2019 一 2020 学年第二学期高三年级 6 月模拟考试
理科数学
考试时间 120 分钟 ，满分 150 分。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。)
1.集合 的非空真子集的个数为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.若 （ ， ， 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知正项等比数列{an}，若向量 ， ， ，则
＝（ ）
A.12 B. C.5 D.18
4.已知数列 的首项 ，函数 为奇函数，记 为数列
的前 项之和，则 的值是（ ）
A. B.1011 C.1008 D.336
5.已知实数 x，y 满足不等式 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.自 2019 年 12 月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病
毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范
围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有 3 个不同的住户属在鄂返乡住
户，负责该小区体格检查的社区诊所共有 4 名医生，现要求这 4 名医生都要分配出去，且每
{ }2| 2 ,xx x x R= ∈
( )( )2 1 1a i i bi+ = − + a b R∈ i a bi−
( )28,a a= ( )8 2b a= ， / /a b
2 1 2 2 2 9log log loga a a+ + +
28 log 5+
{ }na 1 1a = ( ) 3
1 cos 3n nf nx ax a
π
+= + − − nS
{ }na n 2020S
2023
2
2 0
2 5 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥ 3
yz x
= +
3
5
4
5
3
4
3
2个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.72 种
7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A.55 B.35 C.34 D.21
8.在直角坐标系 中， ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，
位于第一象限上的点 是双曲线 上的一点，满足 ，若点 的纵坐标的
取值范围是 ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
9.给出下列说法：①“ ”是“ ”的充分不必要条件；②命题“ ，
”的否定是“ ， ”；③小赵、小钱、小孙、小李到4 个景
点旅游，每人只去一个景点，设事件 为“4 个人去的景点不相同”，事件 为“小赵独自去
一个景点”，则 ；④设 ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方
形 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 6587.（注：若
xOy 1F 2F C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
( )0 0,P x y C 1 2 0PF PF⋅ = P
0
2 4,3 5y c c ∈ C
( )2,2 ( )2,4
( )3,5 ( )3, 5
4x
π= tan 1x = 0x∀ >
1 0xe x− − > 0 0x∃ ≤ 0
0 1 0xe x− − ≤
A B
2( | ) 9P A B = ~ (1,1)X N
ABCD，则 ， ）
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角
形，E，F 分别是 PA，PB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若 在区间
上有 个零点 ，则 （ ）
A.4042 B.4041 C.4040 D.4039
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题，每个试题考生
( )2~ ,X N µ σ ( ) 68.27%P Xµ σ µ σ− < + ≈ ( 2 2 ) 95.45%P Xµ σ µ σ− < + ≈
( ) sin 2f x x x x= −
8 6π 4 6π 2 6π 6π
( ) 2
2
1 0
1 0
x x xf x
x x x
− − + > < ( )y f x=
( )g x ( )g x
2π 24g
π =
3
8f
π =
ABC∆ A B C a b c 2( cos ) 3c a B b− =
A
2a = ABC∆
y x
x
y依据表中的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；并根据所求线性回
归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料 10 千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量
是多少百斤?
（2）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份 10 元的价格
销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份 15 元的价格卖给顾客，如果当天前 8 小时卖不完，
则超市通过促销以每份 5 元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价
处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了 100 天有机蔬菜在每天的前 8
小时内的销售量（单位:份），制成如下表格(注: ，且 )；
前 8 小时
内的销售
量（单位:
份）
15 16 17 18 19 20 21
频数 10 x 16 6 15 13 y
若以 100 天记录的频率作为每日前 8 小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜
利润的期望值为决策依据，当购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大时，求 的取值范围.
附：回归直线方程为 ，其中 .
