2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用补集和交集的定义可求得结果.
【详解】 全集 ，集合 ， ，
由补集的定义可得 ， ，因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.
2.设 （ 是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】 ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于
{ }1,2,3,4,5,6,7,8,9U = { }2,4,6,7A = { }3,5,6,7,8B =
( ) ( )U UA B∩ =
{ }1,9 { }2,3,4,5,6,7,8 { }1,2,3,4,5,8,9
{ }1,6,7,9
{ }1,2,3,4,5,6,7,8,9U = { }2,4,6,7A = { }3,5,6,7,8B =
{ }1,3,5,8,9U A = { }1,2,4,9U B = ( ) ( ) { }1,9U UA B =
2 11z i
= ++ i z =
2 3 5 2 3
( )
( )( )
2 12 1 1 21 1 1
iz ii i i
−= + = + = −+ + − ( )222 1 5z = + − =基础题.
3.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题意得出关于 和 的方程组，求出这两个量，然后利用
等差数列的通项公式可求得 的值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 ，
因此， .
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，解答的关键就是建立有关首项和公差的方程组，
考查计算能力，属于基础题.
4.已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由图象可知，函数 为 上的奇函数，且在 上先增后减，然后逐项分析各选
项中函数 的定义域、奇偶性及其在区间 上的单调性，结合排除法可得出正
确选项.
{ }na n nS 3 7a = 3 9S = 10a =
25 35 40 45
{ }na d 1a d
10a
{ }na d 3 1
3 1
2 7
3 3 9
a a d
S a d
= + =
= + =
1 1
4
a
d
= −
=
10 1 9 1 9 4 35a a d= + = − + × =
( )f x ( )f x
( ) 3
x
xf x
e
= ( ) x x
xf x e e−= − ( ) x
xf x e
=
( ) xf x xe=
( )y f x= R ( )0, ∞+
( )y f x= ( )0, ∞+【详解】由图象可知，函数 为 上的奇函数，且在 上先增后减.
对于 A 选项，函数 的定义域为 ， ，该函数为奇
函数，当 时， ， .
当 时， ，此时函数 单调递增；当 时， ，此时函
数 单调递减，合乎题意；
对于 B 选项，函数 的定义域为 ，不合乎题意；
对于 C 选项，函数 的定义域为 ， ， ， ，
该函数不是奇函数，不合乎题意；
对于 D 选项，函数 的定义域为 ，当 时， ，
，该函数在区间 上单调递增，不合乎题意.
故选：A.
【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数
值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有 名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可
以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内
外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照 ， ， 分组，
绘成频率分布直方图如下：
嘉宾
评分
( )y f x= R ( )0, ∞+
( ) 3
x
xf x
e
= R ( ) ( )x x
x xf x f x
e e−
−− = = − = −
0x > ( ) x
xf x e
= ( ) 1
x
xf x e
−′ =
0 1x< < ( ) 0f x′ > ( )y f x= 1x > ( ) 0f x′ <
( )y f x=
( ) x x
xf x e e−= −
{ }0x x ≠
( ) x
xf x e
= R ( )1f e− = − ( ) 11f e
= ( ) ( )1 1f f− ≠ −
( ) xf x xe= R 0x > ( ) xf x xe=
( ) ( )1 0xf x x e′ = + > ( )0, ∞+
6
[ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100
A B C D E F
96 95 96 89 97 98嘉宾评分的平均数为 ，场内外的观众评分的平均数为 ，所有嘉宾与场内外的观众评分的
平均数为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
计算出 、 ，进而可得出结论.
【详解】由表格中的数据可知， ，
由频率分布直方图可知， ，则 ，
由于场外有数万名观众，所以， .
故选：B.
【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，
考查计算能力，属于基础题.
6.已知角 的终边在直线 上，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【
1x 2x
x
1 2
2
x xx
+= 1 2
2
x xx
+> 1 2
2
x xx
+<
1 2
1 2 2
x xx x x
+> > >
1x 2x
1
96 95 96 89 97 98 95.176x
+ + + + += ≈
2 75 0.2 85 0.3 95 0.5 88x = × + × + × = 1 2x x>
1 2
2 12
x xx x x
+< < <
α 2y x= − tan 4
πα + =
3 2 2− − 3 2 2+ 3 2 2− + 3 2 2−【解析】
【分析】
由直线的倾斜角和斜率的关系得出 ，然后利用两角和的正切公式可得出结果.
