2020 届高三年级冲刺卷
数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题.
1.若复数 (i 为虚数单位),则 ________.
2.设集合 , ,若 ,则 ________.
3.函数 的定义域为________.
4.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的 500 辆汽车的
时速,所得数据均在区间 中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 500 辆汽车
中,时速在区间 内的汽车有________辆.
5.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为________.
6.函数 的最小正周期是________.
7.箱子中有 4 个分别标有号码 2,0,1,5 的小球,从中随机取出一个记下号码后放回,再
随机取出一个记下号码,则两次记下的号码均为奇数或偶数的概率为________.
8.已知双曲线 C: 的一个焦点坐标为 ,且它的一条渐近线与直
线 l: 垂直,则双曲线 C 的标准方程为________.
9.已知各项均为正数的等比数列 满足 , ,则 的值为________.
10.已知函数 ,若 ,则 ________.
11.已知 , ,则 ________.
1z i= + 1z z
+ =
{ }3,2aA = { , }B a b= {2}A B = A B =
1( ) 42
x
f x = −
[40,80]
[40,60]
2( ) sin 2 4f x x
π = −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > (2,0)
3 0x y+ =
{ }na 3 4a = 3 7S = 2a
2 ,0 2( )
2 8, 2
x x xf x
x x
+ < > 31, 2
(1, 3)
OPQ
1
2
3 2 22( ) ( )3f x x mx m x m R= − + ∈ '( )f x
( ) ( ) ( )'g x f x f x= −
( )( ) ' '(ln )xh x f e f x= + m R∈
2 2( )h x m k≥ + (0, )+∞
{ }na { }nb { }nc 1 1 2 2 n n n na b a b a b c S+ + ⋅⋅⋅ + =
*n N∈ nS { }na { }nc ( 0)d d ≠
{ }na 2d = 2 3c = { }nb
na nλ= λ { }nb(3)若 ( 为常数, ), .求证:对任意的
, , 恒成立.
2020 届高三年级冲刺卷
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的
前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.已知矩阵 .
(1)求 ;
(2)求矩阵 M 的特征值和特征向量.
B.在极坐标系中,已知曲线 C 的方程为 ,直线 l 的方程为
.设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 ,求 r 的值.
【必做题】第 22 题、第 23 题.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.商场举行有奖促销活动,顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽
奖者掷各面标有 1~6 点数的正方体骰子 1 次,若掷得点数不大于 4,则可继续在抽奖箱中抽
奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有 2 个红球与 个白球,
抽奖者从箱中任意摸出 2 个球,若 2 个球均为红球,则获得一等奖,若 2 个球为 1 个红球和
1 个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相
同).
(1)若 ,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;
(2)若一等奖可获奖金 400 元,二等奖可获奖金 300 元,三等奖可获奖金 100 元,记顾客
一次抽奖所获得的奖金为 X,若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元,求 m 的最小值.
23.对有 个元素的总体 进行抽样,先将总体分成两个子总体
和 (m 是给定的正整数,且 ),再从每个子总体中各随机抽
取 2 个元素组成样本.用 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率.
(1)求 的表达式(用 m,n 表示);
(2)求所有 的和.
2020 届高三年级冲刺卷
数学Ⅰ试题评分细则
一、填空题:本大题共 14 小题.
1. 2. 3. 4.200 5.8 6. 7. 8.
1 1a c d k= = = k *k N∈ ( )*2,n n kb c n n N+= ∈
2n ≥ *n N∈ 1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
>
2 1
1 2M
=
2M
( 0)r rρ = >
cos 24
πρ θ + = 2 7AB =
( )*2,m m m N∈
4m =
( 4)n n ≥ {1,2,3, , }n… {1,2,3 , }m
{ 1, 2, , }m m n+ + ⋅⋅⋅ 2 2m n≤ ≤ −
ijP
1nP
(1 )ijP i j n≤ < ≤
3 1
2 2 i+ {1,2,3} ( , 2]−∞ −
2
π 1
2
2
2 13
yx − =9.2 10.2 11. 12.9 13. 14.-3
二、解答题:本大题共 6 小题.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.证明:(1) ,且 N 是 的中点, ,
又 , ,
, 平面 , 平面 ,
平面 ,∴平面 平面 .
(2)取 AC 中点 P,连接 NP,BP,
∵N 是 中点,P 为 AC 中点,
,且 ,
又 M 为 中点, ,且 ,
,且 ,∴四边形 PNMB 是平行四边形,
,
平面 ABC, 平面 ABC,
平面 ABC.
16.解:(1)在 中, , , ,
,故 ,
所以 ,
,所以 ;
(2)由(1)知 ,设 ,
1
9
− 1,6ln3 {0}e
1MA MC= 1AC 1MN AC∴ ⊥
1MN AA⊥ 1 1 1AA AC A=
1AC 1AA ⊂ 1 1A ACC MN∴ ⊥ 1 1A ACC
MN ⊂ 1A MC 1A MC ⊥ 1 1A ACC
1AC
1PN AA∴ 1 1BB AA=
1BB 1BM AA∴ 1
1
2BM AA=
PN BM∴ PN BM=
MN BP∴
MN ⊄ BP ⊂
MN∴
ABC
1tan 2B = 10cos 10C = − ,2C
π π ∈
3 10sin 10C∴ = tan 3C = −
1 3(tan tan ) 2tan tan( ) 11(1 tan tan ) 1 ( 3)2
B CA B C B C
− + = − + = − = − =− ⋅ − × −
0 A π< 0>
2 800
2 800
m n
m n
− + = −∴ + =
480
160
m
n
=
=
( 960,480)E∴ −
2 2| | 960 480 480 5d AE∴ = = + =
PE PFk k∴ =
400 2 400
2 400 400
m n
m n
− −=− + + 80 240m n mn+ =
80 240 160 3mn m n mn= +
76800mn ≥ 3 480m n= =
1AC ADk k⋅ = − AC AD∴ ⊥
1 1 5 55 5 76800 1920002 2 2 2AEFS AE AF m n mn∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ = × =
( 960,480)E − 480 5d AE= =
480 5d = AEF
2192000m
31, 2
所以 .①
又因为点 在椭圆 E 的辅圆 上,
所以 .②
由①②解得 , ,
故椭圆 E 的方程为 ;
(2)设 , ,其中 , .
