2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题（二）含答案及评分标准

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 广东省理科数学模拟试题（二） 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的县（市、区）、学校、姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题 卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求 的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知复数 （i 为虚数单位， ），若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相 同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、 秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和 为 49.5 尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5 尺，则立秋的晷长为（ ） A.1.5 尺 B.2.5 尺 C.3.5 尺 D.4.5 尺 4.在 中，已知 ， ，且 边上的高为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.一个底面半径为 2 的圆锥，其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为 ，则该 圆锥的体积为（ ） ( )( ){ }7 3 0A x x x= − + < { }2 2 2B x x= − < < A B = { }3 2 2x x− < < { }3 7x x− < < { }2 7x x− < < { }2 2 2x x− < < ( )i iz a= − a ∈ R 1 2a< < z ( )2, 5 ( )2,2 ( )2, 5 ( )1,2 ABC△ 45A∠ = ° 6 2AB = AB 2 2 sinC = 10 10 3 10 10 10 5 2 10 5 3π A. B. C. D. 6.已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 7.已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 F，过点 F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂 足分别为 A，B.若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B.2 C. D. 8.已知四边形 中， ， ， ， ，E 在 的延长线上，且 ，则 （ ） A.1 B.2 C. D. 9. 的展开式中， 的系数为（ ） A.120 B.480 C.240 D.320 10.把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原 来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，关于 的说法有：①函数 的图象关于点 对 称；②函数 的图象的一条对称轴是 ：③函数 在 上的最小值为 ；④函数 在 上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 11.如图，在矩形 中，已知 ，E 是 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连接 .若当三棱锥 的体积取得最大值时，三棱锥 外接球的体积为 ， 则 （ ） 2 3π 2 3 3 π 4 3 3 π 8 3 3 π ( )f x R ( )0,+∞ ( )3 0f − = ( )1 0f x − > ( )3,3− ( ) ( ), 2 1,4−∞ −  ( ) ( ), 4 1,2−∞ − − ( ) ( ), 3 0,3−∞ −  2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 0FA FB⋅ =  5 3 2 ABCD AD BC∥ 30A∠ = ° 2 3AB = 5AD = CB AE BE= AE DB⋅ =  1 2 3 ( )62x y+ + 3xy ( ) 2sinf x x= 3 π 1 2 ( )g x ( )g x ( )g x ,03 π     ( )g x 12x π= − ( )g x ,3 2 π π     3 ( )g x [ ]0,π ABCD 2 2AB AD a= = AB ADE△ DE 1A DE△ 1AC 1A CDE− 1A CDE− 8 2 3 π a = A.2 B. C. D.4 12.已知函数 （ ），若函数 有唯一零点，则 a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是______. 14.已知 ，则 ______. 15.从正方体的 6 个面的对角线中，任取 2 条组成 1 对，则所成角是 的有______对. 16.如图，直线 l 过抛物线 的焦点 F 且交抛物线于 A，B 两点，直线 l 与圆 交于 C，D 两点，若 ，设直线 l 的斜率为 k，则 ______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 2 2 2 ( ) 21 cos 12f x ax x= + − a ∈ R ( )f x ( ),0−∞ ( ] [ ),0 1,−∞ +∞ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) [ ),0 1,−∞ +∞ 3 0 3 0 1 0 x y x y x + − ≤  − − ≤  + ≥ 2z y x= − 3cos 12 5 πα + =   2sin 2 3 πα + =   60° 2 4y x= ( )2 21 1x y− + = 2 AC BD= 2k = 已知数列 和 满足 ，且 ， ，设 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 是等比数列，且 ，求数列 的前 n 项和 . 19.