2020年江苏省高考数学考前最后押题（二）（解析版）

1 2020 年江苏省高考数学考前最后押题（二） （考试时间：120 分钟 试卷满分：160 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 数学 I 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合 A={푥||푥| ≤ 1,푥 ∈ 푍}, B={ ― 1,0,1,6},则퐴 ∩ 퐵 = _____________. 【答案】{-1，0，1} 【解析】B={ ― 1,0,1}，则퐴 ∩ 퐵 = {-1，0，1} 2. 已知复数 的实部为 0，其中 为虚数单位， 为实数，则|푧| = _____________. 【答案】4 【解析】 ∵ 푧 = (푎 + 2푖)(1 + 푖) = (푎 ― 2) + (푎 + 2)푖的实部为0， ∴ 푎 ― 2 = 0，解得：푎 = 2， ∴ 푧 = 4푖， ∴ 푧 = ― 4푖.则|푧| = 4. 3. 数据 1，3，5，7，9 的标准差为　 　． 【答案】2 2 【解析】样本的平均数为 5， ∴这组数据的方差是 S2＝1 5[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（9﹣5）2]， ( 2 )(1 )z a i i= + + i a2 ∴S2＝8，故标准差 S＝2 2，故答案为：2 2. 4. 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室玻 璃，则恰好选中 2 名男生的概率为　 　． 【答案】 3 10 【解析】某班在一次劳动教育实践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室玻璃， 基本事件总数 n＝10， 恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m＝3， ∴恰好选中 2 名男生的概率 p＝ 3 10．故答案为： 3 10． 5. 下图是一个算法流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出 S 的值为________． 【答案】100 【解析】当 x=1 是 S=1；当 x=2 是 S=1+8；当 x=3 是 S=1+8+27；当 x=4 是 S=1+8+27+64=100. 则输出 S 的 值为 100. 6. 若 ， ， ，则 ． 【答案】﹣1 【解析】由 ，得 ， 所以 或 5cos2 6sin( ) 04 πα α+ + = ( 2 πα ∈ )π sin 2α = 5cos2 6sin( ) 04 πα α+ + = (cos sin )[5(cos sin ) 3 2] 0α α α α+ − + = cos sin 0α α+ = 3 2cos sin 5 α α− = −3 得 或 因为 ， ，则 ，所以 ． 7. 若双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为 2，则其两条渐近线所成的锐角为_______. 【答案】휋 3 【解析】∵푐 푎 = 2，∴푐2 푎2 = 4，故푎2 + 푏2 푎2 = 4，所以푏 푎 = 3， ∴两条渐近线方程为： ，∴两条渐近线所成的锐角为 .故答案为： 8. 若直线 与曲线 相切，则实数 k 的值为________． 【答案】1 4 【解析】曲线푦 = 푥在切点(푥0,푦0)处的切线方程为푦 = 1 2 푥0 푥 + 푥0 2 ，所以{ 푥0 2 = 1, 푘 = 1 2 푥0 , 解得푘 = 1 4． 9. 等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 2，则 _______. 【答案】121 【解析】由题意， 푎1푎6 = 3푎3，且푎4与푎5的等差中项为 2， 设等比数列{푎푛}的公比为푞， 所以{ 푎1 2푞5 = 3푎1푞2 푎1푞3 + 푎1푞4 = 4，解得푎1 = 81，푞 = 1 3， 所以푆5 = 81 × [1 ― (1 3)5] 1 ― 1 3 = 121.故答案为：121. 10. 如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，点 是棱 的中点，点 是 棱 靠近 的三等分点，且三棱锥 的体积为 2，则四棱柱 的体积为 sin 2 1α = − 7 25 ( 2 πα ∈ )π sin 2α = 2sin cos 0α α < sin 2 1α = − 2 2 2 2 1x y a b − = 3y x= ± 3 π 3 π 1y kx= + y x= { }na n nS 1 6 33a a a= 4a 5a 5S = 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1BB F 1CC 1C 1A AEF− 1 1 1 1ABCD A B C D−4 ______． 【答案】12 【解析】由题意，设底面平行四边形 的 ，且 边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ，则直四棱柱 的体积为 ， 又由三棱锥 的体积为 ， 解得 ，即直四棱柱的体积为 。 11. 已知 ， ，则 的最小值为__ _____. 