文科数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.设 i 为虚数单位，复数 的实部为（ ）
A.5 B. C. D.3
3.某校举行“我和我的祖国”文艺汇演，需征集 20 名志愿者参与活动服务工作，现决定采取分层抽样的方式
从“摄影协会”、“记者协会”、“管理爱好者协会”中抽取，已知三个协会的人数比为 ，且每个人被抽
取的概率为 0.2，则该校“摄影协会”的人数为（ ）
A.10 B.20 C.50 D.100
4.向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A.1 В.t C. D.
5.假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报 40 元；
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；
方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番.
现打算投资 10 天，三种投资方案的总收益分别为 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知 ，则 （ ）
{ }2 8 0U x x x= − ≤ { }0 5A x x= ≤ < U A =
[ )5,8 ( ]5,8 [ ]5,8 ( )5,8
( )2i 1 8
i 1z
− += +
5− 3−
5: 2:3
( )1,a t= ( )1,0b =
1
2
3
2
10A 10B 10C
10 10 10A B C< < 10 10 10A C B< < 10 10 10B A C< < 10 10 10C A B< <
3cos 2 5 3
θ π − = sin 10
πθ + =
A. B. C. D.
7.已知双曲线 C： ，过焦点且垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A，B 两点，且 ，则双
曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 （ ），函数 为幂函数且过点 ，则函数 的图象大
致为（ ）
A. B.
C. D.
9·将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图缘，则函数
的一个极大值点为（ ）
A. B. C. D.
10.已知某三棱锥的三视图如右图所示（数据为各矩形的对角线长），则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知 O 为坐标原点，抛物线 E： （ ）的焦点为 F，过焦点 F 的直线 E 交于 A，B 两点，
若 的外接圆圆心为 Q，Q 到抛物线 E 的准线的距离为 ，则 （ ）
1
3
1
3
− 6
3
6
3
−
2 2
2
3 14
x y
b
− = 4 3AB =
2y x= ± 1
2y x= ± 3y x= ± 3
3y x= ±
( ) 2
1
1
xaf x a
+= − 1a > ( )g x 1 ,22
( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅
( ) 22cos cos 2 2f x x x
π = − + 4
π ( )y g x=
( )y g x=
8
π 3
8
π 5
8
π 7
8
π
9π 29π 50π 58π
2 2x py= 0p >
OFA△ 3
4 p =
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知函数 在 R 上的图象是连续不断的，其导函数为 ，且 ，若对于
，不等式 恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
14.已知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边， ， ，则边 b
的最小值为______.
15.已知某圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形，且 ， .则该圆锥的体积为______.
16.黄金分割比 被公认为是最能引起美感的比例，离心率为 的椭圆被称为“优
美椭圆"，已知“优美椭图”C： （ ）的左、右顶点分别为 A，B，点 P 为 C 上的动点
（异于椭圆的左，右顶点），设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ______.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60 分
17.（12 分）
新冠疫情发生后，酒精使用量大增，某生产企业调整设备，全力生产 与 两种不同浓度的酒精，按
照计划可知在一个月内，酒精日产量 （单位：吨）与时间 n（ 且 ）成等差数列，且
， .又知 酒精日产量所占比重 与时间 n 成等比数列， 酒精日产量所占比重
( )y f x= ( )f x′ ( ) ( )f x f x′ > −
0x∀ > ( ) ( )ln e 0axxf x f ax− ≤
e 1
e
2e
2
2e
2 1,
1,
0,
x y
x y
y
+ ≥
+ ≤
≥
z y x= −
ABC△ sin cos 6b A a B
π = − 2a c+ =
2
3C
π= 2 3AB =
5 1 0.6182
ω −= ≈ 5 1
2e
−=
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
PA PB 1k 2k 1 2k k =
75% 95%
na n ∗∈N 1 30n≤ ≤
1 2a = 2 3 5a a a+ = 75% nb 95%
与时间 n 的关系如下表（ ）：
酒精日产量所占比重 ……
时间 n 1 2 3 ……
（1）求 ， 的通项公式；
（2）若 ，求前 n 天 酒精的总生产量 （单位：吨， 且 ）.