（12 分） 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设 备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在 以内，规定质 量指标值大于 30 的产品为优质品，质量指标值在 的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标 值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示. 质量指标值 频数 2 8 20 30 25 15 合计 100 （1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率. （2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数 据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 的把握认为“产品质量高于新设备有关”. { }na { }nb 1 1 12 0n n n n n na b a b a a+ + +⋅ − ⋅ − ⋅ = 1 1a = 1 1b = n n n bc a = { }nc { }na 2 3a = { }nb nS ( ]15,45 ( ]15,30 ( ]15,20 ( ]20,25 ( ]25,30 ( ]30,35 ( ]35,40 ( ]40,45 95% 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附： P（ ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中 . （3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取 3 件产品，其中优质品数为 X 件，求 X 的分布列 及数学期望. 19.（12 分） 如图，四棱锥 中，四边形 是菱形， ， ，E 是 上一点，且 ，设 . （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值. 20.（12 分） 已知椭圆 C： （ ）的焦点为 ， ，P 是椭圆 C 上一点.若椭圆 C 的离 心率为 ，且 ， 的面积为 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 是坐标原点，向量 ，过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点.若点 满足 ， ，求 的最小值. 2 0K k≥ 0k ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + P ABCD− ABCD PA PC= BD PA⊥ BC 3EC BE= AC BD O= PO ⊥ ABCD 60BAD∠ = ° PA PE⊥ A PE C− − 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c 2 2 1 1 2PF F F⊥ 1 2PF F△ 2 2 ( )1,1m = ( )2,0 ( ),Q x y 1OQ m⋅ =  OM ON OQλ+ =   λ 21.（12 分） 已知函数 （ ），其中 e 为自然对数的底数. （1）若函数 的极小值为 ，求 a 的值； （2）若 ，证明：当 时， 成立. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 C 的方程为 ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 （ ）. （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）已知 P 是曲线 C 上的一动点，过点 P 作直线 交直线 l 于点 A，且直线 与直线 l 的夹角为 ，若 的最大值为 6，求 a 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 . （1）解不等式： ； （2）若 a，b，c 均为正数，且 ，证明： . 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 广东省理科数学模拟试题（二） 参考答案及评分标准 评分标准： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分. 3.解答右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数，选择题不给中间分 ( ) e exf x a x a= − − ea < ( )f x 1− 1a = 0x ≥ ( ) ( )2 ln 1 0f x x x x+ − + ≥ xOy 2 2 112 4 x y+ = 2 cos 4 a πρ θ − =   0a > 1l 1l 45° PA ( ) 1 3f x x x= − + + ( ) 6f x ≤ ( )mina b c f x+ + = ( ) ( ) ( )2 2 2 491 1 1 3a b c+ + + + + ≥ 一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C 11.B 12.D 二、填空题 13.6 14. 15.48 16. 三、解答题 17.解： （1）由 ，得 . . ， . 是以 2 为公差的等差数列， 又 ， . （2）设 的公比为 q，则 . . 由（1）知 ，又 ， . ，① ，② ① ②得： . 7 25 − 12 2 16+ 1 1 12 0n n n n n na b a b a a+ + +⋅ − ⋅ − ⋅ = 1 1 12n n n n n na b a b a a+ + +⋅ − ⋅ = ⋅ 1 1 2n n n n b b a a + + ∴ − = n n n bc a = 1 2n nc c+∴ − = { }nc∴ 1 1 1 1bc a = = ( )1 1 2 2 1nc n n∴ = + − × = − { }na 2 1 3aq a = = 1 1 1 3n n na a q − −∴ = = 2 1nc n= − n n n bc a = ( ) ( ) 12 1 2 1 3n n nb n a n −∴ = − = − ( )0 1 2 11 3 3 3 5 3 2 1 3n nS n −∴ = × + × + × + + − × ( )1 2 33 1 3 3 3 5 3 2 1 3n nS n= × + × + × + + − × − ( )1 2 3 12 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3n n nS n−− = + × + × + × + + × − − × ( )12 3 2 3 31 2 1 31 3 n nn −× − × ×= + − − ×− ( )2 2 2 3nn= − − − × . 