河北省沧州市2020届高三数学(理)一模试题(解析版)
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河北省沧州市2020届高三数学(理)一模试题(解析版)

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资料简介
2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试 理科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上. 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 和 ,即可根据交集的运算求出 . 【详解】∵ ,而 , ∴ 故选:B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题. 2.设 ( 是虚数单位),则 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数代数形式的四则运算法则求出 ,即可根据复数的模计算公式求出 . 【详解】∵ ,∴ . 故选:A. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用, 属于容易题. { }| 1 4M x x= − < < { }2| 3 10 0N x x x= + − ≤ M N = { }| 1 5x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤ { }| 1 1x x− < ≤ { }| 5 4x x− ≤ < M N M N∩ { } { }2| 3 10 0 5 2N x x x x x= + − ≤ = − ≤ ≤ { }| 1 4M x x= − < < M N = { }| 1 2x x− < ≤ 22 (1 )1z ii = + ++ i | |z = 2 5 z | |z 22 )1 1 2 1(1z i i i ii = − += + =+ ++ 2 2| | 1 1 2z = + =3.已知等差数列 的前 项和为 , , ,则 ( ) A. 25 B. 32 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】 设出等差数列 的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得 . 【详解】设等差数列 的首项为 ,公差为 ,则 ,解得 ,∴ ,即有 . 故选:C. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前 项和公式的应 用,属于容易题. 4.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有 名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可 以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内 外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照 , , 分组, 绘成频率分布直方图如下: 嘉宾 评分 { }na n nS 3 7a = 3 9S = 10a = { }na 10a { }na 1a d 3 1 3 1 2 7 3 3 9 a a d S a d = + =  = + = 1 1, 4a d= − = 4 5na n= − 10 4 10 5 35a = × − = n 6 [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 A B C D E F 96 95 96 89 97 98嘉宾评分的平均数为 ,场内外的观众评分的平均数为 ,所有嘉宾与场内外的观众评分的 平均数为 ,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出 、 ,进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知, , 由频率分布直方图可知, ,则 , 由于场外有数万名观众,所以, . 故选:B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算, 考查计算能力,属于基础题. 5.已知函数 的图象如图所示,则 可以为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 1x 2x x 1 2 2 x xx += 1 2 2 x xx +> 1 2 2 x xx +< 1 2 1 2 2 x xx x x +> > > 1x 2x 1 96 95 96 89 97 98 95.176x + + + + += ≈ 2 75 0.2 85 0.3 95 0.5 88x = × + × + × = 1 2x x> 1 2 2 12 x xx x x +< < < ( )f x ( )f x 3( ) 3 xf x x = − e e( ) x x f x x −−= 2( )f x xx = − | |e( ) x f x x =根据图象可知,函数 为奇函数,以及函数在 上单调递增,且有一个零点,即可 对选项逐个验证即可得出. 【详解】首先对 4 个选项进行奇偶性判断,可知, 为偶函数,不符合题意, 排除 B; 其次,在剩下的 3 个选项,对其在 上的零点个数进行判断, 在 上无 零点, 不符合题意,排除 D;然后,对剩下的 2 个选项,进行单调性判断, 在 上单调递减, 不符合题意,排除 C. 故选:A. 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑 推理能力,属于容易题. 6.