绝密 ★ 启用前
2020 年全国 I 卷高三最新信息卷
理 科 数 学（七）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自
己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的模等于（ ）
A． B． C． D．
3．设两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．下图是某市 月 日至 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，
空气质量指数小于 表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）
A．这 天中有 天空气质量优良
B．这 天中空气质量指数的中位数是
C．从 月 日到 月 日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是 月 日至 月 日
5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 的正方形，其中正视图、侧视图中的两
条虚线互．相垂直，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．某程序框图如图所示，其中 ，若输出的 ，则判断框内应填
入的条件为（ ）
A． B． C． D．
7．在 展开式中，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ， 的图象恒在直线
的上方，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．点 、 为椭圆 （ ）长轴的端点， 、 为椭圆 短轴的端点，动
点 满足 ，若 面积的最大值为 ， 面积的最小值为 ，则椭圆的离心
5
6
2020 1S = −
{ }1,2,3,4,5,6.7U = 1,3{ },5,6A = {2,5,7}B = ( )UA B =
{5} {1,3,7} {1,3,6} {1,3,5,7}
z (1 2i) 4 3iz- = + i z
5
5 5 2 5 4 5
a b 2 π
3
| 3 4 |a b+ =
1 13 37 7
10 1 14
100
14 7
14 103
10 11 10 14
10 5 10 7
1
3
4
1
2
1
6
1( )
1
g n
n n
=
+ +
2020n < 2020n ≤ 2020n > 2020n ≥
6( 2)x − a 5x b a
b
=
5
3
5
3
− 3
5
3
5
−
π( ) 2cos(3 ) 3(| | )2f x x ϕ ϕ= + + ≤ π π( , )6 12x∀ ∈ − ( )f x 3y =
ϕ
π π( , )12 2
π π[ , ]6 3
π[0, ]4
π π( , )6 3
−
A B
2 2
2 2: 1x yE a b
+ = 0a b> > C D E
M | | 2| |
MA
MB
= MAB△ 8 MCD△ 1
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 率为（ ）
A． B． C． D．
10．将 名党员干部分配到 个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配 名党员干部，则不同的分配
方案共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
11．在直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的图象在点 处的切线为 ，若直线 也为函数
的图象的切线，则 必须满足（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．各项均为正数的等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 ．
14．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
15．已知 ， ，则 _________．
16．下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个不同的直四棱柱组合而成，且前后，左右，
上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 的正方形，高为 ，且两个四棱柱的侧棱互相互相垂
直，则这个几何体的体积为 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 的三个内角 对应的边分别为 ，且 ，
．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
18．（12 分）《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱
中， ， ， ．
（1）证明：三棱柱 是堑堵；
（2）求二面角 的余弦值．
2
3
3
3
2
2
3
2
6 4 1
2640 4800 1560 7200
xOy : 4l y kx= + 2: 1C y x= − A B
(0,1)M MA MB MA MB+ = − OA OB⋅ =
7 8 9 10
21
2y x= 2
0 0
1( , )2x x l l ln (0 1)y x x= < <
0x
0
2 12 x< < 01 2x< < 02 3x< < 03 2x< <
{ }na 22a 4a 33a 2 5
4 7
a a
a a
+ =+
x y
2 5
0
3 4 0
x y
x y
x y
− ≤
+ ≥
− ≥
2z x y= −
