2020年全国I卷高考理科数学考前适应性试卷（二）（Word版附答案）

2020 年全国 I 卷高考考前适应性试卷 理 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．记复数 的共轭复数为 ，已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．下列关于命题的说法正确的是（ ） A．命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B．命题“若 ，则 ， 互为相反数”的逆命题是真命题 C．命题“ ， ”的否定是“ ， ” D．命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题 4．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 6．运行如图所示的程序框图，输出的 的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知平面向量 ， ，满足 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8 ． 已 知 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 图象的一个对称中心可能为（ ） A． B． C． D． 9．如图所示， 是等腰直角三角形，且 ， 为 边上的中点， 与 为等边三角形，点 是线段 与线段 的交点，点 是线段 与线段 的交点， 若往 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为（ ） 2{ | 2 8 0}A x x x= + − < { | 0}B y y= ≥ A B = [0,4) [0,2) (2,4) ∅ z z z (2 i) 5z− = | |z = 3 5 7 5 0xy = 0x = 0xy = 0x ≠ 0x y+ = x y x∃ ∈R 2 2 2 0x x− + ≥ x∀ ∈R 2 2 2 0x x− + ≥ cos cosx y= x y= 2 33a = cos22b = 1 2 log (2 sin 4)c = + b a c< < a b c< < b c a< < c b a< < 16π 3 π 3 2π 9 16π 9 k 8 10 12 14 a b (1, 3)=a | | 3=b ( 2 )⊥ −a a b | |− =a b 2 3 4 6 ( ) sin( )( 0, 0,| | π)f x A x Aω ϕ ω ϕ= + > > < ( ) cos( )g x A xϕ ω= + 5( ,0)2 − 1( ,0)6 1( ,0)2 − 9( ,0)6 − ABC△ AB AC= E BC ADE△ AEF△ M AB DE N AC EF ABC△ 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 参考数据： ， ． A． B． C． D． 10．在梯形 中， ， ， ， ，动点 和 分别在 线段 和 上，且 ， ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 的图象关于点 对称，函数 对于任意的 满足 （其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 12．已知关于 的不等式 有且仅有三个正整数解（其中 为自然对 数的底数），则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若抛物线 上的点 到焦点的距离为 ，则 到 轴的距离是 ． 14．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ． 15 ． 在 中 ， 若 ， ， 则 面 积 的 最 大 值 为 ． 16．已知半径为 的球内有一个内接四棱锥 ，四棱锥 的侧棱长都相等， 底面是正方形，当四棱锥 的体积最大时，它的底面边长等于 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（12 分）已知公差不为零的等差数列 和等比数列 满足： ， ， 且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 和 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 ． 18．（12 分）如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， ， ， ． 6 2sin 75 4 +° = 6 2sin15 4 −° = 3 3 2 − 5 2 3 2 − 3 3 3 − 5 2 3 3 − ABCD AB CD∥ 1CD = 2AB BC= = 120BCD∠ = ° P Q BC CD BP BCλ=  1 8DQ DCλ=  AP BQ⋅  2− 3 2 − 3 4 9 8 ( 1)y f x= − (1,0) ( )y f x= (0,π)x∈ ( )sin ( )cosf x x f x x′ > ( )f x′ ( )f x π π( ) 3 ( )3 6f f− > − 3π π2 ( ) ( )4 2f f< − − π π3 ( ) 2 ( )2 3f f> 5π 3π2 ( ) ( )6 4f f< x ( )x xx x me me− > 2.71828e =  m 4 3 16 9( , ]5 4e e 3 2 9 4( , ]4 3e e 4 3 16 9[ , )5 4e e 3 2 9 4[ , )4 3e e 2 8x y= P 12 P x x y 2 5 0 3 4 0 x y x y x y − ≤  + ≥  − ≥ 2z x y= − ABC△ cos 4AB BC B⋅ ⋅ = | | 3 2BC BA− =  ABC△ 3 cm S ABCD− S ABCD− S ABCD− cm { }na { }nb 1 1 3a b= = 2 4b a= 1a 4a 13a { }na { }nb n n n ac b = { }nc n nS 1 1 1ABC A B C− ABC 2 1 3BB = 1 10AB = 1 60CBB∠ = ° （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的正弦值． 