18.解： （1）估计新设备所生产的产品的优质品率为： ， 估计旧设备所生产的产品的优质品率为： . （2） 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 由列联表可得， ， 有 的把握认为产品质量高与新设备有关. （3）X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 由（1）知新设备所生产的优质品率为 0.7， ， ， ， . 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 的数学期望为 . 19. （1）证明： 四边形 是菱形， 是 的中点， . ， ， 平面 . 平面 ， ( )1 3 1n nS n∴ = − × + 30 25 15 100% 70%100 + + × = ( )5 0.06 0.03 0.02 100% 55%× + + × = ( )2 2 200 30 55 45 70 4.8 3.84175 125 100 100K × × − ×= = >× × × ∴ 95%  ( ) ( )30 0 30 C 1 0.7 0.7 0.027P X∴ = = × − × = ( ) ( )21 1 31 1 0.7 0.7 0.189P X C= = × − × = ( ) ( )12 2 32 1 0.7 0.7 0.441P X C= = × − × = ( ) ( )03 3 33 1 0.7 0.7 0.343P X C= = × − × = X∴ X∴ ( ) 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 2.1E X = × + × + × + × =  ABCD O∴ AC BD AC⊥ BD PA⊥ PA AC A= BD∴ ⊥ PAC PO ⊂ PAC . ，O 是 的中点， . 平面 ， 平面 ， ， 平面 . （2）解：由（1）知 平面 ， ， ， ， 两两互相垂直. 以 O 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 设四边形 的边长为 4， ， 四边形 是菱形， ， 和 都是等边三角形. . ， ， ， . ， ， ， . 即 . ， 设平面 的法向量为 ， 则 BD PO∴ ⊥ PA PC= AC PO AC∴ ⊥ AC ⊂ ABCD BD ⊂ ABCD AC BD O= PO∴ ⊥ ABCD PO ⊥ ABCD BD AC⊥ OA∴ OB OP ∴ OA OB OP ABCD PO a=  ABCD 60BAD∠ = ° ABD∴△ BCD△ 2 3OA OC∴ = = ( )0,0,P a∴ ( )2 3,0,0A ( )2 3,0,0C − 3 3, ,02 2E  −    ( )2 3,0,PA a∴ = − 3 3, ,2 2PE a  = − −     3 3 3, ,02 2EC  = − −     PA PE⊥ ( ) 3 32 3,0, , , 02 2PA PE a a  ∴ ⋅ = − ⋅ − − =      23 0a∴− + = 3a = ( )2 3,0, 3PA∴ = − 3 3, , 32 2PE  = − −     PAE ( )1 1 1, ,m x y z= ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3,0, 3 , , 2 3 3 0 3 3 3 3, , 3 , , 3 02 2 2 2 PA m x y z x z PE m x y z x y z  ⋅ = − ⋅ = − =  ⋅ = − − ⋅ = − + − =          令 ，得 ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 ， . . 设二面角 的平面角为 ， 结合图象可知， 二面角 的余弦值为 . 20.解： （1）依题意可知 ， . . ，故设 ，代入椭圆方程得 ， 的面积 联立 ，解得 ， . 1 2z = 1 1x = 1 5 3 3y = 5 31, ,23m  ∴ =      PEC ( )2 2 2, ,n x y z= 2 2 2 2 2 3 3 3 02 2 3 3 3 02 2 EC n x y PE n x y z  ⋅ = − − =  ⋅ = − + − =     2 1x = − 2 3y = 2 2z = ( )1, 3,2n∴ = − A PE C− − θ ( ) ( ) ( )2 222 2 2 5 31, ,2 1, 3,23 15cos 55 31 2 1 3 23 m n m n θ  ⋅ − ⋅  = − = − = −  + + ⋅ − + +        ∴ A PE C− − 15 5 − 2 2 c a = 2 2 2 2 2 2 2 11 2 c a b b a a a −∴ = = − = 2 22a b∴ = 1 1 2PF F F⊥ ( )0,P c y− 2 0 by a = ± 1 2PF F∴△ 2 1 2 0 1 2 2 2 bF F y c a = ⋅ ⋅ = ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b bc a c a b  =   ⋅ =  = − 1b = 2 2a b= = 椭圆 C 的方程为： . （2）由题意可知直线 l 的斜率显然存在，故设直线 l 的方程为： ， 联立 消去 y 并整理得 . . 设 ， ， ， . ， . 当 时 ， 当 时， ， ， ， . . . 当且仅当 时取等号，且 满足 ，所以 . 综上， . 21.解： （1）函数 的定义域为 ， ， 当 时， 对于 恒成立， 在 单调递减. 