19. （本题 12 分）
在 中， ， .已知 分别是 的中点.将
沿 折起，使 到 的位置且二面角 的大小是 60°，连接
，如图：
y x y bx a= +
y
, *x y N∈ 30x+ y =
x
ˆˆ ˆy bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
Rt ABC∆ 90ABC∠ =
1tan 2ACB∠ = E F， BC AC，
CEF∆ EF C C′ C EF B′− −
C B C A′ ′，（1）证明：平面 平面
（2）求平面 与平面 所成二面角的大小.
20. （本题 12 分）
已知 为坐标原点，椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 相交于 两
点，点 满足 .
（1）当 的倾斜角为 时，求直线 的方程；
（2）试探究在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由.
21. （本题 12 分）
已知函数
（I）若 ，求函数 的极值和单调区间；
（II）若在区间 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，
则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程： （ 为参数），以原点
为极点， 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆 的极坐标方程为：
．
（1）将直线 的参数方程化为普通方程，圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求圆 上的点到直线 的距离的最小值．
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，对 ， ，都有不等式 恒成立，求 的取
值范围．
AFC′ ⊥ ABC′
AFC′ BEC′
O
2
2: 12
xC y+ = F F l C A B、
M 0AM BM+ =
l 45° OM
x Q QA QB⋅ Q
1( ) ln ( 0, )f x a x a a Rx
= + ≠ ∈
1a = ( )f x
[1, ]e 0x 0( ) 0f x < a
xOy l
12 2
31 2
x t
y t
= −
= +
t
x C
2cos 0ρ θ+ =
l C
C l参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D D A C C D D C A D B
1.C
【解析】画出函数 和 的图象，根据图象知集合有 3 个元素，得到答案.
画出函数 和 的图象，根据图象知集合 有 3 个元素，
故集合 的非空真子集的个数为 .
故选： .
2.D
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b 的值，则答案可
求.
因为
∴ ，解得
∴复数 a﹣bi 在复平面内对应的点 所在的象限为第四象限.
故选：D.
3.D
【解析】本题先根据平行向量的坐标运算可得 ，再根据等比中项的知识，可计算出
，在求和时根据对数的运算法则及等比中项的性质可得到正确选项.
2xy = 2y x=
2xy = 2y x= { }2| 2 ,xx x x R= ∈
{ }2| 2 ,xx x x R= ∈ 32 2 6− =
C
( )( ) ( ) ( )2 1 1 1 1a i i bi b b i+ = − + = + + −
1
2 1
a b
b
= +
= −
4
3
a
b
=
=
( )4, 3−
2 8 16a a =
5 4a =由题意，向量 ， ， ，
则 ，即 ，
根据等比中项的知识，可得 ，
∵ ，故 ，
∴
故选：D.
4.A
【解析】根据奇偶性得到 ，计算知 以 6 为周期循环，计算得到答案.
函数 为奇函数，则 ，
即 ， 周期为 .
， ， ， ， ， .
解得 ， ， ， ， ， ， ， 以 6 为周期循环.
故 .故选： .
5.C
【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数 转化为点 与 连线的斜率，
从而求出其最大值.
根据约束条件 画出可行域，
( )28,a a= ( )8 2b a= ， / /a b
2 88 2 0a a× − = 2 8 16a a =
2
2 8 5 16a a a= =
5 0a > 5 4a =
2 1 2 2 2 9log log loga a a+ + +
( )2 1 2 9log a a a=
( )( )( )( )2 1 9 2 8 3 7 4 6 5log a a a a a a a a a= ⋅
9
2 5log a=
29log 4=
18=
1 cos 3n n
na a
π
+ − = na
( ) 3
1 cos 3n nf nx ax a
π
+= + − − ( ) 1 c0 os 03n n
nf a a
π
+= − − =
1 cos 3n n
na a
π
+ − = cos 3
nπ
6
2 1
1
2a a− = 3 2
1
2a a− = − 4 3 1a a− = − 5 4
1
2a a− = − 6 5
1
2a a− = 7 6 1a a− =
1 1a = 2
3
2a = 3 1a = 4 0a = 5
1
2a = − 6 0a = 7 1a = na
( )2020 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
2023
2336S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + = A
3
yz x
= +
( ),x y ( )3,0−
2 0
2 5 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥图中阴影部分为可行域，
目标函数 ，
表示可行域中点 与 连线的斜率，
由图可知点 与 连线的斜率最大，
故 的最大值为 ，故选：C.