【答案】4 2 【解析】由푥 > 0，푦 > 0， 푥 + 푦 푥 + 16 푥푦 = 푥 + 푦2 + 16 푥푦 ≥ 푥 + 2 ⋅ 푦 ⋅ 4 푥푦 = 푥 + 8푦 푥푦 ≥ 2 푥 ⋅ 8푦 푥푦 = 4 2， 当且仅当푥 = 2 2，푦 = 4时取等号，故答案为：4 2. 12. 若圆 C1： 与圆 C2： 相交，点 P 为其在 x 轴下方的交点，且 mn＝ ﹣8，则点 P 到直线 x＋y﹣1＝0 距离的最大值为_______. 【答案】5 2 2 【解析】由题意可知 ， 代入圆 C1 得 ， ABCD AB a= AB b 1 1 1 1ABCD A B C D− h 1 1 1 1ABCD A B C D− V Sh abh= = 1A AEF− 1 1 1 1 1 1 1 1 23 3 2 6A AEF F AA EV V S h ah b abh− −= = = × × = = 12abh = 12 0x > 0y > 16yx x xy + + 2 2( ) 16x m y− + = 2 2( ) 16x n y− + = 2p m nx += 2 2( ) ( ) 416 164 4p m n m n mny − + −= − − = − −5 ∵mn＝﹣8，∴ ， 所以点 P 在圆 上，其中 ， 求得圆心 O 到直线 x＋y﹣1＝0 的距离是 ，[来源:Z#xx#k.Com] 故点 P 到直线 x＋y﹣1＝0 的距离的最大值是 ，故答案为：5 2 2 13．已知函数 ，若函数 有且仅有四个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 ． 【答案】(27， + ∞) 【解析】 ， 当 k＝0 时，原函数有且只有一个零点，不符题意，故 k≠0， 观察解析式，可知函数 有且仅有四个不同的零点， 可转化为 有且仅有两个不同的零点， 当 k＜0，函数 在(0， )单调递增，最多一个零点，不符题意，舍； 当 k＞0， ， x (0， ) ( ， ) 2 2 2( ) 4 ( 8)16 8 ( ) 84 2p p m n m ny x + − × − += − − = − − = − 2 2 8x y+ = 0y < 2 2 2 5 22 2 2 2 + = 2 2(1 ), 0( ) 2 , 0 k xf x x x k x  −  = − =   − − <  ( )g x 2 2( ) , 0kg x x k xx = + − > ( )g x +∞ 3 2 2( )( ) , 0x kg x xx −′ = > 1 3k 1 3k 1 3k +∞6 ﹣ 0 ﹢ 单调递减 单调递增 要使 在(0， )有且仅有两个不同的零点， 则 ，解得 k＞27， 综上所述，实数 k 的取值范围是(27， + ∞)． 14. 在锐角 中，角 的对边分别为 ， 的面积为 ，若 ，则 的最小值为_____. 【答案】 2 【解析】因为 ，即 ，所以 ，因为 ， 所以 ，由余弦定理 ，可得 ，再由正弦定理得 ，因为 ， 所以 ，所以 或 ，得 或 （舍去）. 因为 是锐角三角形，所以 ，得 ，即 ， 所以 ，当且仅当 ，取等号. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在斜三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. ( )g x′ ( )g x ( )g x +∞ 1 2 3 3 min 1 3 2( ) ( ) 0kg x g k k k k = = + − < ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ S 2 2 2sin( ) SA C b c + = − 1tan 2tan( )C B C + − 2 2 2sin( ) SA C b c + = − 2 2 2sin SB b c = − 2 2 sinsin ac BB b c = − sin 0B ≠ 2 2b c ac= + 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 cosa c B c− = sin 2sin cos sinA C B C− = sin 2sin cos sin( ) 2sin cos sin( )A C B B C C B B C− = + − = − sin( ) sinB C C− = B C C− = B C C π− + = 2B C= B π= ABC∆ 0 2 0 2 2 0 3 2 C C C π π ππ  < (0, )+∞ ( )g x (0, )+∞ ( ) (0) 0g x g> = 1a > ( ) 0g x′ = lnx a= x (0,ln )a ln a (ln , )a +∞ ( )g x′ − 0 + ( )g x lnb a= (0,ln )a ( ) (0) 0g x g< = a (1, )+∞ { }na { }na∆ { }na ( )* 1n n na a a n N+∆ = − ∈ { }2 na∆ { }na ( )2 * 1n n na a a n N+∆ = ∆ − ∆ ∈12 （1）数列 的通项公式 ，试判断 ， 是否为等差数列，请说明理由？ （2）数列 是公比为 正项等比数列，且 ，对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 所 有可能的取值构成的集合； （3）各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ，对满足 ， 的任意正整数 、 、 ，都有 ，且不等式 恒成立，求实数 的最大值. 