高三数学冲刺卷
数学Ⅰ试题
一、填空题：不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ， ，则 ________．
2．已知复数 （其中 为虚数单位），若 ，则 的值为________．
3．已知一组数据 4， ，7，5，8 的平均数为 6，则该组数据的标准差是________．
4．在平面直角坐标系 中，若双曲线 ： 的一条准线与抛物线 ：
的准线重合，则正数的值是________．
5．运行如图的程序框图，则输出的结果是________．
6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图
案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排
列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，
五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝
对值为 5 的概率为________．
7．已知 为等差数列， 为其前 n 项和，若 ，则 的值是________．
8．圆柱形容器的内壁底面半径是 10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，
测得容器的水面下降了 ，则这个铁球的表面积为________ ．
9．若直线 与曲线 相切，则实数 k 的值为________．
{ }1A x x= > { }1,2,3B = A B =
2 iz = + i ( )i ,i
z a b a b= + ∈R ab
a
xOy 1C ( )2
2 1 0xy mm
− = > 2C
2 2x y=
{ }na nS 2 55 2a a+ = 15S
5 cm3
2cm
1y kx= + y x=10．计算： ________．
11．已知向量 ， ，满足 ， ，则 的最小值为________．
12．在平面直角坐标系 中，已知 ， 为圆 ： 上两个动点，且
．若直线 l： 上存在点 P，使得 ，则实数 的取值范围为
________．
13 ． 已 知 函 数 ， 若 存 在 ，
，使得 成立，则实数 的取值范围是________．
14．已知在锐角三角形 中， 于点 ，且 ，若
，则 的取值范围是________．
二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ．
（1）若 ， ，求 c 的值；
（2）若 ，求 的值．
16．已知直三棱柱 ，E，F 分别是 BC， 的中点， ， ．
求证：（1） 平面 ；
（2） ．
17．如图，已知边长为 2 的正方形材料 ABCD，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正
四棱锥的封闭容器．设 ．
( )2
tan12 3
4cos 12 2 sin12
° − =
° − °
a b 3b = a b a⋅ = a b−
xOy A B C ( ) ( )2 22 4x m y− + − =
2 3AB = 2y x= − OC PA PB= + m
( )
31 1 1 1, 1,3 4 4 2
1 1 1,0 ,3 6 2
x x x
f x
x x
− + > C
62, 2P
−
C OP AB∥
C
( )( ),0 2T m m < x l C M N 4x =
AM AN D E DE x m
{ }nc t ( )2
2 1 2 1 12m n m nc c c t m n− − + −+ = + − m *n∈N
{ }nc t { }na t
1 0a = 2
1
2a = − 3 1a = t
( )*
2 1 2 1n n nb a a n+ −= − ∈N
{ }nb
1
1
n nb b +
n nS p q 1 p q< < 1S pS qS
p q
( ) ( )ln 0af x x xx
= + >（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在定义域内有两个零点，求 的取值范围；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范
围．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已 知 矩 阵 ， ， 若 直 线 ｌ 依 次 经 过 变 换 后 得 到 直 线 ｌ ˊ :
，求直线ｌ的方程．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
已知直线ｌ的参数方程为 （t 为参数），点 P(1，2)在直线ｌ上．
（1）求 m 的值；
（2）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ=4 与直线ｌ交于
两点 A，B 两点，求|PA|·|PB|的值．
C．选修 4—5：不等式选讲
设 a，b，c 都是正数，求证：
【必做题】第 22 题、第 23 题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
22．某商场在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了 A,B 两种抽奖方案，
