2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷五(含附加题Word版附答案)
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2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷五(含附加题Word版附答案)

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资料简介
2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷五 数学Ⅰ 参考公式: 样本数据 , ,…, 的方差 ,其中 柱体的体积 ,其中 S 是柱体的底面积, 是柱体的高. 锥体的体积 ,其中 S 是椎体的底面积,h 是椎体的高. 一.填空题:本题共 14 小题,请把答案填写在答题卡相应位置上 1.设集合 , ,则 ________. 2.复数 的虚部________. 3.以双曲线 的顶点为焦点,离心率为 的椭圆的标准方程为________. 4.正实数 a,b,c 满足: , , ,a,b,c 的大小关系是 ________. 5.函数 的值域________. 6.设 是定义在 R 上的偶函数且 对 恒成立,当 时, ,则 ________. 7 . 等 差 数 列 的 前 n 项 和 是 , 若 , 是 方 程 的 两 根 , 则 ________. 8.在 上随机地取一个实数 ,则事件“直线 与圆 相交”发生的 概率为________. 9.如图,在 中, , , , 的面积为 ,则角平分 线 AD 的长等于________. 1x 2x nx ( )22 1 1 n i i s x xn = = −∑ 1 1 n i i x xn = = ∑ V Sh= h 1 3V Sh= ( ){ }2lg 1A x y x= = − { }3 , 0xB y y x= = > A B = ( )z=i 1+2 i 2 2 13 y x− = 3 3 1 3 1 log3 a a  =   1 3 1 3 b b  =    1 3 1 3 log c c= sin 2 3cos2 1y x x= + + ( )f x ( ) ( )3f x f x+ = x R∈ 30, 2x  ∈    ( ) sinf x xπ= 1 2 3 2020 2 2 2 2f f f f       + + + ⋅⋅⋅ + =               { }na nS 2a 8a 2 4 3 0x x− − = 9S = [ ]2,2− k y kx= ( )2 25 9x y− + = ABC AB AC> 2 3BC = 60A = ° ABC 2 310. 中, , ,线段 BN 与 CM 交于点 P.若 , 则 ________. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的方程为 ,F 为 C 的上焦点,A 为 C 的 右顶点,P 是 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积的最大值为________. 12.三棱锥 的底面 是边长为 3 的正三角形, , , ,则 三棱锥 的体积为________. 13 . 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 F , 直 线 过 点 F 与 抛 物 线 交 于 A , B 两 点 , 若 ,则 ________. 14.已知函数 ,关于 x 的方程 有 5 个 不同的实数解,则 的取值范围是________. 二.解答题:本大题共 6 小题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15. 的内角 A,B,C 所对的边分别为 , , , , , 向量 与向量 平行. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 , ,求 的面积. 16.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为边 AB 的中点,将正方形沿 DE 折成直二面 角,连接 AC,AB,得到四棱锥 ,F 为 的中点. (Ⅰ)求证: 平面 ABC; (Ⅱ)求四面体 FBEC 的体积. 17.某公园有一块边长为 6 百米的正 空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来 种植三种花卉.方案是:先建造一条直道 DE 将 分成面积之比为 2∶1 的两部分(点 D,E 分别在边 AB,AC 上);再取 DE 的中点 M,建造直道 AM(如图).设 , , (单位:百米) ABC 1 3AM AB= 1 4AN AC= AP AB ACλ µ= +   λ µ+ = 2 2 19 10 x y+ = P ABC− ABC 3PA = 4PB = 5PC = P ABC− 2 4y x= l 3AF BF= AB = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ln 1 0 xx e x f x x xx  + ≤=  + > ( ) ( ) ( )2 1 2 2 0f x t f x t− + + =   t ABC a b c ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn A B= m n 7a = 2b = ABC A CDEB− AD EF  ABC ABC AD x= 1DE y= 2AM y=(Ⅰ)分别求 , 关于 的函数关系式; (Ⅱ)试确定点 D 的位置,使两条直道的长度之和最小,并求最小值. 