江苏省南通市2020届高三数学考前模拟卷（九）试题（含附加题Word版附答案）

高三数学（I 卷） 第 1 页（共 4 页） 南通市 2020 届高考考前模拟卷（九） 数 学Ⅰ （ 南 通 数 学 学 科 基 地 命 题 ） 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合 A={xex≤1}，B={－2，0，2，4}，则集合 A∩B 的子集的个数为 ▲ . 2. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为 9：8：8，教务处为了解学生“停课不停 学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为 100 的样本进行调查，则应从高三年级抽取 ▲ 名学生. 3. 已知复数 z 满足(1+i)z＝a+4i（i 为虚数单位)，且|z|=2 2，则实数 a = ▲ . 4. 若从 2 个白球，2 个红球，1 个黄球这 5 个球中随机取出 2 个球，则所取 2 个球颜色相同 的概率是 ▲ . 5. 在平面直角坐标系中，抛物线 y2=4x 的焦点 F 在双曲线x2 a2－y2 4＝1（a＞0）上，则焦点 F 到该双曲线的渐近线的距离为 ▲ . 6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ . 7. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，若函数 y=f(x)在区间[m，n]上的值 域为[－1，2]，则 n－m 的最小值是 ▲ . 8. 已知正六棱柱的侧面积为 36cm2，高为 3cm，则它的外接球的体积为 ▲ cm3. 9. 已知函数 f(x) = x|x|＋3x，若 f(a)＋f(a2－2)＜0，则实数 a 的取值范围为 ▲ . 10. 已知实数 x，y 满足约束条件Error!，则 m＝ 2x2＋4x＋y－2 x＋2 的最大值是 ▲ . 11. 已知等比数列{an}的公比 q=2，且 a1・a2・a3・…・a30=1,则 a3・a6・a9・…・a30= ▲ . 12. 在平面四边形 ABCD 中，已知点 E，F 分別在边 AD，BC 上， AD→ =3AE→ ，BC→ =3BF→ ， （第 6 题图） S←0 I←1 For I From 1 To 9 Step 3 S← 2S＋I End For Print S x y 6 2O （第 7 题图） 2高三数学（I 卷） 第 2 页（共 4 页） AB= 3，EF=2，DC=3，则向量AB→ 与DC→ 的夹角的余弦值为 ▲ . 13. 若在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3. 在△ABD 中，∠ADB＝45°，则 CD 的取值范围是 ▲ . 14. 已知 x>0，y>0，x＋ 4 y＋ 3 2( 1 x＋ y)＝ 15 2 ， 则 x－y 的最小值为 ▲ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 14 分） 在如图所示的空间几何体中，△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，M 是 BC 的中点， DA、EB 都垂直于平面 ABC. 求证：(1) AM⊥平面 EBC; (2) DA∥平面 EBC． 16.（本小题满分 14 分） 已知 cos(α＋π 3)＝ 3 14，α∈(0，π 2)． (1) 求 cosα 的值; (2) 若 tan(α＋β)＝ 5 11，β∈(0，π 2)，求 β 的值． 17.（本小题满分 14 分） D A E M C B (第 15 题图)高三数学（I 卷） 第 3 页（共 4 页） 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且 a1=1，a4，a6，a9 成等比数列，数列{bn}满 足 n ∑ i＝1 aibi＝(n－1)2n +1. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求证：数列{bn}是等比数列； (3) 若数列{cn}满足 cn =an bn，且 c m (m∈N*)为整数，求 m 的值. 18.（本小题满分 16 分） 如图,某湖有一半径为 1 百米的半圆形岸边，现决定在圆心 O 处设立一个水文监测中心 (大小忽略不计)，在其正东方向相距 2 百米的点 A 处安装一套监测设备. 为了监测数据更 加准确，在半圆弧上的点 B 以及湖中的点 C 处，再分別安装一套监测设备，且满足 AB=AC，∠BAC=90°. 定义: 四边形 OACB 及其内部区城为“直接监测覆盖区域”; OC 的长为“最远直接监测距离”设∠AOB=θ. (1) 求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值； (2) 试确定 θ 的值，使得“最远直接监测距离”最大. 19.（本小题满分 16 分） C 北 θ O B A高三数学（I 卷） 第 4 页（共 4 页） 如图,在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 1 2，右准线 的方程为 x＝4，A 为椭圆 C 的左顶点，F1、F2 分别为椭圆 C 的左，右焦点. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 过点 T(t，0) ( t＞a)作斜率为 k(k＜0)的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点(点 M 在点 N 的 左侧)，且 F1M∥F2N. 