【详解】由题意可知，直线 的斜率为 ，
由两角和的正切公式得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
7.四棱锥 的底面是正方形，且各条棱长均相等，点 是 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出图形，设四棱锥 的各条棱的棱长为 ，计算出 各边边长，利用余弦定
理求出 ，即为所求.
【详解】如下图所示，设四棱锥 的各条棱的棱长为 ，连接 、 交于点 ，
则 为 的中点，且 平面 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
四边形 正方形， ，则 ，
所以，异面直线 与 所成角为 或其补角，
， ， ，
为
tan 2α = −
2y x= − tan 2α = −
( )2tan 1 2 1tan 2 1 2 2 34 1 tan 1 2
π αα α
+ − + + = = = − − = − − +
V ABCD− P VC AP
CD
3
5
5
5
5
10
3 5
10
V ABCD− 4 PAB∆
cos PAB∠
V ABCD− 4 AC BD O
O AC VO ⊥ ABCD OP OC E PE
ABCD //AB CD∴ 4 2AC =
AP CD PAB∠
4VA VC= = 2 2 2VA VC AC+ = VA VC∴ ⊥为 的中点， ，
、 分别为 、 的中点， 且 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， ，
，由勾股定理得 ，
是边长为 的等边三角形， 为 的中点， ，
，由余弦定理得 .
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
8.若两个非零向量 、 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设平面向量 与 的夹角为 ，由已知条件得出 ，在等式 两边平方，
利用平面向量数量积的运算律可求得 的值，即为所求.
【详解】设平面向量 与 的夹角为 ， ，可得
，
在等式 两边平方得 ，化简得 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应
用，考查计算能力，属于中等题.
9.已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线 的
O AC 1 2 22VO AC= =
E P OC VC //PE VO∴ 1 22PE VO= =
VO ⊥ ABCD PE∴ ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD PE AC∴ ⊥
3 3 24AE AC= = 2 2 2 5PA PE AE= + =
VBC∆ 4 P VC 4sin 2 33PB
π∴ = =
4AB =
2 2 2 3 5cos 2 10
PA AB PBPAB PA AB
+ −∠ = =⋅
a b ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − = 2a b a b+ = − a b
3
5
3
5
± 1
2
1
2
±
a b θ a b= 2a b a b+ = −
cosθ
a b θ ( ) ( ) 2 22 2
0a b a b a b a b+ ⋅ − = − = − =
a b=
2a b a b+ = − 2 2 2 2
2 4 8 4a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ + 3cos 5
θ =
1F 2F ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 2F C一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点 、 ，过点 作 轴的垂线，垂足恰为 ，则
双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设点 位于第二象限，可求得点 的坐标，再由直线 与直线 垂直，转化为两直线
斜率之积为 可得出 的值，进而可求得双曲线 的离心率.
【详解】设点 位于第二象限，由于 轴，则点 的横坐标为 ，纵坐标为
，即点 ，
由题意可知，直线 与直线 垂直， ， ，
因此，双曲线的离心率为 .
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出 、 、 的等量关系，考查计
算能力，属于中等题.
10.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
比较 、 、 的大小关系，结合指数函数 的单调性可得出 、 、 的大小关
系.
A B B x 1F
C
2 3 2 3 5
B B 2BF by xa
=
1−
2
2
b
a
C
B 1BF x⊥ B Bx c= −
B B
b bcy xa a
= − = , bcB c a
−
2BF by xa
=
2 2 2BF
bc
b aak c a b
−
= = − = −
2
2 2b
a
∴ =
2 2 2
2 21 3c a b be a a a
+= = = + =
a b c
2
3a =
2
32
3b =
2
32
32
3c
=
a b c< < c b a< < c a b< < a c b< <
1 2
3
2
32
3
2
3
x
y =
a b c【详解】由于指数函数 为 上的减函数， ，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查指数幂的大小比较，涉及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中
等题.