18.如图,椭圆 E: ,经过 E 的左焦点 F,斜率为 的直线 与 E 交于 A,B 两点. (Ⅰ)当 时,求 ; (Ⅱ)给定 ,延长 , 分别与椭圆 E 交于点 C,D,设直线 CD 的斜率为 . 证明: 为定值,并求此定值. 19.已知函数 , . (Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)当 时,求证:函数 恰有两个零点. 20.给定数列 , ,…, ,对 ,2,…, ,该数列前 项 , ,…, 的最 小值记为 ,后 项 , ,…, 的最大值记为 ,令 . (Ⅰ)设数列 为 2,1,6,3 写出 , , 的值; (Ⅱ)设 , ,…, 是等比数列,公比 ,且 ,证明: , ,…, 是等比数列; (Ⅲ)设 , ,…, 是公差大于 0 的等差数列,且 ,证明: , ,…, 1y 2y x 2 2 15 x y+ = ( )1 1 0k k ≠ l 1 1k = AB ( )1,0R AR BR 2k 1 2 k k ( ) ( )ln 1 1f x x x ax x= − − − a R∈ 1a = − ( )y f x= ( )( )1, 1M f 1a > ( ) ( ) 1g x f x= + 1a 2a na 1i = 1n − i 1a 2a ia iA n i− 1ia + 2ia + na iB i i id B A= − { }na 1d 2d 3d 1a 2a ( )4na n ≥ 0 1q< < 1 0a > 1d 2d 1nd − 1d 2d 1nd − 1 0d > 1a 2a 1na −是等差数列. 数学Ⅱ(附加题) 21【选做题】:本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作 答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-2:矩阵与变换] 已知二阶矩阵 有特征值 及其对应的一个特征向量 ,特征值 及其对应 的一个特征向量 ,求矩阵 的逆矩阵 . B.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系中,直线 的参数方程是 ( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为: ,直线 与曲线 C 交于 O,A 两点. (Ⅰ)求直线 的普通方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上一点,求满足 的点 P 有多少个? C.[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 , . (Ⅰ)求不等式 的解集; (Ⅱ)当 时, 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【必做题】第 22 题、第 23 题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22 . 如 图 , 在 四 棱 锥 中 , 平 面 , 底 面 为 平 行 四 边 形 , , , . (Ⅰ)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 的余弦值的大小. 23.已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑 球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; A 1 4λ = 1 1 1 α  =     2 1λ = − 2 1 1 α  =  −   A 1−A l 3 3 1 x t y t  = + = + t 2 3cosρ θ= l l 3 3 4POAS =  ( ) 2 1 2f x x x= − − − ( ) 1g x x= + ( ) ( )f x g x< ( ]2 , 1x a a∈ − + ( ) ( )f x g x≥ P ABCD− PD ⊥ ABCD ABCD AB AC⊥ 1AB AC= = 1PD = D PC B− −(Ⅱ)设 为取出的 4 个球中红球的个数,求 的分布列和数学期望. 参考答案: 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷五 数学Ⅰ答案 一.填空题 1 2 3 4 5 6 7 1 336 18 8 9 10 11 12 13 14 二.解答题 15.解:(Ⅰ)设等差数列 的公差 d,等比数列 的公比为 . 由 . ∴ . , . ∴ , . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, ,则 ① ② ①-②得: . ∴ . 