（山东新高考）2020年高三数学最新信息卷（八）（Word版附答案）

绝密 ★ 启用前 （新高考）2020 年高三最新信息卷 数 学（八） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设全集为 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．向量 ， ，若 ，则 B．向量 ， ， ，若 ，则 C．向量 ， ，则 D．向量 ， ，则 在 方向上的投影为 4．在 中， ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若 ，且 的最小内角为 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．在 中，角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 的面积 ， 且 ， ，则边 的值为（ ） A． B． C． D． 7． 的展开式中含 的项的系数为（ ） A． B． C． D． 8．若正三棱柱的所有棱长都为 ，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现 出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举 措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质 量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计 图，下列描述正确的是（ ） A．这五年，2015 年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019 年进口增速最快 10．若正三棱柱 的所有棱长都为 ，外接球的球心为 ，则下列四个结论正确的是 （ ） A．其外接球的表面积为 B．直线 与直线 所成角为 C． D．三棱锥 的体积为 R 2{ | log 1}A x x= < 2{ | 1}B x y x= = − ( )A B =R  { | 0 2}x x< < { | 0 1}x x< < { | 1 1}x x− < < { | 1 2}x x− < < 4 iz = − z z⋅ = 15 16 17 18 (1, 1)= −a ( ,3)λ=b ⊥a b 3λ = (1,1)=a ( 1,3)= −b ( 1,1)= −c ( )λ− ∥a b c 1λ = (3,4)=a (2,1)=b | 2 | 10− =a b (3,4)=a (0,1)b = a b 5 ABC△ BD DC=  AP PD=  BP AB ACλ µ= +   λ µ+ = 1 1 2 1 2 − 1 2 − 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P C 1 2| | | | 6PF PF a+ = 1 2PF F△ 30° C 6 6 3 3 ABC△ A B C a b c ABC△ 2 5 cosS C= 1a = 2 5b = c 15 17 19 21 2 4(1 2 )(1 )x x x− + + 3x 8− 6− 8 6 3 21π 12π 9π 27π 4 ABC A B C′ ′ ′− 3 O 21π AB′ BC π 3 AO B C′ ′⊥ O ABC− 9 3 8 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 11 ． 已 知 函 数 ， ， ， ， 且 都 有 ，满足 的实数 有且只有 个，给出下列四个结论正确的是（ ） A．满足题目条件的实数 ，有且只有 个 B．满足题目条件的实数 ，有且只有 个 C． 在 上单调递增 D． 的取值范围是 12．已知 是双曲线 右支上一点， 是双曲线的左焦点， 为原点，若 ， 则下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线为 C． 的面积为 D．点 到该双曲线左焦点的距离是 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．二项式 的展开式中常数项为________．所有项的系数和为________． 14．若 ， ，则 ________． 15．学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体 后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为 ，高为 ，打印所用原料密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料 的质量 为 ．（ 取 ） 16．设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限，若 为直 角三角形，则 的坐标为 ． 四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ．（ 10 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 別 为 ， ， ， 且 ， ． （1）求 的外接圆的面积 ； （2）求 的取值范围． 18．（12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是边长为 的正方形，且 ，点 时 的中点． （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小． 