方案 A 的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案 B 的中奖率为 ，中奖可以获得 3
分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数
兑换奖品．
（1）若顾客甲选择方案 A 抽奖，顾客乙选择方案 B 抽奖，记他们的累计得分为 X，若 的
概率为 ，求 ；
（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案 A 或都选择方案 B 进行抽奖，问：他们选择何种方案
抽奖，累计得分的均值较大？
23．已知
（1）求 的值；
( )f x
( )f x a
( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )2ln 1 e 1 2 exm x x x x x+ + − −≥ m
1 0
02A
=
1 2
01B
= ,A BT T
2 2 0x y+ − =
12 2
3
2
x t
y m t
= +
= +
2 2 2( ) ( ) ( ) 4( )b c c a a b a b ca b c
+ + ++ + ≥ + +
2
3 0 0(0 1)P P< <
3X ≤
7
9 0P
2020 2 2020
0 1 2 2020(1 ) ... .x a a x a x a x− = + + + +
1 2 2020...a a a+ + +（2）求 的值．
参考答案
数学Ⅰ试题
一、填空题：
1． 2．-2 3． 4．3 5．
6． 7．75 8． 9． 10．-4
11． 12．
13． 14．
解答与提示：
1．由交集定义可知 ．
2． ，所以 ， ，所以 ．
3．由平均数公式得 ，所以 ．
4．抛物线 ： 的准线方程为 ，双曲线 ： 的一条准线方程为
，根据题意 ，解得 ．
5．分析流程图，可得输出的结果是 ．
6．从阳数和阴数中各取一数，有 25 种取法，其差的绝对值为 5 的有 5 种，所以概率为
．
7 ． 由 ， 得 ， 即 ， 所 以 ， 则
．
8．设该铁球的半径为 rcm，则由题意得 ，解得 ，所以 ，所以这
个铁球的表面积 ．
9 ． 曲 线 在 切 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 所 以 解 得
．
0 1 2 2020
1 1 1 1...a a a a
+ + + +
{ }2,3 2 1
3
1
5 100π 1
4
2 2 1 5, 1 5 − − − +
[ )2 e,− +∞ 6 ,5
+∞
{ }2,3=A B
i 2 iz a b= − = + 1a = 2b = − 2ab = −
6a = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 4 6 0 7 6 5 6 8 6 25s = − + + − + − + − =
2C 2 2x y= 1
2y = − 1C
2
2 1xy m
− =
1
1
y
m
= −
+
1 1
21m
=
+ 3m =
1
3
5 1
25 5
=
2 55 2a a+ = ( )1 15 2 4a d a d+ + = + 1 7 5a d+ = 8 5a =
( )15 1 15 8
15 15 752S a a a= + = =
3 24 5π π 103 3r + × × 3 35r = 5r =
2 24π 5 100πcmS = × =
y x= ( )0 0,x y 0
0
1
22
xy x
x
= +
0
0
1,2
1 ,
2
x
k
x
=
=
1
4k =10．原式 ．
11． ，故 的最小值为 ．
12．由题意知圆 的圆心 ，半径 ．取 的中点 ，连结 ，则 ．所
以 ，所以点 在圆 上．延长 交 于 ．
法一：因为 ，所以 ，
所以点 在圆 上，所以直线 与圆有公共点，
从而 ，解得 ．
法二：因为 ，设 ， ，
则 ， ，
所以 则
因为 在圆 上，
所以 ，即 ，
所以点 P 在以 为圆心，1 为半径的圆 D 上，
又点 P 在直线 l： 上，
所以直线 l 与圆 D 有公共点，所以 ，
解得 ．
13．当 时， 单调递减， ；
当 时， 成立，
单调递增， ，
sin12 3 sin12 3cos12cos12
2cos24 sin12 2cos24 sin12 cos12
° − ° − °°= =° ° ° ° °
( )2sin 12 60 2sin 48 41cos24 sin 24 sin 482
° − ° − °= = = −° ° °
( )22 2 2
2 9 2 1 8 2 2a b a b a b a a a− = + − ⋅ = + − = − + ≥ a b− 2 2
C ( ),2C m 2r = AB Q CQ CQ AB⊥
2 2 4 3 1CQ r AQ= − = − = Q ( ) ( )2 22 1x m y− + − = CQ l M
2OC PA PB PQ= + = 1CQ QM= =
M ( ) ( )2 22 4x m y− + − = l
2 2 2
5
m +
≤ 1 5 1 5m− − − +≤ ≤
2OC PA PB PQ= + = ( )0 0,P x y ( )1 1,Q x y
( )1 0 1 0,PQ x x y y= − − ( ),2OC m=
( )
( )
1 0
1 0
2 ,
2 2 ,
m x x
y y
= − = −
1 0
1 0
,2
1,
mx x
y y
= +
= +
