宜兴中学高三年级数学模拟（六）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 ， ，…， 的方差 ，其中
柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高．
锥体的体积 ，其中 是椎体的底面积， 是椎体的高．
一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上
1．已知 ， ，则 ________．
2．已知 ，则 ________．
3．已知 ， 为实数， 为虚数单位，且 ，则 ________．
4．已知数列 满足： ， ，则 ________．
5．已知 为偶函数，且 ．当 时， ，若 ，
，则 ________．
6．已知随机变量 ，当方差 取到最大值时，在 的展开式中任
取一项，则所取项是有理项的概率为________．
7．已知点 为圆 ： 上的动点，过原点的直线与曲线 ： 交
于 ， 两点，则 的最大值为________．
8．已知 轴为曲线 的切线，则 的值为________．
9．在直线 上任取一点 ，过点 向圆 做两条切线，其切点分别为 ，
，则直线 经过一个定点，该定点坐标为________．
10．已知正三角形 的边长为 ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿线段
折 起 ， 求 使 四 棱 锥 体 积 最 大 时 ， 四 棱 锥 的 外 接 球 的 体 积 为
________．
11．已知 ，则 的最小值________．
12． ________．
13．已知函数 ， ，若函数 恰有 2 个不同的零点，
1x 2x nx ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
{ }3A x R y x= ∈ = − { }2 2 0B x x x= + − > ( )AC A B =
( ) 2sin π 3
α + = − cos2α =
x y i ( )2 2x i y i+ = + x =
{ }na 1 1a = ( )1 1 11
n na a nn n
+ = + ≥+ 8a =
( )f x ( ) ( )2 2f x f x+ = − 2 0x− ≤ ≤ ( ) 2xf x = n N +∈
( )na f n= 2020a =
( )~ 4,X B p ( )D X
11
33 xx p
−
P M ( ) ( )2 2
2 2 1x y+ + − = N 1y x
=
A B PA PB⋅
x ( ) ( )34 4 1 1f x x a x= + − + a
3x = P P ( )22 2 4x y+ − = A
B AB
ABC 3cm M N AB AC AMN
MN A MNCB− A MNCB−
( ) ( ) ( )2 2, 5 3 cos 2 sing a b a b a b= + − + − ( ),g a b
π 2π 10πcos cos cos11 11 11
⋅⋅⋅ =
( )
2
, 0
4 , 0
xxe xf x
x x x
≤= − + >
( ) ( )g x f x k= − ( )g x
则实数 的取值范围为________．
14 ． 已 知 点 ， 在 内 ， 且 ， 则
________．
二．解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求 的长度．
16．如图所示，正四棱锥 中，底面 的边长为 2，侧棱长为 ， 为 的
中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 为 上的一点，且 ，则 为何值时， 平面 ?并求此时三棱锥
的体积．
17．如图， ， 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内
一景点，A 为道路 OM 上一游客休息区．已知 ， 米，Q 到直线 OM，
ON 的距离分别为 300 米， 米．现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路
ON 于点 B，并在 B 处修建一游客休息区．
（Ⅰ）求有轨观光直路 AB 的长；
（Ⅱ）已知在景点 Q 的正北方 600 米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9
分钟，表演时，喷泉喷洒区域以 P 为圆心，r 为半径（在变化），且 t 分钟时， 米
．当喷泉表演开始时，一观光车 （大小忽略不计）正从休息区 B 沿（Ⅰ）
中的轨道 以 米/分钟的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒
到，并说明理由．
18．已知圆 ： ，抛物线 C： 的焦点为 ，过 的直线 与抛物
线 C 交于 A，B 两点，过 F 且与 l 垂直的直线 与圆 有交点．
k
P Q ABC 2 3 2 3 5 0PA PB PC QA QB QC+ + = + + = PQ
AB
=
ABC 3AB = 1AC = 60A∠ = °
sin ACB∠
D BC AD
P ABCD− ABCD 2 2 E PD
PB∥ AEC
F PA PF
FA
λ= λ PA ⊥ BDF
F BDC−
OM ON
tan 3MON∠ = − 600OA =
120 10
200r at=
( )0 9,0 1t a≤ ≤ < < S BA 100 2 Q ( ) ( )2 22 2 1x y+ + − = 2 4y x= F F l l′ Q
（Ⅰ）求直线 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）求 面积的取值范围．
19．已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数 的单调性；
（Ⅲ）当函数 有两个极值点 ， ，且 ．证明： ．
20．设等差数列 的首项为 0，公差为 ， ；等差数列 的首项为 0，公差为 b，
．由数列 和 构造数表 ，与数表 ．
记数表 中位于第 行第 列的元素为 ，其中 ． ．
记数表 中位于第 行第 列的元素为 ，其中 ．
如： ， ．
（Ⅰ）设 ， ，请计算 ， ， ；
（Ⅱ）设 ， ，试求 ， 的表达式（用 ， 表示），并证明：对于整数 ，若
不属于数表 ，则 属于数表 .
