试卷类型：A
高三第四轮复习质量检测
数 学 试 题 2020．6
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 M={0，1，2}，N={x｜x2－3x+2≤0}，则 M∩N=
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
2．已知复数 z 满足(1+i)z= ，i 为虚数单位，则 z=
A．1－i B．1+i C． D．
3．若向量 a，b 满足 ，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则
A．1 B．2 C． D．
4．已知抛物线 E：y2=2px(p＞0)的焦点为 F，O 为坐标原点，OF 为菱形 OBFC 的一条对角线，
另一条对角线 BC 的长为 2，且点 B，C 在抛物线 E 上，则 p=
A．1 B． C．2 D．
5．已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则“Sn＞nan 对 n≥2 恒成立”是“a3＞a4”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数 的图象可能为
3 i+
1 1
2 2 i− 1 1
2 2 i+
1a = b =
2
2 2
2 2 2
1( ) ( )cos ( 0)f x x x x xx
π π= − − ≠≤ ≤ 且7．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈(－∞，0]时，f(x)=－x2+2x，若实数 m 满足 f(log2m)
≤3，则 m 的取值范围是
A．(0，2] B． C．(0，8] D．
8．如图，在三棱锥 A—BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，
点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角
的余弦值是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是
A．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校
四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查。已知该校一、二、三、四年级本
科生人数之比为 6：5：5：4，则应从一年级中抽取 90 名学生
B．10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率为
C．已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得 =3， =3．5，则由该观测数据算得的线性
回归方程可能是 =0.4x+2.3
D．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两
个互斥而不对立的事件
10．已知定义在( )上的函数 f（x），f＇(x)是 f(x)的导函数，且恒有 cosxf＇(x)+sinxf(x)＜0
成立，则
A． B．
C． D．
1[ ,2]2
1[ ,8]8
5
8
5
8
7
8
7
8
1
2
x y
y
0, 2
π
( ) 2 ( )6 4f f
π π＞ 3 ( ) ( )6 3f f
π π＞
( ) 3 ( )6 3f f
π π＞ 2 ( ) 3 ( )6 4f f
π π＞11．设函数 g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移 个单位长度得到函数 f(x)，已知 f(x)在[0，2π]上有且
只有 5 个零点，则下列结论正确的是
A．f(x)的图象关于直线 对称
B．f(x)在(0，2π)上有且只有 3 个极值大点，f(x)在(0，2π)上有且只有 2 个极小值点
C．f(x)在(0，2π)上单调递增
D．ω 的取值范围是[ )
12．如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，将△AMB 沿直线 AM 翻折成△AB1M，连接
B1D，N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
A．存在某个位置，使得 CN⊥AB1
B．CN 的长是定值
C．若 AB=BM，则 AM⊥B1D
D．若 AB=BM=1，当三棱锥 B1－AMD 的体积最大时，三棱锥
B1－AMD 的外接球的表面积是 4π
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有
志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，
13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按
从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，
第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方
图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组的人数为 ▲ ．
14． 的展开式中 x3 的系数为 ▲ ．
15．已知函数 ，则 f(－2020)= ▲ ．
16．已知直线 l：3x+4y+m=0，圆 C：x2+y2－4x+2=0，则圆 C 的半径 r= ▲ ；若在圆 C 上
存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得∠APB=90°，则实数 m 的取值范围是
▲ ．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
5
π
ω
2x
π=
12 29,5 10
41( )(1 )x xx
− −
3log ( 1) 2, 0( ) ( 3), 0
x xf x f x x
+ −= +
≥
＜四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①
②b2+c2=52
③△ABC 的面积为
在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 b － c=2 ， cosA= ，
▲ ．
(1)求 a；
(2)求 的值．
18．(12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥平
面 ABCD，PA=AB，E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的
动点．
(1)求证：AE⊥平面 PBC；
(2)试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°．
2
6AB AB BC+ = −
3 15
1
4
−
cos(2 )6C
π+19．(12 分)
已知等差数列{an}的公差 d＞0，a2=7，且 a1，a6，5a3 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足 ，且 b1= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
20．(12 分)
某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集
了技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：
改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21
改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36
(1)完成下面的列联表，并判断能否有 99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差
异?