2π( ) cos( )( 0)3f x xω ω= − > 1x 2x 3 [0,π]x ∈ [0,π]x∀ ⊥ 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ 2( ) 0f x = 3x 3 1x 1 2x 1 ( )f x π(0, )10 ω 13 19[ , )6 6 P 2 2 125 16 x y− = 1F O 1| | 8OP OF+ =  5 3 4 5y x= ± 1 2PF F△ 36 P 18 5 2 1( )x x + tan( ) 1α β− = tan 3α = tan 2β = 3D 10 2 cm 10 cm 30.9 g / cm g π 3.14 1F 2F 2 2: 13 xC y+ = M C 1 2MF F△ M ABC△ A B C a b c 1 3 πsin cos , (0, )2 2 2 2 C C C ++ = ∈ cos sin 2a B b A+ = ABC△ S a b+ S ABCD− SA ⊥ ABCD ABCD 1 1SA = M SD SC AM⊥ SAB SCD19．（12 分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满足程度，组织居民给 活动打分（分数为整数，满分为 分），从中随机抽取一个容量为 的样本，发现所有数据均 在 内，现将这些分数分成以下 组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分 图形，如图所示，观察图形，回答下列问题． （1）算出第三组 的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数（每组数据以区间的中点值为代 表）． 20．（12分）设向量 ， ，定义一种向量积 ．已知 ， ， 点 在 的 图 象 上 运 动 ， 是 函 数 图 象 上 的 点 ， 且 （ 为坐标原点）． （1）求函数 的解析式； （2）求函数 在 上的单调递减区间． 21．（12 分）已知曲线 的焦点是 ， ， 是曲线 上不同两点，且存在实数 使得 ，曲线 在点 ， 处的两条切线相交于点 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）点 在 轴上，以 为直径的圆与 的另一交点恰好是 的中点，当 时，求四 边形 的面积． 100 120 [40,100] 6 [60,70) 1 1( , )x y=a 2 2( , )x y=b 1 2 1 2( , )x x y y⊗ =a b (2,2)=m π( ,0)3 =n P siny x= Q ( )y f x= OQ OP= ⊗ + m n O ( )y f x= ( )y f x= − [0,π]x∈ 2 : 2 xC y = F A B C λ AF FBλ=  C A B D D E y EF AB AB 2λ = ADBE22．（12 分）已知数 ，其中 ， 为自然对数底数． （1）讨论函数 的单调性； （2）若 ，函数 对任意的 都成立，求 的最大值． ( ) ( 1)xf x e a x b= − − − a b∈R ( )f x 0a > ( ) 0f x ≥ x ∈ R a b+绝密 ★ 启用前 （新高考）2020 年高三最新信息卷 数学（八）答案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】由 ，得 ，由 ，得 ，再得 或 ， 所以 ． 2．【答案】C 【解析】 ． 3．【答案】B 【解析】若 ，则 ，得 A 错误； ，若 ，则 ， ，B 正确； ， ，可判断 C 错误； 在 方向上的投影为 ，D 错误，故选 B． 4．【答案】C 【解析】 ， ∴ ． 5．【答案】D 【解析】不妨设 ，则 ， 又 ，解得 ， ， 则 是 的最小内角为 ， 所以 ， 所以 ， 化简得 ，解得 ． 6．【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积 ， 所以 ，所以 ， 由余弦定理得 ，所以 ． 7．【答案】D 【解析】展开合并同类项后，含 的项是 ． 8．【答案】A 【解析】球心 到下底面的距离 ， ， 所以其外接球的 ， 所以其外接球的表面积为 ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．【答案】ABD 【解析】对于选项 A，观察 5 个白色条形图可知，这五年中 2015 年出口额最少，故 A 正确； 对于选项 B，观察五组条形图可得，2015 年出口额比进口额稍低， 但 2016 年至 2019 年出口额都高于进口额，并且 2017 年和 2018 年出口额都明显高于进口额， 故这五年，出口总额比进口总额多，故 B 正确； 对于选项 C，观察虚线折线图可知，2015 年到 2016 年出口增速是上升的，故 C 错误； 对于选项 D，从图中可知，实线折线图 2019 年是最高的，即 2019 年进口增速最快，故 D 正确． 