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作
答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4—2：矩阵与变换]
已知矩阵 ， ．
（Ⅰ）求 AB；
（Ⅱ）求 ．
B．【选修 4—4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为
l′
AOB
( ) 21 ln2f x x ax x= − + − Ra∈
1a = ( )f x 1x =
( )f x
( )f x 1x 2x 1 2x x< ( ) ( )1 24 2 1 3ln 2f x f x− ≤ + { }na a *a∈N { }nb *b∈N { }na { }nb M *M M i j ,i jc ,i j i jc a b= + ( ), 1,2,3,i j = ⋅⋅⋅ *M i j ,i jd ( )* * , 1 1 , ,i j i jd a b i b i j+= − ∈ ∈N N≤ ≤ 1,2 1 2c a b= + 1,2 1 3d a b= − 5a = 9b = 2,6c 396,6c 2,6d 6a = 7b = ,i jc ,i jd i j t t M t *M 2 5 1 3A = 4 6 2 1B − = 1A− xOy 4cos 2sin x y α α = = α O 4, 3 π
．
（Ⅰ）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；
（Ⅱ）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，直线 l 上有两点 A，B，满足 ，
求 面积的最大值与最小值．
C．【选修 4—5：不等式选讲】
已知 ， ， 为正实数，满足 ．证明：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
【必做题】第 22 题、第 23 题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
22．如图，在三棱柱 中， ， 平面 ， ， ，
分别为 ， 中点．
（Ⅰ）求直线 DE 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
23．设 N 为正整数，区间 （其中 ， ， ， ， ）同时满足下列两
个条件：
①对任意 ，存在 k 使得 ；
②对任意 ，存在 ，使得 （其中 ，2， ， ， ，
，N）．
（Ⅰ）判断 能否等于 或 ；（结论不需要证明）
（Ⅱ）研究 N 是否存在最大值，若存在，求出 N 的最大值；若不在在，说明理由．
2 sin 96
ρ θ π − =
4AB =
MAB
a b c 3a b c+ + =
3ab bc ca+ + ≤
2 2 2
3a b c
b c a
+ + ≥
1 1 1ABC A B C− 1 2AC BC AB= = = 1AB ⊥ ABC 1AC AC⊥ D
E AC 1 1B C
1 1BB C C
1B BC A− −
[ ], 1k k kI a a= + ka ∈R 1k = 2 ⋅⋅⋅ N
[ ]0,100x∈ kx I∈
{ }1,2, ,k N∈ ⋅⋅⋅ [ ]0,100x∈ ix I∉ 1i = ⋅⋅⋅ 1k − 1k +
⋅⋅⋅
( )1,2, ,ka k N= ⋅⋅⋅ 1k − 12
k −
数学Ⅰ答案
一．填空题
1． 2． 3．1 4．64 5．1 6． 7．7
8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二．解答题
15．解：（Ⅰ）在 中，由余弦定理得：
．
∴ ．
在 中，由正弦定理得： ．
（Ⅱ）∵ ∴ 为钝角.