α ∈R sin 3cos 5α α+ = an 4(t 2 π)α + =
2 4
ABC△ , ,A B C , ,a b c cos 4a B =
sin 3b A =
a
ABC△ 9 ABC△
1 1 1ABC A B C− 1AB = 1 3AC AA= = 60ABC∠ = °
1 1 1ABC A B C−
1A AC B− −19．（12 分）为了纪念“一带一路”倡议提出五周年，某城市举办了一场知识竞赛，为了了解市民
对“一带一路”知识的掌握情况，从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了 份答
卷，发现成绩都在 内，现将成绩按区间 ， ， ， ，
进行分组，绘制成如下的频率分布直方图．
（1）利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；
（2）从青年组 ， 的分数段中，按分层抽样的方法随机抽取 份答卷，再从中选
出 份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会，求选出的 位市民中有 位来自 分数段的
概率．
20．（12 分）如图，已知椭圆 ， 为其右焦点，直线 与椭圆相
交 于 ， 两 点 ， 点 ， 在 上 ， 且 满 足 ， ，
（点 ， ， ， 从上到下依次排序）．
（1）试用 表示 ；
（2）证明：原点 到直线 的距离为定值．
40
[50,100] [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
[90,100]
[80,90) [90,100] 5
3 3 2 [90,100]
2
2: 14
xC y+ = F : ( 0)l y kx m km= + <
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y A B l | | | |PA PF= | | | |QB QF=
| | | |OA OB= A P Q B
1x | |PF
O l21．（12 分）已知函数 ， ．
（1）求证： 在区间 上无零点；
（2）求证： 有且仅有 个零点．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）求 上的点到 距离的最大值．
( ) sin 2 | ln(1 ) |f x x x= − + ( ) sin 2g x x x= −
( )g x π(0, ]4
( )f x 2
xOy C
2
2
2
1
1
2
1
tx t
ty t
−= +
= +
t O
x l cos 3 sin 4 0ρ θ ρ θ+ + =
C l
C l23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知 ．
（1）若 ，求 的值域；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
( ) | 1| | 2 | ( )f x x ax a a= − − − ∈R
1a = ( )f x
( ) 4f x x≥ − [2,9)x∈ a绝密 ★ 启用前
2020 年全国 I 卷高三最新信息卷
理科数学（七）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ．
2．【答案】B
【解析】根据复数模的性质， ．
3．【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ．
4．【答案】B
【解析】这 天中空气质量指数小于 的有 天，所以这 天中有 天空气质量优良，故选项
A 正确；
这 天中空气质量指数的中位数是 ，故选项 B 不正确；
从 月 日到 月 日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项 C 正确；
连续三天中空气质量指数离散程度最大的是 月 日至 月 日，
所以连续三天中空气质量指数方差最大的是 月 日至 月 日，故选项 D 正确．
5．【答案】A
【解析】作出该几何体的直观图如图所示，
由图可知，该几何体为正方体除去一个四棱锥，所以体积 ．
6．【答案】A
【解析】由
，
解得 ，
所以当 的值为 时，满足判断框内的条件，
当 的值为 时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出 的值，
故结合选项，判断框内应填入的条件为 ．
7．【答案】B
【解析】在 展开式中，二项式系数的最大值为 ，∴ ，
展开式中的通项公式 ，
令 ，可得 ，
∴含 项的系数为 ，则 ．
8．【答案】C
【解析】 ， 的图象恒在直线 的上方，
即 恒成立， ，
又 ， ，所以 的取值范围是 ．
9．【答案】D
【解析】设 ， ， ，
∵动点 满足 ，则 ，
化简得 ，
∵ 面积的最大值为 ， 面积的最小值为 ，
∴ ， ，解得 ， ，
{1,3,4,6}U B = 1,3{ },5,6A = ( ) {1,3,6}UA B =
4 3i 5| | | | 51 2i 5
z += = =-
2 2 2 13 4 | 9 16 24 9 16 24 ( ) 1| 32a b a b a b+ = + + ⋅ = + + × − =
3 4 | 13| a b+ =
14 100 7 14 7
14 86 121 103.52
+ =
10 11 10 14
10 5 10 7
10 5 10 7
1 1 51 13 2 6V = − × × =
1 1 1+ + + ( 2 1) ( 3 2)+ +( 1 )
2 1 3 2 1
S n n
n n
= = − + − + −
+ + + +
1 1 2020 1n= + − = −
2019n =
n 2019
n 2020 S
2020n <
6( 2)x − a 3