6.C
【解析】先将 4 名医生分成 3 组，其中 1 组有 2 人，共有 种选法，然后将这 3 组医生分配
到 3 个不同的住户中去，有 种方法，由分步原理可知共有 种.
不同分配方法总数为 种.故选：C
7.D
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程
序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
模拟程序的运行过程：
第 1 次： ；
第 2 次： ；
第 3 次： ；
第 4 次： ；
第 5 次： ；
第 6 次： ；
3
yz x
= +
( , )x y ( 3,0)−
(1,3)P ( 3,0)−
z 3
4
2
4C
3
3A 2 3
4 3C A
2 3
4 3C A 36=
2, 1, 2, 2c a b i= = = =
3, 2, 3, 3c a b i= = = =
5, 3, 5, 4c a b i= = = =
8, 5, 8, 5c a b i= = = =
13, 8, 13, 6c a b i= = = =
21, 13, 21, 7 6c a b i= = = = >退出循环故输出的结果为： 。故选：D.
8.D
【解析】利用 以及 求得 ，根据 的取值范围求得 的取
值范围，由此求得 的取值范围，进而求得双曲线 的离心率的取值范围.
，由 ，可得 ，又 ，
解得 ，由于 ，所以 ， ， ，
， .故选：D
9.C
【解析】①由 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条
件，①正确；
②命题“ ， ”的否定是“ ， ”， ②错误；
③由条件概率的计算公式得 ，③正确；
④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是
，④正确.。故选：C.
10.A
【解析】先判断函数的奇偶性,再求 ，进行排除，可得选项．
由题意得 ，所以函数 是奇函数，
排除 C、D 选项；当 时， ，因此排除 B，故选 A．
11.D
【解析】先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体
一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
21
1 2 0PF PF⋅ = 2 2
0 0
2 2 1x y
a b
− =
4
2
0 2
by c
= 0y
2
2
b
c
2
11 e
− C
( ) ( ) ( )01 02,0 , ,,0 ,F c F c P x y−
1 2 0PF PF⋅ = 2 2
0
2
0 0x c y− + = 2 2
0 0
2 2 1x y
a b
− =
4
2
0 2
by c
= 0
2 4,3 5y c c ∈
2
2
2 4
3 5
b
c
< <
2 2
2
2 4
3 5
c a
c
−< < 2
2 1 413 5e
< − <
2
1 1 1
5 3e
< < 3 5e< <
tan 1 ,4x x k k Z
π π= ⇔ = + ∈
4x
π= tan 1x =
0x∀ > 1 0xe x− − > 0 0x∃ > 0
0 1 0xe x− − ≤
4
4
1 3
4
( ) 2( | ) ( ) 3 9
AP ABP A B P B C
= = =⋅
( )1 110000 1 0 2 10000 1 0.6827 65872 2P x × − < < = × − × ≈
( ) 0f π >
( )( ) sin 2 sin2 ( )f x x x x x x x f x− = − − − − = − + = − ( )f x
πx = ( ) 2π π π 2π π 0f sin= − = >
PB ⊥ PAC 2PA PB PC= = = P ABC−解法一: 为边长为 2 的等边三角形， 为正三棱锥，
，又 ， 分别为 、 中点，
， ，又 ， 平面 ， 平
面 ， ， 为正方体一部分，
，即 ，故选 D．
解法二:
设 ， 分别为 中点，
，且 ， 为边长为 2 的等边三角形，
又
中余弦定理 ，作 于 ， ，
,PA PB PC ABC= = ∆ P ABC∴ −
PB AC∴ ⊥ E F PA AB
/ /EF PB∴ EF AC∴ ⊥ EF CE⊥ ,CE AC C EF= ∴ ⊥ PAC PB ⊥
PAC 2PAB PA PB PC∴∠ = 90°,∴ = = = P ABC∴ −
2 2 2 2 6R = + + = 36 4 4 6 6, 62 3 3 8R V R= ∴ = π = × = ππ
2PA PB PC x= = = ,E F ,PA AB
/ /EF PB∴ 1
2EF PB x= = ABC∆
3CF∴ = 90CEF∠ = ° 2 13 , 2CE x AE PA x∴ = − = =
AEC∆ ( )2 24 3
cos 2 2
x x
EAC x
+ − −
∠ = × × PD AC⊥ D PA PC=为 中点， ， ，
， ，又 ，
两两垂直， ， ，
，故选 D.
