北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（四）（Word版附答案）

1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（四） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 若集合 ，集合 , 则 （A） （B） （C） （D） 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 （A） （B） （C） （D） 3. 已知数列 满足 ，则 （A） （B） （C） （D） 4. 将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为（ ） （A） （B） （C） （D） 5. 已知直线 与圆 相交于 两点,且 为正三角形,则实数 的值为 { }02 = xxB =BA R ( )2,∞− ( )2,0 ( )+∞,2 (0, )+∞ ( ) ln | |f x x= ( ) 2 xf x −= 3( )f x x= 2( )f x x= − { }na 1 2 3 22 ( 1,2,3, )na a a a a n+ + + + = =  01 a 21 aa ≠ 02 =a sin(2 )6y x π= + 6 π sin 2y x= cos2y x= sin(2 )3y x π= + sin(2 )6y x π= − 0x y m− + = 2 2: 1O x y+ = ,A B OAB m2 （A） （B） （C） 或 （D） 或 6. 设 是不为零的实数,则“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 在 中, , 是 边的中点,则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥四个面的面积中最大的是 所有正确的说法是 （A）① （B）①③ （C）①② （D）②③ 9. 已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则 的值分别为 （A） （B） （C） （D） 10. 已知正方体 的棱长为 2, 分别是棱 的中点,点 在平面 内,点 在线段 上.若 ,则 长度的最小值为 3 2 6 2 3 2 3 2 − 6 2 6 2 − m 0m > 2 2 1x y m m − = ABC 1AB AC= = D AC BD CD⋅  3 1( , )4 4 − 1( , )4 −∞ 3( ,+ )4 − ∞ 1 3( )4 4 ， 1 6 3 2 )sin( 1)( ϕ+ω= xxf 0, 2 ω φ π> < ϕω, 1, 6 π 1, 6 π− 2, 3 π 2, 3 π− 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1BC C D、 P 1 1 1 1A B C D Q 1A N 5PM = PQ3 （A） （B） （C） （D） 2 1− 2 3 5 15 − 3 5 54 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 复数 （12）已知公差为1的等差数列 中, 成等比数列,则 的前100项的和为 . 答案 （13）设抛物线 的顶点为 ,经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛物线 交于 两点,则 . 答案 2 （ 14 ） 函 数 的 最 大 值 为 ; 若 函 数 的 图 象 与 直 线 有且只有一个公共点,则实数 的取值范围是 . 答案 （15）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列四个结论： ①f(0)＝0； ②若 f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则 f(x)在(－∞，0]上有最大值 1； ③若 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则 f(x)在(－∞，－1]上为减函数； ④若 x＞0 时，f(x)＝x2－x，则 x＜0 时，f(x)＝－x2－x； ⑤若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的 f(x)有无数多个； 其中正确结论的为__________. 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其 ._____1 2 共轭复数的模长是 i i + 答案 2 { }na 1 2 4, ,a a a { }na ______ 5050 2: 4C y x= O C x C ,A B | | ______OA OB+ =  2 , 0,( ) (2 ), 0 x xf x x x x  ≤=  − > ______ ( )f x ( 1)y k x= − k ______ [ )∞+，， 115 他得 3 分. 答案 ①②④⑤ 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 现在给出三个条件： ① ；② ；③ .试从中选出两个条件，补充 在下面的问题中，使其能够确定 ，并以此为依据，求 的面积. 在 中，角 的对边分别为 ， ， ,且满足 ,求 的面积. （选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分） 解：因为 ，且 ,所以 , 又因为 ，所以 ，即： ， . 若选①②： ,则 ， ； 2a = 4B π= 3c b= ABC∆ ABC∆ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3sin cos3a C c A= ABC∆ 3sin cos3a C c A= sin sin a c A C = 3sin sin sin cos3A C C A= sin 0C ≠ 3sin cos3A A= 3tan , (0, )3A A π= ∈ 6A π= sin sin a b A B = 2 sin sin6 4 b π π= 2 2b = 1 2 3 2 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 2 2 2 2 4C A B A B A B += + = + = × + × = 1 1 6 2sin 2 2 2 3 12 2 4ABCS ab C += = × × × = + 6 若选①③：因为 ,且 所以 ， 解得： 若选②③： , . 