【解析】（1）因为푎푛 = 푛2，所以훥푎푛 = 푎푛+1 ― 푎푛 = (푛 +1)2 ― 푛2 = 2푛 +1， 则 ，又 ，所以 是首项为 3，公差为 2 的等差数列. ………………2 分 因为 ，则 是首项为 2，公差为 0 的等差数列. ………………4 分 （2）因为数列 是公比为 的正项等比数列 ，所以 . 又 ， 且对任意的 ，都存在 ，使得 ， 所以对任意的 ，都存在 ，使得 ， 即 ，因为 ，所以 .………………6 分 若 ，则 ，解得 （舍）或 ， 即当 时，对任意的 ，都有 .………………7 分 若 ，则 ，解得 （舍）或 ， 的 { }na ( )2 * na n n= ∈N { }na∆ { }2 na∆ { }nb q 2q ≥ *n N∈ *m N∈ 2 n mb b∆ = q { }nc n nS 2 0nc∆ = 2m n k+ = m n≠ m n k m nc c≠ m n kS S tS+ > t 1 2n na a+∆ − ∆ = 1 3a∆ = { }na∆ 2 1 2n n na a a+∆ = ∆ − ∆ = { }2 na∆ { }nb q 1 1 n nb bq −= ( )2 1 2 1 1 2 12n n n n n n n n n nb b b b b b b b b b+ + + + + +∆ = ∆ − ∆ = − − − = − + *n N∈ *m N∈ 2 n mb b∆ = *n N∈ *m N∈ 1 1 1 1 1 1 12n n n mb q b q b q b q+ − −− + = 2( 1) m nq q −− = 2q ≥ 0m n− ≥ 1° 0− =m n 2 2 1 1q q− + = 0q = 2q = 2q = *n N∈ 2 n nb b∆ = 2° 1m n− = 2 3 1 0q q− + = 3 5 2q −= 3 5 2q +=13 即当 时，对任意的 ，都有 .………………8 分 若 ，则 ， 故对任意的 ，不存在 ，使得 .………………9 分 综上所述， 所有可能的取值构成的集合为 ；………………10 分 （3）因为 ，所以 ， 则 ，所以 是等差数列. ………………12 分 设 的公差为 ，则 . 若 ，则 ； 若 ，则当 时， ， 与数列 的各项均为正数矛盾，故 . 由等差数列前 项和公式可得 ， 所以 ， ， 又 ， ， 3 5 2q += *n N∈ 2 1n nb b +∆ = 3 2m n− ≥ 2 2( 1)m nq q q− ≥ > − *n N∈ *m N∈ 2 n mb b∆ = q 3 52, 2  +     2 0nc∆ = ( )2 1 2 1 1n n n n n n nc c c c c c c+ + + +∆ = ∆ − ∆ = − − − 2 12 0n n nc c c+ += − + = 2 1 1n n n nc c c c+ + +− = − { }nc { }nc d ( )1 1nc c n d= + − 0d = m nc c= 0d < 11 cn d > − 0nc < { }nc 0d > n 2 12 2n d dS n c n = + −   2 2 1 12 2 2 2n m d d d dS S n c n m c m   + = + − + + −       ( )2 2 1 ( )2 2 d dn m c m n = + + − +   2 12 2 2 2k d m n d m nS c + +    = + −         m n≠ 2 2 2( ) 2 4 m n m n+ +>14 所以 ， 则当 时，不等式 都成立. ………………14 分 另一方面，当 时，令 ， ， 则 ， ， 则 ， 因为 ， ，[来源:学*科*网] 所以当 时， ，即 .不满足任意性. 所以 .综上， 的最大值为 2. ………………16 分 数学Ⅱ（附加题） （满分：40 分 考试时间：30 分钟） 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按 作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） ( )2 2 1 ( )2 2n m d dS S n m c m n + = + + − +   2 1 ( ) ( ) 22 2 2 k d m n dc m n S +  > ⋅ + − + =   2t ≤ m n kS S tS+ > 2t > 1m k= + ( )*1 , 2n k k N k= − ∈ ≥ ( ) ( )2 2 11 1 22 2m n d dS S k k c k  + = + + − + − ×     ( )2 12 2 22 2 d dk k c = + + −   2 12 2k d dS k c k = + −   ( ) ( )2 2 1 12 2 22 2 2 2k m n d d d dtS S S tk c tk k k c   − + = + − − + − −       ( )2 1( 2)2 d t d k k t c k d = − − + − −   02 d t d− > 2 0k k− ≥ 1( 2) dk t c > − ( ) 0k n mtS S S− + > m n kS S tS+ < 2t ≤ t15 在平面直角坐标系 xOy 中，点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求矩阵 M 的 特征值． 【解析】 由 , 解得 所以 ,………………4 分 所以 . 