푆퐶퐷 ∩ 底面퐴퐵퐶퐷 = 퐷퐶，퐷퐸 ⊂ 平面 SCD，
所以퐷퐸 ⊥ 底面 ABCD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
所以퐴(1,0，0)，퐵(1
2,1，0)，퐶(0,1，0)，퐷(0,0，0)，
由cos∠푆퐷퐶 = 1 + 1 ― 3
2 × 1 × 1 = ― 1
2，得 ，
所以点 S 的坐标为(0, ― 1
2, 3
2 )，则푆퐴 = (1,1
2, ― 3
2 )， 푆퐵 = (1
2,3
2, ― 3
2 )，
푆퐶 = (0,3
2, ― 3
2 )，푆퐷 = (0,1
2, ― 3
2 )，퐷퐴 = (1,0,0)，
(1)设面 SAB 的法向量为푛 = (푥,y，푧)，则
{푛·푆퐴 = 0
푛·푆퐵 = 0即{푥 + 1
2푦 ― 3
2 푧 = 0
1
2푥 + 3
2푦 ― 3
2 푧 = 0
，
取푧 = 3，得푛 = (6
5,3
5, 3)，则|푛| = 2 30
5 ，
设 SC 与平面 SAB 所成的角为휃，则 ；
(2)设平面 SAD 的法向量为푚 = (푎,b，푐)，则{푚·푆퐴 = 0
⇀
푚·퐷퐴 = 0,内江六中高三年级，理科数学试卷，第 15 页（共 4 页）
即{푎 + 1
2푏 ― 3
2 푐 = 0
푎 = 0 ，取푏 = 3，则푚 = (0,3， 3)，|푚| = 2 3，
所以 ，
故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值为 10
5 ．
20.【答案】解：(1)由题意得{ 푐
푎 = 6
3
푏 = 2
푎2 = 푏2 + 푐2
,
解得푎 = 2 3，푏 = 2，所以椭圆 C 的标准方程为푥2
12 + 푦2
4 = 1．
(2)直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4, 0).证明如下：因为퐴퐸 ⋅ 퐷퐸 = 0,
所以퐴퐸 ⊥ 퐷퐸，因为直线 l 过点(2, 0)．
①当直线 l 的斜率不存在时，则直线 l 的方程为푥 = 2，
不妨设퐴(2, 2 6
3 ), 퐵(2, ― 2 6
3 ), 则퐸(6, 2 6
3 )，
此时，直线 BE 的方程为푦 = 6
3 (푥 ― 4)，所以直线 BE 过定点(4, 0)；
②直线 l 的斜率存在且不为零(显然)时，设直线 l 的方程为푥 = 푚푦 +2(푚 ≠ 0)，퐴(푥1, 푦1)，퐵(푥2, 푦2
)，所以퐸(6, 푦1)，直线 BE：푦 ― 푦1 = 푦2 ― 푦1
푥2 ― 6 (푥 ― 6)，
令푦 = 0，得푥 ― 6 = ― 푦1(푥2 ― 6)
푦2 ― 푦1
，即푥 = 6 + ― 푦1푥2 + 6푦1
푦2 ― 푦1
，
又푥2 = 푚푦2 +2，所以푥 = 6 + ― 푦1(푚푦2 + 2) + 6푦1
푦2 ― 푦1
，
即证6 + ― 푦1(푚푦2 + 2) + 6푦1
푦2 ― 푦1
= 4，即证2(푦1 + 푦2) ― 푚푦1푦2 = 0，( ∗ )，
联立{ 푥2
12 + 푦2
4 = 1,
푥 = 푚푦 + 2, 消 x 得(푚2 +3)푦2 +4푚푦 ― 8 = 0，
因为点(2, 0)在 C 内，所以直线 l 与 C 恒有两个交点，
由韦达定理得푦1 + 푦2 = ― 4푚
푚2 + 3，푦1푦2 = ― 8
푚2 + 3，代入( ∗ )中得2(푦1 + 푦2) ― 푚푦1푦2 = ― 8푚
푚2 + 3 ― ―8푚
푚2 + 3
= 0，所以直线 BE 过定点(4, 0)，综上所述，直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4, 0)．内江六中高三年级，理科数学试卷，第 16 页（共 4 页）
用퐴퐸 ⋅ 퐷퐸 = 0，即可得出．
21.(I)解：函数 f(x)的定义域是(-1,∞), (x)= .令 (x)=0，解得 x=0，当-10 时, (x)
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