高三考前冲刺练习
数学Ⅰ
参考公式：锥体的体积 ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
球的体积 ，其中 r 表示球的半径．
样本数据 的方差 ，其中 ．
一、填空题：本大题共 14 小题．
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 a 的值为________．
2．设复数 z 满足 （i 为虚数单位），则复数 z=________．
3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为________．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的 S 的值是________．
5．一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B，C，D 三人随机坐到其他三个位
置上，则 A 与 B 相对而坐的概率为________．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的顶点到其渐近线的距离为________．
7．若函数 图象的一个对称中心为 ，则函数 的最小
正周期为________．
1
3V Sh=
34
3V rπ=
1 2, , , nx x x ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
{1,3, }A a= {4,5}B = {4}A B =
(2 ) 1i z i− = +
2 2
116 9
x y− =
( ) sin (0 6)3f x x
πω ω = + < 1 2,x x R∈ 1 2x x≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− − > 3
2
( , ( ))M x f x
, 2 1( )
, 4 2
k xf x x
ax b x
− < ≤ −=
+ − ≤ ≤ −
（1）求 的解析式；
（2）求观察通道 OQ 长度的最小值．
19．数列{an}的前 n 项和为 ，且满足 ， ， ， ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 ， ．
①求 Tn；
②求证： ．
20．已知 ，
（1）求 的单调区间；
（2）若 ， 在其公共点 处切线相同，求实数 a 的值；
（3）记 ，若函数 存在两个零点，求实数 a 的取值范围．
21．【选做题】本题包括 A、B、C 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]
已知可逆矩阵 的逆矩阵为 ，矩阵 ．
（1）求 a，b 的值；
（2）若矩阵 X 满足 ，求矩阵 X．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知以极点 O 为圆心，2 为半径的圆 O 与以 为圆心，且过极点的圆
C 相交于 A、B 两点．
（1）分别求圆 O，圆 C 的极坐标方程；
（2）求弦 AB 所在直线的极坐标方程．
C．[选修 4-5：不等式选讲]
已知 x，y，z 是正实数，且 ，求证： ．
( )f x
nS 1( 2) 0n nn S nS n−− − + = *Nn∈ 2n ≥ 2 2a =
2 2
1
1 11i
i i
b a a +
= + + ( )
1
1
n
n i
i
T b
=
= −∑
1 1ln lnn n nT T T+ +<
( ) xf x xe= ( ) ( ln )( )g x a x x a R= + ∈
( )f x
( )f x ( )g x ( )0 0,P x y
( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )F x
4 3
a bA
=
1
3 1
2 2
2
A
b
−
− = −
1
2B
− =
1A X B− =
2, 2C
π
5x y z+ + = 2 2 22 10x y z+ + ≥【必做题】第 22、23 题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
22．如图，在三棱锥 A-BCD 中，已知 都是边长为 2 的等边三角形，E 为 BD
中点，且 平面 BCD，F 为线段 AB 上一动点，记 ．
（1）当 时，求异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值；
（2）当二面角 A-CD-F 的余弦值 时，求 的值．
23．已知集合的“集合价”定义：含有 个元素的集合其“集合价”为 ，例如
含有一个元素的集合其“集合价”为 ．已知一个数集 ，我们从集
合 M 的所有子集中，任意取出一个 M 的子集 N．
（1）求当 n=4 时，取出的集合 N 的“集合价”为 的概率；
（2）设随机变量 X 为取出的集合 N 的“集合价”，求 X 的分布列及数学期望 E(X)．
