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龙泉中学 2020 届高考适应性考试(一)
理 科 数 学 试 题
本试卷共 2 页，共 23 题（含选考题）满分 150 分，考试用时 120 分钟
★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、
草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求．
1. 设 ，则在复平面内 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合 ，则 ( )
A． B． C． D．
3. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 函数 在 的图像大致为( )
A． B．
C． D．
5．已知 ，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C. b＜a＜c D．c＜a＜b
6. 设点 不共线,则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 设奇函数 在（0，+∞）上为增函数，且 =0．则不等式 的解集是( )
A．（-1，0） （1，+∞） B．（-1，0） （0，1）
C．（-∞，-1） （1，+∞） D．（-∞，-1） （0，1）
8. 圆周率 π 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 π 进行了估算．现
利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人，让每人随机写出一对小于 1 的
正实数 a、b，再统计出 a、b、1 能构造锐角三角形的人数 M，利用所学的有关知识，则可估计出 π
的值是（ ）
A． B． C． D．
9. 函数 的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．与 a 有关
10. 2019 年 10 月 1 日,中华人民共和国成立 70 周年,举国同庆.将 2,0,1,9,10 这 5 个数字按照任意次序
排成一行,拼成一个 6 位数,则产生的不同的 6 位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
11. 已知数列 满足 ,记 表示不超过 的最大整数,
则 的值为( )
A.2019 B.2020 C.4037 D.4039
12. 在菱形 中, , 分别是边 的中点,现将 沿着对角线 翻折,则
直线 与平面 所成角的正切值最大值为( )
A. B. C. D.
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 曲线 在点 处的切线方程为_______.
14. 已知 ，则 __________.
15. 已知 是双曲线 的左、右焦点, 关于双曲线的一条渐近线的对称
点为 ,且点 在抛物线 上,则双曲线的离心率为______.
16. 设 是定义在 R 上的两个周期函数， 的周期为 4， 的周期为 2，且 是奇
函数.当 时， ， ，其中 .若在区间
上，关于 x 的方程 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是___________
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）
已知正项等比数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，
（Ⅰ）求 与 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
{ }na 1 2a = 2
3 7 32a a = { }nb n 2
nS n n= −
{ }na { }nb
{ }nc 2n 2nT
3 2iz = − + z
{ } { }ln 1 , 1 2A x x B x x= < = − < < A B =
( )0,e ( )1,2− ( )1,e− ( )0,2
2
sin( ) cos
x xf x x x
+= + [ , ]−π π
2.0
5.05 5.02.0log2log === cba ，，
A B C、 、 AB AC AB AC BC+ >
( )f x (1)f 0)()( (0,9]
( ) ( )f x g x=
, 2 1,
, 2 ,
n
n
n
a n k k Nc b n k k N ∗
= + ∈= = ∈第 2 页 共 5 页
18．（本小题满分 12 分）
如图所示，已知四边形 是菱形，平面 平面 ， ，
.
（I）求证：平面 平面 .
（II）若 ，求二面角 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
某企业生产一种液体化工产品，其年产量受气温影响，该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需
的稀有金属，且提取该稀有金属后，不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验，制造的该液
体化工产品和提取的稀有金属都能完全销售.在此之前，该企业无稀有金属提取设备，经企业研究决定安
装，但由于条件限制，最多能安装 6 台.根据最近 20 年统计的生产资料数据，每年至少生产该液体化工
产品 40 吨，且得到液体化工产品年产量 X 的数据如下表：
液体化工产品
年产量 X（吨）
年数 3 1 8 6 2
（I）对于液体化工产品，如果年产量不低于 100 吨，则称该年度为“优质年”，每位职工发放一等年终
奖金；如果年产量不足 100 吨，则称该年度为“均衡年”，每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在
统计的 20 年中有 5 年在该企业工作，问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少？（最后结果保
留分数形式）
（II）若液体化工产品年产量相互独立，且把液体化工产品年产量 X 在相应段的频率作为概率.
