2020 年北京高考数学猜题卷（五）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1. 已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集
合是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由 ，即
图中阴影部分表示的集合为：
又
本题正确选项：
2.若 ,则下列不等式恒成立的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴设
代入可知 均不正确
对于 ，根据幂函数的性质即可判断正确
故选 D
3.设 为直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
U R= { | 1}M x x= < − ( ){ | 2 0}N x x x= + <
{ | 1 0}x x− ≤ < { | 1 0}x x− < <
{ | 2 1}x x− < < − { | 1}x x < −
( )2 0 2 0x x x+ < ⇒ − < < { }2 0N x x= − < <
( )UN C M
{ }1UC M x x= ≥ −
( ) { }1 0UN C M x x∴ ∩ = − ≤ <
A
0a b< <
1 1
a b
> a b− >
2 2a b> 3 3a b<
0a b< <
1, 1a b= − =
, ,A B C
D
l α βA. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】若 ， ，则平面 可能相交，也可能平行，故 A 错误.
若 ， ，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得 B 正确.
若 ， ，则存在直线 ，使 ，则 ，故此时 ，
故 C 错误.
4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样
本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A. 46，45，56 B. 46，45，53
C. 47，45，56 D. 45，47，53
【答案】A
【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 众数是 45，极差为
68-12=56.所以选 A.
5.“ ”是“关于 x 的实系数方程 有虚数根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】关于 x 的实系数方程 有虚数根的充要条件为： ，
即 ，
又“ ”不能推出“ ”，
“ ”能推出“ ”，
即“ ”是“关于 x 的实系数方程 有虚数根”的必要不充分条件，
故选 B．
//l α //l β //α β l α⊥ l β⊥ //α β
l α⊥ //l β //α β α β⊥ //l α l β⊥
/ /l α l β/ / ,α β
l α⊥ l β⊥
l α⊥ l β/ / m α⊂ //l m m α⊥ α β⊥
45+47 =462
，
2p < 2 1 0x px+ + =
2 1 0x px+ + = 2 4 0p= − ⋅
b c⋅
B
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F
1F 2 0AB BF ⋅ =
1 2 150F AF∠ = 2e =
7 2 3− 7 3−
7 3+ 7 2 3+，
，
设 ，则 ，
由双曲线定义可得：
，
故 ，解得
则
在 中，由勾股定理可得：
即
得
故选
10. 对于定义域为[0,1]的函数 ，如果同时满足以下三个条件：
①对任意的 ，总有
②
③若 ， ，都有 成立；
则称函数 为理想函数． 下面有三个命题：
若函数 为理想函数，则 ；
函数 是理想函数；
若函数 是理想函数，假定存在 ，使得 ，且 ，则
；
其中正确的命题个数有（ ）
2 0AB BF⋅ =
2AB BF∴ ⊥ 1 2 90F BF∠ =
1 2 150F AF∠ = 1 2 30B AF∴∠ =
2BF x= 2 2AF x= 3AB x=
1 2 2F A AB BF a+ − =
1 2 3F A a x x∴ = + −
2 1 2AF AF a− = 1 2 2F A x a= −
2 2 2 3x a a x x− = + − ( )2 3 1x a= −
1 2 3F B a=
1 2Rt F BF 2 2 2
1 2 1 2F B BF F F+ =
( ) ( ) ( )22 22 3 2 3 1 2a a c + − =
( ) 2 27 2 3 a c− =
2 7 2 3e∴ = −
A
)(xf
]1,0[∈x 0)( ≥xf
1)1( =f
0,0 21 ≥≥ xx 121 ≤+ xx )()()( 2121 xfxfxxf +≥+
)(xf
)(xf 0)0( =f
])1,0[(12)( ∈−= xxf x
)(xf ]1,0[0 ∈x ]1,0[)( 0 ∈xf 00 )]([ xxff =
00 )( xxf =A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【答案】A
【解析】（ 1） 取 ， 代 入 ， 可 得
,即 ， 由 已 知 对任意的 ， 总 有 可 得
， ∴ ;
（ 2） 显 然 在 上 满 足 ； ② ．
若 ， 且 ，
则 有
,
故 满 足 条 件 ① ② ③ ， 所 以 为 理 想 函 数 ．
由 条 件 ③ 知 ， 任 给 ， 当 时 ， 由 知 ，
∴ ．
若 ， 则 ， 前 后 矛 盾 ；
若 ， 则 ， 前 后 矛 盾 ．
故 ． ∴ 三 个 命 题 都 正 确 ， 答案为 ．
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 展开式的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】-160
【解析】由 ，令 得 ，
所以 展开式的常数项为 .