18.（12 分）
某市为广泛开展垃圾分类的宣传、教育和倡导工作，使市民树立垃圾分类的环保意识，学会垃圾分类的知
识，特举办了“垃圾分类知识竞赛".据统计，在为期 1 个月的活动中，共有两万人次参与网络答题.市文明实
践中心随机抽取 100 名参与该活动的市民，以他们单次答题得分作为样本进行分析，由此得到如图所示的
频率分布直方图：
（1）求图中 a 的值及参与该活动的市民单次挑战得分的平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点值作代
表）；
（2）若垃圾分类答题挑战赛得分落在区间 之外，则可获得一等奖奖励，其中 ，s 分别为样本
平均数和样本标准差，计算可得 ，若某人的答题得分为 96 分，试判断此人是否获得一等奖；
（3）为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动的影响力，市文明实践中心再次组织市民组队参场有奖知识竞赛，
竞赛共分五轮进行，已知“光速队”与“超能队”五轮的成绩如下表：
成绩 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮
“光速队” 93 98 94 95 90
“超能队” 93 96 97 94 90
（i）分别求“光速队”与“超能队”五轮成绩的平均数和方差；
（ii）以上述数据为依据，你认为"光速队”与“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩谁更稳定？
19.（12 分）
0 1p< <
95% 1 p− 21 p− 31 p−
{ }na { }nb
1
2p = 75% nT n ∗∈N 1 30n≤ ≤
x
( )70, 2x s+ x
4s ≈
已知三棱锥 ，如图所示， 平面 ，D 为 中点，且 .
（1）证明： ；
（2）若 与平面 所成的角的余弦值为 ， ，求三棱锥 体积.
20.（12 分）
已知函数 ， ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：函数 在定义域上只有一个零点
21.（12 分）
已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 、 ，点 满足： ，
且 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 的直线 l 与 C 交于 ， 不同的两点，且 ，问在 x 轴上是否存
在定点 N，使得直线 ， 与 y 轴围成的三角形始终为底边在 y 轴上的等腰三角形.若存在，求定点 N
的坐标；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：10 分，请考生第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，
请写清题号.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极
坐标系.曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）.
（1）求曲线 的直角坐标方程及 的普通方程；
（2）已知点 P、Q 为曲线 与曲线 的交点，W 为参数方程 （ 为参数）曲线 上一点，
P ABC− PA ⊥ ABC AB PD AC BC= =
PD DC⊥
PC ABC 6
3 2CD = A BCP−
( ) sin cos cosf x x a x x x= + − ( )0,2x π∈ ( )0,2α π∈
( )f x
( )f x
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 1F 2F 31, 2P
1 2 2PF PF a+ =
1 2
3
2PF FS =△
( )4,0M ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 0y y ≠
NA NB
1C 2sin cos 0ρ θ θ− = 2C cos
1 sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
1C 2C
1C 2C 3cos
4sin
x
y
α
α
=
=
α 3C
求点 W 到直线 的距离 d 的最大值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ，
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，若 恒成立，求实数 a 的值.
文科数学答案及评分意见
1.C【解析】 ，又 ，所以 ，故选 C.
2.D【解析】 ， ，实部为 3，故选 D.
3.C【解析】由题意知从“摄影协会”抽取的人数为 ，因为每个人被抽取的概率为 0.2，故
该校“摄影协会”的人数为 .
4.A【解析】 在 方向上的投影为 .故选 A
5.B【解析】设三种方案第 n 天的回报分别为 ， ， ，则 ， 为常数列；
是首项为 10，公差为 10 的等差数列； 是首项为 0.4，公比为 2 的等比数列.
设投资 10 天三种投资方案的总收益为 ， ， ， ；
； ，所以 .
6.B【解析】由题意得 ，故
选 B.
