2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合 和 ,即可根据交集的运算求出 .
【详解】∵ ,而 ,
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题.
2.设 （ 是虚数单位），则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出 ，即可根据复数的模计算公式求出 ．
【详解】∵ ，∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
{ }| 1 4M x x= − < < { }2| 3 10 0N x x x= + − ≤ M N =
{ }| 1 5x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤
{ }| 1 1x x− < ≤ { }| 5 4x x− ≤ <
M N M N∩
{ } { }2| 3 10 0 5 2N x x x x x= + − ≤ = − ≤ ≤ { }| 1 4M x x= − < <
M N = { }| 1 2x x− < ≤
22 (1 )1z ii
= + ++ i | |z =
2 5
z | |z
22 )1 1 2 1(1z i i i ii
= − += + =+ ++ 2 2| | 1 1 2z = + =3.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 25 B. 32 C. 35 D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】
设出等差数列 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得
．
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则
，解得 ，∴ ，即有 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前 项和公式的应
用，属于容易题．
4.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有 名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可
以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内
外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照 ， ， 分组，
绘成频率分布直方图如下：
嘉宾
评分
{ }na n nS 3 7a = 3 9S = 10a =
{ }na
10a
{ }na 1a d
3 1
3 1
2 7
3 3 9
a a d
S a d
= + =
= + = 1 1, 4a d= − = 4 5na n= − 10 4 10 5 35a = × − =
n
6
[ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100
A B C D E F
96 95 96 89 97 98嘉宾评分的平均数为 ，场内外的观众评分的平均数为 ，所有嘉宾与场内外的观众评分的
平均数为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出 、 ，进而可得出结论.
【详解】由表格中的数据可知， ，
由频率分布直方图可知， ，则 ，
由于场外有数万名观众，所以， .
故选：B.
【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，
考查计算能力，属于基础题.
5.已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
1x 2x
x
1 2
2
x xx
+= 1 2
2
x xx
+> 1 2
2
x xx
+<
1 2
1 2 2
x xx x x
+> > >
1x 2x
1
96 95 96 89 97 98 95.176x
+ + + + += ≈
2 75 0.2 85 0.3 95 0.5 88x = × + × + × = 1 2x x>
1 2
2 12
x xx x x
+< < <
( )f x ( )f x
3( ) 3
xf x x
= − e e( )
x x
f x x
−−= 2( )f x xx
= −
| |e( )
x
f x x
=根据图象可知，函数 为奇函数，以及函数在 上单调递增，且有一个零点，即可
对选项逐个验证即可得出．
【详解】首先对 4 个选项进行奇偶性判断，可知， 为偶函数，不符合题意，
排除 B；
其次，在剩下的 3 个选项,对其在 上的零点个数进行判断, 在 上无
零点, 不符合题意，排除 D；然后,对剩下的 2 个选项,进行单调性判断, 在
上单调递减, 不符合题意，排除 C.
故选：A．
【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑
推理能力，属于容易题．
6.若两个非零向量 、 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设平面向量 与 的夹角为 ，由已知条件得出 ，在等式 两边平方，
利用平面向量数量积的运算律可求得 的值，即为所求.
【详解】设平面向量 与 的夹角为 ， ，可得
，
在等式 两边平方得 ，化简得 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应
用，考查计算能力，属于中等题.
( )f x ( )0, ∞+
e e( )
x x
f x x
−−=
( )0, ∞+ | |e( )
x
f x x
= ( )0, ∞+
2( )f x xx
= −
( )0, ∞+
a b ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − = 2a b a b+ = − a b
3
5
3
5
± 1
2
1
2
±
a b θ a b= 2a b a b+ = −
cosθ
a b θ ( ) ( ) 2 22 2
0a b a b a b a b+ ⋅ − = − = − =
a b=
2a b a b+ = − 2 2 2 2
2 4 8 4a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ + 3cos 5
θ =7.已知 为等比数列， ， ，则 （ ）
A. 9 B. －9 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的下标和性质可求出 ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即
可求出 .
【详解】∵ ,∴ ,又 ,可解得 或
设等比数列 的公比为 ,则
当 时, , ∴ ；
当 时, ,∴ .