11.过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，且 ，抛
物线的准线 与 轴交于 ， 的面积为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
设点 、 ，并设直线 的方程为 ，由 得 ，
将直线 的方程代入韦达定理，求得 ，结合 的面积求得 的值，结合焦点弦长
公式可求得 .
【详解】设点 、 ，并设直线 的方程为 ，
将直线 的方程与抛物线方程联立 ，消去 得 ，
由韦达定理得 ， ，
， ， ， ， ，
，可得 ， ，
抛物线的准线 与 轴交于 ，
的面积为 ，解得 ，则抛物线的方程为 ，
【
2
3
x
y = R
20 32 2 21 3 3 3
∴ = > >
a c b< <
( )2 2 0y px p= > F A B 2AF FB=
l x C ACF∆ 8 2 AB =
6 9 9 2 6 2
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2
px my= + 2AF FB= 1 22y y= −
AB 1y ACF∆ p
AB
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB x my p= +
AB
2
2
2
px my
y px
= +
=
x 2 22 0y pmy p− − =
1 2 2y y pm+ = 2
1 2y y p= −
1 1,2
pAF x y = − −
2 2,2
pFB x y = −
2AF FB=
1 22y y∴− = 1 22y y∴ = −
2 2
1 2 22y y y p∴ = − = −
2
2
2y p= 1 22 2y y p= =
l x ,02
pC −
ACF∆ 21 22 8 22 2p p p× × = = 4p = 2 8y x=所以， .
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能
力，属于中等题.
12.在四面体 中， ， ，则四面体 的
外接球的表面积为（ ）
A. B. C. s D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出图形，根据题中数据证明出平面 平面 ，并找出球心的位置，列等式求出外
接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.
【详解】如下图所示：
取 的中点 ，连接 、 ，设 和 的外心分别为点 、 ，分别过点
、 作平面 和平面 的垂线交于点 ，则点 为外接球球心，
由题意可知， 和 都是边长为 的等边三角形，
为 的中点， ，且 ，
， ， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 平面
，
2
2 2
1 2
1 2
5
24 98 8
py yAB x x p p
+= + + = + = + =
ABCD 2AB AC BC BD CD= = = = = 6AD = ABCD
16
3
π
5π 20π 20
3
π
ABC ⊥ BCD
BC M AM DM ABC∆ BCD∆ F E
F E ABC BCD O O
ABC∆ BCD∆ 2
M BC AM BC∴ ⊥ 3AM DM= =
6AD = 2 2 2AM DM AD∴ + = AM DM∴ ⊥
BC DM M= AM∴ ⊥ BCD AM ⊂ ABC ∴ ABC ⊥
BCD易得 ， ，
平面 ， 平面 ， ，
同理可得 ，则四边形 为菱形， ， 菱形 为正方形，
平面 ， 平面 ， ，
所以外接球的半径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 .
故选：D.
【点睛】本题考查外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算出外接球的半径是解答的关
键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数 取得最小时
对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，解得 ，即点 ，
1 3
3 3ME MF AM= = = 2 2 3
3 3BE DM= =
AM ⊥ BCD OE ⊥ BCD //OE AM∴
//OF DM OEMF AM DM⊥ ∴ OEMF
OE ⊥ BCD BE ⊂ BCD OE BE∴ ⊥
2 2 15
3OB OE BE= + =
ABCD 2 204 3OBπ π× =
x y
3
2
3 6
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
2z x y= +
1
2z x y= +
3
2
3 6
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
2
3 6
x y
x y
+ =
− =
3
1
x
y
=
= −
( )3, 1A −平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的截距
最小，此时 取最小值，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想
的应用，属于基础题.
14.已知函数 为奇函数，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义得出 ，结合对数的运算性质可求得实数 的值.
【 详 解 】 由 于 函 数 为 奇 函 数 ， 则 ， 即
，
，整理得 ，解得 .
当 时，真数 ，不合乎题意；
当 时， ，解不等式 ，解得 或 ，此时函数
的定义域为 ，定义域关于原点对称，合乎题意.
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应
用，考查计算能力，属于中等题.