超过 30 不超过 30
改造前
改造后
(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，
保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为 T 天(即从开工运行到第 kT 天，k∈N*)进行维
护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周
期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产
设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费
为 0.5 万元／次；保障维护费第一次为 0.2 万元／周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2
万元．现制定生产设备一个生产周期(以 120 天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．
以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期
1
1 1 ( )n
n n
a n Nb b
∗
+
− = ∈ 1
3内生产维护费的分布列及均值．
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21．(12 分)
已知椭圆 C1： 的左、右顶点分别是双曲线 C2： 的左、右焦
点，且 C1 与 C2 相交于点( )．
(1)求椭圆 C1 的标准方程；
(2)设直线 l： 与椭圆 C1 交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆是否恒过定点?若
恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由．
22．(12 分)
已知函数 ，f＇(x)是 f(x)的导函数．
(1)证明：当 x＞0 时，f(x)＞0；
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2 2
2 2 1(x y aa b
+ = ＞b＞0)
2
2
2 1x ym
− =
2 3 3,3 3
1
3y kx= −
( ) ( 2) 2xf x x e x= − + +(2)证明： 在( )上有且只有 3 个零点．
高三第四轮复习质量检测
数学参考答案及评分标准 2020．6
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C D A C
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 ABC CD CD BD
三、填空题：
13．18 14．5 15．－1 16．
四、解答题：
17．（10 分）
解：方案一：选择条件①：
（1）
∵
∴bc=24 ………………………………………………………………………………2 分
由 解得 或 （舍去）
∴
∴a=8 ………………………………………………………………………………4 分
（2）
( ) ]( ) 1 sin )[ 2xg x x xe f x= − −（ ＇ + - 2 ,π π−
2，[ - 16, 4]
2
( ) cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A+ = + = = = −
1cos 4A = −
24
2
bc
b c
=
− =
6
4
b
c
=
=
4
6
b
c
= −
= −
2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 ( ) 644a b c bc A= + − = + − × × × − =
2 2 2
cos 2
a b cC ab
+ −=
64 36 16
2 8 6
+ −= × ×
7
8
=∴ ………………………………………………………………6 分
∴
………………………………………………8 分
∴
………………………………………………10 分
方案二：选择条件②：
（1）由 解得 或 （舍去） …………………………2 分
∴
∴a=8 …………………………………………………………………………4 分
（2）同方案一
方案三：选择条件③：
（1）∵
∴
∴bc=24 ………………………………………………………………………2 分
由 解得 或 （舍）
∴
∴a=8 ……………………………………………………………………………4 分
（2）同方案一
18．（12 分）
解：（1）∵PA⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD
49 5sin 1 64 8C = − =
2 17cos2 2cos 1 32C C= − =
7 15sin 2 2sin cos 32C C C= =
cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin6 6 6C C C
π π π+ = −
17 3 7 15
64
−=
2 2 52
2
b c
b c
+ =
− =
6
4
b
c
=
=
4
6
b
c
= −
= −
2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 ( ) 644a b c bc A= + − = + − × × × − =
1cos 4A = −
15sin 4A =
1 15sin 3 152 8ABCS bc A bc= = =△
24
2
bc
b c
=
− =
6
4
b
c
=
=
4
6
b
c
= −
= −
2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 ( ) 644a b c bc A= + − = + − × × × − =
⊂∴PA⊥BC
∵ABCD 为正方形
∴AB⊥BC ………………………………………………………………………2 分
又 PA∩AB=A，PA，AB 平面 PAB
∴BC⊥平面 PAB
∴AE 平面 PAB
∴AE⊥BC ………………………………………………………………………4 分
∵PA=AB，E 为线段 PB 的中点
∴AE⊥PB
又 PB∩BC=B，PB，BC 平面 PBC
∴AE⊥平面 PBC ………………………………………………………………6 分
（2）以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，
设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2 ， 则 A （ 0,0,0 ）， B
（ 2,0,0 ）， C （ 2,2,0 ）， D （ 0,2,0 ） P （ 0,0,2 ） E
（1,0,1）
∴ ， ，
………………………………8 分
设 F（2，λ，0）（0≤λ≤2），
∴
设平面 AEF 的一个法向量为 n（x1，y1，z1）
则
∴
令 y1=2，则
∴ …………………………………………………………………10 分
设平面 PCD 的一个法向量为 m=（x2，y2，z2）
⊂
⊂
⊂
(1,0,1)AE = (2,2, 2)PC = −
(0,2, 2)PD = −
(2, ,0)AF λ=
0
0
n AE
n AF
= =
1 1
1 1
0
2 0
x z
x yλ
+ =
+ =
1
1
x
z
λ
λ
= −
=
( ,2, )n λ λ= −则
∴
令 y2=1，则
∴m=（0,1,1）
∵平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°，
∴ ，
解得 λ=1，
∴当点 F 为 BC 中点时，平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°
……………………………………………………………………………………12 分
19．（12 分）
解：（1）∵a1,a6,5a3 成等比数列
∴
∴
整理得
∴ 或 …………………………………………………………2 分
当 时，
由 解得 ，满足题意， …………………………………………4 分
当 时，
由 解得 ，不合题意，
∴ ……………………………………………………6 分
0
0
m PC
m PD
= =
2 2 2
2 2
0
0
x y z
y z
+ − =
− =
2
2
0
1
x
z
=
=
2
2 3cos30 22 2 4
m n
m n
λ
λ
+° = = =
× +
2
6 3 15a a a= ⋅
2
1 1 1( 5 ) 5 ( 2 )a d a a d+ = ⋅ +
2 2
14 25a d=
1
5
2a d= 1
5
2a d= −
1
5
2a d=
1
2
5
2
7
a d
a
=
=
1 5
2
a
d
=
=
1
5
2a d= −
1
2
5
2
7
a d
a
= −
=
14
3d = −
5 2( 1) 2 3na n n= + − = +（2）由（1）知，当 n≥2 时，
∵ ，
∴当 n≥2 时，
……………………………………………………………8 分
又
当
.