( )1 1,Q x y ( ) ( )2 22 1x m y− + − =
( )2
2
0 0 1 12
m x m y + − + − =
( )2
2
0 0 1 12
mx y − + − =
1 ,12D m
2y x= −
1 1
5
m +
≤
1 5 1 5m− − − +≤ ≤
10 2x≤ ≤ ( )f x ( ) 10 6f x≤ ≤
1 12 x< ≤ ( ) 2 1 04f x x′ = − ≥
( )f x ( )1 1
6 3f x< ≤所以 的值域为 ．
设 的值域为 ，因为存在 ， 使得 成立，
所以 ． ， ．
① ，任意 ， 成立， 在 单调递增，
所以 ， ， ．
因为 ，所以 ， ；
② ，任意 ， 成立， 在 单调递减，
所以 ， ， ，
则 ，不合题意；
③ ，令 ， ，
在 递减， 递增，
所以 ， ，．
又 ， ，
则 ，不合题意．
综上所述， ．
解：法一：由 ，
得 ，
所以 ，即 ， ．
设 边上的高为 ，则 ， ，
所以 ，所以
因为 的面积 ，所以 ，
所以 ．
法二：由 ，
( )f x 10, 3A =
( )g x B 1x [ ]2 0,1x ∈ ( ) ( )1 2f x g x=
B A ≠ ∅ ( ) e 2xg x ax= + − ( ) exg x a′ = +
1a −≥ [ ]0,1x∈ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [ ]0,1
( ) ( )min 0 1g x g= = − ( ) ( )max 1 e 2g x g a= = + − [ ]1,e 2B a= − + −
B A ≠ ∅ e 2 0a+ − ≥ 2 ea −≥
ea −≤ [ ]0,1x∈ ( ) 0g x′ ≤ ( )g x [ ]0,1
( ) ( )min 1 e 2g x g a= = + − ( ) ( )max 0 1g x g= = − [ ]e 2, 1B a= + − −
B A = ∅
e 1a− < < − ( ) e 0xg x a′ = + = ( )lnx a= −
( )g x ( )( )0,ln a− ( )( )ln ,1a−
( ) ( )( ) ( )min ln 2 lng x g a a a a= − = − − + − ( ) ( ) ( ){ }max max 0 , 1g x g g=
( )0 1 0g = − < ( )1 e 2 0g a= + − <
B A = ∅
2 ea −≥
( )2 2
9 4 4 9BA CA AH CA BA− = ⋅ −
2 2
9 9 4 4BA AH BA CA CA AH+ ⋅ = + ⋅
9 4BA BH CA CH⋅ = ⋅ 2 2
9 4BH CH= 2
3BH CH=
BC h 5tan 4
hB = 5tanC 6
h=
2
5 5
504 6tan 05 5 25 241 4 6
h h
hA h h h
+
= − = >−− ⋅
2 6
5h >
ABC
1 1sin2 2S bc A ah= = 2 sin sinR B C h=
sin sin 6
sin 2 5
B C h
A
= >
( )2 2
9 4 4 9BA CA AH CA BA− = ⋅ − 得 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ．
以 中点为原点 ， 为 轴建立坐标系，
则 ， ， ，
从而 ，即 （舍去）或 ．
设 边上的高为 ．
因为 的面积 ，
所以 ，即 ．
由 得 ．
因为 为锐角三角形，所以 ，
所以 ．
法三：由 ，
得 ，
所以 ，即 ， ．
因为角 为锐角，所以 ，
所以 ．
因为 的面积 ，所以 ，
所以 ．
法四：设 ， ， ，
因为 ，
2 2
9 9 4 4BA AH BA CA CA AH+ ⋅ = + ⋅
9 4BA BH CA CH⋅ = ⋅ 2 2
9 4BH CH= 2
3BH CH=
2 24tan 9tanB C=
BC O BC x
( )1,0B − ( )1,0C ( ),A x y
( ) ( )
2 2
2 2
4 9
1 1
y y
x x
=
+ − 5x = − 1
5x = −
BC h
ABC
1 1sin2 2S bc A ah= =
2 sin sinR B C h= sin sin
sin 2
B C h
A
=
2 2 1,
1 ,5
x y
x
+ = = −
2 24
25y =
ABC
2 6
5h >
sin sin 6
sin 2 5
B C h
A
= >
( )2 2
9 4 4 9BA CA AH CA BA− = ⋅ −
2 2
9 9 4 4BA AH BA CA CA AH+ ⋅ = + ⋅
9 4BA BH CA CH⋅ = ⋅ 2 2
9 4BH CH= 2
3BH CH=
A ( ) ( ) 2 26 025AB AC AH HB AH HC AH BC⋅ = + ⋅ + = − >
2 6
5h >
ABC
1 1sin2 2S bc A ah= = 2 sin sinR B C h=
sin sin 6
sin 2 5
B C h
A
= >
AH h= BH x= CH y=
( )2 2
9 4 4 9BA CA AH CA BA− = ⋅ − 所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．因为 的面积 ，
所以 ，所以 ．
法五：设 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，