若两个非零向量 、 满足 ,且 ,则 与 夹角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设平面向量 与 的夹角为 ,由已知条件得出 ,在等式 两边平方, 利用平面向量数量积的运算律可求得 的值,即为所求. 【详解】设平面向量 与 的夹角为 , ,可得 , 在等式 两边平方得 ,化简得 . 故选:A. 【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应 用,考查计算能力,属于中等题. ( )f x ( )0, ∞+ e e( ) x x f x x −−= ( )0, ∞+ | |e( ) x f x x = ( )0, ∞+ 2( )f x xx = − ( )0, ∞+ a b ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =    2a b a b+ = −    a b 3 5 3 5 ± 1 2 1 2 ± a b θ a b=  2a b a b+ = −    cosθ a b θ ( ) ( ) 2 22 2 0a b a b a b a b+ ⋅ − = − = − =         a b=  2a b a b+ = −    2 2 2 2 2 4 8 4a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +        3cos 5 θ =7.已知 为等比数列, , ,则 ( ) A. 9 B. -9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列的下标和性质可求出 ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即 可求出 . 【详解】∵ ,∴ ,又 ,可解得 或 设等比数列 的公比为 ,则 当 时, , ∴ ; 当 时, ,∴ . 故选:C. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 8.已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点,过 作双曲线 的 一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点 、 ,过点 作 轴的垂线,垂足恰为 ,则 双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设点 位于第二象限,可求得点 的坐标,再由直线 与直线 垂直,转化为两直线 { }na 5 8 3a a+ = − 4 9 18a a = − 2 11a a+ = 21 2 21 4 − 5 8,a a 2 11a a+ 4 9 5 8+ = + 4 9 5 8 18a a a a= = − 5 8 3a a+ = − 5 8 6 3 a a = −  = 5 8 3 6 a a =  = − { }na q 5 8 6 3 a a = −  = 3 8 5 1 2 aq a = = − 35 2 11 83 6 1 2131 2 2 2 aa a a qq −  + = + = + × − =  − 5 8 3 6 a a =  = − 3 8 5 2aq a = = − ( ) ( )35 2 11 83 3 216 22 2 aa a a qq + = + = + − × − =− 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 2F C A B B x 1F C 2 3 2 3 5 B B 2BF by xa =斜率之积为 可得出 的值,进而可求得双曲线 的离心率. 【详解】设点 位于第二象限,由于 轴,则点 的横坐标为 ,纵坐标为 ,即点 , 由题意可知,直线 与直线 垂直, , , 因此,双曲线的离心率为 . 故选:B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出 、 、 的等量关系,考查计 算能力,属于中等题. 9.已知 , , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换 底公式化简,即可得出三个式子的大小关系. 【详解】∵ ,即 , ,即 , ,即 , ∴ ,即有 . ∵ ,即 , ∴ . 综上, . 1− 2 2 b a C B 1BF x⊥ B Bx c= − B B b bcy xa a = − = , bcB c a  −   2BF by xa = 2 2 2BF bc b aak c a b − = = − = − 2 2 2b a ∴ = 2 2 2 2 21 3c a b be a a a += = = + = a b c 0.3log 0.5a = 3log 0.5b = 0.5log 0.9c = ab ac a b< < + a b ab ac+ < < ac ab a b< < + ab a b ac< + < 0.3 0.3 0.30 log 1 log 0.5 log 0.3 1= < < = 0 1a< < 3 3log 0.5 log 1 0< = 0b < 0.5 0.5 0.50 log 1 log 0.9 log 0.5 1= < < = 0 1c< < 0,0 1ab ac< < < ab ac< 0.5 0.5 0.5log 0.3 log 3 log 01 .91 ca b + += = = 0 1a b cab +< = < 0ab a b< + < ab a b ac< + F A B 2AF FB=  l x C ACF∆ 8 2 AB = 6 9 9 2 6 2 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2 px my= + 2AF FB=  1 22y y= − AB 1y ACF∆ p AB ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB x my p= + AB 2 2 2 px my y px  = +  = x 2 22 0y pmy p− − = 1 2 2y y pm+ = 2 1 2y y p= − 1 1,2 pAF x y = − −    2 2,2 pFB x y = −    2AF FB=   1 22y y∴− = 1 22y y∴ = − 2 2 1 2 22y y y p∴ = − = − 2 2 2y p= 1 22 2y y p= = l x ,02 pC  −   ACF∆ 21 22 8 22 2p p p× × = = 4p = 2 8y x= 2 2 2 1 2 1 2 5 24 98 8 py yAB x x p p += + + = + = + =故选:B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能 力,属于中等题. 