高三数学（文科）第 1 页 共 13 页
秘密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）
数 学（文）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符号题目要求的）.
1．已知集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ， ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数
在 20 岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在 20～30 岁为“成年型”人口；年龄中
位数在 30 岁以上为“老龄型”人口．
如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口
2{ | 1 3} { | log ( 2)}A x x B x y x= − ≤ ≤ = = −， A B =
{ }| 1 2x x− ≤ < { }| 2 3x x< ≤ { }|1 3x x< ≤ { }| 2x x >
( ) 2x i i y i− = + x y R∈， x yi+
2 1 i 1−
3x = 2 2 3 0x x− − =
3x ≠ 2 2 3 0x x− − ≠ 3x = 2 2 3 0x x− − ≠
2 2 3 0x x− − ≠ 3x ≠ 2 2 3 0x x− − ≠ 3x =高三数学（文科）第 2 页 共 13 页
年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至 2000 年为“成年型”人口；②从 2010
年至 2020 年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其
中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．② D．①②
5．记 ，那么 ( )
A． B． C．
D．
6． 设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，
则 ( )
A．8 B．4 C．2 D．1
7．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，点 的坐标为 ，
若直线 的倾斜角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
8．一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出
的结果是 ，则判断框内可填入的条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知锐角 的内角 的对边分别为 ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10.已知函数 .若 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知 ，函数 在 上单调递减.则 的取值范围是
M BC A BC 2
16BC = AB AC AB AC+ = −
AM =
( ) | lg |f x x= a b≠ ( ) ( )f a f b= a b+
(1, )+∞ [1, )+∞ (2, )+∞ [2, )+∞
cos80 k° = tan100° =
21 k
k
− 21 k
k
−−
21
k
k− 21
k
k
−
−
C ( )2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
− = > >， F A ( )0 2b，
AF 45° C
3 2
2 3
2 3
3
1−
6?i < 7?i >
7?i < 6?i >
ABC∆ A B C， ， a b c， ， 223cos cos2 0A A+ =
7a = 6c = b =
10 9 8 5
0ω > ( ) sin( )4f x x
πω= + ( )2
π π， ω高三数学（文科）第 3 页 共 13 页
A． B． C． D．
12.已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．柜子里有 双不同的鞋子，随机地取出 只，则取出的
只鞋子刚好成对的概率为 ．
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
15．设偶函数 满足 ，
则 ．
16．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，
点 是原点，若 ；则 的面积为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分.
17．（12 分）已知递减等差数列 ，满足 ， .
（1）求等差数列 的通项公式；
（2）设 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 .
18．（12 分）如图，在四棱锥 中，四边形
为平行四边形， 为侧棱 的中点，
为 与 的交点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ，
S ABCD− 2 3SA =
3
{ }n nb a− { }nb n nT
1 5[ ]2 4
， 1 3[ ]2 4
， 1(0, ]2 (0 2]，
1 2 3
3 2 2
( )f x ( ) 2 4( 0)xf x x= − ≥
{ }( 2) 0x f x − > =
2 4y x= F ,A B
O 3AF = AOB∆
{ }na 3 8 20a a+ = 5 6 99a a⋅ =
{ }na
1 3
P ABCD−
ABCD E PD
O AC BD
/ /OE PBC
PAD ⊥ ABCD 4AC =高三数学（文科）第 4 页 共 13 页
， ，求证： ．
19．（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元
的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（1）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单
位：枝， ）的函数解析式。
（2）花店记录了 100 天 玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天 的日利润（单位：元）
的平均数；
（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，
求当天的利润不少于 75 元的概率.