考点：二项式定理.
1 2 0x x= = )()()( 2121 xfxfxxf +≥+
0 0 0f f f≥ +（ ） （ ） （ ） 0 0f ≤（ ） ]1,0[∈x 0f x ≥（ ）
0 0f ≥（ ） 0)0( =f
])1,0[(12)( ∈−= xxf x
[0 ]1， 0 0f ≥（ ） 1)1( =f
0,0 21 ≥≥ xx 121 ≤+ xx
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2[ ] 2 1 2 1 2 1 2 2 1[ ] 1 0x x x x x xf x x f x f x ++ − + = − − − + − = − − ≥（ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ ）（ ）
2 1xf x = −（ ） 2 1xf x = −（ ）
[01]m n∈、 ， m n＜ m n＜ [ ]01n m− ∈ ，
f n f n m m f n m f m f m= − + ≥ − + ≥（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
0 0f x x（ ）＞ 0 0 0[ ]f x f f x x≤ =（ ） （ ）
0 0f x x（ ）＜ 0 0 0[ ]f x f f x x≥ =（ ） （ ）
0 0f x x=（ ） A
612 x
x
−
6 6 6 2
1 6 6
1(2 ) ( 1) (2) ( )
r
r r r r r r
rT C x C x
x
− − −
+
= − = − 6 2 0r− = 3r =
612 x
x
−
3 3 6 3
6( 1) (2) 160C −− = −12.过点 作直线 与圆 交于 、 两点，如果 ，
则 的方程为_____.
【答案】 或
【解析】圆 ，即 ，
所以圆心 ，半径等于 ，设圆心到直线的距离为 ，
由弦长公式得： ，所以 .
当直线 的斜率不存在时，方程为 ，满足条件.
当直线 的斜率存在时，设斜率等于 ，
直线 的方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于 得： ，
解得 ，直线 的方程为 .
综上，满足条件的直线 的方程为 或 ，
故答案为： 或
13. 在△ABC 中， ，A 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，若 ， ，则
AD=______.
【答案】
【解析】在△ABC 中，由余弦定理得 .
所以 .所以 .
在△ABD 中，由正弦定理得 .
故答案为： .
14. 已知函数 的一条对称轴为 ， ，
且函数 f(x)在 上具有单调性，则 的最小值为______.
( 4,0)− L 2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = A B 8AB =
L
4x = − 5 12 20 0x y+ + =
2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = 2 2( 1) ( 2) 25x y+ + − =
( 1,2)− 5 d
28 2 25 d= − 3d =
L 4x = −
L k
L 0 ( 4)y k x− = + 4 0kx y k− + =
3 2
2 4 3
1
k k
k
− − + =
+
5
12k = − L 5 12 20 0x y+ + =
L 4x = − 5 12 20 0x y+ + =
4x = − 5 12 20 0x y+ + =
6A
π= 2AB = 6AC =
3
2 32 6 2 2 6 2, 2=2BC BC AB= + − ⋅ ⋅ ⋅ = ∴ =
2
6 3C B
π π= =，
4ADB
π∠ =
2 , 3
3 2
2 2
AD AD= ∴ =
3
( ) sin 2 3 cosa x xf x = −
6x
π= − ( ) ( )1 2 0f x f x+ =
( )1 2,x x 1 2x x+【答案】
【解析】 ，由题可知
，化简可得 ，则
， 且函数 在 上具有单调性，
关于对称中心对称，故有 ，解得
，当 时， 的最小值为 ，
故答案为：
15.已知平面内两个定点 和点 ，P 是动点，且直线 PM, PN 的斜率乘积为常
数 ，设点 P 的轨迹为 C.