高三考前适应性练习 参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共 14 小题．
1．4； 2． 3．10； 4．17； 5． ； 6． ； 7． ； 8． ；
9． ； 10． ； 11． ； 12． ； 13． ； 14．-1
二、解答题：本大题共 6 小题．
15．证明：（1）因为 PD⊥平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 PD⊥BC．
因为底面 ABCD 是矩形，所以 CD⊥BC．
因为 CD∩PD=D， CD， 平面 PCD，所以 BC⊥平面 PCD．
因为 平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 PCD．
（2）底面 ABCD 是矩形，所以 AD∥BC，
因为 平面 PBC， 平面 PBC，所以 AD∥平面 PBC
因为 平面 ADFE，平面 ADFE∩平面 PBC=EF，所以 AD∥EF．
16．【解】（1）因为 ，
在 中，由正弦定理 ，得 ，
化简得 ，
,ABD BCD
AE ⊥ BF
BA
λ=
2
3
λ =
7 65
65
λ
( )k k N∈ 1
2k +
1
3
*{1,2,3, , },M n n N= ∈
1
4
1 3
5 5i+ 1
3
12
5 2
π
30π
1, 2
−∞ −
1
2
( 1)
4
n n −
6 3
2
−
BC ⊂
PD ⊂
BC ⊂
BC ⊂ AD ⊄
AD ⊂
(sin sin )(sin sin ) sin (sin sin )B C B C A B A+ − = −
ABC sin sin sin
a b c
A B C
= = ( )( ) ( )b c b c a b a+ − = −
2 2 2a b c ab+ − =在 中，由余弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
又 面积为 ，可得 ，所以 ab=4．
（2）因为 ，
在 中，由正弦定理 ，
所以
因为 ，所以
由（1）得 ，所以 ，
化简得 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
17．【解】（1）设椭圆的焦距为 2c，
由题意，得 ，
解得 ，所以椭圆的方程为 ；
（2）结论：存在符合条件的圆，此圆的方程为 ，
直线 OP，OQ 的斜率之积为定值 ．
证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 ．
ABC
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
(0, )C π∈
3C
π=
ABC 3 1 sin 32 ab C =
2 23 c b a+ =
ABC sin sin sin
a b c
A B C
= =
2 sinC sin 2sin3 B A+ =
A B C π+ + = 2 sinC sin( ) 2sin3 A C A+ + =
3C
π= 2 sin sin 2sin3 3 3A A
π π + + =
3 3 3sin cos2 2 3A A− = 1sin 6 3A
π − =
20 3A π< <
6 6 2A
π π π− < − <
2 2 2cos 1 sin6 6 3A A
π π − = − − =
cos cos cos cos sin sin6 6 6 6 6 6A A A A
π π π π π π = − + = − − −
2 2 3 1 1 2 6 1
3 2 3 2 6
−= ⋅ − ⋅ =
2 2 2
2 2
3
2
b
c
a
a b c
=
=
= +
2
1
a
b
=
=
2
2 14
x y+ =
2 2 5x y+ =
1
4
−
2 2 2 ( 0)x y r r+ = >当直线 l 的斜率存在时，设直线 ，设 ，
由 得 ，
因为直线 l 与椭圆有且只有一个公共点，
所以 ，
所以
由 得 ，
所以
所以
要使 为定值（与 k 无关），则 ，即 ．
所以当圆的方程为 ，圆与直线 l 相交于 P，Q 两点，
直线 OP，OQ 的斜率之积为定值 ．
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 ，此圆与直线 l 相交于 P，Q
此时， ， 满足 ，
综上所述，存在满足条件的圆 ，
此圆与直线 l 相交于 P，Q 两点（两点均不在坐标轴上），
且 OP，OQ 的斜率之积为定值
18．
:l y kx m= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2
2 14
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
( ) ( )2 2 2 264 4 1 4 4 4 0k m k m∆ = − × + × − =
2 21 4m k= +
2 2 2
y kx m
x y r
= +
+ =
( )2 2 2 21 2 0k x kmx m r+ + + − =