20．（12 分）已知椭圆 ： 过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 交椭圆 于 ， 两点，判断点 与以
线段 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
21.（12 分）已知函数 ，且在 上的最大值为 ，
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 内的零点个数，并加以证明.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22．(10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
(0, 2） 2
2
1x my m R= - Î，( ) 9( 4- , 0)
5AB = 4sin 5ABC∠ = AC PD⊥
n N∈
E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
E
E A B G
AB
3( ) sin ( )2f x ax x a R= − ∈ 0 2
π
， 3
2
π −
( )f x
( )f x (0 )π，高三数学（文科）第 5 页 共 13 页
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点
且倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
（1）求 的取值范围；
（2）求 中点 的轨迹的参数方程．
23．(10 分）[选修 4-5：不等式选讲]
已知正实数 ， 满足 .
（1）求 的最小值；
（2）求证： .
xOy O
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
， θ
( )0 2−， α l O A B，
α
AB P
a b 4a b+ =
1 1
a b
+
2 21 1 25
2a ba b
+ + + ≥ 高三数学（文科）第 6 页 共 13 页
2020 年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）
数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C A B C C D D C A C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17. （1）因为 是递减等差数列，且 ，所以 .............................................2
分
又 ，所以 ， ，....................................................................................................4
分
即
.........................................................................................................................................................5
分
所以
........................................................................................................6 分
（2）由题意 ，所以 ........................................................8
分
= ...................................................................................12 分
（若结果对一半，只扣 2 分）
18. 证明（1）因为四边形 为平行四边形， 为 与 的交点，
所以 为 的中
{ }na
13 −=− n
nn ab 21233 11 +−=+= −− nab nn
nn
)331( 1−++++= n
nn ST
2
13202 −++−
n
nn
1
5 16 16π − ( 0) (4 )−∞ + ∞， ， 3 2
2
3 8 20a a+ = 5 6 20a a+ =
5 6 99a a⋅ = 5 11a = 6 9a =
2d = −
5 ( 5) ( 2) 21 2na a n n= + − × − = −
ABCD O AC BD
O BD高三数学（文科）第 7 页 共 13 页
点.......................................................................................................................................1 分
又因为 为侧棱 的中点，
所以
.................................................................................................................................................3 分
又因为 平面 , 平面 ，
所以 平面
....................................................................................................................................5 分
（2）在 中，因为 ， ， ，
由正弦定理 ，
可得
，........................................................................................7 分
所以 ，即
...................................................................................................................8 分
又因为四边形 为平行四边形，
所以 ，所以
....................................................................................................................9 分
又因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ,
所以 平面
......................................................................................................................................11 分
又因为 平面 ，所以
.....................................................................................................12 分
19. （1）当日需求量 时，利润 ．...........................................................................................2
分
当日需求量 时，利润
．..................................................................................................4 分