因为点 P,Q 分别在椭圆 与圆 上,
所以 , ,解得 .
又因为 ,
所以 ,
将 代入 ,得 ,
由 可知 ,则 ,
所以 ;
(3)直线 PT 与椭圆 E 相切.
由(2)可设 , ,其中 , ,
则 QT: , .
又直线 PT 的斜率 ,
所以直线 PT 的方程为 ,
联立方程组
消去 y,并整理得 ,
2 2
1 3 14a b
+ =
(1, 3) 2 2 2x y a+ =
21 3 a+ =
2 4a = 2 1b =
2
2 14
x y+ =
( )0 0,P x y ( )0 , QQ x y 0 0x > 0 0y >
2
2 14
x y+ = 2 2 4x y+ =
2 2
0 04 4x y+ = 2 2
0 4Qx y+ = 02Qy y=
0 0
0 0
1 1
2 2 2OPQ Q
x yS x y y= ⋅ − = =
0 0 1x y =
0
0
1y x
= 2 2
0 04 4x y+ = ( )22
0 2 0x − =
0 0x > 0 2x = 22, 2P
( 2, 2)Q
( )0 0,P x y ( )0 0,2Q x y 0 0x > 0 0y >
0
0 0
2
2
xy xy y
= − +
0
4 ,0T x
0 0 0 0 0 0
2 2
0 0 0
0
0
4 4 4 4PT
y x y x y xk x y yx x
= = = = −− −−
( )0
0
0 0 0
4 1 44 4
xy x xxy x y
= − − = −
( )
2 2
0
0
4 4,
1 4 ,4
x y
y xxy
+ =
= −
( )2 2 2
0 02
0
1 16 8 44x x x xxy
+ + − =即 ,
因为 ,
所以 ,即 ,
所以 .
综上可知,直线 PT 与椭圆 E 相切.
19.解:(1) ,
,
,
∵函数 存在极值,
令 ,得 ,
则 ,即 ,
,
∴m 的取值范围为: ;
(2) ,
∵关于 x 的不等式 在 上恒成立,
在 上恒成立,
即 对任意 ,任意 恒成立,
令
,
,
2 2 2
20 0 0 0
2 2 2
0 0 0
4 2 4 4 04
x y x yx xy y y
+ −− + =
2 2
0 04 4x y+ =
22
0 0
2 2 2
0 0 0
2 0xx xx
y y y
− + = ( )2
0 0x x− =
0x x=
2 2'( ) 2 2f x x mx m= − +
( )3 2 2 2 2 3 2 2 22 2( ) 2 2 ( 2) 23 3g x x mx m x x mx m x m x m m x m∴ = − + − + − = − + + + −
( )2 2'( ) 2 2( 2) 2g x x m x m m∴ = − + + +
( )g x
'( ) 0g x = ( )2 22 2( 2) 2 0x m x m m− + + + =
( )2 24( 2) 8 2 0m m m∆ = + − + > ( 2)( 2) 0m m+ − <
2 2m∴− < <
( 2,2)−
2 2 2 2( ) 2 2 2ln 2 lnx xh x e me m x m x m= − + + − +
2 2( )h x m k≥ + (0, )+∞
2 2 2 2 2 22 2 2ln 2 lnx xe me m x m x m m k∴ − + + − + + (0, )+∞
2 2 2 22 2 2ln 2 lnx xk e me m x m x≤ − + + − m R∈ (0, )x∈ +∞
( )2 2 2( ) 2 2ln 2 2lnx xF m m e x m e x= − + + +
( )2 2 2 2 2ln ln 2 ln 2 2lnx x x xm e x e x e x e x= − − − − − + +
( )2 2 2ln ln 2 lnx x xm e x e x e x= − − + + −
( )22 2ln 2 ln lnx x xe x e x e x≥ + − = −
( )22 lnxk e x∴ ≤ −,
令 ,
则 ,显然 在 上单调递增,且 ,
,
∴存在 使得 ,即 ,
∴当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递
增,
,
∵对勾函数 ,当 时单调递减,
,
又 ,
∴k=1 或 2,
∴k 的取值集合为
20.(1)解:∵ , ,
.
是各项不为零的常数列, ,则 ,
则由 ,及 ,得 ,
当 时, ,
两式作差,可得 .
当 n=1 时, 满足上式,则 ;
(2)证明: ,
当 时, ,
两式相减得: ,
lnxk e x∴ ≤ −
( ) lnxH x e x= −
1'( ) xH x e x
= − '( )H x (0, )+∞ '(1) 1 0H e= − >
1' 2 02H e = −