2020届全国高考数学（文）一轮复习综合检测二（全国卷）（Word版附答案）

2021 届高考一轮复习综合检测二(全国卷) 数 学（文科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应 位置上． 3．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷(选择题　共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．(2019·甘青宁联考)已知集合 A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|y＝ －x}，则 A∩B 等于(　　) A．{1,2} B．{0,1,2} C．{－2，－1} D．{－2，－1,0} 2．若 a，b 均为实数，且a＋bi 1－i ＝2＋i3，则 ab 等于(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 3．(2019·四川省成都市外国语学校期中)函数 f(x)＝ 1 x＋1的图象大致是(　　) 4.如图，在△OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OP → ＝xOA → ＋yOB → ，且BP → ＝2PA → ，则(　　) 1 2 logA．x＝2 3，y＝1 3 B．x＝1 3，y＝2 3 C．x＝1 4，y＝3 4 D．x＝3 4，y＝1 4 5．若 m＝log3 1 2，n＝7－0.1，p＝log425，则 m，n，p 的大小关系为(　　) A．m>p>n B．p>n>m C．p>m>n D．n>p>m 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 的值为(　　) A．15 B．37 C．83 D．177 7．在公比为 q 的正项等比数列{an}中，a4＝1，则当 2a2＋a6 取得最小值时，log2q 等于(　　) A.1 4 B．－1 4 C.1 8 D．－1 8 8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善 的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽 利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形 内的概率为(　　)A.3 3 2π B.3 3π 2 C.3 2 2π D. 3π 2 9.如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值是(　　 ) A. 2 8 B. 3 8 C. 2 4 D. 3 4 10．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 asin 2B＋bsin A＝0，若 a＋ c＝2，则边 b 的最小值为(　　) A. 2 B．3 3 C．2 3 D. 3 11．已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为24 7 的直线与 双曲线在第一象限的交点为 A，若(F2F1→ ＋F2A → )·F1A → ＝0，则此双曲线的标准方程可能为(　　) A.x2 4－y2 3＝1 B.x2 3－y2 4＝1 C.x2 16－y2 9＝1 D.x2 9－y2 16＝1 12．(2020·月考)已知函数 f(x)＝Error!g(x)＝ex(e 是自然对数的底数)， 若关于 x 的方程 g(f(x))－m＝0 恰有两个不等实根 x1，x2，且 x1an 恒成立，则实数 λ 的取值范围是________． 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsin B＋csin C＝a ( 2sin Bsin C sin A ＋sin A). (1)求 A 的大小； (2)若 a＝ 2，B＝π 3，求△ABC 的面积．18.(12 分)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，A1D 与 AD1 交于点 E，AA1＝AD＝2AB＝4. (1)证明：AE⊥平面 ECD； (2)求点 C1 到平面 AEC 的距离．19．(12 分)某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，随机抽取 50 名会员进行调查，把会员对 酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”分为五个评分标准：1 分(很不满意)；2 分(不满意)； 3 分(一般)；4 分(满意)；5 分(很满意)．其统计结果如下表(住宿满意度为 x，餐饮满意度为 y)． 餐饮满意度 y 人数 住宿满意度 x 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3 (1)求“住宿满意度”分数的平均数； (2)求“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的方差； (3)为提高对酒店的满意度，现从 2≤x≤3 且 1≤y≤2 的会员中随机抽取 2 人征求意见，求至 少有 1 人的“住宿满意度”为 2 的概率． 请在第 22～23 题中任选一题作答．20．(12 分)(2019·甘青宁联考)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，焦距为 2 3. (1)求 C 的方程； (2)若斜率为－1 2的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点(点 P，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点．证 明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列． 21．(12 分)设函数 f(x)＝－x2＋ax＋2(x2－x)ln x. (1)当 a＝2 时，讨论函数 f(x)的单调性； (2)若 x∈(0，＋∞)时， f(x)＋x2>0 恒成立，求整数 a 的最小值． 22．(10 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，在极坐标系(与直角 坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 ρ ＝6cos θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值． 23．(10 分)设函数 f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．