6C 20a = =
6
1 6C ( 2)r r r
rT x −
+ = −
6 5r− = 1r =
5x 1
62C 12b = − = − 20 5
12 3
a
b
= − = −
π π( , )6 12x∀ ∈ − ( )f x 3y =
2cos(3 ) 0x ϕ+ > π π(3 ) ( , )2 4x ϕ ϕ ϕ+ ∈ − + +
π
2
ϕ ≤
π π
π2 2 0π π 4
4 2
x
ϕ
ϕ
− + ≥ −∴ ⇒ ≤ ≤
+ ≤
ϕ π[0, ]4
( ,0)A a− ( ,0)B a ( , )M x y
M | | 2| |
MA
MB
= 2 2 2 2( ) 2 ( )x a y x a y+ + = − +
2
2 25 16( )3 9
a ax y− + =
MAB△ 8 MCD△ 1
1 42 82 3a a× × = 1 12 12 3b a× × = 6a = 6
2b =∴椭圆的离心率为 ．
10．【答案】C
【解析】分两类考虑：第一类，其中 个贫困村分配 名党员干部，另外 个贫困村各分配 名党员
干部，
此类分配方案种数为 ；
第二类，其中 个贫困村各分配 名党员干部，另外 个贫困村各分配 名党员干部，
此类分配方案种数为 ，
故不同的分配方案共有 种．
11．【答案】C
【解析】由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
因为 ，∴ ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
12．【答案】D
【解析】函数 的导数为 ，
在点 处的切线的斜率为 ，切线方程为 ，
设切线与 相切的切点为 ， ，
即有 的导数为 ，可得 ，切线方程为 ，
令 ，可得 ，
由 ，可得 ，且 ，解得 ，
由 ，可得 ，
令 ， ， ， 在 递增，
且 ， ，
则有 的根 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】由 ， ， 成等差数列得 ，
由 是等比数列得 ，化简得 ，
因为 各项为正数，解得 ，
所以 ．
14．【答案】
【解析】画出 表示的可行域，如图所示，
由 ，可得 ，
将 变形为 ，平移直线 ，
由图可知当直经 过点 时，直线在 轴上的截距最小，
2
2
31 2
b
a
− =
1 3 3 1
3 4
6 4C A 480=
2 2 2 1
2 2
46 4
42
2
C C A 1080A
⋅ =
1560
2
4
1
y kx
y x
= +
= −
2 5 0x kx− − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2x x k+ = 1 2 5x x = −
MA MB MA MB+ = − 0MA MB⋅ =
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( 3)( 3) (1 ) 3 ( ) 9 5(1 ) 3 9 0MA MB x x kx kx k x x k x x k k⋅ = + + + = + + + + = − + + + =
2 2k =
2
1 2 1 2 1 2 1 2(1 ) 4 ( ) 16 3 ( 5) 8 16 9OA OB x x y y k x x k x x⋅ = + = + + + + = × − + + =
21
2y x= y x′ =
2
0 0
1( , )2x x 0k x= 2
0 0 0
1 ( )2y x x x x− = −
lny x= ( ,ln )m m 0 1m< <
lny x= 1y x
′ = 0
1x m
= 1ln ( )y m x mm
− = −
0x = 2
0
1ln 1 2y m x= − = −
0 1m< < 0 1x > 2
0 2x > 0 2x >
0
1m x
= 2
0 0
1 ln 1 02 x x− − =
21( ) ln 12f x x x= − − 2x > 1( ) 0f x x x
′ = − > ( )f x 2x >
(2) 1 ln 2 0f = − > 3 1 1( 3) ln3 1 (1 ln3) 02 2 2f = − − = − <
2
0 0
1 ln 1 02 x x− − = 0 ( 3,2)x ∈
1
4
22a 4a 33a 4 2 32 2 3a a a= +
{ }na 3 2
1 1 12 2 3a q a q a q= + 22 2 3q q= +
{ }na 2q =
4 3
2 5 1 1 1
6 3 3 3 2
7 4 1 1 1
(1 ) 1 1
(1 ) 4
a a a q a q a q q
a a a q a q a q q q
+ + += = = =+ + +
5
2 5
0
3 4 0
x y
x y
x y
− ≤
+ ≥
− ≥
2 5
0
x y
x y
− =
+ =
5
3
5
3
x
y
=
= −
2z x y= − 1 1
2 2y x z= − 1
2y x=
1 1
2 2y x z= − 5 5( , )3 3A − y即 取最大值，最大值为 ．
15．【答案】
【解析】因为 ，两边同时平方得 ，
即 ，
等式左边上下同时除以 ，得 ，
解方程可得 ， ，
当 时，由二倍角公式得 ；
当 时，由二倍角公式得 ，
所以 ．
16．【答案】
【解析】该几何体的直观图如图所示，
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，
两个四棱柱的体积和为 ，
交叉部分的体积为四棱锥 的体积的 倍，
在等腰 中， ， 边上的高为 ，则 ，
由该几何体前后，左右，上下对称，知四边形 为边长为 的菱形，
设 的中点为 ，连接 ， ，易证 即为四棱锥 的高，