（i）试求未来 3 年中，至少有一年液体化工产品年产量不低于 100 吨的概率；（最后结果保留分数形式）
（ii）企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行，但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化
工产品年产量 X 的限制，并有如下关系：
液体化工产品
年产量 X（吨）
提取设备最多
可运行台数 3 4 5 6
对于每台提取设备，若正常运行，则可获年利润约 50 万元，否则年亏损 10 万元.问应安装多少台稀有金
属提取设备，可使该企业在稀有金属提取项目中获得最大总利润？并说明理由.
20．（本小题满分 12 分）
椭圆 的左、右焦点分别为 轴,
直线 交 y 轴于点 , 为椭圆 上的动点, 面积的最大值为 1.
（Ⅰ）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）过点 作两条直线与椭圆 分别交于 ，且使 轴，问：四边形
的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）若 在 上存在单调递增区间,求实数 的取值范围；
（Ⅱ）设 ,若 ,恒有 成立,求 的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个
题目计分.
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极
点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线 与 和 分别交于点 ,求 ．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的最小值为 ,且 ,求证： .
ABCD AEFC ⊥ ABCD //EF AC
2 2AE AB AC EF= = = =
BED ⊥ AEFC
EA AC⊥ B FD C− −
40 60X π π,6 3
min
1
tana x
> − 3a > −
a ( )3,− + ∞
( ) ( ) sinaxbx e xg xf x bx = − = − π0, 2x ∈
( ) ( )' e sin cosaxg x a x x b= + −
( ) ( )e sin cosaxh x a x x b= + − ( ) ( )2' 1 sin 2 cos 0axh x e a x a x = − + ≥
( )h x ( )'g x π0, 2
( ) π
2' 1 , e a
g x b a b
∈ − −
1b ≤ ( )' 0g x ≥ ( )g x π0, 2
( ) ( )0 0g x g≥ =
π
2e a
b a≥ ( )' 0g x ≤ ( )g x π0, 2
( ) ( )0 0g x g≤ =
π
21 e a
b a< < ( )'g x
( )' 0 1 0g b= − <
π
2π' e 02
a
g a b = − > 0x ( )0' 0g x =
( )g x [ ]00,x x∈ 0
π, 2x
π 02g ≤
π
2 πe 2
a
b≤
π
22 eπ
a
b ≥
π π
2 22 e eπ
a a
b a ( )G a 41, π
4 ,π
+∞
( ) 24 2e
π πG a G ≥ = −
2eb a−
22
π
e−
8
2x t
= + 0x ≠
8
2
4
2
x t
ty t
= +
= +
t l 4 0( 0)x y x+ − = ≠
2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = + 2 2 2 0x y y+ − =
C 2 2 2 0x y y+ − =
l 4 0( 0)x y x+ − = ≠
cos sin 4 0( )2
ρ θ ρ θ θ π+ − = ≠
( )04
θ ρπ= > 2 2A
ρ = 2B
ρ = | | | | | 2 2 2 | 2A BAB ρ ρ= − = − =
0x < | 4 |( ) xf x x
> | | | 2 | 4x x+ − > − 0 2x< ≤ | 4 |( ) xf x x
>
2 4> 2x > | 4 |( ) xf x x
> 2
2 2 4
x
x
>
− > 3x >
| 4 |( ) xf x x
> ( ,0) (3, )−∞ +∞
( ) | | | 2 | | ( 2) | 2f x x x x x= + − ≥ − − = 0 2x≤ ≤ 2M = 2 2 2a b c+ + =第 5 页 共 5 页
由柯西不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立，所以 . ………………………………（10 分）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 ( 2 2 ) (1 2 2 )( ) 9( )a b c a b c a b c= + + ≤ + + + + = + +
2 4 4, ,9 9 9a b c= = = 2 2 2 4
9a b c+ + ≥
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