① 存在常数 ，使 C 上所有点到两点(－4,0),(4,0)距离之和为定值；
② 存在常数 ，使 C 上所有点到两点(0,－4),(0,4)距离之和为定值；
③ 不存在常数 ，使 C 上所有点到两点(－4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数 ，使 C 上所有点到两点(0,－4),(0,4)距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【解析】设点 P 的坐标为：P（x，y），
依题意，有： ，
整理，得： ，
对于①，点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 c＝4，a＜0，
椭圆在 x 轴上两顶点的距离为：2 ＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆，且 c＝4，
椭圆方程为： ，则 ，解得： ，符合；
2
3
π
( ) ( )2 2 3sin 2 3 cos 12 sin ,tanf aa x x a xx ϕ ϕ= − = + + = −
2sin 2 3 cos 6 26 6 1f a a
π π π − − − = ±
=
−
+
2a =
( ) 4sin 3f x x
π = −
( ) ( )1 2 0,f x f x+ = ( )f x ( )1 2,x x
( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y∴ 1 23 3 ,2
x x
k k Z
π π
π
− + −
= ∈
1 2
2 2 ,3x x k k Z
π π+ = + ∈ 0k = 1 2x x+ 2
3
π
2
3
π
)0,3(M ( 3,0)N −
)0( ≠aa
)0( ≠aa
)0( ≠aa
)0( ≠aa
)0( ≠aa
3 3
y y ax x
× =+ −
2 2
19 9
x y
a
− =
9
2 2
19 9
y x
a
+ =− 9 9 16a− − = 25
9a = −对于③，当 时， ，所以，存在满足题意的实数 a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线，即 ，
不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数 a，正确.
故答案为：②④.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 在①△ABC 面积 ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题
中，求 AC.
如图，在平面四边形ABCD中， ， ，______， ，
求 AC.
【答案】见解析
【解析】选择①：
所以 ；
由余弦定理可得
所以
选择②
设 ，则 ， ，
7
9a = 2 2
19 7
x y− =
2 2
19 9
y x
a
+ =−
2ABCS∆ =
6ADC
π∠ =
3
4ABC
π∠ = BAC DAC∠ = ∠ 2 4CD AB= =
1 1 3sin 2 sin 22 2 4ABCS AB BC ABC BC
π
∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅ =
2 2BC =
2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠
24 8 2 2 2 2 202
= + − × × × − =
20 2 5AC = =
BAC CAD θ∠ = ∠ = 0 4
πθ< <
4BCA
π θ∠ = −在 中 ，即
所以
在 中， ，即
所以 .
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
17. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 7 局 4 胜制（即先胜 4 局者获胜，
比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（1）求乙以 4 比 1 获胜的概率；
（2）求甲获胜且比赛局数多于 5 局的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 ，
记“乙以 4 比 1 获胜”为事件 A，则 A 表示乙赢了 3 局甲赢了一局，且第五局乙赢，
∴ ．
（2）记“甲获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B，则 B 表示甲以 4 比 2 获胜，或甲以 4 比 3
获胜．
因为甲以 4 比 2 获胜，表示前 5 局比赛中甲赢了 3 局且第六局比赛中甲赢了，