而 与 矛盾，所以不能同时选②③. 17. （本小题满分 14 分） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ， 平 面 平 面 , ， 分别是 AC，A1B1 的中点. （1）证明： ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 解：方法一： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC． 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 3c b= 2 2 34 3 2 3 2b b b b= + − × × 2, 2 3b c= = 1 1 1sin 2 2 3 32 2 2ABCS bc A= = × × × =  5 12C A B ππ= − − = 1 2 3 2 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 2 2 2 2 4C A B A B A B += + = + = × + × = 6 2 4sin 3 1 3sin 22 2 C B += + = ≠ 3c b= 1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC ⊥ ABC 90ABC∠ = ° 1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = = EF BC⊥7 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， 所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC． 又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F． 所以BC⊥平面A1EF． 因此EF⊥BC． （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上． 连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）． 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= . 由于O为A1G的中点，故 ， 所以 ． 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ． 方法二： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1， ⊂ 3 3 1 15 2 2 AGEO OG= = = 2 2 2 3cos 2 5 EO OG EGEOG EO OG + −∠ = =⋅ 3 5 ⊂8 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC． 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E– xyz． 不妨设AC=4，则 A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0)． 因此， ， ． 由 得 ． （2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ． 由（1）可得 ． 设平面A1BC的法向量为n ， 由 ，得 ， 取n ，故 ， 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 ． （18）（本小题满分 14 分） 3 3 1( 3,3,2 3)B 3 3( , ,2 3)2 2F 3 3( , ,2 3)2 2EF = ( 3,1,0)BC = − 0EF BC⋅ =  EF BC⊥ 1=( 3 1 0) =(0 2 2 3)BC A C− − ，， ， ， ， ( )x y z= ， ， 1 0 0 BC AC  ⋅ = ⋅ =  n n 3 0 3 0 x y y z − + = − = (1 3 1)= ， ， | | 4sin | cos | = 5| | | EFEF EF θ ⋅= = ⋅  ， nn n | 3 59 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种 职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用 分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统 计图: （Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值; （Ⅱ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; （Ⅲ）某研究机构提出,可以选取常数 ,若一名从业者该项身体指标检测 值大于 ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 ,则判断其未患有这种职业病. 从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错 误的概率最小的 的值及相应的概率（只需写出结论）. 解：（Ⅰ）根据分层抽样原则,容量为 100 的样本中,患病者的人数为 人. , . （Ⅱ）指标检测数据为 4 的样本中, 有患病者 人,未患病者 人. 设事件 A 为“从中随机选择 2 人,其中有患病者”. 