7.C【解析】由题意可知 ，所以 ， ，所以 ，
渐近线方程为 .
8.A【解析】由已知 （ ）， ，故为奇函数，函数 为奇函数，
则函数 为偶函数，排除 B，D.又 时， ，故选 A
PQ
( ) 1f x x a x= − + − a ∈ R
2a = ( ) 2f x ≤
2 0a− < < ( ) 2
2 2
xf x ≤ +
{ }0 8U x x= ≤ ≤ { }0 5A x x= ≤ < { }5 8U A x x= ≤ ≤
( )21 2i i− = − 8 2 3 51
iz ii
−= = −+
5 20 105 2 3
× =+ +
10 500.2
=
a b 1 1 0cos , 11
a b ta a b b
⋅ × + ×= = =
na nb nc 40na = { }na
{ }nb { }nc
10A 10B 10C 10 400A =
10
10 910 10 10 5502B
×= × + × =
( )10
10
0.4 1 2
409.21 2C
−
= =− 10 10 10B C A> >
2 1sin sin 2 cos2 2cos 110 2 5 2 2 5 2 5 3
π θ π π θ π θ πθ + = − + = − = − − = −
2 4
3a = 1 3
2a
=
22 4 3bAB a
= = 2 4b =
3by x xa
= ± = ±
( ) 1
1
x
x
af x a
+= − 1a > ( ) ( )f x f x− = − ( ) 1g x x
=
( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅ 0x → ( )h x → +∞
9.B 【 解 析 】 ， 故 . 令
，得 ，取 ，可得 为极大值点.
10.B【解析】由题意知，该三棱锥 可视为 的六个面对角线所构成，设长方体
长，宽，高为 a，b，c，则有 ， ， ，
所以 ，所以 ， ，故选 B.
11.A【解析】由题意知，Q 在线段 的垂直平分线上，故 Q 的纵坐标为 ，所以 ，所以
.
12.B【解析】根据題意，令 ，则 ，故函数 在 上
单调递增， ， ，又 ，
不等式 恒成立，所以 在 恒成立.
从而 ，即 在 恒成立.令 ， ，
令 ，则 ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
所以 ，故 .
13. 【解析】由 解得 根据可行域知 在点 处取最小值，最小值为 .
14.1【解析】由已知得 ，即 ，所以 ，
.又 ，所以
，当且仅当 时
取“ ".所以 b 的最小值为 1.
15. 【解析】设 ，在 中，因为 ， ，所以 ，弧长
， 设 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为 r ， 高 为 h ， 则 ， 所 以 ，
( ) cos2 1 sin 2 2 sin 2 14f x x x x
π = + + = + +
( ) 2 sin 2 14g x x
π = − +
2 24 2x k
π π π− = + 3
8x k
π π= + 0k = 3
8x
π=
D AB C′ ′− ABCD A B C D′ ′ ′ ′−
2 2 25a b+ = 2 2 13b c+ = 2 2 20a c+ =
2 2 2 29a b c+ + = 29
2R = 24 29S rπ π= =
OF 4
p 3
4 2 4
p p+ =
1p =
( ) ( )exF x f x= ⋅ ( ) ( ) ( )e 0xF x f x f x′ ′= + > ( )f x R
( ) ( ) ( )lnln e ln lnxF x f x xf x= = ( ) ( )eaxF ax f ax= 0x∀ >
( ) ( )ln e 0axxf x f ax− ≤ ( ) ( )lnF x F ax≤ ( )0,+∞
ln x ax≤ ln xa x
≥ ( )0,+∞ ( ) ln xg x x
= ( ) 2
1 ln xg x x
−′ =
( ) 0g x′ = ex = ( ) ln xg x x
= ( )0,e ( )e,+∞
( ) ( )max
1e eg x g= = 1
ea ≥
1− 1
0
x y
y
+ =
=
1,
0.
x
y
=
= z y x= − ( )1,0 1−
sin sin sin cos 6B A A B
π = −
1 3sin sin cos2 2B B B= + tan 3B =
3B
π= 2a c+ =
( ) 2
22 2 2 2 22 cos 3 4 3 4 3 12
a cb a c ac B a c ac a c ac ac
+ = + − = + − = + − = − ≥ − = a c=
=
16 2
81
π
AC BC R= = ABC△ 2
3C
π= 2 3AB = 2R =
2 423 3AB
π π= × = 42 3r
ππ = 2
3r =
，故 .