19．（12 分）为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到 的数据统计如下图所示．并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如 下表所示． （1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间； （2）根据表中数据，判断是否有 的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关； （3）用频率估计概率，若在该电视机的生产线上随机抽取 台，记其中使用时间不低于 年的电视 机的台数为 ，求 的分布列及期望． 附： ， 20 ．（ 12 分 ） 已 知 椭 圆 的 长 轴 长 为 ， 且 椭 圆 与 圆 的公共弦长为 ． ABC ⊥ 1 1BCC B 1B AB C− − 99.9% 4 4 X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 6 C 2 2 40:( 2) 9M x y− + = 4 10 3 （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于两点 ， ，试判断在 轴上是否存在 点 ，使得 为以 为底边的等腰三角形．若存在，求出点 的横坐标的取值范围，若不 存在，请说明理由． 21．（12 分）已知函数 ，其中 为正实数． （1）求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，直线 的方程是 ，曲线 的参数方程为 （ 为参 数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 和曲线 的极坐标方程； C (0,2)P k ( 0)k ≠ l C A B x D ADB△ AB D 2( ) ln( 1) 1f x a x x = − + − a ( )f x 2x > ( ) ( 1) 2xf x e a x a< + − − xOy l 2 2x = C 2cos 2 2sin x y α α =  = + α O x l C （2）射线 （其中 ）与曲线 交于 ， 两点，与直线 交于点 ， 求 的取值范围． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 设 ，函数 ． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）若 ，解关于 的不等式 ． :OM θ β= 5π0 12 β< ≤ C O P l M | | | | OP OM a∈R ( ) | | |2 3 |f x x a x a= + + − 1a = ( )f x 1 1 4 3a< < x ( ) 1f x ≥ 2020 年全国 I 卷高考考前适应性试卷 理 科 数 学（二）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】依题意， ，故 ，故选 B． 2．【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， ，所以 ，故选 B． 3．【答案】B 【解析】逐一分析所给命题的真假： A 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，题中说法错误； B 命题“若 ，则 ， 互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确； C 命题“ ， ”的否定是“ ， ”，题中说法错误； D 命题“若 ，则 ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误， 故选 B． 4．【答案】D 【 解 析 】 因 为 ， ， ， 所以 ，故选 D． 5．【答案】D 【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知： 该几何体的底面是圆心角为 的扇形，高是 的圆锥体， 2{ | 2 8 0} { | 4 2}A x x x x x= + − < = − < < [0,2)A B = (2 i) 5z− = 5 2 i2 iz = = +− 2 iz = − | | | | 5z z= = 0xy = 0x = 0xy ≠ 0x ≠ 0x y+ = x y x∃ ∈R 2 2 2 0x x− + ≥ x∀ ∈R 2 2 2 0x x− + < cos cosx y= x y= 2 2 1 1 2 2 log (2 sin 4) log 1 0c a b= + < = + 2 033 3 1a = > = cos2 00 2 2 1b< = < = a b c> > 2 π3 4 容易算得底面面积 ，所以其体积 ， 故答案为 D． 6．【答案】C 【解析】运行该程序，第一次， ， ；第二次， ， ； 第三次， ， ；第四次， ， ； 第五次， ， ，第六次 ， ， 此时 ，故输出的 的值为 ，故选 C． 7．【答案】B 【解析】由题意可得 ，且 ， 即 ， ， ， 由平面向量模的计算公式可得 ，故选 B． 8．【答案】C 【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知 ， 又 ，即 ，所以 ， 则 ，图象过点 ，则 ， 即 ，所以 ， 又 ，则 ，故 ， 令 ，得 ， 令 ，可得其中一个对称中心为 ，故本题答案选 C． 9．