在 中， ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以所求体积为 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）在 中， ， ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ．
（2）由（1）知， ，所以 ，
因为 的面积 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 的周长为 ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）在 中， ， ， ，
由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
所以三棱柱 是堑堵．
（2）以点 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，
于是 ， ， ，
2z x y= − 5 52 ( ) 53 3z = − × − =
1
7
−
sin 3cos 5α α+ = 2 2sin 6sin cos 9cos 5α α α α+ + =
2 2
2 2
sin 6sin cos 9cos 5sin cos
α α α α
α α
+ + =+
2cos α
2
2
tan 6tan 9 5tan 1
α α
α
+ + =+
1tan 2
α = − tan 2α =
1tan 2
α = − 2
2tan 4tan 2 1 tan 3
αα α= = −−
tan 2α =
2
2tan 4tan 2 1 tan 3
αα α= = −−
4 1tan 2 1 13tan 2 44 1 tan 2 71
π(
3
)
( )
αα α
− +++ = = = −− − −
16 232 3
−
2 2 2 4 32V = × × × =
S ABCD− 2
ABS△ 2 2SB = SB 2 6SA =
ABCD 6
AC H BH SH SH S ABCD−
ABHRt△ 2 2 6 2 2BH AB AH= − = − =
2 2AC SB= = 12 2 2 2 4 22ABCDS = × × × =
BH SH= 1 1 8 22 4 2 23 3 3ABCDS ABCDV S− = × = × × =
四棱锥
8 2 16 232 2 323 3
− × = −
5a = 11 13+
ABC△ cos 4a B = sin 3b A =
sin sin sin 3tancos sin cos 4
b A B A Ba B A B
= = =
cos 4a B = cos 0B > 4cos 5B = 5a =
4cos 5B = 3sin 5B =
ABC△ 1 sin 92ABCS ac B= =△ 6c =
2 2 2 2 cos 13b a c ac B= + − = 13b =
ABC△ 11 13a b c+ + = +
15
5
ABC△ 1AB = 3AC = 60ABC∠ = °
30ACB∠ = ° 90BAC∠ = ° BA AC⊥
1 1 1ABC A B C−
A AB AC 1AA x y z
(0,0,0)A (1,0,0)B (0, 3,0)C 1(0,0, 3)A
(1,0,0)AB =
1 (0, 3, 3)AC = − ( 1, 3,0)BC = −设平面 的一个法向量是 ，则由 ，得 ，
所以可取 ，
又可取 为平面 的一个法向量，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
19．【答案】（1）青年组的中位数为 ，老年组的平均数为 ；（2） ．
【解析】（1）由青年组的频率分布直方图可知，
前 个小矩形的面积和为 ，后 个小矩形的面积和为 ，所以中位数为 ，
中老年组成绩的平均数为
．
（2）青年组 ， 的分数段中答卷分别为 份， 份，
抽取比例为 ，
所以两段中分别抽取的答卷分别为 份， 份，
记 中的 位市民为 ， ， ； 中的 位市民为 ， ，
则从中选出 位市民，共有不同选法种数 种 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
其中，有 位来自 的有 种 ， ， ，
所以所求概率 ．
20．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）椭圆 ，故 ，
．
（2）设 ， ，
则将 代入 ，得到 ，
故 ， ，
，
，故 ，得到 ，
，故 ，同理 ，
由已知得 或 ，
故 ，
即 ，化简得到 ，
故原点 到直线 l 的距离为 为定值．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
为极大值点， ，
，所以当 时， ，
所以 在区间 上无零点．
（2） 的定义域为 ．
1A BC ( , , )x y z=n 1 0
0
AC
BC
⋅ =
⋅ =
n
n
3 3 0
3 0
y z
x y
− =
− + =
( 3,1,1)=n
(1,0,0)AB= =m 1AAC
15cos , 5
⋅< >= =⋅
n mn m n m
1A AC B− − 15
5
80 73.5 3
10
3 0.5 2 0.5 80
(55 0.01 65 0.03 75 0.03 85 0.025 95 0.005) 10 73.5× + × + × + × + × × =
[80,90) [90,100] 12 8
5 1
12 8 4
=+
3 2
[80,90) 3 a b c [90,100] 2 x y
3 10 ( , , )a b c ( , , )a b x ( , , )a b y ( , , )a c x
( , , )a c y ( , , )a x y ( , , )b c x ( , , )b c y ( , , )b x y ( , , )c x y