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
8.已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线 的
一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点 、 ，过点 作 轴的垂线，垂足恰为 ，则
双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设点 位于第二象限，可求得点 的坐标，再由直线 与直线 垂直，转化为两直线
{ }na 5 8 3a a+ = − 4 9 18a a = − 2 11a a+ =
21
2
21
4
−
5 8,a a
2 11a a+
4 9 5 8+ = + 4 9 5 8 18a a a a= = − 5 8 3a a+ = − 5
8
6
3
a
a
= −
=
5
8
3
6
a
a
=
= −
{ }na q
5
8
6
3
a
a
= −
=
3 8
5
1
2
aq a
= = − 35
2 11 83
6 1 2131 2 2
2
aa a a qq
− + = + = + × − = −
5
8
3
6
a
a
=
= −
3 8
5
2aq a
= = − ( ) ( )35
2 11 83
3 216 22 2
aa a a qq
+ = + = + − × − =−
1F 2F ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 2F C
A B B x 1F
C
2 3 2 3 5
B B 2BF by xa
=斜率之积为 可得出 的值，进而可求得双曲线 的离心率.
【详解】设点 位于第二象限，由于 轴，则点 的横坐标为 ，纵坐标为
，即点 ，
由题意可知，直线 与直线 垂直， ， ，
因此，双曲线的离心率为 .
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出 、 、 的等量关系，考查计
算能力，属于中等题.
9.已知 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换
底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.
【详解】∵ ,即 ,
,即 ,
,即 ,
∴ ,即有 .
∵ ,即 ,
∴ .
综上, .
1−
2
2
b
a
C
B 1BF x⊥ B Bx c= −
B B
b bcy xa a
= − = , bcB c a
−
2BF by xa
=
2 2 2BF
bc
b aak c a b
−
= = − = −
2
2 2b
a
∴ =
2 2 2
2 21 3c a b be a a a
+= = = + =
a b c
0.3log 0.5a = 3log 0.5b = 0.5log 0.9c =
ab ac a b< < + a b ab ac+ < <
ac ab a b< < + ab a b ac< + <
0.3 0.3 0.30 log 1 log 0.5 log 0.3 1= < < = 0 1a< <
3 3log 0.5 log 1 0< = 0b <
0.5 0.5 0.50 log 1 log 0.9 log 0.5 1= < < = 0 1c< <
0,0 1ab ac< < < ab ac<
0.5 0.5 0.5log 0.3 log 3 log 01 .91 ca b
+ += = = 0 1a b cab
+< = <
0ab a b< + <
ab a b ac< + F A B 2AF FB=
l x C ACF∆ 8 2 AB =
6 9 9 2 6 2
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2
px my= + 2AF FB= 1 22y y= −
AB 1y ACF∆ p
AB
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB x my p= +
AB
2
2
2
px my
y px
= +
=
x 2 22 0y pmy p− − =
1 2 2y y pm+ = 2
1 2y y p= −
1 1,2
pAF x y = − −
2 2,2
pFB x y = −
2AF FB=
1 22y y∴− = 1 22y y∴ = −
2 2
1 2 22y y y p∴ = − = −
2
2
2y p= 1 22 2y y p= =
l x ,02
pC −
ACF∆ 21 22 8 22 2p p p× × = = 4p = 2 8y x=
2
2 2
1 2
1 2
5
24 98 8
py yAB x x p p
+= + + = + = + =故选：B.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能
力，属于中等题.
11.已知函数 （ ， ， ），将函数 的图象向左平
移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则 是 的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据 图象求出 函数 的解 析式,再由平 移知识得 到 的解 析式,然后分 别找出
和 的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】设 ,根据图象可知,
,
再由 , 所以 ,
∴
将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,
( ) cos( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω | | 2
ϕ π< ( )f x
3
4
π
( )g x 1( ) 3f x = 3
2 12 3
xg
π + =
( )g x ( )f x
1( ) 3f x = 3
2 12 3
xg
π + =
( )( ) sing x A xω ϕ′= +
3 71, 24 6 12A T T
π π π ω = = − − ⇒ = ⇒ =
7 7sin 2 112 12g
π π ϕ ′− = × − + =
5 2 ( )3 k k Z
πϕ π′ = + ∈
( ) sin 2 3g x x
π = −
( )g x 3
4
π
( )f x∴ .
, ,
令 ,则 ,显然,
∴ 是 的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式
的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属
于中档题.