【答案】A 1 4ππ 43 3S = × = 1 1 16ππ 4 43 3 9V = × × × = 999S = 2k = 995S = 4k = 979S = 6k = 915S = 8k = 659S = 10k = 365S = − 12k = 0S < k 12 | | 1 3 2= + =a ( 2 ) 0⋅ − =a a b 2 2 0− ⋅ =a a b 4 2 0− ⋅ =a b 2⋅ =a b 2| | ( ) 4 9 4 3− = − = + − =a b a b 2 3A = 6 ( 2) 82 T = − − = 2π 16T ω= = π 8 ω = π( ) 2 3sin( )8f x x ϕ= + (2, 2 3)− πsin( ) 14 ϕ+ = − π π 2 π4 2 kϕ+ = − + 3π 2 π4 kϕ = − + | | πϕ < 3π 4 ϕ = − 3π π( ) 2 3 cos( )4 8g x x= − + 3π π π π4 8 2x k− + = + 1 4 2 3x k= − − 0k = 1( ,0)2 − 【解析】不妨设 ，在 中，由正弦定理得 ， 解得 ， 则阴影部分面积为 ， 而 ，故所求概率 ，故选 A． 10．【答案】D 【解析】因为 ， ， ， ， 所以 是直角梯形，且 ， ， 以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为 ， ，动点 和 分别在线段 和 上， 则 ， ， ， ， 所以 ， 令 且 ， 由对勾函数性质可知，当 时可取得最大值， 则 ，所以选 D． 11．【答案】C 【解析】由已知， 为奇函数， 1AE = AME△ sin 75 sin 60 AE AM=° ° 3 2 6 2AM −= 3 2 6 2 3 312 2 2AME ANES S − −+ = × × =△ △ 1ABCS =△ 3 3 2P −= AB CD∥ 1CD = 2AB BC= = 120BCD∠ = ° ABCD 3CM = 30BCM∠ = ° AB x AD y BP BCλ=  1 8DQ DCλ=  P Q BC CD 1[ ,1]8 λ ∈ (2,0)B (2 , 3 )P λ λ− 1( , 3)8Q λ 1 1 1(2 , 3 ) ( 2, 3) 5 48 4 8AP BQ λ λ λλ λ⋅ = − ⋅ − = + − −  1 1( ) 5 44 8f λ λ λ= + − − 1[ ,1]8 λ ∈ 1λ = max 1 1 9( ) (1) 5 44 8 8f fλ = = + − − = ( )f x 函数 对于任意的 满足 ， 得 ，即 ，所以 在 上单调递增； 又因为 为偶函数，所以 在 上单调递减， 所以 ，即 ，故选 C． 12．【答案】C 【解析】依题意， ，故 ，即 ， 令 ，故 ， 故当 时， ；当 时， ；当 时， ， 作出函数 的图象如下所示，可知三个正整数解为 ， ， ， 令 ，则 ， ， 解得 ，故选 C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】因为抛物线 ，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ， 因为点 到焦点的距离为 ，根据抛物线定义，则 到准线的距离也为 ， ( )y f x= (0,π)x∈ ( )sin ( )cosf x x f x x′ > ( )sin ( )cos 0f x x f x x′ − > ( )( ) 0sin f x x ′ > ( ) sin f xy x = (0,π) ( ) sin f xy x = ( ) sin f xy x = ( π,0)− π π( ) ( )3 2 π πsin sin3 2 f f < π π3 ( ) 2 ( )2 3f f> 2 x xx mxe me− > 2 ( 1)exx m x> + 2 ( 1)ex x m x> + 2 ( ) ex xf x = 22 (2 )( ) e ex x x x x xf x − −′ = = ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < (0,2)x∈ ( ) 0f x′ > (2, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1 2 3 2( ) e ex xg x x mx m= − − 3 3(3) 9 3 e e 0g m m= − − > 4 4(4) 16 4 e e 0g m m= − − ≤ 4 3 16 9 5e 4em≤ < 10 2 8x y= (0,2) 2y = − P 12 P 12 所以点 到 轴的距离为 ． 14．【答案】 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 观察可知，当直线 过点 时， 取最大值，最大值为 ． 15．【答案】 【解析】设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 依题意 ， 而 ，则 ， 而 ，当且仅当 时等号成立， 故 面积的最大值为 ． 16．【答案】 【解析】如图，设四棱锥 的侧棱长为 ，底面正方形的边长为 ，棱锥的高为 ． 由题意可得顶点 在地面上的射影为底面正方形的中心 ，则球心 在高 上． 在 中， ， ， ， ∴ ，整理得 ， P x 10 5 2z x y= − 5 5( , )3 3A − 2z x y= − 5 3 17 2 A B C a b c 2 2 2 cos cos 42 a c bAB BC B ac B + −⋅ ⋅ = = = | | | | 3 2BC BA AC b− = = =   2 2 26a c+ = 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1sin sin cos2 2 2ABCS ac B a c B a c a c B= = = −△ 2 2 2 2 21 1 3 1716 ( ) 162 2 2 2 a ca c += − ≤ − = a c= ABC△ 3 17 2 4 S ABCD− x a h S 1O O 1SO 1OO BRt△ 1 3OO h= − 3OB = 1 2 2O B a= 2 2 223 ( 3) ( )2h a= − + 2 212 2a h h= − 又在 中，有 ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∴当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， ∴当 时 