理科数学
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确
答案的序号填涂在答题卡上）
1．集合 ， ，则 = ( ).
A. B. C. D.
2．纯虚数 满足 ，则 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3．各项均为正数的等比数列 中， ，数列 的前 项和为 .
则 （ ）
A． B． C． D．
4．在 中， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
5．把不超过实数 的最大整数记为 ，则函数 称作取整函数，又叫高斯函数，
在 上任取 ，则 的概率为（ ）
A． B. C. D.
6．函数 的大致图象为( )
7．设向量 ，若 ，则实数 （ ）
A．3 B．1 C． D．
8．已知实数 ， 满足 ，则（ ）
1± 3±
}{ 2 2 0A x x x= − − ≤ { }1 0B x x= − < A B }{ 1x x < }{ 1 1x x− ≤ < { }2x x ≤ { }2 1x x− ≤ < z ( ) izz 421 −=⋅+ z 2i− 2i 4i− 4i { }na 1 2a = { }na n 3, 2 3 2nS S = + 7a = 8 2 7 2 8 15 2 14+ ABC∆ 2CM MB= 0AN CN+ = 2 1 3 6 MN AB AC= + 2 7 3 6 MN AB AC= + 1 2 6 3 MN AC AB−= 7 2 6 3 MN AC AB−= x [ ]x [ ]( )f x x= [ ]1,4 x [ ] 2x x = 1 4 1 3 1 2 2 3 1 1lg −= xy ( ) ( )1,1,3,3 −== ba ( ) ( )baba λλ −⊥+ =λ a b 1 1 12 2 a b < 2 2log loga b> a b< sin sina b>
1cos 6 3
πα + = sin 2 6
πα − =
8
9
− 8
9
7
9
7
9
−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1F 2F 2F x
1MF N∠
2
π e
2 3 5
2 2 1+
36° 108°
ABC∆ 5 1
2
BC
AC
−=
sin 234° =
1 2 5
4
− 3 5
8
+− 5 1
4
+− 4 5
8
+−
>−
≤−
=
，
，
2,2
1log
2,2
)(
2
xx
xxx
xf
a
R )22(f
−∞−
2
1,
−∞−
4
5,
+∞− ,4
5
−−
2
1,4
5
( ) ( ) 0, 0( ), 2f x Asin wx A w
πϕ ϕ+ > > >
C 2 3
C
( )0,2P l C M N
2OM ON⋅ = O l
( ) ( )21 lnf x a x x= − + a∈R
2a = ( )y f x= ( )( )1, 1P f
1a = − ( ) ( ) ln 2 1g x f x x x m= + − + + ( )g x 1 ,ee
m
xOy C
2cos ,
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
α x M
2 sin 2 32 0 2
πρ θ θ = <
1a = ( ) 1f x ≤ − ( ) 3f x ≤ a
4 6
π+
8 2
3
π
{ }na d 841 ,, aaa 81
2
4 aaa ⋅=
( ) ( )daada 73 11
2
1 +=+ daaddaa 1
2
1
2
1
2
1 796 +=++∴
0≠d da 91 =∴
{ }na 454510 110 =+= daS
454590 =+ dd 3,3
1
1 == ad
{ }na 3
8+= nan
( )( )
+−+=++==
+ 9
1
8
1998
91
1 nnnnaab
nn
n
---------10分
---------------------------------12分
18.证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1
而AD⊂平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，
所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1． --------------------------------5
分
（Ⅱ）以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，
过 E 作垂直于平面 ABC 的垂线为 z 轴，
建立空间直角坐标系，设 BD=t，则 A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0， ，2），
=（2，0，t）， =（1， ，2），设平面 ADC1 的法向量 =（x，y，z），
则 ，取 x=1，得 ，
平面 ABC 的法向量 =（0，0，1），--------------------------------9 分
设平面 ADC1 与平面 ABC 的夹角为θ，
∴cosθ= = = =
由于 t∈（02）,故 cosθ∈（ ， ]．
即平面 ADC1 与平面 ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（ ， ]．----------12 分
+−+++−+−+−=
9
1
8
1
12
1
11
1
11
1
10
1
10
1
9
19 nnTn
99
919
1
9
19 +=+−=
+−=
n
n
nn
3
AD
1AC 3 n
1
· 2 0
· 3 2 0
n AD x tz
n AC x y z
= + = = + + =
4 1 21, ,
3 3
n tt
= − −
m
·
·
m n
m n
2
2
2
4 1 41
3 3
t
tt
+ − +
2
3
2 7t t− + ( )2
3
1 6t − +
21
7
2
2
21
7
2
2
19.（1）由题意知， ，
解得 ，
样本的平均数为：
（元），
所以估计该校学生月消费金额的平均数为 元．--------------------------------4
分
（2）由题意，从 中抽取 人，从 中抽取 人．
随机变量 的所有可能取值有 ， ， ， ，
（ ），
所以，随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望
．----------------------------8
分
（3）由题可知，样本中男生 人，女生 人，属于“高消费群”的 人，其中女生 人；
得出以下 列联表：