12.2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（ ）疫情，并快速席卷我国其他地区，
传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治
疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月
7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新
冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、
不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护
人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高
危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 （ ）且相互独立，该家庭至少检
测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ，当 时， 最大，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分别求出事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件 B：检测6 个
人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出 的表达式,再根据基本不等式即可求出.
3 3( ) sin 2 cos 24 4 3 3f x g x x x
π π π π = − = − − = −
1 1( ) cos 23 3 3f x x
π = ⇔ − =
3sin2 12 6 3
xg x
π π + = − =
6x
πθ = − 23 1sin cos2 1 2sin3 3
θ θ θ= ⇒ = − = 1 3cos2 sin3 3
θ θ= ⇒ =
1( ) 3f x = 3
2 12 3
xg
π + =
COVID 19−
p 0 1p< <
( )f p 0p p= ( )f p 0p =
61 3
− 6
3
1
2
31 3
−
( )f p【详解】设事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”,
事件 B：检测 6 个人确定为“感染高危户”,
∴ , .
即
设 ,则
∴
当且仅当 即 时取等号,即 .
故选：A．
【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概
率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查
学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数 取得最小时
对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
( ) ( )41P A p p= − ( ) ( )51P B p p= −
( ) ( ) ( )( )4 5 41 1( ) 2 1f p p p p p p p p− + − = − −=
1 0x p= − > ( ) ( )( ) ( )4 2 41 1( ) 1g x x x x xf p x= − + = −=
( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2
2 4 2 2 2 2 21 1 41 2 22 2 3 27
x x x
g x x x x x x
− + + = − = × − × × ≤ × =
2 22 2x x− = 6
3x = 0
61 3p p= = −
x y
3
2
3 6
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
2z x y= +
1
2z x y= +
3
2
3 6
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的截距
最小，此时 取最小值，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想
的应用，属于基础题.
14.已知函数 为奇函数，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义得出 ，结合对数的运算性质可求得实数 的值.
【 详 解 】 由 于 函 数 为 奇 函 数 ， 则 ， 即
，
，整理得 ，解得 .
当 时，真数 ，不合乎题意；
当 时， ，解不等式 ，解得 或 ，此时函数
的定义域为 ，定义域关于原点对称，合乎题意.
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应
用，考查计算能力，属于中等题.
2
3 6
x y
x y
+ =
− =
3
1
x
y
=
= −
( )3, 1A −
2z x y= + 2z x y= + ( )3, 1A − x
z ( )min 3 2 1 1z = + × − =
1
( ) 1ln1
xf x ax
−= − a =
1−
( ) ( )f x f x− = − a
( ) 1ln1
xf x ax
−= −
( ) ( )f x f x− = −
1 1 1ln ln ln1 1 1
x x ax
ax ax x
− − − −= − =+ − −
1 1
1 1
x ax
ax x
− − −∴ =+ −
2 2 21 1x a x− = − 1a = ±
1a = 1 11
x
x
−= = −−
1a = − ( ) 1ln 1
xf x x
−= +
1 01
x
x
− >+ 1x < − 1x > ( )y f x=
( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞
1a = −
1−15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、
商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音
阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.
【答案】32
【解析】
【分析】
按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.
【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有
种；
②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上,则有 种；
综上，共有 种.
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原
理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.
16.在三棱锥 中， ，三角形 为等边三角形，二面角 的余
弦值为 ，当三棱锥 的体积最大值为 时，三棱锥 的外接球的表面积
为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角 的平面角,再设出 的长,
即可求出三棱锥 的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥 的体积
最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关
系即可求出三棱锥 的外接球的表面积.
2 2
2 22 3 24A A× × × =
2 2
2 22 8A A =
24 8 32+ =
P ABC− AB BC⊥ PAC P AC B− −
6
3
− P ABC− 1
3 P ABC−
8π
P AC B− − ,AB BC
P ABC− P ABC−
P ABC−【详解】如图所示：
过点 作 面 ,垂足为 ,过点 作 交 于点 ,连接 .
则 为二面角 的平面角的补角,即有 .
∵易证 面 ,∴ ,而三角形 为等边三角形, ∴ 为 的中点.
设 , .
∴ .
故三棱锥 的体积为
当且仅当 时, ,即 .
∴ 三点共线.
设三棱锥 的外接球的球心为 ,半径为 .
过点 作 于 ,∴四边形 为矩形.