取得最大值，即四棱锥 的体积取得最大值， 此时 ，解得 ， ∴四棱锥 的体积最大时，底面边长等于 ，故答案为 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）设 的公差为 ， 则由已知得 ，即 ，解之得 或 （舍）， 所以 ； 1SO BRt△ 2 2 2 2 22( ) (6 ) 62x h a h h h h= + = + − = 2 6 xh = 4 2 22 18 xa x= − 4 2 2 2 6 41 1 1(2 ) ( 6 )3 3 3 6 54S ABCD x xV a h x x x− = ⋅ ⋅ = × − × = − + 6 4( ) 6f x x x= − + 5 3 3 2( ) 6 24 6 ( 24)f x x x x x′ = − + = − − 0 2 6x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 2 6x > ( ) 0f x′ < ( )f x 2 6x = ( )f x S ABCD− 4 2 2 (2 6)2 (2 6) 1618a = × − = 4a = S ABCD− 4 cm 4 cm 2 1na n= + 3n nb = 22 3n n nS += − { }na d 2 1 13 4a a a= 23(3 12 ) (3 3 )d d+ = + 2d = 0d = 3 2( 1) 2 1na n n= + − = + 因为 ，所以 的公比 ，所以 ． （2）由（1）可知 ，所以 ， ， 所以 ， 所以 ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ， 因为底面 是边长为 的正三角形，所以 ，且 ， 因为 ， ， ， 所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面 平面 ． （2）如图所示，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐 标系， 2 4 9b a= = { }nb 3q = 3n nb = 2 1 3n n nc += 2 3 3 5 7 2 1 3 3 3 3n n nS += + + + + 2 1 5 7 2 13 3 3 3 3n n nS − += + + + + 1 2 1 1 12 (1 )1 1 1 2 1 2 1 2 43 32 3 2( ) 3 413 3 3 3 3 31 3 n n n n n n n n nS − − ⋅ −+ + += + + + + − = + − = − − 22 3n n nS += − 4 74 37 BC O OA 1OB ABC 2 OA BC⊥ 3OA = 1 3BB = 1 60CBB∠ = ° 1OB = 2 2 2 1 1 3 2 1 3 cos60 7OB = + − × × × ° = 1 7OB = 1 10AB = 2 2 2 1 110OA OB AB+ = = 1OA OB⊥ 1OB BC O= OA ⊥ 1 1BCC B OA ⊂ ABC ABC ⊥ 1 1BCC B O OC x OA y OH z 其中 ，则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设 为平面 的法向量， 则 ，即 ，令 ，得 ； 设 为平面 的法向量， 则 ，即 ，令 ，得 ， 所以 ， 所以二面角 的正弦值为 ． 19．【答案】（1） ；（2）有 的把握认为；（3）分布列见解析， ． 【解析】（1）依题意，所求平均数为 ． （2）依题意，完善表中的数据如下所示： 故 ， 故有 的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关． （3）依题意， ， 2BH = (0, 3,0)A ( 1,0,0)B − (1,0,0)C 1 1 3 3( ,0, )2 2B 1 1 3 3( , 3, )2 2AB = − ( 1, 3,0)AB = − − (1, 3,0)AC = − 1 1 1 1( , , )x y z=n 1ABB 1 1 1 0 0 AB AB  ⋅ = ⋅ =   n n 1 1 1 1 1 3 0 1 3 33 02 2 x y x y z − − = − + = 1 1y = 1 ( 3,1,1)= −n 2 2 2 2( , , )x y z=n 1AB C 2 2 1 0 0 AC AB  ⋅ = ⋅ =   n n 2 2 2 2 2 3 0 1 3 33 02 2 x y x y z  − = − + = 2 1y = 2 1( 3,1, )3 =n 1 2 1 2 1 2 13 1 53cos( , ) | || | 3737 59 − + +⋅= = = − × n nn n n n 1B AB C− − 5 4 741 37 37 − = 7.76 99.9% 16( ) 5E X = 2 0.2 6 0.36 10 0.28 14 0.12 18 0.04× + × + × + × + × 0.4 2.16 2.8 1.68 0.72 7.76= + + + + = 2 2 2000 (800 600 200 400) 333.33 10.8281000 1000 1200 800K × × − ×= ≈ >× × × 99.9% 4~ (4, )5X B 故 ， ， ， ， ， 故 的分布列为 故 ． 20 ．【 答 案 】（ 1 ） ； （ 2 ） 在 轴 上 存 在 满 足 题 目 条 件 的 点 ， ． 