………………………………………………………10 分
………………………………………12 分
20.（12 分）
1 2 1
( 1)(5 2 1)
2n
n na a a −
− + ++ + + =…
2 2 3n n= + −
1
1 1
n
n n
ab b+
− =
1
1
1 1
n
n n
ab b −
−
− =
1 2 1
2 1 3 2 1
1 1 1 1 1 1
n
n n
a a a b b b b b b−
−
+ +⋅⋅⋅ = − + − +⋅⋅⋅+ −
1
1 1
nb b
= −
2 2 3n n= + −
1
1
3b =
( )
1
2nb n n
∴ = +
( )1
1 11 1 1 2 3n b= = =× +时，
( )
1 ,2nb n Nn n
∗∴ = ∈+
( )
1 1 1 1
2 2 2nb n n n n
∴ = = − + +
1 2n nT b b b∴ = + +⋅⋅⋅+
1 1 1 1 1 112 3 2 4 2n n
= − + − +⋅⋅⋅+ − +
( )( )
21 3 1 1 3 5
2 2 1 2 4 1 2
n n
n n n n
+ = − − = + + + + 解：（1）
………………………………………2 分
有 99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.………………………4 分
（2）由题知，生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产
线需保障维护的概率为 .
设一个生产周期内需保障维护的次数为 ，则 ；一个生产周期内的正常维护费为
万元，保障维护费为 万元.
一个生产周期内需保障维护 次时的生产维护费为 万元.
设一个生产周期内的一产维护费为 X，则 X 的所有可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4…8 分
………………………………………………………………10 分
所以，X 的分布列为
( )2
2 40 5 5 15 15 10 6.63520 20 20 20K
× − ×∴ = = >× × ×
∴
1
4P =
ξ 1~ 4, 4Bξ
0.5 4 2× = ( ) ( )20.2 1 0.1 0.12
ξ ξ ξ ξ× + = +
∴ ξ ( )20.1 0.1 2ξ ξ+ +
( ) 41 812 1 4 256P X = = − =
( ) 3
1
4
1 1 272.2 1 4 4 64P X C = = − =
( ) 2 2
2
4
1 1 272.6 1 4 4 128P X C = = − =
( ) 3
3
4
1 1 33.2 1 4 4 64P X C = = − =
( ) 41 14 4 256P X = = =
一个生产周期内生产维护费的均值为 2.275 万元……………………………………12 分
21.（12 分）
解：（1）将
解得
…………………………………………………………………………2 分
将
解得
椭圆 的标准方程为 ………………………………………………………4 分
（2）设 ，
由 整理得
，
……………………………………………………………6 分
法一：由对称性可知，以 AB 为直径的圆若恒过定点，是定点必在 y 轴上.…………8 分
设定点为 ，则
( ) 81 27 27 3 12 2.2 2.6 3.2 4256 64 128 64 256E X∴ = × + × + × + × + ×
162 237.6 140.4 38.4 4 582.4 2.275256 256
+ + + += = =
∴
2
2
2
2 3 3 13 3
x ym
− =
， 代入
2 1m =
2 2 1 2a m∴ = + =
2 2
2
2 3 3, 13 3 2 6
x y + =
代入
2 1b =
∴ 1C
2
2 12
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
2
1
3
12
y kx
x y
= −
+ =
( )2 29 18 12 16 0k x kx+ − − =
1 2 1 22 2
12 16,9 18 9 18
kx x x xk k
−∴ + = =+ +
( )2 2144 64 9 18 0k k∆ = + + >
( )00,M y
……………………………………………10 分
解得
以线段 AB 为直径的圆恒过定点 .………………………………………………12 分
法二：设定点为 ，则
…………………………8 分
……………………10 分
( ) ( )1 1 0 2 2 0, , ,MA x y y MB x y y= − = −
( )( )1 2 1 0 2 0MA MB x x y y y y⋅ = + − −
( ) 2