．
．
∴
16．解：（Ⅰ）
{ }2x x− ≤ ≤ 1
9
1
6
1
4
4 ,23
13 39
16
π
2 1
1024
−
[ )1 0,4e
−
1
30
ABC
2 2 2 12 cos 9 1 2 3 1 72BC AB AC AB AC BAC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × =
7BC =
ABC
33 3 212sinsin sin 147
AB BC ACBACB A
×
= ⇒ ∠ = =∠ ∠
2 2 2AB BC AC> + ACB∠
2
2 3 21 7cos 1 sin 1 14 14ACB ACB
∠ = − − ∠ = − − = −
2 2 2 2 cosAD CD AC CD AC ACB= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠
7 7 7 131 2 14 2 14 4
= + − × × × − =
13
2AD =
在 中，∵ ，
连接 BD，设 BD 与 AC 交于点 O，连接 OE．
∵ ， 分别是 PD，BD 的中点，∴ ．
又∵ 平面 ， 平面 AEC
∴ 平面 AEC．
（Ⅱ）连接 PO，显然 ， ，
∴ 平面 PAC，又∵ 平面 PAC
∴ ．当 时， 平面 BDF．
在 中， ， ，
，
∴ ， ．
此时， ．
17．解：（Ⅰ）
以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意知， ， ．
直线 方程为 （1）
由 ，得 ，故 ．
∴直线 的方程为 （2）
联立（1）（2），得 ，即 ．
米．
故有轨观光直路 的长 米．
（Ⅱ）由题意知， ，
BCD BC CD= 120DCB∠ = °
O E OE PB
OE ⊂ AEC PB∉
PB
PO BD⊥ AC BD⊥ PO AC O=
BD ⊥ PA ⊂
PA BD⊥ PA OF⊥ PA ⊥
PAO 2AO = 2 2 6PO PA AO= − =
2 2
2AO AF AP AF= ⋅ ⇒ =
3 2
2PF = 3PF
AF
=
1 1 1 66 2 23 4 2 6F BDCV − = × × × × × =
( )600,0A ( )( )0 0,300 0Q x x >
ON 3y x= −
03 300 120 10
10
x + = 0 300x = ( )300,300Q
AQ ( )600y x= − −
300
900
x
y
= −
=
( )300,900B −
( )2 2600 300 900 900 2AB = + + =
AB 900 2
( )300,900P 100 2BC t=
∴ ．
若喷泉不会喷洒到观光车上，则满足 对 恒成立．
即 ．
当 时，上式成立；
当 时， ， ，
当且仅当 时取等号．
∵ ， 恒成立．
故观光车在行驶途中不会被喷泉喷洒到．
18．解：（Ⅰ）由题意知，l 的斜率存在且不为 0．
设 l： ，则 l′： ．
∴ 得： ，
直线 的斜率的取值范围为 ．
（Ⅱ）设 ， ，
l 直线方程与抛物线方程联立 ，得： ．
由韦达定理，
∴ ．
设点 O 到直线 l 的距离为 ．
由 ．
∵ ∴
∴ ．
所以 面积的取值范围是 ．
( )300 100 ,900 100C t t− + −
2 2PC r> [ ]0,9t ∈
( ) ( ) ( )22 2 2600 100 100 200 2 12 36 4t t at t t at− + > ⇒ − + >
0t =
( ]0,9t ∈ 182 6a t t
< + − min 18 6 6 2 6t t + − = − 3 2t = ( )0,1a∈ r PC< 1x my= + ( )1y m x= − − 2 3 2 1 1 m m − + ≤ + 3 3 3 3 4 4m − +≤ ≤ l′ 3 3 3 3,4 4 + − +− ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 4 1 y x x my = = + 2 4 4 0y my− − = 1 2 1 2 4 4 y y m y y + = ⋅ = − ( ) ( )2 1 2 1 2 2 4 1AB x x p m y y p m= + + = + + + = + 2 1 1 d m = + ( )2 2 2 1 1 14 1 2 12 2 1 S AB d m m m = ⋅ = × + × = + + 3 3 3 3 4 4m − +≤ ≤ 214 3 3 14 3 318 8m − +≤ + ≤ 23 3 1 3 3 12 12 2m − +≤ + ≤ OAB 3 3 1 3 3 1,2 2 − +
19．解：（Ⅰ）当 时， ．
∴ ．
， ．
．
∴ 在 处的切线方程 ．
（Ⅱ） 的定义域 ．
；
①当 时，即
，此时 在 单调递减；
②当 时，即 或 ，
（i）当 时，
∴ 在 ， 单调递减，
在 单调递增．
（ii）当 时，
∴ 在 单调递减；