12.B
【解析】由题意 ，设
， ，由函数的奇偶性可
得 ，由三角函数的性质可得 ，再由
即可得解.
由题意 ，
设 ， ，
则 为方程 的根即为函数 与 交点的横坐标，
当 时， ，且 ，所以函数 为奇函
数；
，所以函数 为奇函数；
所以 ，所以 ，
函数 的图象，如图，
函数 的最小正周期 ，且 ，
D AC 1cos 2
ADEAC PA x
∠ = = 2 24 3 1
4 2
x x
x x
+ − +∴ =
2 2 1 22 1 2 2 2x x x∴ + = ∴ = = 2PA PB PC∴ = = = = = =2AB BC AC
, ,PA PB PC∴ 2 2 2 2 6R∴ = + + = 6
2R∴ =
34 4 6 6 63 3 8V R∴ = π = π× = π
( ) ( )
( )
2
2
sin 2020 0
sin 2020 0
x x x xF x x x x x
π
π
− − −
1e a
≤ ( ) 0f x′ ≤ [1,e]x∈
( )f x [1, ]e
( )f x [1, ]e 1 1( ) ln 0f e a e ae e
= + = + >
( )f x [1, ]e
11 ea
< < 11 a e
> >
( )f x [1, ]e 1 1( ) lnf a aa a
= +
1 1( ) ln (1 ln ) 0f a a a aa a
= + = − <
1 ln 0a− < a e> ( )a e∈ + ∞，
10 1a
< < 1a > ( )f x [1, ]e可得 取得最小值，且为 1， ，不成立．
综上，由（1）（2）可知 符合题意．
22.（1）直线 的普通方程为 ．圆 的普通方程为 ；（2）
．
【解析】（1）直线 的参数方程消去参数 得普通方程为： ；
由 得： ， ，
圆 的普通方程为 ；
（2）在圆 上任取一点 ，
则 到直线 的距离为
当 时， ，此时 ．
23.（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由题意知， ，
若 ，则不等式化为 ，解得 ；
若 ，则不等式化为 ，解得 ，即不等式无解；
若 ，则不等式化为 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 ；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式 恒成立，
只需 ，
当 时， ， ，
因为 ，所以当 时，
，
即 ，解得 ，
(1)f (1) 0f >
1a e
< −
l 3 1 2 3y x= − + + C ( )2 21 1x y+ + =
3 3 1
2
−
l t 3 1 2 3y x= − + +
2cos 0ρ θ+ = 2 2 cosρ ρ θ= − 2 2 2x y x∴ + = −
∴ C ( )2 21 1x y+ + =
C ( ) [ )( )1 cos ,sin 0,2P θ θ θ π− + ∈
P l
( )2
3 3 1 2sin3 3 cos sin 1 2 3 3
21 3
d
πθθ θ
+ − + − − + + = =
+ −
6
πθ =
min
3 3 1
2d
−= 3 11 ,2 2P
− + 结合 ，所以 的取值范围是 .
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