，
所以有 的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12
分
100(0.0015 0.0025 0.0015 0.001) 1a+ + + + =
0.0035a =
500 0.15 600 0.35 700 0.25 800 0.15 900 0.10 670x = × + × + × + × + × =
670
[550,650) 7 [750,850) 3
X 0 1 2 3
( ) 3
3 7
3
10
k kC CP X k C
−
= = 0,1,2,3k =
X
X
35 63 21 1 9( ) 0 1 2 3120 120 120 120 10E X = × + × + × + × =
40 60 25 10
2 2×
2 2
2 ( ) 100 (10 25 15 50) 50 5.556 5.024( )( )( )( ) 40 60 25 75 9
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = = ≈ >+ + + + × × ×
97.5%
20.【解析】（1）由题意得： ，···········2 分
解得 ，∴椭圆 的标准方程是 ···········4 分
（2）当直线 的斜率不存在时， ，
，不符合题意···········5 分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ，
由 消 整理得： ，
，解得 或 ，···········6 分
， ，···········7 分
∴
，···········9 分
∵ ，∴ ，···········10 分
解得 ，满足 ，···········11 分
所以存在符合题意的直线，其方程为 ．···········12 分
21.【答案】（1）切线方程为 ；（2）实数 的取值范围是 ．
【解析】（1）当 时， ．
当 时， ，所以点 为 ，···········1 分
2 2 2
2 2 3
2
b
a c
a b c
=
=
= +
2
3
a
b
=
=
C
2 2
14 3
x y+ =
l ( )0, 3M ( )0, 3N −
3OM ON⋅ = −
l l 2y kx= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2
14 3
2
x y
y kx
+ =
= +
y ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ + + =
( ) ( )2 216 16 3 4 0k k∆ = − + > 1
2k < − 1 2k >
1 2 2
16
3 4
kx x k
+ = − + 1 2 2
4
3 4x x k
= +
1 2 1 2OM ON x x y y⋅ = + = ( ) ( )2
1 2 1 21 2 4k x x k x x+ + + +
( )2 2 2
2 2 2
4 1 32 16 1243 4 3 4 3 4
k k k
k k k
+ −= − + =+ + +
2OM ON⋅ = 2
2
16 12 23 4
k
k
− =+
2
2k = ± 0∆ >
2 22y x= ± +
1y x= − m 2
11,2 e
+
2a = ( ) ( )22 1 lnf x x x= − + 22 4 ln 2x x x= − + +
1x = ( )1 0f = ( )( )1, 1P f ( )1,0P
又 ，因此 ．···········2 分
因此所求切线方程为 ．···········4 分
（2）当 时， ，
则 ．···········6 分
因为 ，所以当 时， ，···········7 分
且当 时， ；当 时， ；
故 在 处取得极大值也即最大值 ．···········8 分
又 ， ，
，
则 ，所以 在区间 上的最小值为 ，······10 分
故 在 区 间 上 有 两 个 零 点 的 条 件 是
，
所以实数 的取值范围是 ．···········12 分
22.【详解】解：（1）由题意知曲线 的直角坐标方程为 ，
即 ，
所以 ，
即 ，故曲线 的极坐标方程为
.-----------------------------5 分
( ) 14 4f x x x
′ = − + ( )1 1k f ′= =
( )0 1 1 1y x y x− = × − ⇒ = −
1a = − ( ) 22lng x x x m= − +
( ) ( )( )2 1 12 2 x xg x xx x
− + −′ = − =
1 ,eex ∈
( ) 0g x′ = 1x =
1 1e x< < ( ) 0g x′ > 1 ex< < ( ) 0g x′ < ( )g x 1x = ( )1 1g m= − 2 1 12e eg m = − − ( ) 2e 2 eg m= + − ( ) 2 2 1 1e 2 e 2e eg g m m − = + − − + + 24 e= − + 2 1 0e < ( ) 1e eg g < ( )g x 1 ,ee ( )eg ( )g x 1 ,ee ( ) 2 1 1 0 1 12 0e e g m g m = − >
= − −
≤
2
11 2 em⇒ < +≤ m 2 11,2 e + C ( )22 2 4x y+ − = 2 2 4x y y+ = 2 4 sinρ ρ θ= 4sinρ θ= C 4sinρ θ=
（2）因为曲线 的极坐标方程为 ，
所以 ，
将 代入，得
因为曲线 的极坐标方程为 ，所以
所以 ，
则 ，故 的直角坐标方程为 --------------------------------10 分
23.【详解】（1）
当 ，
可得
若 则 ，
即 ，显然成立
若 ，
可得 ，故
若 ，
可得 ，显然不成立.
综上所述，
（2）
M 2 sin 2 32 0 2
πρ θ θ = <
1a = ( ) 1f x ≤ −
| 2 | | 1| 1x x+ − − ≤ −
2x −≤ 2 (1 ) 1x x− − − − ≤ −
3 1− ≤ −
2 1x− < < 2 (1 ) 1,x x+ − − ≤ − 2 2x ≤ − 1x ≤ − 1x ≥ 2 ( 1) 1,x x+ − − ≤ − 3 1≤ − ( , 1]x∈ −∞ − ( ) 3f x ≤ ∴ 1 1 1|| 2 | | || 2 2x a x x a x aa a a + − − ≤ + − + = + 1 1 12 | 2 | 2a x a x aa a a ∴− − ≤ + − − ≤ +
要保证不等式 恒成立，只需保证 ，
解得
综上所述，
( ) 3f x ≤ 12 3a a
+ ≤
1 12 a≤ ≤
1 ,12a ∈
微信/支付宝扫码支付