则 , , ,
在 中, ,解得 .
三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,
P PE ⊥ ABC E E DE AC⊥ AC D PD
PDE∠ P AC B− − 6cos 3PDE∠ =
AC ⊥ PDE AC PD⊥ PAC D AC
,AB a BC b= = 2 2AC a b c= + =
3 3sin 2 3 2
cPE PD PDE c= ⋅ ∠ = × × =
P ABC−
2 2 31 1 1
3 2 2 12 12 12 2 24
c c c a b cV ab abc ab
+= × × = = × ≤ × =
2
2a b c= =
3
max
1
24 3
cV = = 2, 2a b c= = =
, ,B D E
P ABC− O R
O OF PE⊥ F ODEF
2 1OD EF R= = − 6cos 3 23DE OF PD PDE= = ∠ = × = 1PE =
Rt PFO ( )2
2 22 1 1R R= + − − 2 2R =
P ABC− 24 8S Rπ π= =
8π以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于
较难题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.如图，在 中， ， ，点 在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先根据平方关系求出 ,再根据正弦定理即可求出 ；
（2）分别在 和 中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即
可求出 ，再根据余弦定理求出 ，即可根据 求出 的面
积．
【详解】（1）由 ，得 ，所以 .
由正弦定理得， ，即 ，得 .
（2）由正弦定理，在 中， ，①
在 中， ，②
ABC∆ 2AC =
3A
π∠ = D AB
1cos 3CDB∠ = − CD
2AD DB= sin 7 sinACD BCD∠ = ∠ ABC∆
3 6
4CD = 3 3
2
sin CDA∠ CD
ADC∆ BDC∆
CB AB 1 sin2S AC AB A= ⋅ ⋅ ABC∆
1cos 3CDB∠ = − 1cos 3CDA∠ = 2 2sin 3CDA∠ =
sin sin
CD AC
A CDA
= ∠
2
3 2 2
2 3
CD = 3 6
4CD =
ADC∆
sin sin
AD AC
ACD ADC
=∠ ∠
BDC∆
sin sin
DB CB
BCD BDC
=∠ ∠又 ， ， ，
由 得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 的面积 .
【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在
考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18.如图，在四棱柱 中，底面 为菱形， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， 是等边三角形，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明 平面 即可．
由 为菱形可得 ，连接 和 与 的交点 ，
由等腰三角形性质可得 ，即能证得 平面 ；
（2）由题意知， 平面 ，可建立空间直角坐标系 ，以 为坐标原点，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，再分别求出平面 的法向
量，平面 的法向量，即可根据向量法求出二面角 的余弦值．
sin sinADC BDC∠ = ∠ 2AD DB= sin 7 sinACD BCD∠ = ∠
①
② 7CB =
2 2 2 2 cosCB AC AB AC AB A= + − ⋅
27 4 2AB AB= + − 3AB =
ABC∆ 1 3 3sin2 2S AC AB A= ⋅ ⋅ =
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1 1AB CB=
1 1BDD B ⊥ ABCD
60DAB∠ = ° 1DB B∆ 1 1A BD C− −
0
AC ⊥ 1 1BDD B
ABCD AC BD⊥ 1B AC BD O
1B O AC⊥ AC ⊥ 1 1BDD B
1B O ⊥ ABCD Oxyz O OA
x OB y 1OB z 1C BD
1A BD 1 1A BD C− −【详解】（1）如图，设 与 相交于点 ，连接 ，
又 为菱形，故 ， 为 的中点.
又 ，故 .
又 平面 ， 平面 ，且 ，
故 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）由 是等边三角形，可得 ，故 平面 ，
所以 ， ， 两两垂直.如图以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线
为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 .