2 [90,100] 3 ( , , )a x y ( , , )b x y ( , , )c x y
3
10P =
1
32| 2| xPF = −
2
2: 14
xC y+ = ( )3,0F
( ) ( )2 22 2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 3 3| | 3 3 1 2 3 4 24 4 2FP x y x x x x x= − + = − + − = − + = −
( )3 3,A x y ( )4 4,B x y
y kx m= +
2
2 14
x y+ = ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
4 1
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 4
4 1
mx x k
−= +
2 2
2 1 2
4 4 1
4 1
k mx x k
+ −− = +
OA OB= ( )3 43 4
3 4 3 4
2 1k x x my y
x x x x k
+ ++ = = −+ + 3 4 2
2
1
kmx x k
−+ = +
PA PF= 2
1 3 1
31 2 2k x x x+ − = − 2
4 2 2
31 2 2k x x x+ − = −
3 1 2 4x x x x< < < 3 1 2 4x x x x> > >
( ) ( )2
1 2 3 4 2 1
31 2k x x x x x x+ + − + = −
2 2
2
2 2 2
8 2 4 11 2 34 1 1 4 1
km km k mk k k k
− + −+ ⋅ + = ⋅+ + +
2 2 1m k= +
O 2
1
1
md
k
= =
+
( ) sin 2g x x x= − ( ) 2cos2 1g x x′ = −
π(0, )6x∈ ( ) 0g x′ > π π( , )6 4x∈ ( ) 0g x′ <
( )g x π(0, )6
π π( , )6 4
π
6x∴ = π π π 3 π( ) sin 06 3 6 2 6g∴ = − = − >
π π π π( ) sin 1 04 2 4 4g = − = − > π(0, ]4x∈ ( ) 0g x >
( )g x π(0, ]4
( )f x ( 1, )− +∞①当 时， ， ，
所以 ，从而 在 上无零点；
②当 时， ，从而 是 的一个零点；
③当 时，由（1）知 ，所以 ，
又 ，所以 ，从而 在 上无零点；
④当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，而 ， ，
从而 在 上有唯一零点；
⑤当 时， ，所以 ，从而 在 上无零点，
综上， 有且仅有 个零点．
22．【答案】（1） （ ）， ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，且 ，
所以 的普通方程为 （ ）， 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可设 的参数方程为 （ 为参数， ），
上的点到 的距离为 ，
当 时， 取得最大值 ，
故 上的点到 距离的最大值为 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
所以 ，即 的值域为 ．
（2）当 时， ，
由 ，可得 ，当 时，不等式显然成立，
当 时，可得 ，
当 时， ，故只需 ，即 ，
所以 的取值范围是 ．
( 1,0)x∈ − sin 2 0x < ln(1 ) 0x+ <
( ) sin 2 ln(1 ) 0f x x x= + + < ( )f x ( 1,0)−
0x = ( ) 0f x = 0x = ( )f x
π(0, ]4x∈ ( ) 0g x > sin 2x x>
ln(1 )x x≥ + ( ) sin 2 ln(1 ) 0f x x x= − + > ( )f x π(0, ]4
π 3π( , ]4 4x∈ ( ) sin 2 ln(1 )f x x x= − + 1( ) 2cos2 01f x x x
′ = − 3π( ) 04f <
( )f x π 3π( , ]4 4
3π( , )4x∈ +∞ ln(1 ) 1x+ > ( ) 0f x < ( )f x 3π( , )4
+∞
( )f x 2
2 2 1: xC y+ = 1x ≠ − : 3 4 0l x y+ + = 3
2
2
11 11
t
t
−− < ≤+
2 2
2 2 2
2 2 2
1 4( ) 11 (1 )
t tx y t t
−+ = + =+ +
C 2 2 1x y+ = 1x ≠ − l 3 4 0x y+ + =
C cos
sin
x
y
α
α
=
=
α π πα− < <
C l
π2cos( ) 4| cos 3sin 4 | 3
2 2
αα α − ++ + =
π
3
α = π2cos( ) 43
α − + 6
C l 3
[ 1,1]− 3 3[ , ]7 7
−
1a = ( ) | 1| | 2 |f x x x= − − −
| ( ) | || 1| | 2 || | ( 1) ( 2) | 1f x x x x x= − − − ≤ − − − =
1 ( ) 1f x− ≤ ≤ ( )f x [ 1,1]−
2 9x≤ < ( ) 1 | | ( 2)f x x a x= − − −
( ) 4f x x≥ − | | ( 2) 3a x − ≤ 2x =
2 9x< < 3| | 2a x
≤ −
(2,9)x∈ 3 3
2 7x
>−
3| | 7a ≤ 3 3
7 7a− ≤ ≤
a 3 3[ , ]7 7
−
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