2log 1x < 0 2x< < 2 1 0x − ≥ 2 1x ≥ 1x ≤ − 1x ≥ ( ) { | 0 1}A B x x= < 1 2| | | | 2PF PF a− = 1 2| | | | 6PF PF a+ = 1| | 4PF a= 2| | 2PF a= 1PF F∠ 1 2PF F△ 30° 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2| | | | | | 2 | | | | cos30PF PF F F PF F F= + − ⋅ ° 2 2 2 3(2 ) (4 ) (2 ) 2 4 2 2a a c a c= + − × × × 2 2 3 3 0e e− + = 3e = 1 sin 2 5 cos2S ab C C= = tan 2C = 5cos 5C = 2 2 2 2 cos 17c a b ab C= + − = 17c = 3x 3 3 2 2 2 1 1 3 4 4 41 C ( )C 2 C 6x x x x x x× + − + ⋅ = O 3 2OO′ = 2 3 3 33 2AO′ = × × = 2 2 21 4R AO OO′ ′= + = 24π 21πR =10．【答案】ACD 【解析】球心 到下底面的距离 ， ， 所以其外接球的 ，所以其外接球的表面积为 ， A 正确； 直线 与直线 所成角即直线 与直线 所成角， 在 中， ，故 B 错误； 面 ，得 ， 为 的重心，则 ， 故 面 ，即 ，故 ，C 正确； 根据体积公式可得 ，D 正确． 11．【答案】ACD 【解析】 ， ， 设 进行替换，作 的图象， 在 上满足 的实数 有且只有 个， 即函数 在 上有且只有 个零点， 由图象可知 ， ，结论 D 正确； 由图象知 在 上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点， 结论 A 正确，结论 B 错误； 时， ， 由 知 ，所以 在 上递增， 则 在 上单调递增，结论 C 正确， 综上，正确的是 ACD． 12．【答案】BD 【解析】由已知得 ， ， ， ， 双曲线的渐近线为 ， 取线段 的中点 ，则 ， 所以 ，得 ， 故 的面积为 ． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 ， 【解析】展开式的通项为 ， 令 ，解得 ，所以展开式中的常数项为 ， 令 ，得到所有项的系数和为 ，得到结果． 14．【答案】 O 3 2OO′ = 2 3 3 33 2AO′ = × × = 2 2 21 4R AO OO′ ′= + = 24π 21πR = AB′ BC AB′ B C′ ′ AB C′ ′△ 2 2 2(3 3) 3 (3 3) 3cos 62 3 3 3 θ + −= = × × OO′ ⊥ ABC OO BC′ ⊥ O′ ABC△ AO BC′ ⊥ BC ⊥ AOO′ BC AO⊥ AO B C′ ′⊥ 1 3 1 3 3 9 3( 3 )3 2 2 2 8O ABCV − = × × × × = 0ω > 2π 2π 2π[0,π] [ ,π ]3 3 3x xω ω∈ ⇒ − ∈ − − 2π 3x tω − = cosy t= [0,π] 3( ) 0f x = 3x 3 cosy t= 2π 2π[ ,π ]3 3 ω− − 3 3π 2π 5π 2 3 2xω≤ − < 13 19 6 6 ω≤ < cosy t= 2π 2π[ ,π ]3 3 ω− − π(0, )10x∈ 2π 2π π 2π( , )3 3 10 3x ωω − ∈ − − 13 19 6 6 ω≤ < π 2π 7π 010 3 20 ω − < − < cosy t= 2π 2π( , )3 10 3 xω− − ( )f x π(0, )10 5a = 4b = 2 2 41c a b= + = 41 5 ce a = = 4 5y x= ± 1PF M 1 2| | | 2 | 8OP OF OM PF+ = = =   1 2 2 10PF PF a− = = 1 18PF = 1 2PF F△ 26 2 41+ 5 32 5 5 5 2 2 1 5 52 1C ( ) ( ) C rr r r r rT x xx −− + = = 5 5 02 2 r− = 1r = 1 2 5C 5T = = 1x = 52 32= 4 3【解析】 ， ∴ ． 15．【答案】 【解析】设被挖去的正方体的棱长为 ，圆锥底面半径为 ， 则 ， ， 所以，制作该模型所需材料质量约为 ． 16．【答案】 或 【解析】 ， ，∴ ， ， 当 为直角顶点时， 轴， 设 ， 在椭圆上，则 ，解得 ， 当 为直角顶点时，点 在以 为直径的圆周上，此圆周的方程是 ， 与 联立解得 ， ， ∵ 在第一象限，则 ， 综上， 放入坐标为 或 ． 四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， 由正弦定理知： ， ∴ ，∴ ． （2）由余弦定理得 ， ∴ ， 而在 中， ，∴ ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）由题意底面 是正方形， 底面 ， ， 平面 ，∴ ， ∵ ， ，∴ 平面 ， 又∵ 平面 ，∴ ， 又 ，点 是 的中点，∴ ， ∵ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ． （2）过 引直线 ，使 ，则 ， ∴ 在平面 内， 在平面 内， ∴ 就是平面 与平面 所成二面角的棱， 由条件知， ， ， 已知 ，则 平面 ， 由作法知， ，则 平面 ，所以 ， ， ∴ 就是平面 与平面 所成锐二面角的平面角， 在 中， ， ∴在平面 与平面 所成锐二面角的大小等于 ． 19．【答案】（1）18 人，频率分布直方图见解析；（2）众数为 分，中位数为 分，平均数为 分． 