若 MA＝MT，求 t 的值. 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)=(x－a)ex＋b (a，b∈R). (1) 讨论函数 f(x)的单调性； (2) 对给定的 a，函数 f(x)有零点，求 b 的取值范围； (3) 当 a＝2，b＝0 时，F(x)= f(x)－x+1nx，记 y=F(x)在区间( 1 4，1)上的最大值为 m，且 m ∈[n，n+1)，n∈Z，求 n 的值. xB （第 19 题） O y A M N F1 F2 T高三数学 II（附加题） 第 1 页（共 1 页） 南通市 2020 届高考考前模拟卷（九） 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答， 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4－2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 M=[ 1 a b 3 ]，所对应的変换 TM 将直线 l:2x－y=3 变换为自身，求实数 a,b 的值. B．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知曲线 C:ρ=2cosθ，直线 l：{x＝， y＝－1＋ (t 是参数)，且直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点. (1) 求曲线 C 的直角坐标方程； (2) 设定点 P(0，－1)，求(PA＋1)(PB＋1)的值. C．[选修 4－5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 x2＋y2＝2，且|x|≠|y|，求 1 (x＋y) 2＋ 1 (x－y) 2 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 已知抛物线 C: y2=2px(p＞0) (1) 若抛物线 C 经过点(1，2)，求抛物线 C 的方程及其准线方程; (2) 设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线交抛物线 C 手 M、N 两点，直线 x=分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B. 求证: 以 AB 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点. 23．（本小题满分 10 分） 数列{an}的前 n 项和为 Rn 记 Sn= n ∑ i＝1 ，数列{bn}满足 bi = a1，bn＝ Rn - 1 n ＋Sn an (n≥2)，且数列{bn} 的前 n 项和为 Tn. (1) 请写出 Rn，Sn，Tn 满足的关系式，并加以证明; (2) 若数列{an}通项公式为 an＝ 1 2n - 1， 址明:Tn＜2＋2ln n高三数学 II（附加题） 第 2 页（共 1 页） 南通市 2020 届高考考前模拟卷（九） 试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1、答案：4 2、答案：32 3、答案： 0 4、答案：1 5 5、答案： 2 5 6、答案：19 7、答案： 8 3 8、答案： 125π 6 9、答案：（－2 ，1） 10、答案： 9 2 11、答案：1024 12、答案： 5 12 13、答案：[ 5－ 2, 17＋ 2] 14、答案：－1 二、解答题（共 90 分） 15、（本小题满分 14 分） （略） 16、（本小题满分 14 分） （1） 4 7； （2）β＝π 6. 17、（本小题满分 14 分） （1）an ＝n; （2）m＝1 或 m＝2； 18、（本小题满分 16 分） （1） 5＋ 5 2; （2）2 2＋1.高三数学 II（附加题） 第 3 页（共 1 页） 19、（本小题满分 16 分） （1）x2 4＋y2 3＝1; （2）t=3. 20、（本小题满分 16 分） （1）x∈（－∞，a－1），函数 f（x）单调递减; x∈（a－1，＋∞），函数 f（x）单调递减; （2）当 b≤en-1 时，函数 f（x）有零点； （3）n=－4. 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答， 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4－2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 答案：{a＝1， b＝0 B．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 答案：(1)（x－1）2＋y2＝1 (2) 3＋ 3 C．[选修 4－5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 答案：当且仅当{x＝0， y＝ ± 或{x＝ ± ， y＝0 时，取等号. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） （1）x＝－1 ; （2）（－ p 2，0）或（ 3p 2 ，0）. 23．（本小题满分 10 分） （1）Tn＝Sn Rn; （2）（略）.