这时，无需进行第 7 局比赛，故甲以 4 比 2 获胜的概率为 ．
ABC∆
sin sin
AC AB
ABC BCA
=∠ ∠
2
3sin sin4 4
AC
π π θ
= −
2
sin 4
AC π θ
= −
ACD∆
sin sin
AC CD
ADC CAD
=∠ ∠
4
sinsin 6
AC
π θ=
2
sinAC θ=
2 2
sin sin 4
πθ θ
= −
2sin cosθ θ=
0 4
πθ< < 5sin 5
θ =
2 2 5sinAC θ= =
1
8
5
16
1
2
( ) 3
3
4
1 1 1 1P A C 2 2 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ =
3 2
3
5
1 1 1 5C 2 2 2 32
⋅ ⋅ ⋅ = 甲以 4 比 3 获胜，表示前 6 局比赛中甲赢了 3 局且第 7 局比赛中甲赢了，
故甲以 4 比 3 获胜的概率为 ，
故甲获胜且比赛局数多于 5 局的概率为 ．
18. 如图 1，平面五边形 中， ∥ ， ， ， ，△
是边长为 2 的正三角形．现将△ 沿 折起，得到四棱锥 （如图 2），且
．
图 1 图 2
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求平面 和平面 所成锐二面角的大小；
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（Ⅰ）证明：由已知得 ， 因为 ，所以 平面
．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（Ⅱ）设 的中点为 ，连接 ．
因为△ 是正三角形，
所以 ，所以 ．
因为 平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
以 为原点， 所在的直线为 轴，在平面 内过 垂直于 的直线为 轴，
所在的直线为 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示．
由已知，得 ， ， ．
所以 ， ．
3 3
3
6
1 1 1 5C 2 2 2 32
⋅ ⋅ ⋅ =
5 5 5
32 32 16
+ =
ABCDE AB CD 90BAD∠ = ° =2AB =1CD ADE
ADE AD E ABCD−
DE AB⊥
ADE ⊥ ABCD
BCE ADE
4
π
AB AD⊥ AB DE⊥ AD DE D= AB ⊥
ADE
AB ⊂ ABCD ADE ⊥ ABCD
AD O EO
ADE
EA ED= EO AD⊥
ADE ⊥ ABCD
ADE ABCD AD= EO ⊂ ADE
EO ⊥ ABCD
O OA x ABCD O AD y OE
z
O xyz−
(0,0, 3)E (1,2,0)B ( 1,1,0)C −
(1, 1, 3)CE = − (2,1,0)CB =设平面 的法向量 ．
则
所以
令 ，则 ，
所以 ．
又平面 的一个法向量 ，
所以 ．
所以平面 和平面 所成的锐二面角大小为 ．
19. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-
，记点 P 的轨迹为曲线 C
（I）求曲线 C 的方程；
（II）若过点（－ ，0）的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，曲线 C 上是否存在点 E 使
得四边形 OMEN 为平行四边形？若存在，求直线 l 的方程，若不存在，说明理由
【答案】（Ⅰ）曲线 C 的方程为 =1（x≠±2）（II）存在，直线 l 的方程为
.
【解析】解：（Ⅰ）设 P（x,y）,有 · =-
得 · =-
整理得 =1（x≠±2）
BCE ( , , )= x y zm
0,
0.
CE
CB
⋅ =
⋅ =
m
m
3 0,
2 0.
x y z
x y
− + = + =
1x = 2, 3y z= − = −
(1, 2, 3)= − −m
ADE (0,1,0)=n
2cos , 2
⋅= = −m nm n m n
BCE ADE 4
π
1
2
2
2 2
4 2
x y+
2 2 0x y± − =
PAk PBk 1
2
2
y
x + 2
y
x −
1
2
2 2
4 2
x y+∴曲线 C 的方程为 =1（x≠±2）
（II）假设存在符合条件的点 E（ ）由题意知直线 l 的斜率不为零
设直线 l 的方程为 x=my-
点 M 坐标为（ ）、点 N 坐标为（ ）
由 得：（ +2） -2 my-2=0,△>0
∴ +
则 + =-
由四边形 OMEN 为平行四边形，得到
∴E（- ）
把点 E 坐标代入曲线 C 的方程得： -4=0，解得
∴直线 l 的方程为
20. 已知函数 .
（1）当 时，求 f(x)的最值；
（2）若函数 存在两个极值点 ，求 的取值范围.