，所以 ，
所以 ．下略．
二、解答题：
15．解：（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
得 ，即 ，
解之得 或 （舍去）．
( ) ( )2 2 2 29 4h x h y+ − + 2 2 2 2
2 2 2 2
4 9h hh h y h h x
h y h x
= + − − + − + +
2 2 2 25 9 4 5h x y h+ − = 3 2x y=
2x y+ = 4
5x = 6
5y =
cos 0A > 2 2 2c b a+ >
2 2
2 24 6 45 5h h + + + >
2 24
25h >
2 6
5h > ABC
1 1sin2 2S bc A ah= =
2 sin sinR B C h= sin sin 6
sin 2 5
B C h
A
= >
( ) ( )1 0 1AH AB ACλ λ λ= + − < π0 2A< <
2
2 13 2 3sin 1 cos 1 13 13A A
= − = − =
π
3B = ( ) ( )cos cos π cosC A B A B= − − = − +
cos cos sin sinA B A B= − +
13 1 2 3 3 6 13
13 2 13 2 26
−= − × + × =
1B C 1BC O 1AO OE
1BB C O E 1B C
1
1
2OE B B∥ 1
1
2OE B B=
1 1 1ABC A B C− 1 1B B AA∥ 1 1B B AA=
F 1AA 1OE FA= 1OE FA∥ 1EF AO∥
1AO ⊂ 1 1BAC EF ⊄ 1 1BAC EF 1 1BAC
1 1 1ABC A B C− 1 1BCC B
1BC CC= 1BCC B 1 1B C BC⊥
1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC
AC ⊂ ABC 1CC AC⊥
BC AC⊥ 1BC CC C= 1CC BC ⊂ 1 1BCC B
AC ⊥ 1 1BCC B
1B C ⊂ 1 1BCC B 1AC B C⊥因为直三棱柱 ，所以 ，所以 ．
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
17．解：取 的中点 ，连接 ，连接 交 于 ，如图．
由题意知 ，在直角三角形 中， ．
在直角三角形 中， ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
从而 ，
正四棱锥的高
，
所以正四棱锥的体积
， ．
（2）令 ， ，
则 ，
1 1 1ABC A B C− 1 1AC AC∥ 1 1 1AC B C⊥
1 1 1 1BC AC C= 1BC 1 1AC ⊂ 1 1BAC 1B C ⊥ 1 1BAC
1AO ⊂ 1 1BAC 1 1AO B C⊥
1EF AO∥ 1EF B C⊥
BC M FM AC GF N
FM BC⊥ CFM 1
cosCF θ=
CFN πsin 4
NF
CF
θ = −
2 2 tan2 2NF θ= − 2 2 tanGF θ= −
πcos 4
CN
CF
θ = −
2 2 tan2 2CN θ= +
( )2
2 2 tanGFEHS θ= −
2 2 2 2CO CN NO CN NF= − = −
2 2
2 2 2 2tan tan 2 tan2 2 2 2
θ θ θ = + − − = ⋅
( )21 1 2 2 tan 2 tan3 3GFEHV S CO θ θ= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
( )22 2 1 tan tan3
θ θ= − π0, 4
θ ∈
tant θ= ( )0,1t ∈
( ) ( ) ( )22 5 32 2 2 21 23 3V t t t t t t= − = − +．
令 ，得 ．
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 在 时取到最大值，此时 ．
18．解：（1）由 ，在椭圆 ： 上得 ①，
如图，由 为 的右顶点， 为 的上顶点可知 ， ，
因 ，所以 ，则 ②．
联立①②得方程组 解得
故所求椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，又 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
所以 ．同理 ．
设 是以 为直径的圆上的任意一点，
则 ，所以 ，
( ) ( ) ( )( )4 2 2 22 2 2 25 6 1 5 1 13 3V t t t t t′ = − + = − −
( ) 0V t′ = 5
5t =
t 50, 5
5
5
5 ,15
( )V t′
( )V t
( )V t 50, 5
5 ,15
( )V t 5
5t = 1tan 5
θ =
62, 2P
−
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 2
2 3 12a b
+ =
A C B C ( ),0A a ( )0,B b
OP AB∥ OP ABk k= 3
2
b
a
− = −
2 2
2 3 1,2
3 ,2
a b
b
a
+ =
− = −
2,
3.
