上海市长宁区2020届高三数学下学期第三次模拟试题（PDF版附答案）

2020年长宁区高三适应性测试 数学试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一．填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应 位置直接填写结果． 1．若复数 z 满足 1z i i    ，则复数 z 的虚部为 . 2.三阶行列式 3 7 4 51 6 2 0 0 的值为 . 3．已知集合  0,1,2,3A  ，  1 0B x x   ，则 A B ∪ . 4．在 8 3 1x x     的展开式中，其常数项的值为 . 5.已知数列{ }na 中， 1 1 ( )2n na n N    ，令 2 4 2n nS a a a   ⋯ ,则 lim nn S   . 6.函数 2( ) log (1 )( 0)f x x x   的反函数是 . 7.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    的右焦点为  1,0F ，O为坐标原点，点 A 是椭圆在第一象限的一点,且 OAF 为等边三角形，则 a  . 8. 将函数 3( ) sin 2f x x      图象向左平移 ( 0)   个单位，所得图象恰关于直线 4x  对称，则的最小值 为_________. 9．2021年某省将实行“ 3 1 2  ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、 政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率 为 . 10.一个球的内接正方体的棱长为1，则该球的体积为 . 11.已知点 P 为不等式         0 02 03 y yx yx 所表示的可行域内任意一点，点  1, 3A  ，O 为坐标原点，则 || OP OPOA 的 最大值为 . 12.已知   42 ( ) 4 . a x x axf x x x ax         ‚ ‚ ‚ ，当 1a   时,若   3f x  有三个不等的实数根,且它们成等差数列,则 a 的值为 . 二．选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置， 将代表正确选项的小方格涂黑． 13.下列函数中，值域是[1, ) 的函数是（ ） .A 3 1y x  .B 10 1xy   .C 2log 1y x  .D | |2 xy  14. 已知向量 ,a b 是非零向量，则 “ a b a b   ” 是“ / /a b ”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 15.如图，半径为1的圆 M 与直线l 相切于点 A ，圆 M 沿着直线l 滚动．当圆 M 滚动到圆 M  时，圆 M  与直线l 相 切于点 B ．点 A 运动到点 A，线段 AB 的长度为 2 3 ，则点 M  到直线 AB 的距离为 （ ） .A 1 .B 2 3 .C 2 2 .D 2 1 16.将正奇数数列1,3,5,7,9,⋯依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1,3),(5,7,9), (11,13),(15,17,19),⋯ ,称 (1,3) 为第1组，(5,7,9) 为第 2 组，依此类推，则原数列中的 2021位 于分组序列中（ ） .A 第 404 组 .B 第 405 组 .C 第808组 .D 第809组 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ， E 是棱 1BB 的中点． （1）求证： 1D E AC ； （2）求平面 1AD E 与底面 ABCD 所成的锐二面角的大小． 18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知函数 2( ) 1f x x x a    ,其中 a R . （1）讨论 ( )f x 的奇偶性； （2）当 ( )f x 为偶函数时，求使 ( )f x k x 恒成立的 k 的取值范围. E D1 A1 C1 B1 A D C B19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图,在郊野公园的景观河的两岸， AB 、 AC 是夹角为120 的两条岸边步道(长度均超过 3 千米)，为方便 市民观光游览, 现准备在河道拐角处的另一侧建造一个观景台 P , 在两条步道 AB 、 AC 上分別设立游客上下点 M 、 N , 从 M 、 N 到观景台 P 建造两条游船观光线路 MP 、 NP , 测得 3AM AN  千米. （1）求游客上下点 M 、 N 间的距离； （2）若 60MPN  ,设 PMN   ，求两条观光线路 MP 与 NP 之和关于 的表达式  f  ，并求其最大值. 20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    的右焦点为 (1,0)F ，左右顶点分别为 A 、B ， 1BF  ．过点 F 的直线 l（不 与 x 轴重合）交椭圆C于点 M 、 N ，直线 4x  与 x 轴的交点为 D ,与直线 MB 的交点为 P . （1）求椭圆C的方程； （2）若 / /AP DM ，求出点 P 的坐标； （3）求证： A 、 N 、 P 三点共线. M N B DFOA P x y C BA P M N21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS , 把满足条件 1n na S  (对任意的 *n N )的所有数列{ }na 构成的集合记为 M . （1）若数列{ }na 的通项为 1na n   , 判断{ }na 是否属于 M ，并说明理由； （2）若数列{ }na 的通项为 1 2n na  , 判断{ }na 是否属于 M ，并说明理由； （3）若数列{ }na 是等差数列, 且{ }na n M  ,求 1a 的取值范围.