E PD
/ /OE PB
PB ⊂ PBC OE ⊄ PBC
/ /OE
PBC
ABC 4AC = 5AB = 4sin 5ABC∠ =
sin sin
AC AB
ABC ACB
=∠ ∠
45sin 5sin 14
ABCAB
AAC CB
×⋅ ∠∠ = = =
90ACB∠ = °
AC BC⊥
ABCD
/ /AD BC
AC AD⊥
PAD ⊥ ABCD
PAD ABCD AD= AC ⊂ ABCD
AC ⊥
PAD
PD ⊂ PAD
AC PD⊥
17n ≥ 85y =
17n <
10 85y n= −高三数学（文科）第 8 页 共 13 页
所以 关于 的函数解析式为
（ ）．............................................................6 分
（2）①这 天中有 天的日利润为 元， 天的日利润为 元， 天的日利润为 元，
天
的日利润为
元，.............................................................................................................................................8 分
所以这 天的日利润的平均数为
×．....................10 分
②利润不低于 元时日需求量不少于 枝，
故当天的利润不少于 元的概率为
．....................................12 分
20. 解法一：（Ⅰ）由已知得
，解得
所以椭圆 的方程为 ．...............................................................................................................5
分
（Ⅱ）设点 中点为 ．
由 得
................................................................................................6 分
所以 从而
..............................................................................7 分
所以
y n 10 85 17
85 17
n ny n
− + + +
GH > 2
AB G 9( 4
，0)- AB
1 1 2 2( ) ( ),A x y B x y， ， ， 1 1 2 2
9 9( ) ( ).4 4GA x y GB x y ， ， ，= + = +
2 2
1
14 2
x my
x y
= −
+ =
2 2( 2) 2 3 0m y my+ − − =
1 2 1 22 2
2 3=2 2
my y y ym m
， ，+ = + +
1 2 1 2 1 2 1 2
9 9 5 5( )( ) ( )( )4 4 4 4GA GB x x y y my my y y⋅ = + + + = + + +
2 2
2
1 2 1 2 2 2
5 25 5 3( +1) 25( +1) ( )4 16 2( 2) 2 16
m mm y y m y y m m= + + + = - ++ +
2
2
17 2 016( 2)
m
m
+= >+
cos 0GA GB GA GB ， ，又 ，< >> AGBÐ高三数学（文科）第 10 页 共 13 页
故点 在以 为直径的圆
外．..................................................................................................12 分
21. (1)由已知得 ，对于任意的 ，有 ，.........1
分
当 时， ，不合题意；.......................................................................................................2
分
当 时， ， ，从而 在 单调递减，
又函数 在 上图象是连续不断的，
故函数在 上的最大值为 ，不合题意；.......................................................................................3
分
当 时， ， ，从而 在 单调递增，
又函数 在 上图象是连续不断的，
故函数在 上的最大值为 ，解得 ，................................................4
分
综上所述，得 ；..............................................................................................5
分
（2）函数 在 内有且仅有两个零点.证明如下：................................................................6
分
由（1）知， ，从而有 ， ，
又函数在 上图象是连续不断的，所以函数 在 内至少存在一个零点，..................7
分
又由（1）知 在 单调递增，故函数 在 内仅有一个零点................................8
分
当 时，令 ，
G 9( 4
，0)- AB
( ) (sin cos )f x a x x x′ = + (0 )2x
π∈ ， sin cos 0x x x+ >
0a = 3( ) 2f x = −
0a < (0 )2x
π∈ ， ( ) 0f x′ < ( )f x (0 )2
π，
3( ) sin 2f x ax x= − ( )a R∈ [0 ]2
π，
[0 ]2
π， (0)f
0a > (0 )2x
π∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x (0 )2
π，
3( ) sin 2f x ax x= − [0 ]2
π，
[0 ]2
π， 3 3( )2 2 2 2f a
π π π −= − = 1a =
3( ) sin ( )2f x x x a R= − ∈
( )f x (0 )π，
3( ) sin 2f x x x= − 3(0) 02f = − < 3( ) 02 2f
π π −= >
[0 ]2
π， ( )f x (0 )2
π，
( )f x (0 )2
π， ( )f x (0 )2
π，
( )2x
π π∈ ， ( ) ( ) sin cosg x f x x x x′= = +高三数学（文科）第 11 页 共 13 页
由 ， ，且 在 上的图象是连续不断的，
故存在 ，使得 ......................................................................................................9 分
由 ，知 时，有 ，
从而 在 上单调递减...........................................................................................................10
分
当 ， ，即 ，
从而 在 内单调递增
故当 )时， ，
从而 在 内无零点；...........................................................................................................11 分
当 时，有 ，即 ，
从而 在 内单调递减.
又 ， 且 在 上的图象是连续不断的，
从而 在 内有且仅有一个零点.