( )2 2 2 2
1
1 2 2
2 2
1 2 2
4 0
2
1
1
r r k m
kmx x k
m rx x k
∆ = + − >
− + = +
−⋅ = +
( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
OP OQ
kx m kx m k x x km x x my yk k x x x x x x
+ + + + +⋅ = ⋅ = =
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1
1
m r kmk km mk k
m r
k
− −⋅ + ⋅ ++ += −
+
( )
( )
2 22 2 2
2 2 2 2
4 1
4 1
r km r k
m r k r
− +−= =− + −
OP OQk k⋅
2
2
4 1
4 1
r
r
− = −
2 5r =
2 2 5x y+ =
1
4
−
2x = ±
( 2,1)P ± ( 2, 1)Q ± − 1
4OP OQk k =⋅ −
2 2 5x y+ =
1
4
−
【解】（1）因为 AB=10，P 是 AB 的中点，所以 AP=5，
又 OP=1，所以 AO=4，所以 ， ，
因为 CD=7，BC=4，AF=1 所以 ，
由 得，k=-4，所以 ．
故 ，又 ，所以 解得 ，
所以
（2）过点 M，Q 分别作 x 轴的垂线，垂足为 ， ，
则 ，
又因为 PM⊥PQ，所以
所以 ，又因为 PM=PQ，所以 ，
所以，由 ，可得 ，
①若 ，设 ，则 ，
．
令 ，则
( 4,0)A − (1,0)P
( 1,4)D − ( 4,1)F −
( 1) 4f k− = − = ( 2,2)E −
( 2) 2f − = ( 4) 1f − = 2 2,
4 1,
a b
a b
− + =
− + =
1
2
3
a
b
=
=
4 , 2 1
( ) 1 3, 4 22
xxf x
x x
− − < ≤ −=
+ − ≤ ≤ −
'M 'Q
' ' 2PQQ QPQ
π∠ + ∠ =
' ' 2MPM QPQ
π∠ + ∠ =
' 'MPM PQQ∠ = ∠ ' 'MPM PQQ≅
(1,0)P (1 ( ),1 )Q f x x+ −
2 1x− < ≤ − 4,M x x
−
4 1,1Q xx
− + −
2 2
2 2
2
4 16 8 4 41 (1 ) 2 2 2 6OQ x x x x xx x x x x
= − + + − = + − − + = + − + −
4t x x
= + 2 22 6 ( 1) 7OQ t t t= − − = − −，因为 ，所以
所以 在 上单调减，所以
设 ，则 在 上单调减
所以 ，所以
②若 ，设 ，则 ，
，
在 上单调递减，所以 时， ，
所以 OQ 的长度的最小值为 百米．
答：观察通道 OQ 的长度的最小值为 百米
注：理科同学用矩阵旋转做同样给分
19．【解】（1）因为 ，
所以 n=2 时，S1=1，即 a1=1．
因为 n≥2 时， ，
即 ．
时也适合该式．
所以 n≥2 时， ，
，
两式相减得 ，
则 ，
两式相减得 ，n≥2．
所以 ，n≥2，
所以 ．
所以数列{an}为等差数列．
因为 a1=1，a2=2，所以公差 d=1，
2
2 2
4 4' 1 xt x x
−= − = 2 1x− < ≤ − ' 0t <
4t x x
= + ( 2, ]1− − [ 5, 4)t ∈ − −
2( ) ( 1) 7g t t= − − ( )g t [ 5, 4)− −
( ) ( 4) 18g t g> − = 3 2OQ >
4 2x− ≤ ≤ − 1, 32M x x +
1 4,12Q x x + −
2
2 2 2 21 1 54 (1 ) 4 16 1 2 2 172 4 4OQ x x x x x x x x = + + − = + + + − + = + +
25 2 174y x x= + + [ 4, 2]− − 2x = − min 18 3 2OQ = =
3 2
3 2
1( 2) 0n nn S nS n−− − + =
1( 2) 0n nn S nS n−− − + =
2 n nS na n= +
1n =
2 n nS na n= +
1 12 ( 1) 1n nS n a n− −= − + −
1( 2) ( 1) 1 0n nn a n a −− − − + =
1( 1) 1 0n nn a na+ −− + =
1 12( 1) ( 1) ( 1) 0n n nn a n a n a− +− − − − − =
1 12 0n n na a a− +− − =
1 1n n n na a a a+ −− = −所以 ．
（2）①因为 an=n，
所以
所以
，
所以
②要证 ，只要证 ，
只要证 ，即证 ．
设 ，x>1，令 ，x>1，
则 ，易证 x>1 时， ，故 在 恒成立．
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 .
