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高三数学试题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知集合 则
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面内对应的点在直线 上，则实数
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3 若 则
A． B．
C． D．
4 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照
日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减
少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，
一尺等于十寸)，则说法不正确的是
A 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
2 2 2{ | 1}, { | },A x x y B y y x= + = = = A B =
[ ]0,1 [ )0,+∞ { }1,1− { }0,1
( )( )2 3ai i+ + y x= a =
2
log 0 0 1),2 1,( b b
a b a a −< > ≠ >且
1, 1a b> > 0 1, 1a b< < >
1,0 1a b> < < 0 1,0 1a b< < < < < ( )y f x=
6
π
1
2
( )y g x= ( )g x
2
π
( ).A y f x= ( ),0 .12 B f x
π − 对称 5
12
π
( ). 2
xC f x g =
50, 4
π
( ) 5. ,12 4D g x
π π
在
( )2 2 0y px p= > ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , 1,2 , , ,A x y B C x y F
1x = −
0,FA FB FC+ + = | |,| |,| |FA FB FC
21 1y y = −
. | | 6,D AC =若
( )f x ( )0, ,+∞ ( ) ( ) ( ), ln ,f x xf x f x x x′ ′ − = 1 1f e e
= 4
在 处取得极大值
在 单调递增
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
的展开式中 的系数为________.
14．已知是平面 α,β 外的直线，给出下列三个论断，①∥α：② ：③⊥β．以其中两个论断为条件，
余下的论断为结论，写出一个正确命题:________.(用序号表示)
15．已知双曲线 过左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 P,Q 两点，以 P，Q
为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为 则双曲线的离心率为________
16 我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建
设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好
有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为 27 米峡谷拐入宽为 8 米的峡谷．如图所示，位
于峡谷悬崖壁上两点 E，F 的连线恰好经过拐角内侧顶点 O(点 E，O，F 在同一水平面内)，设 EF 与较宽侧
峡谷悬崖壁所成角为 θ，则 EF 的长为________ (用 θ 表示)米.要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过
________米.
(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1. 0A f e
′ =
( ).B f x 1x e
=
( ) ( ).0 1 1 .C f D f x< < ( )0,+∞
( )( )513. 2x y x y+ − 2 4x y
α β⊥
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
5 ,a5
17．(本小题满分 10 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 .
(Ⅰ)求角 B；
(Ⅱ)若 求 BC 边上的高.
18．(本小题满分 12 分)
从条件① ② ③ 中任选一个，补充到下面问
题中，并给出解答。
已知数列 的前 n 项和为 ，________.若 成等比数列，求 k 的值．(注：如果选择多
个条件分别解答，按第一个解答计分)
19．(本小题满分 12 分)
携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供
的各种服务.2019 年 11 月 27 日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运
营系统中选出 300 名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为 ，服务水
平的满意率为 ，对业务水平和服务水平都满意的客户有 180 人.
(Ⅰ)完成下面 列联表，并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;
( ), , , 3 cos sina b c a b C c B− =
7,sin 3sin ,b A C= =
( )2 1 ,nnS n a= + ( )1 2 ,n n nS S a n−+ =
20, 2n n nna a a S> + =
{ }na 1, 1nS a = 1 2, ,k ka a S +
13
15
2
3
2 2×6
(Ⅱ)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 2 名征求改进意见，用 X 表示对业
务水平不满意的人数，求 X 的分布列与期望；
(Ⅲ)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为 5%，
只对其中一项不满意的客户流失率为 34%，对两项都不满意的客户流失率为 85%，从该运营系统中任选 4
名客户，则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少?
附：
20．(本小题满分 12 分)
已知直三棱柱 M，N，P 分别为 的中点，且
( )
( )( )( )( )
2
2 ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d
× −= = + + ++ + + +
1 1 1 1, 1,ABC A B C AB AC AA− = = = 1 1 1 1, ,AC AB BB .AP MN⊥7
(Ⅰ)求证：MN∥平面 ;
(Ⅱ)求
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
21．(本小题满分 12 分)
已知函数
(Ⅰ)求证：当 时 的图像位于直线 上方;
(Ⅱ) 设函数 若曲线 在点 M 处的切线与 x 轴平行，且在点
处的切线与直线 OM 平行(O 为坐标原点)
求证：
22．(本小题满分 12 分)
已知 是椭圆 C： 上一点，以点 P 及椭圆的左、右焦点 为顶点的三
角形面积为 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；
(Ⅱ)过 作斜率存在且互相垂直的直线 ,M 是与 C 两交点的中点，N 是 与 C 两交点的中点，求
面积的最大值.
1 1B BCC
;BAC∠
1A PN M− −
( ) ( ) .3 4 xf x x e= −
0x > ( ), y f x= 4 0x y+ + =
( ) ( ) ( )2 3 5 ,xh x f x x ae x= + − + − ( )y h x=
( )( ),N t h t
1
32 1.t a e
− −
( )2, 3P
2 2
2 2 (1 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F
2 3
2F 1 2,l l 2l 2MNF∆8910111313
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