综上所述，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 ， 单调递减，
在 单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时， 有两个极值点 ， ，
且满足：
由题意知， ．
1a = ( ) 21 ln2f x x x x= − + −
( ) 11f x x x
′ = − + −
( )1 1f ′ = − ( ) 1 11 12 2f = − + =
( )( )1 1 1 2 2 3 02y x x y− = − − ⇒ + − =
( )f x 1x = 2 2 3 0x y+ − =
( )f x ( )0,+∞
( ) 21 1x axf x x a x x
− +′ = − + − = −
2 4 0a − ≤ 2 2a− ≤ ≤
( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( )0,+∞
2 4 0a − > 2a > 2a < − 2a >
( )f x
2 40, 2
a a − −
2 4 ,2
a a + − +∞
( )f x
2 24 4,2 2
a a a a − − + −
2a < − ( )f x ( )0,+∞ 2a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 2a > ( )f x
2 40, 2
a a − −
2 4 ,2
a a + − +∞
( )f x
2 24 4,2 2
a a a a − − + −
2a > ( )f x 1x 2x
1 2
1 2 1
x x a
x x
+ =
⋅ =
1 20 1x x< <
( ) ( )( )( )( )2
3 3
2 1 2 24 62
x x x
g x xx x x
− − − +
′ = − − + =
( )g x ( )1, 2 ( )2,+∞
( ) ( ) ( ) ( )2
2max
22 2 6ln 2 2 1 3ln 2
2
g x g= = − + + = +
( ) ( )1 24 2 1 3ln 2f x f x− ≤ +
{ }na 5 5na n= −
{ }nb 9 9nb n= −
( ) ( ), 5 5 9 9 5 9 14i jc i j i j= − + − = + − 2,6 50c = 396,6 2020c =
( ) ( ), 5 5 9 1 9 5 9 5i jd i j i j= − − + − = − − 2,6 49d = −
6a = 7b = { }na 6 6na n= −
{ }nb 7 7nb n= −
( ) ( ), 6 1 7 1 6 7 13i jc i j i j= − + − = + − *i∈N *j ∈N
( ) ( ). 6 6 7 1 7 6 7 6i jd i j i j= − − + − = − −
1 7i≤ ≤ *i∈N *j ∈N
t M∈ u ∈N ν ∈N 6 7t u ν= +
*t M∈ u ∈N 6u ≤ *ν ∈N 6 7t u ν= −
t { }0 6 , , 6M x x t u u u= = − ∈N ≤
{ }, 6, 12, 18, 24, 30, 36t t t t t t t− − − − − −
下面证明：集合 中至少有一元素是 7 的倍数．
反证法：假设集合 中任何一个元素，都不是 7 的倍数，
则集合 中每一元素关于 7 的余数可以为 1，2，3，4，5，6．
又因为集合 中共有 7 个元素，
所以集合 中至少存在两个元素关于 7 的余数相同，
不妨设为 ， ，其中 ， ， ．
则这两个元素的差为 7 的倍数，即 ．
所以 ，与 矛盾．
所以假设不成立，即原命题成立．
即集合 中至少有一元素是 7 的倍数，
不妨设该元素为 ， ， ．
则存在 ，使 ， ， ，
即 ， ， ， ．
由已证可知，若 ，则存在 ， ，使 ．
而 ，所以 为负整数，设 ，则 ，
且 ， ， ， ．
所以，当 ， 时，对于整数 ，若 ，则 成立．
21．【选做题】
A．[选修 4—2：矩阵与变换]
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）由题意，得 ．
∴ ．
B．[选修 4—4：坐标系与参数方程]
解：（Ⅰ）由 ， ，
0M
0M
0M
0M
0M
16t u− 26t u− 1u 2u ∈N 1 2 6u u< ≤ ( ) ( )2 1 1 26 6 6t u t u u u− − − = − 1 2 0u u− = 1 2u u< 0M 0.6t u− 0u ∈N 0 6u ≤ s∈Z 06 7t u s− = 0u ∈N 0 6u ≤ 06 7t u s= + 0u ∈N 0 6u ≤ s∈Z t M∈ u ∈N ν ∈N 6 7t u ν= + t M∉ s sν = − *ν ∈N 06 7t u ν= − 0u ∈N 0 6u ≤ *ν ∈N 6a = 7b = t t M∉ *t M∈ 2 5 4 6 18 7 1 3 2 1 10 3AB − − = = − 2 5 11 3A = = 1 * 3 51 1 2A AA − − = = − 2 sin 96 ρ θ π − = 3 12 sin cos 92 2 ρ θ θ ⋅ − ⋅ =