1 2 1 2 0 1 2 0x x y y y y y y= + − + +
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 0 1 2 0
2 1
3 3 9
kx x k x x x x y k x x y = + − + − + − + +
( ) ( )2 2
1 2 0 1 2 0 0
1 2 11 3 3 9k x x k y x x y y = + − + + + + +
( )2 2 2
0 0 0
2
18 1 9 6 15
9 18
y k y y
k
− + + −
= +
0=
2
0
2
0 0
1 0
9 6 15 0
y
y y
− =∴ + − = 0 1y =
( )0,1M∴
∴ ( )0,1
( )0 0,M x y
( ) ( )1 0 1 0 2 0 2 0, , ,MA x x y y MB x x y y= − − = − −
( )( ) ( )( )1 0 2 0 1 2 0MA MB x x x x y y y y⋅ = − − + − −
( ) ( )2 2
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0x x x x x x y y y y y y= − + + + − + +
( ) ( )2 2
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0
1 1 2
3 3 3x x x x x x kx kx y k x x y = − + + + − − − + − +
( ) ( )2 2 2
1 2 0 0 1 2 0 0 0
1 2 11 3 3 9k x x x y k x x x y y
= + − + + + + + + +
( )2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
18 1 12 9 9 6 15
9 18
x y k x k x y y
k
+ − − + + + −
= +
0=解得
以线段 AB 为直径的圆恒过定点 .………………………………………………12 分
22.（12 分）
证明：（1）
令 ，
当 ，………………………………………………………2 分
上单调递增，
，
，
上单调递增，
又 ，
.……………………………………………………4 分
（2） ，
令 ，
令 ，则
，
是奇函数，且 .………………………………………………………6 分
令 ，
2 2
0 0
0
2 2
0 0 0
1 0
0
9 9 6 15 0
x y
x
x y y
+ − =
∴ =
+ + − =
0 1y =
( )0,1M∴
∴ ( )0,1
( ) ( )1 1xf x x e′ = − +
( ) ( ) ( )1 1,x xk x x e k x xe′= − + =则
( )0 0x k x′> >时，
( ) ( )0f x′∴ + ∞在 ，
( )0 =0f ′∴
( )0 0x f x′∴ > >时，
( ) ( )0f x∴ + ∞在 ，
( )0 0f =
( )0 0x f x∴ > >当 时，
( ) ( ) ( ) ( )1 sin 2 2 1 sin sin 1x xg x x xe f x x e x′ = − − + − = − − −
( ) ( ) 10 1 sin sin 1 0 sin 01
x
x
x
eg x x e x xe
−= − − − = − =+得 ，即
( ) 1 sin1
x
x
eh x xe
−= −+
( ) ( ) ( )1 1sin sin1 1
x x
x x
e eh x x x h xe e
−
−
− −− = − − = − − = − + +
( )y h x∴ = ( )0 0h =
( ) ( ) ( )2
1 2
1 1
x x
x x
e et x t xe e
− ′= =+ +
，则当 ，
上单调递增.
令 上单调递增，在 上单调递减.
由（1）知：当 .………………8 分
令 .
当 单调递增.
当 单调递减.
又 .
恒成立.
即 恒成立.
时， .
恒成立.…………………………………………10 分
当 .
在 上为增函数，且 .
.
上有且只有一个零点，设为 ，即 .
( ) ( )0, 0x t xπ ′∈ >时，
( ) ( )0t x π∴ 在 ，
( ) ( )sin , 0 2r x x r x
π = 则 在 ，
2
π π
，
( ) 10, 2 2 02 1 2
x
x
x
e xx x e x e
π − ∈ − + + > 时，
( ) ( ), 0,3 2x m x m x
π π ′∈
( )0, 02x m x
π ∴ ∈ > 时,
0, sin2 2x x
π π ∈
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