【答案】（1）最小值是 ，无最大值；（2） ．
【解析】（1）由题意 ， ，易知 时， ，
递减， 时， ， 递增．
∴ 有极小值 ，也是最小值，无最大值．
（2）由题意 ， ，
2 2
4 2
x y+
0 0x y，
2
1 1x y， 2 2x y，
2 2
2
2 4
x my
x y
= − + =
2m 2y 2
1y 2 2
2 2
2
my m
= +
1 2 1(x x m y+ = 2 ) 2 2y −
2
4 2
2m +
OE OM ON= +
2 2
4 2 2 2
2 2
m
m m+ +，
4m 2 2m =
2 2 0x y± − =
( ) ( )3 21ln 2f x x x ax ax a R= + − ∈
0a =
( ) ( )f xg x x
= ( )1 2 1 2,x x x x≠ ( ) ( )1 2g x g x+
1
e
− ( , 3 ln 4)−∞ − −
( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + 1(0, )x e
∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
1( , )x e
∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x 1 1 1 1( ) lnf e e e e
= = −
21( ) ln 2g x x ax ax= + − 21 1( ) ax axg x ax ax x
− +′ = + − =在两个极值点 ，则 是方程 的两个不等正根，
∴ ，∴ ， ， ，
∴
，
显然 是关于 的减函数，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
21. 对于正整数 n，如果 个整数 满足 ，
且 ，则称数组 为 n 的一个“正整数分拆”.记
均为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分
拆”的个数为 .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数 ，设 是 的一个“正整数分拆”，且 ，
求 k 的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 n，证明: ;并求出使得等号成立的 n 的值.
(注:对于 n 的两个“正整数分拆” 与 ，当且仅当 且
时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ， ， ， ， ；(Ⅱ) 为偶数时， ， 为
奇数时， ；(Ⅲ)证明见解析， ，
【解析】 (Ⅰ)整数 4 的所有“正整数分拆”为： ， ， ， ， .
(Ⅱ)当 n 为偶数时， 时， 最大为 ；
( )g x 1 2,x x 1 2,x x 2 1 0ax ax− + =
2
1 2
4 0
1 0
a a
x x a
∆ = − > = >
4a > 1 2 1x x =+ 1 2
1x x a
=
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1( ) ( ) ( ) ln ln2 2h a g x g x x ax ax x ax ax= + = + − + + −
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2ln( ) [( ) 2 ] ( ) ln (1 )2 2x x a x x x x a x x a aa a
= + + − − + = + − − 1 ln 12 a a= − − −
1( ) ln 12h a a a= − − − a
( ) (4) 3 ln 4h a h< = − −
1 2( ) ( )g x g x+ ( , 3 ln 4)−∞ − −
( )*k k N∈ 1 2 ka a a…， ， ， 1 21 ka a a n≤ ≤ ≤…≤ ≤
1 2 ka a a n+ +…+ = ( )1 2 ka a a…， ， ，
1 2 ka a a…， ， ， 1 2n kf a a a…， ， ， ，
ng
( )4n n ≥ ( )1 2 ka a a…， ， ， n 1 2a =
n nf g≤
( )1 2 ka a a…， ， ， ( )1 2 mb b b…， ， ， k m=
1 1 2 2 k ma b a b a b= = … =， ， ，
( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2, 2 ( )4 n
2
nk = n
1
2
nk
−= 2n = 4n =
( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2, 2 ( )4
1 2 3 ... 2ka a a a= = = = = k 2
nk =当 n 为奇数时， 时， 最大为 ；
综上所述：n 为偶数， 最大为 ， 为奇数时， 最大为 .
(Ⅲ)当 n 为奇数时， ，至少存在一个全为 1 的拆分，故 ；
当 n 为偶数时，设 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了 和 的均为奇数的“正整数分拆”，
故 .
综上所述： .
当 时，偶数“正整数分拆”为 ，奇数“正整数分拆”为 ， ；
当 时，偶数“正整数分拆”为 ， ，奇数“正整数分拆”为 ，
故 ；
当 时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为 1 的奇数拆分外，至少多出一项各项
均为 1 的“正整数分拆”，故 .
综上所述：使 成立的 n 为： 或 .
1 2 3 1... 2, 3k ka a a a a−= = = = = = k 1
2
nk
−=
k 2
nk = n k 1
2
nk
−=
0nf = n nf g<
( )1 2, ,..., ka a a
( )1,1,...,1 ( )1 21,1,..., 1, 1,..., 1ka a a− − −
n nf g≤
n nf g≤
2n = ( )2 ( )1,1 2 2 1f g= =
4n = ( )2, 2 ( )4 ( )1,1,1,1 ( )1,3
4 4 2f g= =
6n ≥
n nf g<
n nf g= 2n = 4n =
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