15.如图是一个不规则的几何图形，为了求它的面积，在图形中画了一个边长为 的正方形，
现向图形中随机投掷石子，并记录如下：
2z x y= + 2z x y= + ( )3, 1A − x
z ( )min 3 2 1 1z = + × − =
1
( ) 1ln1
xf x ax
−= − a =
1−
( ) ( )f x f x− = − a
( ) 1ln1
xf x ax
−= −
( ) ( )f x f x− = −
1 1 1ln ln ln1 1 1
x x ax
ax ax x
− − − −= − =+ − −
1 1
1 1
x ax
ax x
− − −∴ =+ −
2 2 21 1x a x− = − 1a = ±
1a = 1 11
x
x
−= = −−
1a = − ( ) 1ln 1
xf x x
−= +
1 01
x
x
− >+ 1x < − 1x > ( )y f x=
( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞
1a = −
1−
1m投掷频次 次 次 次
石子落在正方形内（含边上）的次数
石子落在阴影内的次数
请估计该不规则的几何图形的面积约为______ （保留整数）.
【答案】
【解析】
【分析】
计算出几次试验中石子落在正方形区域的频率，利用频率与概率的关系得出石子落在正方形
区域的概率，利用几何概型的概率公式可求得该不规则的几何图形的面积.
【 详 解 】 三 次 试 验 中 ， 石 子 落 在 正 方 形 区 域 的 频 率 分 别 为 ，
， ，
利用频率接近概率思想可知，石子落在正方形区域的概率为 ，
设不规则几何图形的面积为 ，由几何概型的概率公式可得 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查随机模拟 思想求解不规则图形的面积，涉及几何概型概率公式的应用，
考查计算能力，属于基础题.
16.如图，在 中， ， ，点 在线段 上，且 ，
，则 的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
的
150 570 860
38 142 214
112 428 646
2m
4
1
38 0.253150P = ≈
2
142 0.249570P = ≈ 3
214 0.249860P = ≈
10.25 4
=
2Sm 1 1
4S
= 4S =
4
ABC∆ 2AC =
3A
π∠ = D AB 2AD DB=
sin 7 sinACD BCD∠ = ∠ ABC∆
3 3
2在 和 利用正弦定理建立等式，结合条件 可求得
的值，在 中分别利用正弦定理和余弦定理求解 、 ，进而可求得
的面积.
【详解】在 中，由正弦定理得 ，即 ，①
在 中，由正弦定理得 ，②
又 ，③，
联立①②③得， ，
在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
，解得 ，
因此， 的面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力，属
于中等题.
三、解答题：本题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答．
（一）必考题：共 60 分.
17.某工厂为生产一种标准长度为 的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该
精密器件的实际长度为 ，“长度误差”为 ，只要“长度误差”不超过
就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产 件．已知每
ACD∆ BCD∆ sin 7 sinACD BCD∠ = ∠
sin B ABC∆ BC AC ABC∆
ACD∆
sin sin
AD CD
ACD A
=∠ ∠ sin sin 3
AD CD
ACD π=∠
BCD∆
sin sin
BD CD
BCD B
=∠
sin 7 sinACD BCD∠ = ∠
21sin 7B =
ABC∆ sinsin 3
BC AC
Bπ =
32 2 7
21
7
BC
×
= =
2 2 2 2 3 1cos 2 2 2 2
AC AB BC ABA AC AB AB
+ − −= = =⋅ × ×
2 2 3 0AB AB− − =
0AB > 3AB =
ABC∆ 1 1 3 3 3sin 3 22 3 2 2 2ABCS AB AC
π
∆ = ⋅ = × × × =
3 3
2
40cm
acm 40a cm− 0.03cm
1000件产品的成本为 元，每件合格品的利润为 元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机
抽取 件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：
（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；
（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.
【答案】（1）昼、夜批次合格品概率估计值分别为 、 ；（2） 元.
【解析】
【分析】
（1）分别计算出昼、夜批次 个样本中合格品的个数，据此可求得这两个批次中合格品的
概率；
（2）分别计算出昼、夜批次 件产品的利润，相加即可得出结果.
【详解】（1）由样本数据可知，在昼批次的 个样本中有 个不合格品，有 个合格品，合
格品的比率为 ，因此昼批次合格品概率估计值为 .