16. 【解析】设 ， ， ，则 ①，又因为
在椭圆上，所以 ， 代入①得 .
又 ，解得 ，所以 .
17.【解析】（1）由 ，得 ，所以 ，所以 .
因为 ， .所以 （ ）.
（2）由题意知，第 n 天 酒精的生产量为 ，
①，
②，
由① ②得：
，
所以 ，
综上，前 n 天 酒精的总生产量 吨（ 且 ）.
18.【解析】（1）由频率分布直方图可知 ，解得 ；
参 与 该 活 动 的 市 民 单 次 挑 战 得 分 的 平 均 值 的 平 均 成 绩 为
2 2 4 4 24 9 3h R r= − = − = 21 1 4 4 2 16 2
3 3 9 3 81V r h
ππ π= = ⋅ ⋅ =圆锥
5 1
2
− + ( ),0A a− ( ),0B a ( )0 0,P x y
2
0 0 0
1 2 2 2
0 0 0
y y yk k x a x a x a
= ⋅ =+ − −
( )0 0,P x y
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
+ =
2
2 2 0
0 21 xy b a
= −
2
1 2 2
bk k a
= −
2
2
5 11 2
be a
−= − =
2
2
5 1
2
b
a
−=
2
1 2 2
5 1
2
bk k a
− += − =
1
2 3 5
2a
a a a
=
+ =
1
1 1
2
2 3 4
a
a d a d
=
+ = +
1 2
2
a
d
=
=
2na n=
1b p= 2
2b p= n
nb p= 0 1p< <
75%
11 12 2 2
n n
n na b n n
− ⋅ = ⋅ = ⋅
1 1 2 2 3 3 1 1n n n n nT a b a b a b a b a b− −= + + + + +
( )0 1 2 2 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2
n n
n n
− − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅
( )1 2 3 11 1 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2
n
nT n n
− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅
−
0 1 2 11 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
n n
nT n
− = + + + + − ⋅ =
( )
11 1 12 2 21 2 21 2
n
n
n n
− − ⋅ = − + ⋅ −
( ) 114 2 2
n
nT n
− = − + ⋅
75% ( ) 114 2 2
n
nT n
− = − + ⋅ n ∗∈N 1 30n≤ ≤
( )0.05 0.04 2 0.02 0.01 5 1a + + + × + × = 0.06a =
（分）.
（2）由（1）知 ，区间 ，而 ，
故此人未获得一等奖；
（3）（i）“光速队”五轮成绩的平均数为 ，
方差为 .
“超能队”五轮成绩的平均数为 ，
方差为 .
（ii）评价：从方差数据来看，“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩更稳定.
19.【解析】（1）因为 ，D 为中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 面 ，所以 .
（2）因为 平面 ，所以 为 与平面 所成的角.
因为 ，故设 ，则 ，所以 ， .
由（1）知 ，所以 ，所以 .
从而 ， .在 中 ，所以 .
故 为等腰直角三角形.
，所以 .