综上所述，函数 在 内有且仅有两个零点.........................................................................12
分
22. （1） 的直角坐标方程为 ．...................................................................................1 分
当 时， 与 交于两点．.........................................................................................................2 分
当 时，记 ，则 的方程为 ．.................................................................3 分
与 交于两点当且仅当 ，解得 或 ，....................................................4 分
即 或 ．
综上， 的取值范围是 ．.....................................................................................................5 分
( ) 1 02g
π = > ( ) 0g π π= − < ( )g x [ ]2
π π，
[ ]2m
π π∈ ， ( ) 0g m =
( ) 2cos sing x x x x′ = − [ ]2x
π π∈ ， ( ) 0g x′ <
( )g x [ ]2
π π，
( )2x m
π∈ ， ( ) ( ) 0g x g m> = ( ) 0f x′ >
( )f x ( )2 m
π ，
( )2x m
π∈ ， 3( ) ( ) 02 2f x f
π π −> = >
( )f x ( )2 m
π ，
( )x m π∈ ， ( ) ( ) 0g x g m< = ( ) 0f x′ <
( )f x ( )2 m
π ，
( ) 0f m > ( ) 0f π < ( )f x [ ]m π，
( )f x [ ]m π，
( )f x (0 )π，
O 2 2 1x y+ =
2
πα = l O
2
πα ≠ tan kα = l 2y kx= −
l O 2
2 1
1 k
<
+ 1k < − 1k >
,4 2
π πα ∈
3,2 4
π πα ∈
α 3,4 4
π π
高三数学（文科）第 12 页 共 13 页
（2） 的参数方程为 为参数， ．
设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，...................................................6 分
且 ， 满足 ．
于是 ， ．..........................................................................................7 分
又点 的坐标 满足 ....................................................................................8 分
所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ．............10 分
（漏掉范围扣 1 分）
22．（1）法一：由 得： ，
当且仅当“ ”，即 时等号成立.
∴ 的最小值为 1..........................................................................................................................5 分
（不写取等条件扣 1 分）
法二：∵ ， ， ，
∴ ，
即 时等号成立，∴ 的最小值为 1.
法三：由柯西不等式得： ，
又 ，进而得： ，故 的最小值为 1.
当且仅当“ ”时等号成立.
注：其它解法相应给分.
l
,
(
2
x tcos
t
y tsin
α
α
= = − +
3
4 4
π πα< < )
A B P At Bt Pt
2
A B
P
t tt
+=
At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + =
2 2sinA Bt t α+ = 2sinPt α=
P ( ),x y
,
2 .
P
P
x t cos
y t sin
α
α
= = − +
P
2 2 ,2
2 2 22 2
x sin
y cos
α
α
=
= − −
(α 3
4 4
π πα< < )
4a b+ = 1 1 1 1 1 1( ) 2 14 4
b aa ba b a b a b
+ = + + = + + ≥
b a
a b
= 2a b= =
1 1
a b
+
0a > 0b > 4a b+ =
2
1 1 4 1
2
a b a b
a b ab a ba b
+ ++ = ≥ = =++
2a b= = 1 1
a b
+
21 1 1 1( ) 4a b a ba b a b
+ + ≥ ⋅ + ⋅ =
4a b+ = 1 1 1a b
+ ≥ 1 1
a b
+
2a b= =高三数学（文科）第 13 页 共 13 页
（2）法一：由 ，
得： ，
由（1）知： ，
进而得： ，
当且仅当“ ”时等号成立.....................................................................................................10 分
（不写取等条件扣 1 分）
法二：由 得： ， ，
由 ，
当且仅当“ ”时等号成立.
法三：由柯西不等式得：
.
( )2 2 22 ( )a b a b+ ≥ +
2 2 21 1 1 1 1
2a b a ba b a b
+ + + + + +
≥
1 1 1a b
+ ≥
2 2 21 1 1 1 1 25
2 2a b a ba b a b
≥ + + + + + +
≥
2a b= =
( )2 2 22 ( )a b a b+ ≥ + 2 2 21 ( ) 82a b a b+ + =≥
2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2a b a b
+ ≥ +
≥
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 254 8 42 2a b a ba b a b
+ + + = + + + + ≥ + + =
2a b= =
2 2 2 21 1 1 1 1(1 1)2a b a ba b a b
+ + + = + + + +
21 1 1
2 a b a b
≥ + + +
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