在夜批次的 个样本中有 个不合格品，有 个合格品，合格品的比率为 ，因此夜
批次合格品概率估计值为 ；
（2）昼批次合格品的概率为 ，不合格品的概率为 ，所以 件产品中合格品的均值
为 件，不合格品的均值为 件，所以利润为 （元）；
夜批次合格品的概率为 ，不合格品的概率为 ，所以 件产品中合格品的均值为
件，不合格品的均值为 件，所以利润为 （元）．
故这台车床一天的总利润的平均值为 （元）.
【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查概率与平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.
18.已知 为数列 的前 项和，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
5 10
20
0.9 0.8 15500
20
1000
20 2 18
18 0.920
= 0.9
20 4 16 16 0.820
=
0.8
0.9 0.1 1000
900 100 900 10 100 5 8500× − × =
0.8 0.2 1000
800 200 800 10 200 5 7000× − × =
8500 7000 15500+ =
nS { }na n 2 6n nS a= −
{ }na
n
n
nb a
= { }nb n nT【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）令 可求得 的值，再令 ，由 得出 ，两式相减可
得出数列 为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列 的通项公式；
（2）求得 ，利用错位相减法可求得 .
【详解】（1）当 时， ，所以 ；
当 时，由 ，可得 ，
上述两个等式相减得 ， ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ；
（2）由（1）可知 ，
故 ，①
.②
① ②，得 ，
化简得 ．
【点睛】本题考查利用 与 之间的关系求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算
能力，属于中等题.
19.如图，在四棱柱 中，底面 是边长为 的菱形， .
1
2
3n na −= ( )2 1 3 1
8
n
n
nT
− +=
1n = 1a 2n ≥ 2 6n nS a= − 1 12 6n nS a− −= −
{ }na { }na
13
2
n
n
nb
−⋅= nT
1n = 1 12 6S a= − 1 2a =
2n ≥ 2 6n nS a= − 1 12 6n nS a− −= −
12 n n na a a−= −
1
1
3
n
n
a
a −
∴ =
{ }na 2 1
3
1
1
1 22 3 3
n
n na
−
−
= × =
13
2
n
n
nb
−×=
0 1 11 3 2 3 3
2 2 2
n
n
nT
−× × ×= + +⋅⋅⋅+
( ) 11 2 1 31 3 2 3 33 2 2 2 2
n n
n
n nT
−− ×× × ×= + +⋅⋅⋅+ +
− ( ) ( )0 1 1
1 1 3 1 2 3 11 3 3 3 3 322 2 2 2 2 1 3 2 4
n nn n n
n
nn nT
− − − ⋅ −× × ×− = + +⋅⋅⋅+ − = − =−
( )2 1 3 1
8
n
n
nT
− +=
nS na
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 2 1 1AB CB=（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， 是等边三角形，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于点 ，可知点 为 的中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得
出 ，利用菱形的性质可得出 ，可得出 平面 ，结合面面垂
直的判定定理可得出结论；
（2）计算出 ，并推导出 平面 ， 平面 ，进而可得出 到平面
的距离与点 到平面 的距离相等，即为 .
【详解】（1）如图，设 与 相交于点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形，故 ， 为 的中点.
又 ，故 ．
又 平面 ， 平面 ，且 ，故 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）底面 是边长为 的菱形，又 ，所以 ， .
又 是等边三角形，可得 ， ， ．
由（1）可知 ， ， 平面 ，
平面 ，则 ，所以 ．
1 1BDD B ⊥ ABCD
60DAB∠ = 1DB B∆ 1D 1C BD
6
2
AC BD O O AC
1AC B O⊥ AC BD⊥ AC ⊥ 1 1BDD B
1B C 1B C ⊥ 1C BD 1 1 //D B 1C BD 1B
1C BD 1D 1C BD 1
2
B C
AC BD O 1B O
ABCD AC BD⊥ O AC
1 1AB CB= 1B O AC⊥
BD ⊂ 1 1BDD B 1B O ⊂ 1 1BDD B 1BD B O O= AC ⊥ 1 1BDD B
AC ⊂ ABCD 1 1BDD B ⊥ ABCD
ABCD 2 60DAB∠ = 2BD = 3AO CO= =
1DB B∆ 1B O BD⊥ 1 1 2BD BB DB= = =
1 3B O =
1B O AC⊥ AC BD O= 1B O∴ ⊥ ABCD
OC ⊂ ABCD 1B O OC⊥
1 6B C =设 交 于点 ，
又 ， ，所以平行四边形 为菱形，故 ．
又 ， ， ，所以 平面 ．
平面 ，所以 .