【解析】由题意可得 ，所以 ， 由椭圆 与圆 的公共弦长为 ，恰为圆 的直径， 可得椭圆 经过点 ，所以 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）直线 的解析式为 ， 设 ， ， 的中点为 ， 假设存在点 ，使得 为以 为底边的等腰三角形，则 ， 由 ，得 ，故 ， 所以 ， ， 41 1( 0) ( )5 625P X = = = 1 3 4 1 4 16( 1) C ( ) ( )5 5 625P X = = = 2 2 2 4 1 4 96( 2) C ( ) ( )5 5 625P X = = = 3 3 4 1 4 256( 3) C ( )( )5 5 625P X = = = 44 256( 4) ( )5 625P X = = = X 4 16( ) 4 5 5E X = × = 2 2 19 8 x y+ = x D 2 2[ ,0) (0, ]12 12 −  2 6a = 3a = C 2 2 40:( 2) 9M x y− + = 4 10 3 M C 2 10(2, )3 ± 2 4 40 19 9b + = 2 8b = C 2 2 19 8 x y+ = l 2y kx= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 0 0( , )E x y ( ,0)D m ADB△ AB DE AB⊥ 2 2 2 19 8 y kx x y = + + = 2 2(8 9 ) 36 36 0k x kx+ + − = 1 2 2 36 9 8 kx x k + = − + 0 2 18 9 8 kx k −= + 0 0 2 162 9 8y kx k = + = + 因为 ，所以 ，即 ，所以 ， 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ． 综 上 所 述 ， 在 轴 上 存 在 满 足 题 目 条 件 的 点 ， 且 点 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为 ． 21．【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）证明见解 析． 【解析】（1）由 ，得 ，所以 的定义域为 ， ， 由 ，得 ， 所以当 时， ；当 时， ， 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． （2）证明：令 ，则 ， 所以当 时， ；当 时， ， 所以 ，所以 ， 所以当 时，有 成立， 又因为 ，所以要证 ， DE AB⊥ 1 DEk k = − 2 2 16 0 19 8 18 9 8 k k kmk −+ = −− −+ 2 2 2 89 8 9 km k k k − −= =+ + 0k > 89 2 9 8 12 2k k + ≥ × = 2 012 m− ≤ < 0k < 89 12 2k k + ≤ − 20 12m< ≤ x D D 2 2[ ,0) (0, ]12 12 −  2(1,1 )a + 2(1 , )a + +∞ 1 0x − > 1x > ( )f x (1, )+∞ 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 2)( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) a a x ax af x x x x x − − − +′ = − = =− − − − ( ) 0f x′ > 2ax a +> 21 1x a < < + ( ) 0f x′ < 21x a > + ( ) 0f x′ > ( )f x 2(1,1 )a + 2(1 , )a + +∞ ( ) ln 1g x x x= − + 1( ) 1g x x ′ = − 0 1x< < ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < ( ) (1) 0g x g≤ = ln 1x x≤ − 2x > ln( 1) 2x x− ≤ − 0a > ( ) ( 1) 2xf x e a x a< + − − 只需证 ，即 对于任意的 恒成立， 令 ， ，则 ， 因为 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增， 所以 ， 所以当 时， ． 22．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴直线 的极坐标方程是 ， 由 ，消参数得 ， ∴曲线 的极坐标方程是 ． （2）将 分别代入 ， ， 得 ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 的取值范围是 ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时， ， 2( 2) ( 1) 21 xa x e a x ax − + < + − −− 2 01 xe x x − − >− 2x > 2( ) 1 xh x e x x = − − − 2x > 2 2( ) 1 ( 1) xh x e x ′ = − + − 2x > ( ) 0h x′ > ( )h x (2, )+∞ 2( ) (2) 4 0h x h e> = − > 2x > ( ) ( 1) 2xf x e a x a< + − − : cos 2 2l ρ θ = : 4sinC ρ θ= 2(0, ]2 cos sin x y ρ θ ρ θ =  = l cos 2 2ρ θ = 2cos 2 2sin x y α α =  = + 2 2( 2) 4x y+ − = C 4sinρ θ= θ β= 4sinρ θ= cos 2 2ρ θ = | | 4sinOP β= 2 2| | cosOM β= | | 2 sin2| | 2 OP OM β= 5π0 12 β< ≤ 5π0 2 6 β< ≤ 2 20 sin 22 2 β< ≤ | | | | OP OM 2(0, ]2 5 2 2 1( ,4 1] [ , )3 aa +−∞ − +∞ 1a = 33 2, 2 3( ) | 1| |2 3| 4, 1 2 3 2, 1 x x f x x x x x x x  − ≥ = + + − = − + − < 2 1 3 ax +≥ 3 2a x a− < < ( ) 4f x x a= − + 4 1x a− + ≥ 4 1x a≤ − 1 1 4 3a< < 4 1 3a a a− < − < 4 1a x a− < ≤ − x a≤ − ( ) 3 2f x x a= − + 3 2 1x a− + ≥ 2 1 3 ax −≤ 1 1 4 3a< < 2 1 3 a a − > − x a≤ − ( ) 1f x ≥ 2 1( ,4 1] [ , )3 aa +−∞ − +∞