则 , 所以 . * 0 0.5 ( )X n n= + ∈N 0X 0X 0X 3.4100 408.5 × = 1 0.10 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05a = − − − − − = 1 0.10 0.20 0.30 0.40b = − − − = 40 0.20 8× = 60 0.15 9× = 2 9 2 17 C 9(A) C 34P = = 25(A) 1 (A) 34P P= − =10 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的 . 当 时,判断错误的概率为 . 19. （本小题满分 15 分） 已知函数 , . （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线的斜率; （Ⅱ）判断方程 （ 为 的导数）在区间 内的根的个数,说明理由; （Ⅲ）若函数 在区间 内有且只有一个极值点,求 的取值范围. 解:（Ⅰ） . . （Ⅱ）设 , . 当 时, ,则函数 为减函数. 又因为 , , 所以有且只有一个 ,使 成立. 所以函数 在区间 内有且只有一个零点.即方程 在区间 内有且只有一 个实数根. （Ⅲ）若函数 在区间 内有且只有一个极值点,由于 , 即 在区间 内有且只有一个零点 ,且 在 两侧异号. 因为当 时,函数 为减函数,所以在 上, ,即 成立,函 数 为增函数; 在 上, ,即 成立,函数 为减函数, 0 4.5X = 0 4.5X = 21 100 ( ) cosf x x x a= + a∈R ( )y f x= 2x π= ( ) 0f x′ = ( )f x′ ( )f x (0,1) ( ) sin cosF x x x x ax= + + (0,1) a ( ) cos sinf x x x x′ = − π π( )2 2k f ′= = − ( ) ( )g x f x′= ( ) sin (sin cos ) 2sin cosg x x x x x x x x′ = − − + = − − (0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (0) 1 0g = > (1) cos1 sin1 0g = − < 0 (0,1)x ∈ 0( ) 0g x = ( )g x (0,1) ( ) 0f x′ = (0,1) ( ) sin cosF x x x x ax= + + (0,1) ( ) ( )F x f x′ = ( ) cosf x x x a= + (0,1) 1x ( )f x 1x (0,1)x∈ ( )g x 0(0, )x 0( ) ( ) 0g x g x> = ( ) 0f x′ > ( )f x 0( ,1)x 0( ) ( ) 0g x g x< = ( ) 0f x′ < ( )f x11 则函数 在 处取得极大值 . 当 时,虽然函数 在区间 内有且只有一个零点 ,但 在 两侧同号,不 满足 在区间 内有且只有一个极值点的要求. 由于 , ,显然 . 若函数 在区间 内有且只有一个零点 ,且 在 两侧异号,则只需满足: 即 解得 . 20．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点 F 是抛物线 C2：y2=2px（p＞ 0）的焦点，点（2，4）在抛物线 C2 上． （1）求椭圆 C1 的方程； （2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1 于 A，B 两点，M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点 N，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最小 值． 解：（1）∵点（2，4）在抛物线 y2=2px 上， ∴16=4p， 解得 p=4， ∴椭圆的右焦点为 F（2，0）， 0x ( )f x 0x x= 0( )f x 0( ) 0f x = ( )f x (0,1) ( )f x 0x ( )F x (0,1) (1) cos1f a= + (0)f a= (1) (0)f f> ( )f x (0,1) 1x ( )f x 1x (0) 0, (1) 0, f f 1 2 1, , , na a a −⋅⋅⋅ 1 4d = 2 5d = 3 2d = 1 0a > 0 1q< < 1 2, , , na a a 1, 2, , 1i n= − 1,i i i iA a B a += =14 于是对 ， ． ----------------7 分 因此 且 （ ）， 即 是等比数列． ----------------9 分 (III) 设 为 的公差，则 对 ，因为 ， 所以 ，即 ------------11 分 又因为 ，所以 ． 从而 是递减数列．因此 （ ）．----------------12 分 又因为 ，所以 ． 因此 ． 所以 ． ． 因此对 都有 ， 即 是等差数列． ----------------14 分 1, 2, , 1i n= − 1i i i i id B A a a+= − = − 1 1( 1) ia q q −= − 0id ≠ 1i i d qd + = 1,2, , 2i n= − 1 2 1, , , nd d d − d 1 2 1, , , nd d d −⋅⋅⋅ 0d > 1 2i n −≤ ≤ 1i iB B +≥ 1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A+ + + += − ≤ − = − − < − = 1i iA A+ < 1 1min{ , }i i iA A a+ += 1 1i i i ia A A a+ += < ≤ 1 2 1, , , na a a − i iA a= 1,2, , 1i n= − 1 1 1 1 1 1+ +B A d a d a= = > 1 1 2 1nB a a a −> > > > 1na B= 1 2 1n nB B B a−= = = = i i i i n ia A B d a d= = − = − 1,2, , 2i n= − 1 +1i i i ia a d d d+ − = − = − 1 2 1, , , na a a −