不妨设 ，则 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
设 为平面 的法向量，
则 即 可取 ，
设 为平面 的法向量，
则 即 可取 ，
AC BD O 1B O
ABCD AC BD⊥ O AC
1 1AB CB= 1B O AC⊥
BD ⊂ 1 1BDD B 1B O ⊂ 1 1BDD B 1BD B O O=
AC ⊥ 1 1BDD B AC ⊂ ABCD
1 1BDD B ⊥ ABCD
1DB B∆ 1B O BD⊥ 1B O ⊥ ABCD
1B O AC BD O OA x OB
y 1OB z Oxyz
2AB = 3AO = 1 3OB =
( 3,0,0)A (0,1,0)B 1(0,0, 3)B (0, 1,0)D −
1( 3, 1, 3)A − 1( 3, 1, 3)C − −
( )1 1 1, ,n x y z=
1C BD
1
0,
0,
n BD
n OC
⋅ = ⋅ =
1
1 1 1
2 0,
3 3 0,
y
x y z
=− − + = (1,0,1)n =
( )2 2 2, ,m x y z=
1A BD
1
0,
0,
m BD
m OA
⋅ = ⋅ =
2
2 2 2
2 0,
3 3 0,
y
x y z
= − + = ( 1,0,1)m = −所以 .
所以二面角 的余弦值为 0.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法
求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．
19.某工厂生产一种产品的标准长度为 ，只要误差的绝对值不超过 就认为合
格，工厂质检部抽检了某批次产品 1000 件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
（1）估计该批次产品长度误差绝对值 数学期望；
（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取 2 件，
假设其中至少有 1 件是标准长度产品的概率不小于 0.8 时，该设备符合生产要求.现有设备是
否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小
值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值 的频率分布列，再根据期望公式即可
求出；
（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为 0.4，即可求出随机抽取 2 件产品，都
不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取 2 件产品，至少有 1 件
是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标
准长度的概率为 ，可根据上述方法求出 ，解 ，即可得出最
小值.
【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值 的频率分布列为下表：
的
cos , 0n mn
n m
m
⋅< >= =
1 1A BD C− −
10.00cm 0.03cm
0.01025 51 5
−
X
x 21 (1 )P x= − − 21 (1 ) 0.8x− − ≥
X0 0.01 0.02 0.03 0.04
频率 0.4 0.3 0.2 0.075 0.025
所以 的数学期望的估计为
.
（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为 0.4，设至少有 1 件是标准长度产品为事
件 ，则 ，故不符合概率不小于 0.8 的要求.
设生产一件产品为标准长度的概率为 ，
由题意 ，又 ，解得 ，
所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为 .
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的
应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能
力和数学运算能力，属于基础题．
20.已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使
，求证：点 在定直线上.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出关于 、 、 的方程组，解出 、 的值，进而可得出椭圆 的标准
方程；
X
P
X
( ) 0 0.4 0.01 0.3 0.02 0.2 0.03 0.075 0.04 0.025 0.01025E X = × + × + × + × + × =
B
23 16( ) 1 0.64 0.85 25P B = − = = > ( )3,1 6
3
C
( )4,0M A B AM MBλ= AB D
AD DBλ= − D
2 2
16 2
x y+ =
a b c 2a 2b C（2）设点 、 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线
的方程与椭圆 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点 的坐标表达式，
并代入韦达定理，消去 ，可得出点 的横坐标，进而可得出结论.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ， .
所以椭圆 的方程是 ；
（2）设直线 的方程为 ， 、 、 ，
由 ，得 .
，则有 ， ，
由 ，得 ，由 ，可得 ，
，
，
综上，点 在定直线 上.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推
理能力，属于中等题.
21.设函数 ， 是函数 导数.的
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y AB 4x my= +
C D
λ D
2 2
2 2 2
6
3
3 1 1
c
a
a b
c a b
=
+ =
= −
2 6a = 2 2b =
C
2 2
16 2
x y+ =
AB 4x my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y
2 2
4
16 2
x my
x y
= + + =
( )2 23 8 10 0m y my+ + + =
( ) ( )2 2 28 40 3 0 5m m m∆ = − + > ⇒ > 1 2 2
8
3
my y m
−+ = + 1 2 2
10
3y y m
= +
AM MBλ=
1 2y yλ− = AD DBλ= −
1 2
0
1 2
0
1
1
x xx
y yy
λ
λ
λ
λ
− = − − = −
( ) 21 21 2 1 1 2
0
1 2 1
2
2
1024 4 2 2 334 4 481 1 21 3
mmy myx x my my y mx y my y
my
λλ
λ λ
×+ − +− += = = + = + = + =−− − ++ +
2
1 2 1 1 2
0
1 2 1
2
2
1022 2 53
81 21 3
y y y y y my y my y m
my
λ
λ
×− += = = = = −−− ++ +
D 3
2x =
( ) (2 cos ) sinf x ax x x= + − ( )f x′ ( )f x（1）若 ，证明 在区间 上没有零点；
（2）在 上 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出 ，再由函数 的导数可知，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ， ，
可知 在区间 上恒成立，即 在区间 上没有零点；
（2）由题意可将 转化为 ，构造函数 ，
利用导数讨论研究其在 上的单调性，由 ，即可求出 的取值范围．
【详解】（1）若 ，则 ， ，
设 ，则 ， ，
，故函数 是奇函数．
当 时， ， ，这时 ，
又函数 是奇函数，所以当 时， .