20.【解析】（1） ， ，
令 得 或 ，易知，当 时， ；当 时， ，
（i）当 时， ，故 在 单调递减；
（ii）当 时，令 得 或 ，令 得 ，
故 在 ， 单调递减，在 单调递增；
72. 5 0.05 77.5 0.1 82.5 0.2 87.5 0.3 92.5 0.25 97.5 0.1 87x = × + × + × + × + × + × =
87x = ( ) ( )70, 2 70,95x s+ = ( )96 70, 2x s∉ +
( )1
1 93 98 94 95 90 945x = + + + + =
( ) ( )2 22 2 2 2
1
1 1 4 0 1 4 6.85s = − + + + + − =
( )2
1 93 96 97 94 90 945x = + + + + =
( ) ( )2 22 2 2 2
2
1 1 2 3 0 4 65s = − + + + + − =
AC BC= CD AB⊥ PA ⊥ ABC CD ⊂ ABC
CD PA⊥
AB PA A= AB ⊂ PAB PA ⊂ PAB CD ⊥ PAB
PD ⊂ PAB CD PD⊥
PA ⊥ ABC PCA∠ PC ABC
6cos 3
ACPCA PC
∠ = = 6AC x= 3PC x= 3PA x= 6PD AC x= =
CD PD⊥ 2 2 3 2CD PC PD x= − = = 6
3x =
2PA CD= = 2BC PD AC= = = Rt PAD△ 2 2 2AD PD PA= − = 2 2AB =
ABC△
2ABCS =△
1 1 2 22 23 3 3A BCP P ABC ABCV V S PA− −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =△
( ) ( ) ( )cos sin cos sin sinf x x a x x x x x a x′ = − − − = − ( )0,2x π∈
( ) 0f x′ = x a= x π= ( )0,x π∈ sin 0x > ( ),2x π π∈ sin 0x <
a π= ( ) ( )sin 0f x x xπ′ = − ≤ ( )f x ( )0,2π
( )0,a π∈ ( ) 0f x′ < 0 x a< < 2xπ π< < ( ) 0f x′ > a x π< <
( )f x ( )0,a ( ),2π π ( ),a π
（iii）当 时，令 得 或 ，令 得 ，
故 在 ， 单调递减，在 单调递增.
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 ， 单调递减，在 单调递增；
当 时， 在 ， 单调递减，在 单调递增.
（2）由（1）知，（i）当 时， 在 单调递减；
且 ，
，即 ，故函数 在 上只有
一个零点.
（ii）当 时， 在 ， 单调递减，在 单调递增；故 的极小值为
， 因 此 在 上 无 零 点 ； 的 极 大 值 为
，又 ，
，故 在 上有一个零点，因此，函数 在 上只有一个零点.
（iii）当 时， 在 ， 单调递减，在 单调递增.故 的极小值为
，又 ， ，故 在 上有
一个零点， 的极大值为 ，又 ，故 在 上无零点，
因此，函数 在 上只有一个零点.
综上，函数 在 上只有一个零点.
21.【解析】（1）因为 ，所以点 P 在椭圆 C 上，
将 代入 ，得 ①，
设椭圆 C 焦距为 ，则 ，所以 ，从而 ②，
由①②解得 ， ，
( ),2a π π∈ ( ) 0f x′ < 0 x π< < 2a x π< < ( ) 0f x′ > x aπ < <
( )f x ( )0,π ( ),2a π ( ),aπ
a π= ( )f x ( )0,2π
( )0,a π∈ ( )f x ( )0,a ( ),2π π ( ),a π
( ),2a π π∈ ( )f x ( )0,π ( ),2a π ( ),aπ
a π= ( )f x ( )0,2π
( )0 sin 0 cos0 0cos0 0f π π= + − = >
( )2 sin 2 cos2 2 cos2 0f π π π π π π π= + − = − < ( ) ( )0 2 0f f π⋅ < ( )f x ( )0,2π
( )0,a π∈ ( )f x ( )0,a ( ),2π π ( ),a π ( )f x
( ) sin cos cos sin 0f a a a a a a a= + − = > ( )f x ( )0,a ( )f x
( ) sin cos cos 0f a aπ π π π π π= + − = − > ( )2 sin 2 cos2 2 cos2 2 0f a aπ π π π π π= + − = − <
( ) ( )2 0f fπ π⋅ < ( )f x ( ),2π π ( )f x ( )0,2π
( ),2a π π∈ ( )f x ( )0,π ( ),2a π ( ),aπ ( )f x
( ) 0f aπ π= − < ( )0 sin 0 cos0 0cos0 0f a a= + − = > ( ) ( )0 0f f π⋅ < ( )f x ( )0,π
( )f x ( ) sin 0f a a= < ( )2 2 0f aπ π= − < ( )f x ( ),2π π
( )f x ( )0,2π
( )f x ( )0,2π
1 2 2PF PF a+ =
31, 2P
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2 2
1 3 14a b
+ =
2c 1 2
1 3 322 2 2PF FS c= ⋅ ⋅ =△ 3c = 2 2 3a b− =
2 4a = 2 1b =
所以椭圆 C 的方程为 .