又∵ ∴ . ξ ξ ( )1,+∞ 2 2 16 9 x y+ = b c a< < [ ]1,3− 3 8 4 3 3 5 11 3 11 6 2 + 11 16 3 2 1 1,0 0,2 2e    −       { }na { }nb q ( ) 1 1 1 1 2 5 1 4 3 24 3 72 a d a da d a d + = = ⇒ × =+ − + =  ( )1 1 2 1na a n d n= + − = − 1 2 3b a= = ( ) 4 9 9 1 17 812b S × += = = 3 4 1 27bq b = = 1 1 3n n nb b q −= ⋅ = 2 1 3n n nc −= ( ) ( )2 1 1 1 1 11 3 2 3 2 13 3 3 3n n nT n n−= × + × + ⋅⋅⋅ + − × + − × ( ) ( )2 3 1 1 1 1 1 11 3 2 3 2 13 3 3 3 3n n nT n n += × + × + ⋅⋅⋅ + − × + − × ( )2 3 1 2 1 1 1 1 11 2 2 2 2 13 3 3 3 3 3n n nT n += × + × + × + ⋅⋅⋅ + × − − × ( ) 1 2 1 1 113 31 12 2 113 31 3 n nn − +   −     = + × − − × − 11 3n n nT += − 1 10 3 3n n +< ≤ 1 13 nT≤ 0x > ( ) ( )ln 1h x x a x= − − ( ) 1h x ax ′ = − 10,x a  ∈   ( ) 0h x′ > 1 ,x a  ∈ +∞   ( ) 0h x′ < ( )h x 10, a      1 ,a  +∞   ( )h x ( )1 1 0h ha   > =  令 ,则 ∴ 在 单调递增. 当 时, ,即 ,则 . ∵ . 由 , ,且 在 单调递增,可得: 在 存在唯一的零点 ,使得 . 又∵ 在 单调递减, , . 故 恰有两个零点 所以,当 时,函数 恰有两个零点. 20.解:(Ⅰ)由题意,得 , , . (Ⅱ)因为 ,公比 ,所以 , ,…, 是递减数列. 因此,对 ,2,…, , , . 于是对 ,2,…, , . 因此 且 , 即 , ,…, 是等比数列 (Ⅲ)设 为 , ,…, 的公差,则 对 ,因为 , ∴ ,即 又∵ ,所以 . ( ) ( )0xr x e x x= − > ( ) 1 0xr x e′ = − > ( )r x ( )0,+∞ 1a > ( ) ( )1 1 0r a r e> = − > 0ae a− > 1 10 ae a < < 1 1 1 1ln 1 1 0a a a a a ah a a ae e e e e      = − − = − − − = −    1 0ah e   ( ) ( ) 1g x f x= + 1 4d = 2 5d = 3 2d = 1 0a > 0 1q< < 1a 2a na 1i = 1n − i iA a= 1i iB a += 1i = 1n − ( ) 1 1 1 1 i i i i i id B A a a qa q − += − = − −= 0id ≠ ( )1 1,2, , 2i i d q i nd + = = ⋅⋅⋅ − 1d 2d 1nd − d 1d 2d 1nd − 0d > 1 2i n −  1i iB B +≥ 1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A+ + + += − ≤ − = − − < − = 1i iA A+ < { }1 1min ,i i iA A a+ += 1 1i i i ia A A a+ += < ≤从而 , ,…, 是递减数列.因此 . 又∵ ,所以 . 因此 . ∴ . 因此对 ,2,…, 都有 , 即 , ,…, 是等差数列. 21.【选做题】 A.[选修 4-2:矩阵与变换] 解:设二阶矩阵 ,由题意,得: , . , .得: , , , . ∴ . 又∵ , . ∴ . 即矩阵 的逆矩阵 . B.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 解:(Ⅰ)由 ,消参,得到直线的普通方程 . (Ⅱ)由曲线 C 的极坐标方程: 可得, 1a 2a 1na − ( )1,2, , 1i iA a i n= = ⋅⋅⋅ − 1 1 1 1 1 1B A d a d a= + = + > 1 1 2 1nB a a a −> > > ⋅⋅⋅ > 1na B= 1 2 1n n i i ii i nB B B a a A B d a d−= = ⋅⋅⋅ = = ⋅ = = − = − 1i = 2n − 1 1i i i ia a d d d+ +− = − = − 1a 2a 1na − a b c d  =   A 1 141 1 a b c d     =         ( )1 111 1 a b c d     = −    − −     4 1 a b a b + =  − = − 4 1 c d c d + =  − = 3 2a = 5 2b = 5 2c = 3 2d = 3 5 2 2 5 3 2 2     =       A 3 5 2 2 45 3 2 2 = = −A * 3 5 2 2 5 3 2 2  −  =    −   A 1 * 3 5 1 8 8 5 3 8 8 −  −   = =  −   A AA A 1 3 5 8 8 5 3 8 8 −  −   =  −   A 3 3 1 x t y t  = + = + 3 0x y− = 22 3cos 2 3 cosρ θ ρ ρ θ= ⇒ =曲线 C 的直角坐标方程 . 圆心 C 到直线 的距离 , ∴ 由 ( 表示点 P 到 OA 的距离) ∵圆心 C 到直线 的距离 , ∴在直线的上方的圆上存在一个点 P 到 OA 的距离 ; 在直线的下方的圆上的点到 OA 的距离最大值为 , ∴在直线的下方的圆上存在两个点 P 到 OA 的距离 . 综上所述,满足题意的点 P 共 3 个. C.