2019 一 2020 学年第二学期高三年级 6 月模拟考试
文科数学
考试时间 120 分钟 ，满分 150 分。仅在答题卷上作答。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。)
1.设集合 ， ，则
A.
B.
C.
D.
2.设复数 z= +i（i 为虚数单位），则|z|=
A. B. C. D.2
A. B. 2 C.
D. 1
4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于
A. B. C.
2{ | 4}A x x= < 12 2
xB x = A B∩ =
{ }| 1 x x < −
{ }| 2 x x <
{ }| 1 2 x x− < <
{ }| 2 1 x x− < < −
2 2 2
1
3
2
3
1
2D.
5.设 为等差数列 的前 项和,且 ,则
A. 28 B. 14
C. 7 D. 2
6.已知奇函数 的图象经过点 ，若矩形 的顶点 在 轴上，顶
点 在函数 的图象上，则矩形 绕 轴旋转而成的几何体的体积的最大值
为
A. B.
C. D.
7.某校李老师本学期任高一 A 班、B 班两个班数学课教学，两个班都是 50 个学生，
下图反映的是两个班在本学期 5 次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，
下列不正确的结论是
A. A 班的数学成绩平均水平好于 B 班
B. B 班的数学成绩没有 A 班稳定
C. 下次 B 班的数学平均分高于 A 班
D. 在第一次考试中，A、B 两个班总平均分为 78 分
8.如图， 直线 经过函数 （ ， ） 图象的
最高点 和最低点 ，则
A. ， B. ， C. ， D. ，
3
49.已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 ， 为抛物线上的任一点，过点 作
圆 的切线，切点分别为 ，则四边形 的面积最小值为
A. B.
C. D.
10.函数 （其中 是自然对数的底数）的大致图像为
A. B. C. D.
11.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ,
，则 的大小关系是
A. B. C.
D.
12.若函数 的定义域为 R，其导函数为 ．若 恒成立，
，则 解集为
A. B. C. D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 ，且 ，则 _________________.
( ) 1
1
x
x
ef x e
+= − e
( )f x ( )'f x ( )' 3 0f x − <
( ) 0h x′ < ( ) 3 6f x x− <
( ), 2−∞ − ( )2,2− ( ),2−∞ ( )2,− +∞14.若 满足 ，则 的最小值为______．
15.椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，线段 的中点为 ，圆 过点 ，
且与 交于 ， 是等腰直角三角形，则圆 的标准方程是____________
16.已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，有下列命题：
①若 平行于同一平面，则 与 平行；
②若 ， ，则 ；
③若 不平行，则在 内不存在与 平行的直线；
④若 ， ，则 且 ；
⑤若 ， ，则 与 所成角等于 与 所成角.
其中真命题有__________．（填写所有正确命题的编号）
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
17. （本题 12 分）
已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ， ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 ．
18. （本题 12 分）
“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴
都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续 25 天左右的
梅雨季节，如图是江南 镇 2009～2018 年梅雨季节的降雨量（单位： ）的频率
分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
,α β ,m n
,m n m n
m α⊥ / /n α m n⊥
,α β α β
nα β∩ = / /m n / /m α / /m β
/ /m n / /α β m α n β“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计 镇明年梅雨季节的降雨量；
“江南梅雨无限愁”. 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，
他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品
种杨梅 2009～2018 年的亩产量（ /亩）与降雨量的发生频数（年）如 列联表
所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅
受降雨量影响更小？
（完善列联表，并说明理由）.
亩产量\降雨量 合计
0 0(3, )( 1)P y y > C
13| | 4PF = Q
2 2( 3) 6x y+ − = F l C
Q M A B N， ， ，
C
(| | | |) | |MB NA AB+ 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
写出曲线 的极坐标的方程以及曲线 的直角坐标方程；
若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 ， 两
点，弦 的中点为 ，求 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）
若关于 的不等式 的解集为 ，记实数 的最大值为 .
（1）求 ；
（2）若正实数 满足 ，求 的最小值.
C 3{ 2
x cos
y sin
θ
θ
=
= θ
x D 4sin 6
πρ θ = −
( )Ⅰ C D
( )Ⅱ 2 2, 4A
π
3
π
l C M N
MN P •
AP
AM AN
x 3 2 3 1 0x x t+ + − − ≥ R t a
a
,m n 4 5m n a+ = 1 4
2 3 3y m n m n
= ++ +参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A A B B C A D D B D
1.C【解析】因为 ，
所以 ，选 C.