，所以 平面 ，故 为 在平面 内的射影，故点 到
平面 的距离为 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
故点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以点 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计
算能力，属于中等题.
20.已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使
1B C 1BC H
1 2BB = 2BC = 1 1BCC B 1 1B C BC⊥
BD AC⊥ 1BD B O⊥ 1AC B O O= BD ⊥ 1ACB
1B C ⊂ 1ACB 1BD B C⊥
1BD BC B∩ = 1B C ⊥ 1C BD H 1B 1C BD 1B
1C BD 1
1
6
2 2
B CB H = =
1 1 //D B BD BD ⊂ 1C BD 1 1 //D B 1C BD
1B 1C BD 1D 1C BD
1D 1C BD 6
2
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )3,1 6
3
C
( )4,0M A B AM MBλ= AB D，求证：点 在定直线上.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出关于 、 、 的方程组，解出 、 的值，进而可得出椭圆 的标准
方程；
（2）设点 、 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线
的方程与椭圆 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点 的坐标表达式，
并代入韦达定理，消去 ，可得出点 的横坐标，进而可得出结论.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ， .
所以椭圆 的方程是 ；
（2）设直线 的方程为 ， 、 、 ，
由 ，得 .
，则有 ， ，
由 ，得 ，由 ，可得 ，
，
AD DBλ= − D
2 2
16 2
x y+ =
a b c 2a 2b C
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y AB 4x my= +
C D
λ D
2 2
2 2 2
6
3
3 1 1
c
a
a b
c a b
=
+ =
= −
2 6a = 2 2b =
C
2 2
16 2
x y+ =
AB 4x my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y
2 2
4
16 2
x my
x y
= + + =
( )2 23 8 10 0m y my+ + + =
( ) ( )2 2 28 40 3 0 5m m m∆ = − + > ⇒ > 1 2 2
8
3
my y m
−+ = + 1 2 2
10
3y y m
= +
AM MBλ=
1 2y yλ− = AD DBλ= −
1 2
0
1 2
0
1
1
x xx
y yy
λ
λ
λ
λ
− = − − = −
( ) 21 21 2 1 1 2
0
1 2 1
2
2
1024 4 2 2 334 4 481 1 21 3
mmy myx x my my y mx y my y
my
λλ
λ λ
×+ − +− += = = + = + = + =−− − ++ +，
综上，点 在定直线 上.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推
理能力，属于中等题.
21.设函数 ， 是函数 的导数.
（1）证明： 在区间 上没有零点；
（2）证明：在 上， .
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的基本性质可证得 对任意的 恒成立，进而可得出结
论；
（2）由 以及 ，只需证 对任
意的 恒成立，通过构造函数 ，利用导数分析该函数在区间
上的单调性，结合单调性可证明出结论成立.
【详解】（1） ， ，
当 时， ，
因此，函数 区间 上没有零点；
（2） ，
在
2
1 2 1 1 2
0
1 2 1
2
2
1022 2 53
81 21 3
y y y y y my y my y m
my
λ
λ
×− += = = = = −−− ++ +
D 3
2x =
( ) ( )2 cos sinf x x x x= + − ( )f x′ ( )f x
( )f x′ ,2 2
π π −
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x >
( ) 0f x′ > ,2 2x
π π ∈ −
( ) ( ) sin2 cos 2 cos
xf x x x x
= + − + 2 cos 0x+ > sin 02 cos
xx x
− >+
( )0,x∈ +∞ ( ) sin
2 cos
xF x x x
= − +
( )0,+∞
( ) ( )2 cos sinf x x x x= + − ( ) 2 sinf x x x∴ = −′
,2 2x
π π ∈ −
( ) 2 sin 2 sin 2 2 02f x x x x x x
π= − ≥ >′ − > − − >
( )y f x= ′ ,2 2
π π −
( ) ( ) ( ) sin2 cos sin 2 cos 2 cos
xf x x x x x x x
= + − = + − + 由 ，所以 恒成立，故只需证明 即可．
设 ，
，
故函数 在区间 上单调递增，所以 ．
所以当 时， ，即 .