所以所证不等式成立．
20．【解】（1） ，得 x=-1，
当 x-1 时， ．
所以函数的单调减区间为： ；增区间为： ．
（2）由 ， ．
因为点 为函数 的公共点，且函数 在点 P 处的切线相同，
所以 ，且 ．
1 ( 1) 1na n n= + − × =
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) ( 1)i
i i i ib i i i i
+ + + += + + =+ +
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) ( 1)i
i i i ib i i i i
+ + + += + + =+ +
( 1) 1 1 1 11 1( 1) ( 1) 1
i i
i i i i i i
+ += = + = + −+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 1nT n n
= − + − + − + + − +
11 1 1
n
n n
= − =+ +
1 1ln lnn n nT T T+ +< 1 1ln ln2 1 2
n n n
n n n
+ + + +
1 1 2 2ln ln1 1
1 21 11
n n n n
n n n n
n n
n n
+ + + +
+ +>+ +− −+
1nx n
+= ln( ) 1
x xf x x
= −
2
1 ln( ) ( 1)
x xf x x
′ − −= − 1 ln 0x x− − > ( ) 0f x′ > (1, )+∞
( )f x (1, )+∞
1 2 11
n n
n n
+ +> >+
1 2
1
n nf fn n
+ + > +
'( ) ( 1) 0xf x x e= + =
'( ) 0f x < '( ) 0f x >
( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞
( ) ( ln )g x a x x= + 1'( ) 1g x a x
= +
( )0 0,P x y ( ), ( )f x g x ( ), ( )f x g x
( )
( )
0
0
0 0 0
0
0
ln ,(1)
11 1 ,(2)
x
x
x e a x x
x e a x
= +
+ = +
0 0x >由（2）得， ，代入（1）得， ，
显然 a≠0，所以 ．
设 ，由 得， 在 上是单调增函数，
又 ，所以 ．
（3）由 得， ，x>0.
则 ，
令 得， ．
设 ，由（1）知， 在 上是单调增函数．
1° 当 a≤0 时，由 x>0 得， ，
所以 ，所以 在 上是单调增函数，至多 1 个零点，不符，舍去．
2° 当 a>0 时，因为 ， ，
由零点存在性定理， ， 在 上是单调增函数且连续，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增．
因为 存在两个零点，
所以 ，即 ，从而 ．
所以 ．因为 在 上是单调增函数，
且 ，所以 ，
由（1）可知， 在 是单调递增，所以 ．
又 ， ，
而 ，易证得 ， ，
0
0
xx e a= ( )0 0ln 1 0a x x+ − =
0 0ln 1 0x x+ − =
( ) ln 1x x xϕ = + − 1'( ) 1 0x x
ϕ = + > ( )xϕ (0, )+∞
(1) 0ϕ = 0 1,x a e= =
( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( ) ( ln )xF x xe a x x= − +
( )( 1)1'( ) ( 1) 1
x
x x xe a
F x x e a x x
+ − = + − + =
'( ) 0F x = 0xxe a− =
( ) xs x xe a= − ( )s x (0, )+∞
( ) (0) 0s x s a> = − ≥
'( ) 0F x ≥ ( )F x (0, )+∞
(0) 0s a= − < ( )( ) 1 0as a a e= − >
(0) ( )s s a< ( )s x (0, )+∞
1 (0, )x a∈ ( ) 0s x = 1
1 0xx e a− =
( )10,x x∈ '( ) 0F x < ( )F x ( )1,x x∈ +∞ '( ) 0F x > ( )F x
( )F x
( )min 1( ) 0F x F x= < ( )1
1 1 1ln 0xx e a x x− + < ( )1 1ln 0a a x x− + <
1 1ln 1 0x x+ − > ( ) ln 1x x xϕ = + − (0, )+∞
(1) 0ϕ = 1 1x >
( ) xf x xe= (1, )+∞ 1
1
xa x e e= >
1
1 xe
<
1 11 1 1 1 1 1ln 1 0e eF e a e ae e e e e e
= − + = + − >
12a x> ln x x< xe x>所以 ，
由零点存在性定理知，函数 在 上存在唯一一个零点，在 上存在唯一一个
零点，此时函数 存在两个零点．
所以 a>e．
21．【选做题】本题包括 A、B、C 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．【解】（1）因为 ，
所以 ，解得 ；
（2）法一：因为 ，所以 ，
所以 ．
法二：设 ，则 ，