的直角坐标方程
由 （ 为参数），消参，得：
曲线 的普通方程
（Ⅱ）由 P 的极坐标为 ，得直角坐标 ，
则 ．
点 M 到直线 l 的距离 ，
．∴
故 面积的最大值 ，最小值 ．
C．[选修 4—5：不等式选讲]
解：（Ⅰ）由题意知，a，b，
∵ ， ，
∴
故
又∵
∴ ，当且仅当 ，“ ”成立．
（Ⅱ）∵ ， ，
∴
∴ ，当且仅当 ，“ ”成立．
【必做题】
22．解：（Ⅰ）方法一：定义法
l 3 9 0x y− + =
4cos
2sin
x
y
α
α
=
=
α
C
2 2
116 4
x y+ =
4, 3
π
( )2,2 3P
( )2cos 1,sin 3M α α+ +
( ) ( )2cos 1 3 sin 3 9 7 sin 7
2 2d
α α α ϕ+ − + + + −
= =
2tan
3
ϕ = − 7 7 7 7,2 2d
− +∈
1 7 7,7 72MABS AB d = ⋅ ∈ − +
MAB 7 7+ 7 7−
c R+∈
( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2b c bc+ ≥ 2 2 2a c ca+ ≥
2 2 2a b c ab ac bc+ + ≥ + +
( )2 3 3 3a b c ab ac bc+ + ≥ + +
3a b c+ + =
3ab ac bc+ + ≤ 1a b c= = = =
2
2a b ab
+ ≥
2
2b c bc
+ ≥
2
2c a ca
+ ≥
( )2 2 2
2a b c a b c a b cb c a
+ + + + + ≥ + +
2 2 2a b c a b cb c a
+ + ≥ + + 1a b c= = = =
∵ 平面 ， 平面
∴
又∵ ，
∴ 平面 ，又∵ 平面
∴
显然，
在 中， ．
在 中， ，即 ．
又∵ ， ，
∴ 平面 ，显然， ．
设点 到面 的距离为 ，
直线 与平面 所成角为
由等体积法，
∴ ．
故直线 DE 与平面 所成角的正弦值 ．
方法二：空间向量（略）
（Ⅱ）方法一：找平面角
1AB ⊥ ABC AC ⊂ ABC
1AB AC⊥
1AC AC⊥ 1 1AB AC A=
AC ⊥ 1 1AB C 1 1B C ⊂ 1 1AB C
1 1AC B C⊥
AC BC⊥
Rt ABC
2 22 2 2 2AB = + =
1Rt AB F ( )222 2 6AF = + = 6DE =
BC AC⊥ 1AB BC⊥ 1AB AC A=
BC ⊥ 1AB C 1BC B C⊥
D 1 1BB C C h
DE 1 1BB C C θ
1 1 1 1
1 1
3 3D BCB B BCD BCB BCDV V h S AB S− −= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
12 2 1 22
1 22 2 22
h
⋅ ⋅ ⋅
⇒ = =
⋅ ⋅
2
32sin 66
h
DE
θ = = =
1 1BB C C 3
6
由（Ⅰ）知， 平面 ，
是二面角 的平面角．
在 中， ．
∴ ．
故二面角 的大小 ．
方法二：空间向量（略）
23．解：（Ⅰ） 可以等于 ，但 不能等于 ．
（Ⅱ） 的最大值存在，且为 200．
解答如下：
由②，得 ， ，…， 互不相同，且对于任意 ， ．
不妨设 ．
如果 ，那么对于条件②，
当 时，不存在 ，使得 ．
这与题意不符，故 ．
如果 ，那么 ，
这与条件②中“存在 ，使得 ”矛盾，
∴ ．
∴ ， ， ， ，
则 ．
故 ．
若存在 ，这与条件②中“存在 ，使得 ”矛盾，
∴ ．
故 的最大值存在，且为 200．
BC ⊥ 1AB C
1ACB∠ 1B BC A− −
1Rt ACB 1
1tan 1ABACB AC
∠ = =
1
π
4ACB∠ =
1B BC A− − π
4
ka 1k − ka 12
k −
N
1I 2I NI k [ ]0,100kI ≠ ∅
1 2 na a a< < ⋅⋅⋅ < < ⋅⋅⋅ 2 0a ≤ 1k = [ ]0,100x∈ ix I∉ ( )2,3, ,i N= ⋅⋅⋅ 2 0a >
1 1 1k ka a+ − +≤ 1 1k k kI I I− +⊆
[ ]0,100x∈ ix I∉ ( )1,2, , 1, 1,i k k N= ⋅⋅⋅ − + ⋅⋅⋅
1 1 1k ka a+ −> +
4 2 1 1a a> + > 6 4 1 2a a> + > ⋅⋅⋅ 200 198 1 99a a> + >
200 1 100a + >
[ ]1 2 200 0,100I I I⋅⋅⋅ ⊇
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