综上，当 时，函数 单调递增；当 时，函数 单调递减.
又 ， ，
故 在区间 上恒成立，所以 在区间 上没有零点.
（2） ，由 ，所以 恒成立，
1a = ( )f x′ ,2 2
π π −
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x > a
1 ,3
+∞
( )f x′ ( )f x′
( )f x′ ,02
π − 0, 2
π
02f
π ′ − > 02f
π ′ >
( ) 0f x′ > ,2 2
π π − ( )f x′ ,2 2
π π −
( ) 0f x > sin 02 cos
xax x
− >+
sin( ) 2 cos
xF x ax x
= − +
(0, )x∈ +∞ min 0F > a
1a = ( ) (2 cos ) sinf x x x x= + − ( ) 2 sinf x x x′ = −
( ) ( ) 2 sinh x f x x x′= = − ( ) sin cosh x x x x′ = − − (0) 0h′ =
( ) sin cos ( )h x x x x h x′ ′− = + = − ( )h x′
0, 2x
π ∈ sin 0x > cos 0x x > ( ) 0h x′ <
( )h x′ ,02x
π ∈ − ( ) 0h x′ >
,02x
π ∈ − ( )f x′ 0, 2x
π ∈ ( )f x′
2 02 2f
π π ′ − = − > 2 02 2f
π π ′ = − >
( ) 0f x′ > ,2 2
π π − ( )f x′ ,2 2
π π −
sin( ) (2 cos ) 2 cos
xf x x ax x
= + − +
[ ]cos 1,1x∈ − 2 cos 0x+ >若 ，则 ，设 ，
.
故当 时， ，又 ，所以当 时， ，满足题意；
当 时，有 ，与条件矛盾，舍去；
当 时，令 ，则 ，
又 ，故 在区间 上有无穷多个零点，
设最小的零点为 ，
则当 时， ，因此 在 上单调递增.
，所以 .
于 ，当 时， ，得 ，与条件矛盾.
故 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单
调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，
数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所
做的第一题计分.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）把曲线 向下平移 个单位，然后各点横坐标变为原来的 倍得到曲线 （纵坐标不
是
( ) 0f x > sin 02 cos
xax x
− >+
sin( ) 2 cos
xF x ax x
= − +
2 2
2cos 1 2 3( ) (2 cos ) 2 cos (2 cos )
xF x a ax x x
+′ = − = − ++ + +
21 1 13 2 cos 3 3ax
= − + − +
1
3a ≥ ( ) 0F x′ ≥ (0) 0F = 0x > ( ) 0F x >
0a ≤ 1 02 2 2F a
π π = × − ( )g x ( )10, x
( ) (0) 0g x g> = sin 3x ax>
( )10,x x∈ sin sin
2 cos 3
x x axx
> >+
sin 02 cos
xax x
− 0b > ( ) 2f x x a x b= + + − 1
2
2 1a b+ =
2a b tab+ ≥ t
9
( )y f x=
2a b tab+ ≥ 1 2t a b
≤ + 1 2
a b
+ 2+a b
1 2
a b
+ t
( )
3 , 2
2 , 2
3 ,
ax a b x
af x x a x b x a b x b
x a b x b
− − + < −
= + + − = + + − ≤ −
2
a x b− ≤ ≤ ( )y f x= ( ) ( )
2
af f x f b − ≤ ≤
x b> ( )y f x= ( ) ( )f x f b>
( ) 1
2 2 2
a af x f b ≥ − = + = 2 1a b+ =
2a b tab+ ≥ 0a > 0b > 2a bt ab
+≤
min
2 1t b a
≤ +
( )2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 9b a b aa bb a b a a b a b
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
1
3a b= =号成立，
所以 ，实数 的最大值为 .
【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，
考查推理能力与计算能力，属于中等题.
9t ≤ t 9
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