所以 ，解得 所以 ．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
【解】（1）圆 O 的极坐标方程为 ，圆 C 的极坐标方程为 ；
（2）由 得 ， 或 、 ，
所以弦 AB 所在直线的极坐标方程为 ．
所以 ，当且仅当 时取等号．
【必做题】第 22、23 题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
22．【解】连接 CE，以 EB，EC，EA 分别为 x，y，z 轴，
建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
( )2 2 2(2 ) 2 (2 ln 2 ) 2 (2 2 ) 2 2 0a a aF a ae a a a ae a a a a e a= − + > − + = − >
( )F x 1
1, xe
( )1,2x a
( ) ( ) ( )F x f x g x= −
2
1
3 1 3 122 2 2 24 3 2 0 2 3
a b a b a bAA
b b
−
− − − + = = − − +
2
3 2 12
1 02
2 3 1
a b
a b
b
− =
− + =
− + =
2
1
a
b
=
=
1A X B− = 1AA X AB− =
2 1 1 0
4 3 2 2X AB
− = = =
xX y
=
3 1 3 1 1
2 2 2 2 22 1 2
x x y
y x y
−− − = = − − +
3 1 12 2
2 2
x y
x y
− = −
− + =
0
2
x
y
=
=
0
2X
=
2ρ = 4sinρ θ=
2
4sin
ρ
ρ θ
=
=
1sin 2
θ = 0 2θ π= =
+ ⋅ + −
7
7
( , , )n x y z=
,n DA n DC⊥ ⊥ ( , , ) (1,0, 3) 0
( , , ) (1, 3,0) 0
x y z
x y z
⋅ =
⋅ =
3 0
3 0
x z
x y
+ =
+ =
( 3, 1, 1)n = − −
( , , )m a b c= ,m DF m DC⊥ ⊥
( , , ) (2 ,0, 3 ) 0
( , , ) (1, 3,0) 0
a b c
a b c
λ λ ⋅ − =
⋅ =
(2 ) 3 0
3 0
a c
a b
λ λ − + =
+ =
( 3 , , 2)m λ λ λ= − −
β，
化简得： ，解得 或 （舍去），所以 ．
23．【解】（1）记“取出的集合 N 的“集合价”为 ”为事件 A．
则当 n=4 时， ，集合 M 的所有子集个数为 24，
其中“集合价” 的子集（即二元集）的个数为 个，所以 ．
答：取出的集合 N 的“集合价”为 的概率为 ．
说明：若不记事件或者不答各扣 1 分．
（2）随机变量 X 的所有可能取值为
则
X
P
，随机变量 X 的概率分布为
因此随机变量 X 的数学期望为
其中
所以
答：随机变量 X 的数学期望为 ．
2 2 2 2 2 2
3 3 ( ) ( 1) ( 2) ( 1) 7 65| cos | | cos ,m | 65( 3 ) ( ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 1)
n
λ λ λβ
λ λ λ
× + − × − + − × −= 〈 〉 = =
+ − + − × + − + −
28 22 9 0λ λ− + = 1
2
λ = 9
4
λ = 1
2
λ =
1
4
{1,2,3,4}M =
1
4
2
4C
2
4
4
6 3( ) 2 16 8
CP A = = =
1
4
3
8
1 1 1 1, , , ,2 3 4 2n +
1
2
1
3
1
4
1
2k +
1
2n +
0
2
n
n
C 1
2
n
n
C 2
2
n
n
C
2
k
n
n
C
2
n
n
n
C
( )*1 0 ,2 2
k
n
n
CP X k n k Nk
= = ≤ ≤ ∈ +
0 0
1 1 1( ) 2 2 2 2
kn n
kn
nn n
k k
CE X Ck k= =
= =+ +∑ ∑
0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)
n n n n
k k k k
n n n n
k k k k
C C C Ck k k k k k k= = = =
= − = − + + + + + + +
∑ ∑ ∑ ∑
1 2
1 2
1 2 1 2
0 0 1 2
1 1 1 1
1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)
n n n n
k k k k
n n n n
k k k k
C C C Cn n n n n n
+ +
+ +
+ + + +
= = = =
= − = −+ + + + + +∑ ∑ ∑ ∑
1 2 12 1 2 3 2 1
1 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
n n nn n
n n n n n
+ + +− − − ⋅ += − =+ + + + +
12 1( ) 2 ( 1)( 2)
n
n
nE X n n
+⋅ += ⋅ + +
12 1
2 ( 1)( 2)
n
n
n
n n
+⋅ +
⋅ + +
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