[选修 4-5:不等式选讲] 解:(Ⅰ)由题意知,解不等式 (1)当 时,不等式化为 , 此时不等式的解 ; (2)当 时,不等式化为 , 此时不等式的解 ; (3)当 时,不等式化为 , 此时不等式的解 ; 综上所述,原不等式的解集 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得, 的解集是 ; ∴实数 a 的取值范围 . ( )2 23 3x y− + = 3 0x y− = ( )2 3 3 21 3 d = = + ( ) 2 2 32 3 32OA  = − =    1 3 3 332 4 2POAS d d′ ′= × × = ⇒ =  d′ 3 0x y− = 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 1 2 1x x x− − − < + 2x ≥ ( ) ( )2 1 2 1 0 1x x x− − − < + ⇒ < 2x ≥ 1 2x< < ( ) ( ) 52 1 2 1 2x x x x− + − < + ⇒ < 1 2x< < 1x ≤ ( ) ( ) 12 1 2 1 2x x x x− − + − < + ⇒ > − 1 12 x− < ≤ 1 2x x  > −    ( ) ( )f x g x≥ 1 2x x  ≤ −    1 2 111 2 a a a a − + > − ⇒ < −− + ≤ − ( ), 1−∞ −【必做题】 22.解:(Ⅰ)取 C 为坐标原点,过点 C 的 PD 平行线为 z 轴, 依题意建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题意得, , , , 故 , 设平面 PAC 的法向量 ,则: ,得 . 令 ,得 . ∴ 设直线 PB 与平面 PAC 所成角为 . . 故直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, . 设平面 PBC 的法向量为 , 则 即 令 ,则 , . ∴ . ∵ABCD 为平行四边形,且 , C xyz− ( )0, 1,1P − ( )1,0,0A ( )0,0,0C ( )1,1,0B ( )0,1, 1CP = − ( )1,0,0AC = − ( ), ,m x y z= 0 0 m CP m CA  ⋅ = ⋅ =     0 0 y z x − =  = 1y = 1z = ( )0,1,1m = θ 2 1 3sin cos , 61 1 1 4 1 m PBθ −= = = + ⋅ + +   3 6 ( )1,1,0CB = ( ), ,zn x y= 0, 0, n PC n CB  ⋅ = ⋅ =     0, 0. y z x y − =  + = 1y = − 1x = 1z = − ( )1, 1, 1n = − − AB AC⊥∴ .∵ 面 ABCD, ∴ . 又∵ ,∴ 面 PDC. ∴平面 PDC 的法向量为 . ∴ , . 经判断二面角 的平面角为钝角, ∴二面角 余弦值的大小为 . 23.解:(Ⅰ)设事件 为“甲盒中取出 个红球”,事件 为“甲盒中取出 个红球”;事 件 C 为“4 个球恰有 1 个红球” ∴ . (Ⅱ) 的可能取值为 0,1,2,3,4. 的分布列: 0 1 2 3 4 . CD AC⊥ PD ⊥ PD AC⊥ CD PD D= AC ⊥ ( )1,0,0AC = − ( )1,0,0AC = − 1 3cos , 31 1 1 n ACn AC n AC ⋅ −= = = − + +⋅      D PC B− − D PC B− − 3 3 − iA i jB j ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1. 1 2 3 3 3 3 3 1 0 0 1 2 2 2 2 5 6 5 6 3 10 C C C CP C P A B P A B C C C C C C ⋅ ⋅= + = ⋅ + ⋅ = ξ ( ) ( ) 2 2 3 3 0 0 2 2 5 6 30 50 C CP P A B C C ξ = = = ⋅ = ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 3 3 3 3 3 1 0 0 1 2 2 2 2 5 6 5 6 31 10 C C C C C CP P A B P A B C C C C ξ ⋅ ⋅= = + = ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 22 3 2 3 3 3 3 32 2 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 5 6 5 6 5 6 112 25 C C C C C C CCP P A B P A B P A B C C C CC C ξ ⋅ ⋅= = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 22 3 3 2 3 32 2 1 1 2 2 2 2 2 5 6 5 6 93 50 C C C C CCP P A B P A B C C CC ξ ⋅ ⋅= = + = ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) 22 32 2 2 2 2 5 6 14 50 CCP P A B C C ξ = = = ⋅ = ξ ξ ( )P ξ 3 50 3 10 11 25 9 50 1 50 ( ) 3 3 11 9 1 90 1 2 3 450 10 25 50 50 5E ξ = × + × + × + × + × =

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