（2）显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l： ，
联立 消去 y 整理得 .
由 ，得 ，
则 ， ，
假设存在点 ，因为直线 ， 与 y 轴围成的三角形始终为底边在 y 轴上的等腰三角形，所以
.
设 ，则
，
即 ，所以 ，
解得 .
故在 x 轴上存在定点 ，使得直线 ， 与 y 轴围成的三角形始终在底边为 y 轴上的等腰三角形.
22.【解析】（1）曲线 ： ，所以 ；所以 .
曲线 ： （ 为参数），则 ，所以 .
综上，曲线 的直角坐标方程为 ， 的普通方程为 .
（2）解 则 ，解得， ， ，
又因为 ，所以直线 的方程为 ，
设 ，
所以 （ ， ）.
2
2 14
x y+ =
( )4y k x= −
( )
2 2
4 ,
4 4 0,
y k x
x y
= − + − =
( )2 2 2 21 4 32 64 4 0k x k x k+ − + − =
( ) ( )( )22 2 232 4 1 4 64 4 0k k k∆ = − − + − > 2 10 12k< <
2
1 2 2
32
1 4
kx x k
+ = +
2
1 2 2
64 4
1 4
kx x k
−⋅ = +
( ),0N t NA NB
0NA NBk k+ =
( ),0N t
( ) ( )1 21 2
1 2 1 2
4 4
NA NB
k x k xy yk k x t x t x t x t
− −+ = + = +− − − −
( )( )
( )( )1 2 1 2
1 2
2 4 8 0x x t x x tk x t x t
− + + += ⋅ =− −
( )( )1 2 1 22 4 8 0x x t x x t− + + + = ( ) 22 2
2 2 2
4 32128 8 8 32 01 4 1 4 1 4
t kk t tk
k k k
+− +− + =+ + +
1t =
( )1,0N NA NB
1C 2sin cos 0ρ θ θ− = 2 2sin cos 0ρ θ ρ θ− = 2y x=
2C cos
1 sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ ( )22 2 21 cos sinx y ϕ ϕ+ − = + ( )22 1 1x y+ − =
1C 2y x= 2C ( )22 1 1x y+ − =
( )
2
22
,
1 1,
y x
x y
= + − =
4 2 2 0y y y+ − = ( )1,1P ( )0,0Q
1 0 11 0PQk
−= =− PQ y x=
( )3cos ,4sinW α α
( )5sin3cos 4sin 5 2
22 2
d
β αα α −−= = ≤ 3tan 4
β = 0 2
πβ< 2 1 2x x− + − ≤ 52 2x< ≤
1 5,2 2
2 0a− < < ( )
1 2 , ,
1 1 , 1,
2 1 , 1,
a x x a
f x x a x a a x
x a x
+ −
( ) ( )
2
2 2
2
2 1 2 , ,2
2 2 1 , 1,2 2
2 2 1 , 1,2
x a x x a
x xh x f x a a x
x x a x
+ − − +
( )
( )
( )
2
2
2
1 2 1, ,2
1 , 1,2
1 2 1 , 1.2
x a x a
xh x a a x
x a x
+ − −
( ) 2
2 2
xf x ≤ + ( ) 0h x ≥ ( )min 0h x ≥
1 0,
1 0,
2 0,
a
a
a
− − ≥
+ ≥
− <
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