【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式以及研究函数的零点问题，利用导数分析函数的
单调性是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所
做的第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）把曲线 向下平移 个单位，然后各点横坐标变为原来的 倍得到曲线 （纵坐标不
变），设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在直线 的参数方程中消去参数 可得出直线 的普通方程，在曲线 的极坐标方程两边
同时乘以 得 ，进而可化简得出曲线 的直角坐标方程；
（2）根据变换得出 的普通方程为 ，可设点 的坐标为 ，利用
点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.
[ ]cos 1,1x∈ − 2 cos 0x+ > sin 02 cos
xx x
− >+
sin( ) 2 cos
xF x x x
= − +
( ) ( ) ( )
( )
( )
22
2 2 2
1 cos 22cos 1 cos 2cos 31 0
2 cos 2 cos 2 cos
xx x xF x
x x x
+ ++ + += − = =
+ +
′ >
+
( ) sin
2 cos
xF x x x
= − +
( )0,+∞ ( ) ( )0 0F x F> =
0x > ( ) 0F x > ( ) 0f x >
xOy l
2 2 2
2
x t
y t
= +
= −
t O x
1C 2sinρ θ=
l 1C
1C 1 2 2C
P 2C l
: 2 4 2 0l x y+ − = ( )22: 1 1C x y+ − = 2 10
5
l t l 1C
ρ 2 2 sinρ ρ θ= 1C
2C
2
2 14
x y+ = P ( )2cos ,sinθ θ【详解】（1）由 （ 为参数），得 ，化简得 ，
故直线 的普通方程为 .
由 ，得 ，又 ， ， .
所以 的直角坐标方程为 ；
（2）由（1）得曲线 的直角坐标方程为 ，向下平移 个单位得到
，
纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍得到曲线 的方程为 ，
所以曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
故点 到直线 的距离为 ，
当 时， 最小为 .
【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用
椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.
[选修 4-5：不等式选讲]
23.已知 ， ，函数 的最小值为 .
（1）求证： ；
（2）若 恒成立，求实数 的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）将函数 表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证
得结论成立；
2 2 2
2
x t
y t
= +
= −
t 2 2 2
2
x
y
− = −
− 2 4 2 0x y+ − =
l 2 4 2 0x y+ − =
2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= 2 2 2x yρ = + cosx ρ θ= siny ρ θ=
1C ( )22 1 1x y+ − =
1C ( )22 1 1x y+ − = 1
2 2 1x y+ =
2 2C
2
2 14
x y+ =
2C 2cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
P l 2 2 sin 4 22cos 2sin 4 2 4
5 5
d
πθθ θ
+ − + − = =
4
πθ = d 2 10
5
0a > 0b > ( ) 2f x x a x b= + + − 1
2
2 1a b+ =
2a b tab+ ≥ t
9
( )y f x=（2）由 可得出 ，并将代数式 与 相乘，展开后利用基本不
等式可求得 的最小值，进而可得出实数 的最大值.
【详解】（1） .
当 时，函数 单调递减，则 ；
当 时，函数 单调递增，则 ；
当 时，函数 单调递增，则 .
综上所述， ，所以 ；
（2）因为 恒成立，且 ， ，所以 恒成立，即
.
因为 ，当且仅当 时等
号成立，
所以 ，实数 的最大值为 .
【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，
考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2a b tab+ ≥ 1 2t a b
≤ + 1 2
a b
+ 2+a b
1 2
a b
+ t
( )
3 , 2
2 , 2
3 ,
ax a b x
af x x a x b x a b x b
x a b x b
− − + < −
= + + − = + + − ≤ −
2
a x b− ≤ ≤ ( )y f x= ( ) ( )
2
af f x f b − ≤ ≤
x b> ( )y f x= ( ) ( )f x f b>
( ) 1
2 2 2
a af x f b ≥ − = + = 2 1a b+ =
2a b tab+ ≥ 0a > 0b > 2a bt ab
+≤
min
2 1t b a
≤ +
( )2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 9b a b aa bb a b a a b a b
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
1
3a b= =
9t ≤ t 9
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