11.已知函数 ( , , ),将函数 的图象向左平 移 个单位长度,得到函数 的部分图象如图所示,则 是 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据 图象求出 函数 的解 析式,再由平 移知识得 到 的解 析式,然后分 别找出 和 的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设 ,根据图象可知, , 再由 , 所以 , ∴ 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象, ( ) cos( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω | | 2 ϕ π< ( )f x 3 4 π ( )g x 1( ) 3f x = 3 2 12 3 xg π + =   ( )g x ( )f x 1( ) 3f x = 3 2 12 3 xg π + =   ( )( ) sing x A xω ϕ′= + 3 71, 24 6 12A T T π π π ω = = − − ⇒ = ⇒ =   7 7sin 2 112 12g π π ϕ     ′− = × − + =         5 2 ( )3 k k Z πϕ π′ = + ∈ ( ) sin 2 3g x x π = −   ( )g x 3 4 π ( )f x∴ . , , 令 ,则 ,显然, ∴ 是 的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式 的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属 于中档题. 12.2019 年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎( )疫情,并快速席卷我国其他地区, 传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治 疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新 冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、 不漏一人.在排查期间,一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护 人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高 危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 ( )且相互独立,该家庭至少检 测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ,当 时, 最大,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意分别求出事件 A:检测 5 个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件 B:检测6 个 人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出 的表达式,再根据基本不等式即可求出. 3 3( ) sin 2 cos 24 4 3 3f x g x x x π π π π      = − = − − = −             1 1( ) cos 23 3 3f x x π = ⇔ − =   3sin2 12 6 3 xg x π π   + = − =       6x πθ = − 23 1sin cos2 1 2sin3 3 θ θ θ= ⇒ = − = 1 3cos2 sin3 3 θ θ= ⇒ = 1( ) 3f x = 3 2 12 3 xg π + =   COVID 19− p 0 1p< < ( )f p 0p p= ( )f p 0p = 61 3 − 6 3 1 2 31 3 − ( )f p【详解】设事件 A:检测 5 个人确定为“感染高危户”, 事件 B:检测 6 个人确定为“感染高危户”, ∴ , . 即 设 ,则 ∴ 当且仅当 即 时取等号,即 . 故选:A. 【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概 率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查 学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 、 满足约束条件 ,则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数 取得最小时 对应的最优解,代入目标函数计算即可. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示: ( ) ( )41P A p p= − ( ) ( )51P B p p= − ( ) ( ) ( )( )4 5 41 1( ) 2 1f p p p p p p p p− + − = − −= 1 0x p= − > ( ) ( )( ) ( )4 2 41 1( ) 1g x x x x xf p x= − + = −= ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2 2 4 2 2 2 2 21 1 41 2 22 2 3 27 x x x g x x x x x x  − + +   = − = × − × × ≤ × =     2 22 2x x− = 6 3x = 0 61 3p p= = − x y 3 2 3 6 y x y x y ≤  + ≥  − ≤ 2z x y= + 1 2z x y= + 3 2 3 6 y x y x y ≤  + ≥  − ≤联立 ,解得 ,即点 , 平移直线 ,当直线 经过可行域的顶点 时,该直线在 轴上的截距 最小,此时 取最小值,即 . 故答案为: . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数形结合思想 的应用,属于基础题. 14.已知函数 为奇函数,则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用奇函数的定义得出 ,结合对数的运算性质可求得实数 的值. 【 详 解 】 由 于 函 数 为 奇 函 数 , 则 , 即 , ,整理得 ,解得 . 当 时,真数 ,不合乎题意; 当 时, ,解不等式 ,解得 或 ,此时函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称,合乎题意. 综上所述, . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应 用,考查计算能力,属于中等题. 2 3 6 x y x y + =  − = 3 1 x y =  = − ( )3, 1A − 2z x y= + 2z x y= + ( )3, 1A − x z ( )min 3 2 1 1z = + × − = 1 ( ) 1ln1 xf x ax −= − a = 1− ( ) ( )f x f x− = − a ( ) 1ln1 xf x ax −= − ( ) ( )f x f x− = − 1 1 1ln ln ln1 1 1 x x ax ax ax x − − − −= − =+ − − 1 1 1 1 x ax ax x − − −∴ =+ − 2 2 21 1x a x− = − 1a = ± 1a = 1 11 x x −= = −− 1a = − ( ) 1ln 1 xf x x −= + 1 01 x x − >+ 1x < − 1x > ( )y f x= ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ 1a = − 1−15.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、 商、角、徵、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音 阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成______种不同的音序. 【答案】32 【解析】 【分析】 按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出. 【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有 种; ②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧; ③若“角”在第二个或第四个位置上,则有 种; 综上,共有 种. 故答案为:32. 【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原 理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题. 16.在三棱锥 中, ,三角形 为等边三角形,二面角 的余 弦值为 ,当三棱锥 的体积最大值为 时,三棱锥 的外接球的表面积 为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角 的平面角,再设出 的长, 即可求出三棱锥 的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥 的体积 最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关 系即可求出三棱锥 的外接球的表面积. 2 2 2 22 3 24A A× × × = 2 2 2 22 8A A = 24 8 32+ = P ABC− AB BC⊥ PAC P AC B− − 6 3 − P ABC− 1 3 P ABC− 8π P AC B− − ,AB BC P ABC− P ABC− P ABC−【详解】如图所示: 过点 作 面 ,垂足为 ,过点 作 交 于点 ,连接 . 则 为二面角 的平面角的补角,即有 . ∵易证 面 ,∴ ,而三角形 为等边三角形, ∴ 为 的中点. 设 , . ∴ . 故三棱锥 的体积为 当且仅当 时, ,即 . ∴ 三点共线. 设三棱锥 的外接球的球心为 ,半径为 . 过点 作 于 ,∴四边形 为矩形. 则 , , , 在 中, ,解得 . 三棱锥 的外接球的表面积为 . 故答案为: . 