在 上无极值. ∴ 2 2 12 x y+ = ( )2y k x= − ( ) 2 2 2 12 y k x x y = − + = ( )2 2 2 21 2 8 8 2 0k x k x k+ − + − = ( ) ( )( )22 2 28 4 1 2 8 2 0k k k∴∆ = − − + − > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 1 2 2 8 1 2 kx x k ∴ + = + 2 1 2 2 8 2 1 2 kx x k −⋅ = + OM ON OQλ+ =    ( ) ( )1 2 1 2, ,x x y y x yλ∴ + + = 0k = 0λ = 0λ ≠ ( ) 2 1 2 2 8 1 2 x x kx kλ λ += = + ( ) ( )1 2 1 2 2 1 44 1 2 y y ky k x x k kλ λ λ + −= = + − =   + 1OQ m⋅ =   1x y∴ + = ( ) ( ) 2 2 2 8 4 1 1 2 1 2 k k k kλ λ −∴ + = + + ( ) 2 22 8 4 14 1 1 21 2 k k k kk λ − + ∴ = = − ++   ( ) ( ) ( )2 1 14 1 4 1 32 1 4 1 3 2 1 41 k k k k k     += − = −    + − + +    + + −+  44 2 6 2 6 4 ≥ − = − − 6 12k = − 6 12k = − 0∆ > 2 6λ ≥ − min 2 6λ = − ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) e exf x a′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ < ( ),x∈ −∞ +∞ ( )f x∴ ( ),−∞ +∞ ( )f x∴ ( ),−∞ +∞ 当 时，令 ，得 . 当 时， ，当 时， . 在 单调递减，在 单调递增. 当 时， 取得极小值 . ，即 . 令 （ ），则 . ， ， 在 上单调递增. 又 ， . （2） ， . 令 （ ）， . 令 （ ）， . 令 ，得 . 当 时， ；当 时， . 在 单调递减，在 单调递增. 当 时， 取得极小值. 又 ， ， 存在 使得 . 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增. 又 ， . 当 时， ，即 . 令 （ ），则 对于 恒成立. 0 ea< < ( ) 0f x′ > elnx a > ∴ eln ,x a  ∈ +∞   ( ) 0f x′ > e,lnx a  ∈ −∞   ( ) 0f x′ < ( )f x∴ e,ln a  −∞   eln ,a  +∞   ∴ elnx a = ( )f x 1− lne eln e eln 1 e af a aa a  ∴ = − − = −   eln 1 0a a− + = ( ) eln 1m x x x= − + 0 ex< < ( ) e e1 xm x x x −′ = − = 0 ex< ( )m x∴ ( )0,e ( )1 0m = 1a∴ = 1a = ( ) e e 1xf x x∴ = − − ( ) ( ) ( ) ( )2 ln 1 0 e 2 e 1 ln 1 0xf x x x x x x x∴ + − + ≥ ⇔ + − − − + ≥ ( ) ( )2e 2 e 1xg x x x= − + − − 0x ≥ ( ) e 2 2 exg x x′∴ = − + − ( ) e 2 2 exh x x= − + − 0x ≥ ( ) e 2xh x′∴ = − ( ) 0h x′ > ln 2x > ∴ ( )ln 2,x∈ +∞ ( ) 0h x′ > [ )0,ln 2x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x∴ [ )0,ln 2 ( )ln 2,+∞ ∴ ln 2x = ( )h x ( )0 3 e 0h = − > ( )1 0h = ∴ ( )0 0,ln 2x ∈ ( )0 0h x = ( )g x∴ [ )00, x ( )0 ,1x [ )1,+∞ ( ) ( )0 1 0g g= = ( )min 0g x∴ = ∴ 0x ≥ ( )2e 2 e 1 0x x x− + − − ≥ ( ) 2e 2 e 1x x x+ − − ≥ ( ) ( )ln 1q x x x= − + 0x ≥ ( ) 11 01q x x ′ = − ≥+ 0x ≥ 在 上单调递增. ，即当 时， . 当 时， . 当 时， . 当 时， . 22.解： （1）由 ，得 . . ， ， 直线 l 的直角坐标方程为 ，即 . （2）依题意可知曲线 C 的参数方程为： （ 为参数）. 设 ，则点 P 到直线 l 的距离为： . ， 当 时， . 依题意得 . 的最大值为 ，即 . ， 解得 . 23.解： ( )q x∴ [ )0,+∞ ( ) ( )0 0q x q∴ ≥ = 0x ≥ ( )ln 1x x≥ + ∴ 0x ≥ ( )2 ln 1x x x≥ + ∴ 0x ≥ ( ) ( )2e 2 e 1 ln 1x x x x x+ − − ≥ +≥ ∴ 0x ≥ ( ) ( )2 ln 1 0f x x x x+ − + ≥ 2 cos 4 a πρ θ − =   2 cos cos sin sin4 4 a π πρ θ θ + =   cos sin aρ θ ρ θ∴ + = cosx ρ θ= siny ρ θ= ∴ x y a+ = 0x y a+ − = 2 3 cos 2sin x y α α  = = α ( )2 3 cos ,2sinP α α 2 3 cos 2sin 2 a d α α+ − = 3 14 cos sin 4sin2 2 3 2 2 a a πα α α    + −  + −    = = 0a > ∴ sin 13 πα + = −   max 4 2 ad − −= 2PA d= PA∴ max2 6d = 42 6 2 a− −× = 0a > ∴ 2a = （1） 当 时， ，即 ，解得： ； 当 时， ，满足题意； 当 时， ，即 ，解得： . 综上，不等式 的解集为 . （2）由（1）知 ， . . . ， 当且仅当 时等号成立. . ( ) 2 2, 3, 4, 3 1 2 2, 1 x x f x x x x − − < − = − ≤ ≤  + > 3x < − 2 2 6x− − ≤ 4x ≥ − 4 3x− ≤ < − 3 1x− ≤ ≤ 4 6≤ 1x > 2 2 6x + ≤ 2x ≤ 1 2x< ≤ ( ) 6f x ≤ { }4 2x x− ≤ ≤ ( )min 4f x = 4a b c∴ + + = ( ) ( ) ( )1 1 1 7a b c∴ + + + + + = ( ) ( ) ( ) 21 1 1 49a b c∴ + + + + + =   ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 249 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1a b c a b a c b c∴ = + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1a b c ≤ + + + + +  4 3a b c= = = ( ) ( ) ( )2 2 2 491 1 1 3a b c∴ + + + + + ≥