【解析】（1）因为各组的频率之和等于 ， 所以分数在 内的频率为 ， tan tan( ) 3 1 1tan tan[ ( )] 1 tan tan( ) 1 3 1 2 α α ββ α α β α α β − − −= − − = = =+ − + × 2 12 42tan 2 1 31 ( )2 β × = = − 358.5 cmx r 2 2 102 2 105 2 x xh x x r h − −= ⇒ = 5x = 2 310.9( π , ) 0.3π 50 10 0.9 125 358.5 g3m V r h xρ= = − = × × − × = 3( 2, )3 6 2( , )2 2 2 3a = 2 1b = 2 2 2 2c a b= − = 2c = 2F 2F M x⊥ 0 0( 2, )( 0)M y y > M 2 2 0 2 13 y+ = 0 3 2y = M M 1 2F F 2 2 2x y+ = 2 2 13 x y+ = 6 2x = ± 2 2y = ± M 6 2( , )2 2M M 3( 2, )3 6 2( , )2 2 4π 3 (2,4] 2 3(sin cos ) 1 sin 12 2 2 C C C+ = + = + 3sin 2C = π(0, )2C ∈ π 3C = 2 sin cos 2 sin cos 2 sin( ) 2 sin 2R A B R B A R A B R C c+ = + = = = 2 4 3 2 32sin 3 33 2 c R RC = = = ⇒ = 2 4ππ 3S R= = 2 2 2 2 2 2π2 2 cos 4 ( ) 3 ( ) 3( )3 2 a ba b ab a b ab a b += + − ⇒ = + − ≥ + − 2( ) 16 4 4a b a b+ ≤ ⇒ − ≤ + ≤ ABC△ 2a b c+ > = (2,4]a b+ ∈ 45° ABCD SA ⊥ ABCD 1SA AD= = CD ⊂ ABCD SA CD⊥ CD AD⊥ AD SA A= CD ⊥ SAD AM ⊂ SAD CD AM⊥ 1SA AD= = M SD AM SD⊥ SD CD D= AM ⊥ SCD SC ⊂ SCD SC AM⊥ S SE SE AB∥ SE CD∥ SE SAB SE SCD SE SAB SCD AB AD⊥ AB AS⊥ AS AD A= AB ⊥ ASD SE AB∥ SE ⊥ ASD AS AE⊥ SE SD⊥ ASD∠ SAB SCD SADRt△ 45ASD∠ = ° SAB SCD 45° 75 75 73.5 1 [60,70) 1 10(0.05 0.015 0.030 0.025 0.010) 0.15− + + + + =所以第三组 的频数为 人， 完整的频率分布直方图如图： （2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为 分； ， ， 设样本中位数为 ，则 ， ，解得 ； 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为 分， 所以样本的众数为 分，中位数为 分，平均数为 分． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设 ， ， 由新的运算可得 ， ∵ ，∴ ，代入 ， ∴ ． （2）∵ ， 由题意，只需求函数 的单调递增区间， 由 ， ， ， ∴函数 的单调递减区间为 ， ， ∴函数 在 上的单调递减区间为 ． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）曲线 就是抛物线 ，它的焦点坐标为 ， 存在实数 使得 ，则 ， ， 三点共线， 当直线斜率不存在时，不符合题意； 当直线 斜率存在时， 设直线 的方程为 ，与 联立消去 ， 整理得 ，判别式 ， 设 ， ，则 ， 就是方程 的两实根， ， ，切线斜率 ， 则曲线 在点 处的切线方程是 ，即 ①， 同理得曲线 在点 处的切线方程是 ②， 联立①②即可求解两切线交点 的坐标， ① ② ，已知 ， ， 所以，上式化简为 （表示水平之嫌，不必求 ）， 所以，两切线交点 的轨迹方程是 ． [60,70) 120 0.15 18× = 75 0.05 0.15 0.15 0.35 0.50+ + = < 0.05 0.15 0.15 0.30 0.65 0.50+ + + = > 0x 0 [70,80)x ∈ 00.005 10 0.015 10 0.015 10 0.030 ( 70) 0.50x× + × + × + × − = 0 75x = 45 (10 0.005) 55 (10 0.015) 65 (10 0.015)× × + × × + × × 75 (10 0.03) 85 (10 0.025) 95 (10 0.01) 73.5+ × × + × × + × × = 75 75 73.5 1 π( ) 2sin( )2 6y f x x= = − 2π[0, ]3 ( , )Q x y 0 0( , )P x y 0 0 0 0 π π(2,2) ( ,sin ) ( ,0) (2 ,2sin )3 3OQ OP x x x x= ⊗ + = ⊗ + = + m n ( , )OQ x y= 0 0 0 π2 1 π3 2 62sin x x x x y x  = + ⇒ = −  = 02siny x= 1 π( ) 2sin( )2 6y f x x= = − 1 π 1 π( ) 2sin( ) 2sin( )2 6 2 6y f x x x= − = − − = − + 1 π2sin( )2 6y x= + π 1 π π2 π 2 π2 2 6 2k x k− ≤ + ≤ + k ∈Z 4π 2π4 π 4 π3 3k x k⇒ − ≤ ≤ + k ∈Z ( )y f x= − 4π 2π[4 π ,4 π ]3 3k k− + k ∈Z ( )y f x= − [0,π]x∈ 2π[0, ]3 1 2y = − 27 2 16 2 : 2 xC y = 2 2x y= 1(0, )2F λ AF FBλ=  A B F l AB 1 2y kx= + 2 2x y= y 2 2 1 0x kx− − = 24( 1) 0Δ k= + > 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1x 2x 2 2 1 0x kx− − = 1 2 2x x k+ = y x′ = 11 1|x xk y x=′= = C 2 1 1( , )2 xA x 2 1 1 1( )2 xy x x x− = − 2 1 1 2 xy x x= − C B 2 2 2 2 xy x x= − D 2x× − 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1:( ) ( )2 2 2 x x x xx x x y x x x x× − = − + = − 1 2x x≠ 1 2 1x x = − 1 2y = − x D 1 2y = −（2）已知 ，在（1）的解答的基础上， ， ， ，代入 中，解得 ， 注意到对称性，求四边形 面积，只需取 即可， ， 设 中点为 ，则 ， ， 已知点 在以 为直径的圆周上，则 ， 设 ，由 ，得 ，解得 ，则 ， 将直线 的方程 化为 ， 则点 到 的距离 ， 所以 ， 在（1）的解答种，联立①②消去 解得 ， 则两切线交点坐标为 ， 时， ， 此时，点 的坐标为 ， 到 的距离 ， 所以 ， 又已知 ， 在 两侧，所以 ． 22．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）∵ ， ①当 时， ， 在 上单调递增； ②当 时，由 ，得 ． 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． （2）由题意 对任意的 都成立，则 在 都成立， 在 上任取一点 ， ∵ ， ∴ 在点 处的切线方程为 ， 若令 ，由 在 都成立，只需 成立， 即 成立． 令 ， ， 令 ，解得 ， ∴当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 则 ，∴ ，∴ 最大值为 ． 2λ = 1 1 12 (0 , )2AF FB x y= ⇒ − −  2 2 1 2 1 2 12( 0, ) 2 22x y x x x x= − − ⇒ − = ⇒ = − 1 2 1 1 2 2 42 x x x kx x k = − ⇒ = + = 2 2x k= − 1 2 1x x = − 2 1 8k = ADBE 2 4k = 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x= + − = + + − 2 2 2 9= 1 (2 ) 4 2(1 ) 4k k k+ ⋅ + = + = AB 0 0( , )G x y 1 2 0 2 2 4 x xx k += = = 2 0 0 1 1 5 2 2 8y kx k= + = + = G EF EG GF⊥ (0, )E t EG GF⊥ 0GE GF⋅ =  13 8t = 13(0, )8E AB 2 1 04 2x y− + = 2 2 2 0x y− + = E AB 1 13| 0 2 2 2 | 3 28 41 8 d − × + = = + 1 1 1 9 3 2 27 2| |2 2 4 4 32ABES AB d= ⋅ = × × =△ y 1 2 2 x xx k += = 1( , )2D k − 2λ = 2 4k = D 2 1( , )4 2 − D AB 2 2 1| 2 2 ( ) 2 | 3 24 2 41 8 d − × − + = = + 2 1 27 2| |2 32ABDS AB d= ⋅ =△ D E AB 27 2 27 2 27 2 32 32 16ADBE ABE ABDS S S= + = + =△ △ 2e ( ) xf x e a′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x R 0a > ( ) 0f x′ = lnx a= ( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x (ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) 0f x ≥ x ∈ R ( 1)xe a x b≥ − + x ∈ R xy e= ( , )tt e xy e′ = xy e= ( , )tt e ( )t t t t ty e e x t y e x te e− = − ⇒ = − + ta e= xe ax a b≥ − + x ∈ R t ta b te e− + ≤ − + 3 t ta b e te+ ≤ − ( ) 3 t tg t e te= − ( ) (2 )tt g t e t′∈ ⇒ = −R ( ) 0g t′ = 2t = ( ,2)t ∈ −∞ ( ) 0g t′ > ( )g t (2, )t ∈ +∞ ( ) 0g t′ < ( )g t 2 2 2 max( ) (2) 3 2g t g e e e= = − = 2a b e+ ≤ a b+ 2e