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用, P PE ⊥ ABC E E DE AC⊥ AC D PD PDE∠ P AC B− − 6cos 3PDE∠ = AC ⊥ PDE AC PD⊥ PAC D AC ,AB a BC b= = 2 2AC a b c= + = 3 3sin 2 3 2 cPE PD PDE c= ⋅ ∠ = × × = P ABC− 2 2 31 1 1 3 2 2 12 12 12 2 24 c c c a b cV ab abc ab += × × = = × ≤ × = 2 2a b c= = 3 max 1 24 3 cV = = 2, 2a b c= = = , ,B D E P ABC− O R O OF PE⊥ F ODEF 2 1OD EF R= = − 6cos 3 23DE OF PD PDE= = ∠ = × = 1PE = Rt PFO ( )2 2 22 1 1R R= + − − 2 2R = P ABC− 24 8S Rπ π= = 8π以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于 较难题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为 必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.如图,在 中, , ,点 在线段 上. (1)若 ,求 的长; (2)若 , ,求 的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)先根据平方关系求出 ,再根据正弦定理即可求出 ; (2)分别在 和 中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即 可求出 ,再根据余弦定理求出 ,即可根据 求出 的面 积. 【详解】(1)由 ,得 ,所以 . 由正弦定理得, ,即 ,得 . (2)由正弦定理,在 中, ,① 在 中, ,② ABC∆ 2AC = 3A π∠ = D AB 1cos 3CDB∠ = − CD 2AD DB= sin 7 sinACD BCD∠ = ∠ ABC∆ 3 6 4CD = 3 3 2 sin CDA∠ CD ADC∆ BDC∆ CB AB 1 sin2S AC AB A= ⋅ ⋅ ABC∆ 1cos 3CDB∠ = − 1cos 3CDA∠ = 2 2sin 3CDA∠ = sin sin CD AC A CDA = ∠ 2 3 2 2 2 3 CD = 3 6 4CD = ADC∆ sin sin AD AC ACD ADC =∠ ∠ BDC∆ sin sin DB CB BCD BDC =∠ ∠又 , , , 由 得 , 由余弦定理得 , 即 ,解得 , 所以 的面积 . 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在 考查学生的数学运算能力,属于基础题. 18.如图,在四棱柱 中,底面 为菱形, . (1)证明:平面 平面 ; (2)若 , 是等边三角形,求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明 平面 即可. 由 为菱形可得 ,连接 和 与 的交点 , 由等腰三角形性质可得 ,即能证得 平面 ; (2)由题意知, 平面 ,可建立空间直角坐标系 ,以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,再分别求出平面 的法向 量,平面 的法向量,即可根据向量法求出二面角 的余弦值. sin sinADC BDC∠ = ∠ 2AD DB= sin 7 sinACD BCD∠ = ∠ ① ② 7CB = 2 2 2 2 cosCB AC AB AC AB A= + − ⋅ 27 4 2AB AB= + − 3AB = ABC∆ 1 3 3sin2 2S AC AB A= ⋅ ⋅ = 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1 1AB CB= 1 1BDD B ⊥ ABCD 60DAB∠ = ° 1DB B∆ 1 1A BD C− − 0 AC ⊥ 1 1BDD B ABCD AC BD⊥ 1B AC BD O 1B O AC⊥ AC ⊥ 1 1BDD B 1B O ⊥ ABCD Oxyz O OA x OB y 1OB z 1C BD 1A BD 1 1A BD C− −【详解】(1)如图,设 与 相交于点 ,连接 , 又 为菱形,故 , 为 的中点. 又 ,故 . 又 平面 , 平面 ,且 , 故 平面 ,又 平面 , 所以平面 平面 . (2)由 是等边三角形,可得 ,故 平面 , 所以 , , 两两垂直.如图以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线 为 轴, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系 . 不妨设 ,则 , , 则 , , , , , , 设 为平面 的法向量, 则 即 可取 , 设 为平面 的法向量, 则 即 可取 , AC BD O 1B O ABCD AC BD⊥ O AC 1 1AB CB= 1B O AC⊥ BD ⊂ 1 1BDD B 1B O ⊂ 1 1BDD B 1BD B O O= AC ⊥ 1 1BDD B AC ⊂ ABCD 1 1BDD B ⊥ ABCD 1DB B∆ 1B O BD⊥ 1B O ⊥ ABCD 1B O AC BD O OA x OB y 1OB z Oxyz 2AB = 3AO = 1 3OB = ( 3,0,0)A (0,1,0)B 1(0,0, 3)B (0, 1,0)D − 1( 3, 1, 3)A − 1( 3, 1, 3)C − − ( )1 1 1, ,n x y z= 1C BD 1 0, 0, n BD n OC  ⋅ = ⋅ =   1 1 1 1 2 0, 3 3 0, y x y z =− − + = (1,0,1)n = ( )2 2 2, ,m x y z= 1A BD 1 0, 0, m BD m OA  ⋅ = ⋅ =   2 2 2 2 2 0, 3 3 0, y x y z = − + = ( 1,0,1)m = −所以 . 