(1)当 a＝1 时，求 f(x)的最小值； (2)若关于 x 的不等式 f(x)－1}，所以排除 A，B 选项；因为 f(x)＝ x 为单调 递减函数，f(x)＝ 1 x＋1在[－1，＋∞)时为单调递减函数，由复合函数单调性可知 f(x)＝ 1 x＋1 为单调递增函数，所以排除 C 选项．综上可知，D 为正确选项． 4.答案　A 解析　由题可知OP → ＝OB → ＋BP → ，又BP → ＝2PA → ，所以OP → ＝OB → ＋2 3B A → ＝OB → ＋2 3(OA → －OB → )＝2 3O A → ＋ 1 3 OB → ，所以 x＝2 3，y＝1 3，故选 A. 5.答案　B 解析　log3 1 2∈(－1,0)，7－0.1∈(0,1)，log425＝log25∈(2,3)，故 p>n>m. 6.答案　B 解析　执行程序，可得 S＝0，i＝1，不符合，返回循环； S＝2×0＋1＝1，i＝3，不符合，返回循环； 1 2 log 1 2 logS＝2×1＋3＝5，i＝5，不符合，返回循环； S＝2×5＋5＝15，i＝7，不符合，返回循环； S＝2×15＋7＝37，i＝9，符合，输出 S＝37. 故选 B. 7.答案　A 解析　2a2＋a6≥2 2a2a6＝2 2a24＝2 2，当且仅当 q4＝2 时取等号，所以 log2q＝log221 4＝1 4， 故选 A. 8.答案　A 解析　设圆的半径为 r，则圆的面积 S 圆＝πr2，正六边形的面积 S 正六边形＝6×1 2×r2×sin60°＝ 3 3 2 r2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率 P＝S 正六边形 S 圆 ＝ 3 3 2 r2 πr2 ＝3 3 2π ， 故选 A. 9.答案　C 解析　由长方体∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，设 AD＝DD1＝1，CD＝ 3.连接 BC1，BD. 由 AD1∥BC1，所以异面直线 AD1 与 DC1 所成的角等于∠BC1D. 在△BDC1 中，BC1＝ 2，BD＝2，C1D＝2，由余弦定理可得 cos∠BC1D＝C1D2＋BC21－BD2 2C1D·BC1 ＝ 22＋2－22 2 × 2 × 2 ＝ 2 4 ， 所以异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值是 2 4 . 10.答案　D 解析　根据 asin 2B＋bsin A＝0，由正弦定理可得 sin Asin 2B＋sin Bsin A＝0⇒cos B＝－1 2， ∵01. 17.解　(1)因为 bsin B＋csin C＝a( 2sin Bsin C sin A ＋sin A)， 由正弦定理可得，b2＋c2＝a( 2·bc a ＋a)， 即 b2＋c2－a2＝ 2bc， 再由余弦定理可得 2bccos A＝ 2bc， 即 cos A＝ 2 2 ，所以 A＝π 4. (2)因为 B＝π 3，所以 sin C＝sin(A＋B)＝ 6＋ 2 4 ，由正弦定理 a sin A＝ b sin B，可得 b＝ 3. 所以 S△ABC＝1 2absin C＝3＋ 3 4 . 18.(1)证明　因为四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 是直四棱柱， 所以 AA1⊥平面 ABCD，则 AA1⊥CD. 又 CD⊥AD，AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面 AA1D1D， 所以 CD⊥平面 AA1D1D，所以 CD⊥AE. 因为 AA1⊥AD，AA1＝AD， 所以四边形 AA1D1D 是正方形，所以 AE⊥ED. 又 CD∩ED＝D，CD，ED⊂平面 ECD， 所以 AE⊥平面 ECD. (2)解　连接 CD1，AC1，点 C1 到平面 AEC 的距离即点 C1 到平面 AD1C 的距离． 在△ACD1 中，AC＝2 5，D1A＝4 2，CD1＝2 5， S△ACD1＝1 2× (2 5)2－(2 2)2× 4 2＝4 6， 又因为 AD⊥CD，AD⊥DD1，DD1∩CD＝D，DD1，CD⊂平面 CDD1C1，所以 AD⊥平面 CDD1C1， 设点 C1 到平面 AD1C 的距离为 h. 因为 VC1－AD1C＝VA－C1D1C， 所以 1 3S△AD1C·h＝1 3S△C1D1C·AD，即 4 6h＝4×4 × 2 2 ，即 h＝2 6 3 . 19.解　(1)x＝5 × 1＋9 × 2＋15 × 3＋15 × 4＋6 × 5 50 ＝3.16. (2)当“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的平均数为1＋2＋5＋3＋4 5 ＝3， 其方差为 (1－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2 5 ＝2. (3)符合条件的所有会员共 6 人，其中“住宿满意度”为 2 的 3 人分别记为 a，b，c，“住宿 满意度”为 3 的 3 人分别记为 d，e，f.从这 6 人中抽取 2 人有如下情况，(a，b)，(a，c)，(a， d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)， (e，f)，共 15 种情况．所以至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 的概率 P＝12 15＝4 5. 20.(1)解　由题意可得Error!解得Error! 又 b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆 C 的方程为x2 4＋y2＝1. (2)证明　设直线 l 的方程为 y＝－1 2x＋m， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由Error!消去 y，得 x2－2mx＋2(m2－1)＝0， 则 Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0， 且 x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0， 故 y1y2＝(－1 2x1＋m)(－1 2x2＋m) ＝1 4x1x2－1 2m(x1＋x2)＋m2＝m2－1 2 ，kOPkOQ＝y1y2 x1x2＝ m2－1 2 2(m2－1)＝1 4＝k 2PQ， 即直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列． 21.解　(1)由题意可得 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝2 时，f(x)＝－x2＋2x＋2(x2－x)ln x， 所以 f′(x)＝－2x＋2＋2(2x－1)ln x＋2(x2－x)·1 x＝(4x－2)ln x， 由 f′(x)＞0，可得(4x－2)ln x＞0， 所以Error!或Error! 解得 x>1 或 0