令 ,得 或 ,即矩阵 M 的特征值为 1 和 3. ………………10 分 B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在极坐标系中 ，圆 C 的方程为 (r＞0)．以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直 角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)．若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求 r 的取值范围． 【解析】因为圆 C 的极坐标方程为 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ，整理得 ， 即圆 C 是圆心为(0，r)，半径为 r 的圆，……………3 分 因为直线 l 的参数方程为 ，消去 t， 整理可得直线 l 的普通方程为 ，……………6 分 因为直线 l 和圆 C 有公共点，所以圆心 C 到直线 l 的距离 ， ( )1,1P 2 3 aM b  =    ( )3,3P′ 2 1 2 3 3 1 3 3 a a b b +       = =       +        1, 0, a b =  = 1 2 0 3  =   M 1 2( ) ( 1)( 3)0 3f λλ λ λλ − −= = − −− ( ) 0f λ = 1λ = 3λ = 2 sinrρ θ= 3 1 3 x t y t  = + = + 2 sinrρ θ= 2 2 sinrρ ρ θ= 2 2 2x yρ = + sin yρ θ = 2 2 2x y ry+ = 2 2 2( )x y r r+ − = 3 1 3 x t y t  = + = + 3 2 0x y− − = 2 3 1 rd r − −= ≤ +16 解得 r≥2．……………10 分 C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 x，y，z 是正实数，且 ，求证： ． 【解析】由柯西不等式得 ……… 6 分 因为 ， 所以 ， 所以 ，当且仅当 时取等号．………………… 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满 1000 元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口 袋中装有编号为 1、2、3、4、5 的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每 次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励 50 元，若三位数是偶数，则奖励 元（ 为三位数的百位上的数字，如三位数为 234，则奖励 元）. （1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； （2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额 概率分布与期望 . 【解析】（1）因为总的基本事件个数푛1 = 퐴35 = 60，摸到三位数是奇数的事件数푛2 = 퐴13퐴24 = 36， 所以푃1 = 36 60 = 3 5； 所以摸到三位数是奇数的概率 .………4 分 的 =5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ + ( ) ( ) 2 2 22 2 2 222 1 12x y z x y z      + + + + + +         ≥ =5x y z+ + 2 2 2 5( 2 ) 252 ≥x y z+ + ⋅ 2 2 22 10≥x y z+ + 2a b c= = 100m m 100 2 200× = X ( )E X 3 517 （2）获奖金额 的可能取值为 50、100、200、300、400、500， ， ， ， ， ， ， 获奖金额 的概率分布为 50 100 200 300 400 500 均值 元. 所以期望是 150 元. ………10 分 23．（本小题满分 10 分） 已知数集 ，其中 ，且 ，若对 ， 与 两数中至少有一个属于 ，则称数集 具有性质 . （1）分别判断数集 与数集 是否具有性质 ，说明理由； （2）已知数集 具有性质 ，判断数列 ， ，…， 是否为等差数列，若是等差数列， 请证明；若不是，请说明理由. 【解析】 （1）由于 和 都不属于集合 , 所以该集合不具有性质 ； 由于 、 、 、 、 、 、 、 、 、 都属于集合 , 所以该数集具有性质 .………3 分 X 3( 50) 5P X = = 1 3 2 1( 100) 60 10P X × ×= = = 1 3 1 1( 200) 60 20P X × ×= = = 1 3 2 1( 300) 60 10P X × ×= = = 1 3 1 1( 400) 60 20P X × ×= = = 1 3 2 1( 500) 60 10P X × ×= = = X X P 3 5 1 10 1 20 1 10 1 20 1 10 3 1 1 1 1 1( ) 50 100 200 300 400 500 1505 10 20 10 20 10E X = × + × + × + × + × + × = { }1 2, , , nA a a a=  1 20 na a a≤ < <