所以二面角 的余弦值为 0. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的应用,以及利用向量法 求二面角,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和数学运算能力,属于基础题. 19.某工厂生产一种产品的标准长度为 ,只要误差的绝对值不超过 就认为合 格,工厂质检部抽检了某批次产品 1000 件,检测其长度,绘制条形统计图如图: (1)估计该批次产品长度误差绝对值 数学期望; (2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取 2 件, 假设其中至少有 1 件是标准长度产品的概率不小于 0.8 时,该设备符合生产要求.现有设备是 否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小 值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值 的频率分布列,再根据期望公式即可 求出; (2)由(1)可知,任取一件产品是标准长度的概率为 0.4,即可求出随机抽取 2 件产品,都 不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取 2 件产品,至少有 1 件 是标准长度产品的概率,判断其是否符合生产要求;当不符合要求时,设生产一件产品为标 准长度的概率为 ,可根据上述方法求出 ,解 ,即可得出最 小值. 【详解】(1)由柱状图,该批次产品长度误差的绝对值 的频率分布列为下表: 的 cos , 0n mn n m m ⋅< >= =       1 1A BD C− − 10.00cm 0.03cm 0.01025 51 5 − X x 21 (1 )P x= − − 21 (1 ) 0.8x− − ≥ X0 0.01 0.02 0.03 0.04 频率 0.4 0.3 0.2 0.075 0.025 所以 的数学期望的估计为 . (2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为 0.4,设至少有 1 件是标准长度产品为事 件 ,则 ,故不符合概率不小于 0.8 的要求. 设生产一件产品为标准长度的概率为 , 由题意 ,又 ,解得 , 所以符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值为 . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法,相互独立事件同时发生的概率公式的 应用,对立事件的概率公式的应用,解题关键是对题意的理解,意在考查学生的数学建模能 力和数学运算能力,属于基础题. 20.已知椭圆 经过点 ,离心率为 . (1)求椭圆 的方程; (2)过点 的直线交椭圆于 、 两点,若 ,在线段 上取点 ,使 ,求证:点 在定直线上. 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意得出关于 、 、 的方程组,解出 、 的值,进而可得出椭圆 的标准 方程; X P X ( ) 0 0.4 0.01 0.3 0.02 0.2 0.03 0.075 0.04 0.025 0.01025E X = × + × + × + × + × = B 23 16( ) 1 0.64 0.85 25P B  = − = = > ( )3,1 6 3 C ( )4,0M A B AM MBλ=  AB D AD DBλ= −  D 2 2 16 2 x y+ = a b c 2a 2b C(2)设点 、 、 ,设直线 的方程为 ,将该直线 的方程与椭圆 的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点 的坐标表达式, 并代入韦达定理,消去 ,可得出点 的横坐标,进而可得出结论. 【详解】(1)由题意得 ,解得 , . 所以椭圆 的方程是 ; (2)设直线 的方程为 , 、 、 , 由 ,得 . ,则有 , , 由 ,得 ,由 ,可得 , , , 综上,点 在定直线 上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推 理能力,属于中等题. 21.设函数 , 是函数 导数.的 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y AB 4x my= + C D λ D 2 2 2 2 2 6 3 3 1 1 c a a b c a b  =  + =  = − 2 6a = 2 2b = C 2 2 16 2 x y+ = AB 4x my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y 2 2 4 16 2 x my x y = + + = ( )2 23 8 10 0m y my+ + + = ( ) ( )2 2 28 40 3 0 5m m m∆ = − + > ⇒ > 1 2 2 8 3 my y m −+ = + 1 2 2 10 3y y m = + AM MBλ=  1 2y yλ− = AD DBλ= −  1 2 0 1 2 0 1 1 x xx y yy λ λ λ λ − = − − = − ( ) 21 21 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1024 4 2 2 334 4 481 1 21 3 mmy myx x my my y mx y my y my λλ λ λ ×+ − +− += = = + = + = + =−− − ++ + 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1022 2 53 81 21 3 y y y y y my y my y m my λ λ ×− += = = = = −−− ++ + D 3 2x = ( ) (2 cos ) sinf x ax x x= + − ( )f x′ ( )f x(1)若 ,证明 在区间 上没有零点; (2)在 上 恒成立,求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出 ,再由函数 的导数可知, 函数 在 上单调递增,在 上单调递减,而 , , 可知 在区间 上恒成立,即 在区间 上没有零点; (2)由题意可将 转化为 ,构造函数 , 利用导数讨论研究其在 上的单调性,由 ,即可求出 的取值范围. 