2.C【解析】复数 z=
则|z|= ． 故选：C．
3.A【解析】由题意结合 可设 ，
则由 ,得|(x,y)−(1,1)|=|(1,−1)|，
据此可得：(x−1)2+(y−1)2=2，
即 对应点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，
∵圆过圆心，
∴ 的最大值为圆的直径 ，故选：A
4.A
【解析】
抠点法，在长方体 中抠点,1.由正视图可知: 上没有点;
2.由侧视图可知: 上没有点; 3.由俯视图可知: 上没有点;4.由正（俯）视图可知:
{ } ( ) ( )2 1| 4 2,2 , |2 1,2
xA x x B x = < = − = > = − +∞
{ }| 1 2 A B x x∩ = − < <
a b⊥ ( ) ( ) ( )1,0 , 0,1 , ,a b c x y= = =
( )c a b a b− + = −
c
c 2 2
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1C D
1 1B C 1CC处有点,由虚线可知 处有点, 点排除.由上述可还原出四棱锥 ,如右图
所示, , ，故选 .
5.B【解析】由等差数列的性质求得 ，利用等差数列的前 项和公式结合等差的性质可得
结果.
因为 ，
所以
，故选 B.
6.B【解析】由奇函数 的图象经过点 先求出 ， 的值，得到函数表达式；接下
来分析该几何体为矩形绕 轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为 ，结合题意
即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.
由 ，及 得， ， ， ，
如图，不妨设点 在 轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径 ，
令 ，整理得 ，则 为这个一元二次方程的两不等实根，
所以
于是圆柱的体积 ，
当且仅当 ，即 时， 等号成立.故选 B
7.C 【 解 析 】 A 班 的 5 次 数 学 测 试 平 均 分 分 别 为 81,80,81,80,85 ， 5 次 的 平 均 分
，B 班的 5 次数学测试平均分分别为 75,80,76,85,80，5 次的
平均分为 ，A 班的数学平均分好于 B 班，选项 A 正确；由
于 A 班的成绩都在 80 分附近，而 B 班的平均分变化很大，所以 A 班成绩稳定些，选项 B 正
确；下次考试 A，B 班的平均分不能预料，所以选项 C 错误；在第一次考试中，总平均分为
分，选项 D 正确，故选 C.
8.A【解析】由 ， 分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为 1 和 ，
代入直线 得其横坐标分别为 和 ，
故 ， ，得 ，故 ，故 ，
,D E ,B F A 1A BEDF−
1 1 1BEDFS = × =
1
1 11 13 3A BEDFV − = × × = A代入 得 ，
故 ，所以
因为 ，所以 ，故选 A．
9.D【解析】设 ，则 ，进而得最值.
由题意可知抛物线的方程为 ，圆 恒的圆心为 ，半径为 ．
设 ，则
所以当 时，切线长 取得最小值 ，
此时四边形 的面积取得最小值，最小值为 ，故选 D．
10.D【解析】由题意得，函数点定义域为 且 ，所以定义域关于原点对称，
且 ，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
故选 D.
11.B【解析】由于 ，所以 .故选 B.
12.D
【解析】由已知有 ，令 ，则 ，
函 数 在 R 单 调 递 减 ， ， 由 有
，则 ，故选 D.
13.
【解析】 ，且 ，
，
.故答案为
14.
【解析】
x R∈ 0x ≠
( ) ( )
111 1
11 11
x xx
x x
x
e eef x f xe e
e
− −
− −
++ +− = = = − = −− −−
( ) 3 6 0f x x− − < ( ) ( ) 3 6g x f x x= − − ( ) ( ) 3 0g x f x′ −′= <
( )g x ( ) ( ) ( )2 2 3 2 6 0g f− = − − × − − = ( ) 0g x <
( ) ( )2g x g< − 2x > −画出约束条件 对应的平面区域如下图示：
由 ，可得 ，
将 变形为 ，
平移直线 ，
由图可知当直 经过点 时，
直线在 轴上的截距最大，
此时，目标函数 有最小值： ，故答案为 ．
15.
【解析】如图设 A（﹣a，0），可得 a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，
线段 AF 的中点为 B（ ，0），
圆 F 的圆心为 F（1，0），半径 r＝|BF| ，
设 D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），
由△BDE 为等腰直角三角形，可得 kBD＝1，
即 1，即 n＝m ，
由 D 在圆 F：（x﹣1）2+y2＝（ ）2 上，
可得（m﹣1）2+（m ）2＝（ ）2，
化简可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，
解得 m＝1 或 m （舍去），则 n ，
将 D（1， ）代入椭圆方程，可得
1，
化简可得 a＝2 或 （舍去），
则圆 F 的标准方程为（x﹣1）2+y2 ，
故答案为：（x﹣1）2+y2 ．
16.②⑤
【解析】① 还可以相交或异面；③若 不平行，则 相交，设 ，在
内存在直线 ，使得 ，则 ；④ 还可能在平面 内或平面 内．
②⑤正确.
17.（1） ， ；（2）是等比数列，理由详见解析；（3） .
【解析】 数列 满足 ， ，
当 时， ，
解得： ．
当 时，
解得： ．
当 时， ，
所以： ．
m n， α β， α β， lα β∩ = α
a / /a l / /a β m α β则数列 为以 2 为首项，2 为公比的等比数列．
由 和 得： ，
所以： ，
，
，
．
18. 乙
【解析】 频率分布直方图中第四组的频率为 .
所以用样本平均数估计 镇明年梅雨季节的降雨量为
.