a
b
= =
C
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )2,0A
AM ( )1
1
22
yy xx
= −−
4x = 1
1
2
2D
yy x
= −
1
1
24, 2
yD x
−
2
2
24, 2
yE x
−
( )0 0,Q x y DE
0DQ EQ⋅ = ( )2 1 2
0 0 0
1 2
2 24 02 2
y yx y yx x
− + − − = − − 令 ，得 ．
设直线 的方程为 ，与椭圆 的方程 联立，
消去 得 ，
所以 ， ，
所以
．
所以 ，
因为-2
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 0f x′ > x a> ( )f x ( ),a +∞
( ) 0f x′ < 0 x a< < ( )f x ( )0,a
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x ( ),a +∞ ( )0,a
( )f x 0a > ( )f x ( )f a
( ) 0f a < 10 ea< <
( )1 0f a= > ( ) ( )1 0f a f⋅ <
( )f x ( ),1a
( )2 12lnf a a a
= + ( ) 1 12ln 0 eg x x xx
= + < = − >
( )2 0f a >所以 ，由零点存在性定理可知，
在 上有一个零点，所以 ．
（3）法一：由 可知 ．
设 ，
则 在 上恒成立．
．
1°当 时， ，令 得 ，
所以 在 上单调增；
令 得 ，所以 在 上单调减．
所以 ，得 ．
2°当 时，因为
即 ，
所以 在 上不恒成立，
则 舍去．
综上可知， ．
法二：在 中，令 ，得 ．
下证当 时， 恒成立，略．
2019~2020 学年度苏州市考前指导卷（二）
数学Ⅱ（附加题）
参考答案
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，若多做，则按作答的前两题评分．
A．选修 4—2：矩阵与变换
解：设点 是 上的任意一点，其依次经过变换 ， 后得到点 ．
则 ，得 ，即
( ) ( )2 0f a f a⋅ <
( )f x ( )2 ,a a 10, ea ∈
( ) ( ) ( )2ln 1 e 1 2 exm x x x x x+ + − −≥ ( ) ( )1ln e 1 2 exm x xx
+ + − − ≥
( ) ( )1ln 2 e e 1xF x m x xx
= + + − + −
( ) 0F x ≥ ( )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 e 1 ex xm x mF x x xx x
− ′ = + − = − +
0m≥ 2e 0x m
x
+ > ( ) 0F x′ > 1x >
( )f x ( )1,+∞
( ) 0F x′ < 0 1x< < ( )f x ( )0,1
( ) ( )min 1 1 0F x F m= = − ≥ 1m≥
0m < ( ) ( )1
41 7 74 ln 4 e e 1 4 ln 4 e 14 4 4F m m = − − + − < − − + −
( )1 114 ln 4 e 04 4F m < − − − 0 0
8 46 03 9P P> ⇒ < <
( ) ( )1 22 3E X E X< 0 0
8 46 13 9P P< ⇒ < <
( ) ( )1 22 3E X E X= 0 0
8 463 9P P= ⇒ =
0
40 9P< <
0
4 19 P< <
0
4
9P =
( ) ( )2020 2 2020
0 1 2 20201 *x a a x a x a x− = + + + ⋅⋅⋅+
( )* 0x = 0 1a =
( )* 1x = 0 1 2 2020 0a a a a+ + + ⋅⋅⋅ + =
1 2 2020 1a a a+ + ⋅⋅⋅ + = −
( ) 20201 k k
ka C= − 0k = ⋅⋅⋅
( ) ( ) ( )
( )
! ! ! ! 21 1
! 2 1 !k
n
k n k k n k nn
C n n n
− − ++= = ⋅+ +
( ) ( )
( )
! ! 1 11
2 1 !
k n k k n kn
n n
− + + + −+= ⋅+ +
( )
( )
( ) ( )
( ) 1
1 1
! 1 ! 1 ! !1 1 1 1
2 1 ! 1 ! 2 k k
n n
k n k k n kn n
n n n n C C +
+ +
+ − + − + += + = + + + + +
( )
( )2020 2020 200
0 0 0 20202020
11 1
1
k
k kk
k k kka CC= = =
−= =
−
∑ ∑ ∑．
因为 ，
所以
．
( )2020
0 1 2 2020
2020 2020 2020 2020
1 1 1 11C C C C
= − + − ⋅⋅⋅ + −
1
2020 2021 2021
1 2021 1 1
2022k k kC C C +
= +
( )2020 2020
0 1 1 2 2020 2021
0 2021 2021 2021 2021 2021 2021
1 2021 1 1 1 1 1 112022k ka C C C C C C=
= + − + + ⋅⋅⋅ + − +
∑
0 2021
2021 2021
2021 1 1 2021
2022 1011C C
= + =
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