【详解】(1)若 ,则 , , 设 ,则 , , ,故函数 是奇函数. 当 时, , ,这时 , 又函数 是奇函数,所以当 时, . 综上,当 时,函数 单调递增;当 时,函数 单调递减. 又 , , 故 在区间 上恒成立,所以 在区间 上没有零点. (2) ,由 ,所以 恒成立, 1a = ( )f x′ ,2 2 π π −   (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x > a 1 ,3  +∞  ( )f x′ ( )f x′ ( )f x′ ,02 π −   0, 2 π     02f π ′ − >   02f π ′ >   ( ) 0f x′ > ,2 2 π π −   ( )f x′ ,2 2 π π −   ( ) 0f x > sin 02 cos xax x − >+ sin( ) 2 cos xF x ax x = − + (0, )x∈ +∞ min 0F > a 1a = ( ) (2 cos ) sinf x x x x= + − ( ) 2 sinf x x x′ = − ( ) ( ) 2 sinh x f x x x′= = − ( ) sin cosh x x x x′ = − − (0) 0h′ = ( ) sin cos ( )h x x x x h x′ ′− = + = − ( )h x′ 0, 2x π ∈   sin 0x > cos 0x x > ( ) 0h x′ < ( )h x′ ,02x π ∈ −   ( ) 0h x′ > ,02x π ∈ −   ( )f x′ 0, 2x π ∈   ( )f x′ 2 02 2f π π ′ − = − >   2 02 2f π π ′ = − >   ( ) 0f x′ > ,2 2 π π −   ( )f x′ ,2 2 π π −   sin( ) (2 cos ) 2 cos xf x x ax x  = + − +  [ ]cos 1,1x∈ − 2 cos 0x+ >若 ,则 ,设 , . 故当 时, ,又 ,所以当 时, ,满足题意; 当 时,有 ,与条件矛盾,舍去; 当 时,令 ,则 , 又 ,故 在区间 上有无穷多个零点, 设最小的零点为 , 则当 时, ,因此 在 上单调递增. ,所以 . 于 ,当 时, ,得 ,与条件矛盾. 故 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单 调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力, 数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所 做的第一题计分. 22.在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求 的普通方程和 的直角坐标方程; (2)把曲线 向下平移 个单位,然后各点横坐标变为原来的 倍得到曲线 (纵坐标不 是 ( ) 0f x > sin 02 cos xax x − >+ sin( ) 2 cos xF x ax x = − + 2 2 2cos 1 2 3( ) (2 cos ) 2 cos (2 cos ) xF x a ax x x +′ = − = − ++ + + 21 1 13 2 cos 3 3ax  = − + − +  1 3a ≥ ( ) 0F x′ ≥ (0) 0F = 0x > ( ) 0F x > 0a ≤ 1 02 2 2F a π π  = × − ( )g x ( )10, x ( ) (0) 0g x g> = sin 3x ax> ( )10,x x∈ sin sin 2 cos 3 x x axx > >+ sin 02 cos xax x − 0b > ( ) 2f x x a x b= + + − 1 2 2 1a b+ = 2a b tab+ ≥ t 9 ( )y f x= 2a b tab+ ≥ 1 2t a b ≤ + 1 2 a b + 2+a b 1 2 a b + t ( ) 3 , 2 2 , 2 3 , ax a b x af x x a x b x a b x b x a b x b − − + < − = + + − = + + − ≤ −   2 a x b− ≤ ≤ ( )y f x= ( ) ( ) 2 af f x f b − ≤ ≤   x b> ( )y f x= ( ) ( )f x f b> ( ) 1 2 2 2 a af x f b ≥ − = + =   2 1a b+ = 2a b tab+ ≥ 0a > 0b > 2a bt ab +≤ min 2 1t b a  ≤ +   ( )2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 9b a b aa bb a b a a b a b  + = + + = + + ≥ + ⋅ =   1 3a b= =号成立, 所以 ,实数 的最大值为 . 【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数, 考查推理能力与计算能力,属于中等题. 9t ≤ t 9

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