根据频率分布直方图可知，降雨量在 200～400 之间的频数为 .
进而完善列联表如图.
亩产量\降雨量 200～400 之间 200～400 之外 合计
y
=
=
2
4
9
0
p
y
C yx 42 =
）（2 l l 1+= kxy
( )3,0Q l
1
2
2 +
=
k
d
∴
1
4622|| 2
22
+−=−=
kdrAB
( )11, yxM ( )22 , yxN
+=
=
1
42
kxy
yx ( ) 0142 22 =++− yky则 ，由抛物线定义知 ，………………8 分
.………………10 分
设 ， 则
， ，
函数 在 上都是单调递增函数，
当 时即 时， 有最小值 .………………12 分
21.（1）单调减区间为 ，单调增区间为 （2）
【解析】（1）由题
由 ，得
由 ，得 ；由 ，得
的单调减区间为 ，单调增区间为
（2） ，
因为 是 的极小值点，所以 ，即 ，
所以
1°当 时， 在 上单调递减；
在 上单调递增；
所以 是 的极小值点，符合题意；
2°当 时，
在 上单调递增；
24 2
21 +=+ kyy )1(42|| 2
21 kyyMN +=++=
∴ |||)|(| ABNAMB ⋅+ |||)||(| ABABMN ⋅+= 2|||||| ABABMN +⋅=
）
1
46(4)1
46()1(8 22
2
+−++−+=
kkk
241
16)1(41k68 2
22 ++−+−+=
kk）（
12 += kt ）（ 1t ≥ |||)||(| ABNAMB ⋅+ 24164t68 2 +−−=
tt
2416
3
2)3
1-t(68 2 +−−=
t
）（ 1t ≥
∴
ty 16y3
2)3
1-t(6 2 −=−= 和 [ )+∞,1
∴ 1t = 0=k |||)||(| ABMAMB ⋅+ 828 + 在 上单调递减；
在 上单调递增；
所以 是 的极小值点，符合题意；
3°当 时， 在 上单调递增，
无极值点，不合题意
4°当 时，
在 上单调递增；
在 上单调递减；
在 上单调递增；
所以 是 的极大值点，不符合题意；
综上知，所求 的取值范围为
22.(Ⅰ)曲线 的极坐标方程为： ；曲线 的直角坐标方程为：
.(Ⅱ) .
【解析】 由题意 的方程为： 可得 的普通方程为： ，
将 代入曲线方程可得： .
因为曲线 的极坐标方程为 ，
所以 .
又 ， ， .
C
2 2 2 2cos sin 19 4
ρ α ρ α+ = D
2 2x y+
2 3 2y x= − 4 19 3
16
+
( )Ⅰ C 3 ,{ 2 ,
x cos
y sin
θ
θ
=
= C
2 2
19 4
x y+ =
,{ ,
x cos
y sin
ρ α
ρ α
=
=
2 2 2 2cos sin 19 4
ρ α ρ α+ =
D 4sin 6
πρ θ = −
2 3 14 sin 4 sin cos6 2 2
πρ ρ θ ρ θ θ = − = −
2 2 2x yρ = + cosx ρ θ= siny ρ θ=所以 .
所以曲线 的极坐标方程为： ；曲线 的直角坐标方程为：
.
因为点 ，化为直角坐标为 所以 .
因为直线 过点 且倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参
数），代入 中可得： ，
所以由韦达定理： ， ，
所以 .
23.（1） （2）3
解析：（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
从而实数 的最大值 .
（2）因为
，
所以 ，从而 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
2 2 2 3 2x y y x+ = −
C
2 2 2 2cos sin 19 4
ρ α ρ α+ = D 2 2x y+
2 3 2y x= −
( )Ⅱ 2 2, 4A
π
2 2 2,4{
2 2 2,2
x cos
y sin
π
π
= =
= =
( )2,2A
l ( )2,2A 3
π
l
12 ,2{
32 ,2
x t
y t
= +
= +
t
2 2
19 4
x y+ = ( )231 8 18 3 16 04 t t+ + + =
1 2
32 72 3
31
bt t a
++ = − = − 1 2
64
31
ct t a
= =
1 2
1 2
4 19 32
• 16
t t
AP
AM AN t t
+
+= =
3a =
3 2 3 1 0x x t+ + − − ≥ 3 2 3 1 1x x+ + − ≥
( ) ( )3 2 3 1 3 2 1 3 3x x x x+ + − ≥ + + − = 3t ≤
t 3a =
( ) ( ) ( )1 4 1 44 5 2 3 32 3 3 2 3 3m n m n m nm n m n m n m n
+ + = + + + + + + + +
2
1 42 3 3 92 3 3m n m nm n m n
≥ ⋅ + + ⋅ + = + +
1 43 92 3 3m n m n
+ ≥ + + 3y ≥
1 4
2 3 3m n m n
=+ +
1
3m n= =所以 的最小值为 .1 4
2 3 3y m n m n
= ++ + 3
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