山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试（全国模拟）数学试题 含答案及评分参考

1 全国高考模拟试题 数学试题 本试卷共 6 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知复数 z 满足 A. B.2 C. D.8 2.已知集合 ，则 A. B. C. D. 3.已知集合 则 A. B. C. D. 4. 的展开式中， 的系数为 A.2 B. C.3 D. 5.函数 的图象关于 y 轴对称，则函数 的部分图象大致为 ( )1 4i z i z− ⋅ = =，则 2 2 2 { } { }2 0 , 1 0A x x x B x x x= − < = > > ( ) ( )2 23 4 4E x y+ + − =： PQ PF− 2 5 6− 3 PQ PF+ 2 5 4 7 3 − ± ( )= cos sinf x x x− π ( )f x ( )f x ,4 2 π π     ( )f x ( ) 4x k k Z π π= + ∈ ( )f x [ ]0,1 ( ) ( )( )ln 1 1f x x x x f= + 在点 ， 2 4 0x ay+ − = a =4 15．CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会．2020CES 消费电子 展于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办．在这次 CES 消费电子展上，我国某企业发布 了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场．若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作 (这 3 名员工的工作视为相同的工作)，再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中 甲和乙至多有 1 人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种． 16．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，点 A，B 在 C 的右支 上，且点 恰好为 的外心，若 ，则 C 的离心率为__________． 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分) 在① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 ．且满足_________． (1)求 sinC； (2)已知 的外接圆半径为 ，求△ABC 的边 AB 上的高 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．(本小题满分 12 分) 已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证：数列 为等比数列； (2)设 ，求数列 的 项和 ． 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形，AB//CD ， 1 2F F， ( )2 2 2 2 1 0, 0x yC a ba b − = > >： 2F 1F AB∆ ( )1 1 0BF BA AF+ ⋅ =   2sin 3 cos cos 3 cosa C c B C b C− = 5 cos 4 5c B b a+ = ( )2 cosb a C− = cosc A , ,a b c 5,a b ABC+ = ∆ 4 3 3 h { }na n nS 2 1n nS a n= + − { }1na + ( )1n nb n a= + { }nb n nT E ABCD− , 2BC CD AB BC⊥ = =5 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 平 面 平 面 ABCD ， 点 F 满 足 ， . （1）试探究 为何值时，CE//平面 BDF，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知点 ，点 P 在直线 上运动，请点 Q 满足 ，记点 Q 的为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程； （ 2 ） 设 ， 过 点 D 的 直 线 交 曲 线 C 于 A ， B 两 个 不 同 的 点 ， 求 证 ， . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ，证明. （1） 存在唯一的极小值点； （2） 的极小值点为 . 22．(本小题满分 12 分) 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫．某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而 大大提升了该县村民的经济收入．2019 年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽 取了 100 户，统计了他们 2019 年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中 药材这一项一年最多获利 11 万元)，统计结果如下表所示： 2 ,CD EAB AB∆ 是以 EAB ⊥ ( [ ])= 01EF EAλ λ∈  ， λ ( )0, 2M − 21 216y x= + 1 2MQ MP=  ( ) ( )0,3 , 0, 3D E − 2AEB AED∠ = ∠ ( ) cos , ,2 xf x e x x π = − ∈ − +∞  ( )f x ( )f x ( )0 0, 1 0x f x− < 1 2 1 28 , 24x x k x x+ = = − 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 6 6 AE BE y y kx kxk k x x x x + + + ++ = + = + ( )1 2 1 2 1 2 2 6 48 48 024 kx x x x k k x x + + − += = =−13 . . （2 分） 21.解：（1） ， 设 ， 则 ， 当 ， 所以 . 当 时， ， 综上所述，当 恒成立， 故 上单调递增. 又 ， 由零点存在定理可知，函数 上存在唯一的零点 . 结合单调性可得 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 存在唯一极小值点 . （5 分） （2）由（1）知， ， ， 而 ， AED BED∴∠ = ∠ 2AEB AED∴∠ = ∠ ( ) sinxf x e x′ = + ( ) ( ) sinxg x f x e x′= = + ( ) cosxg x e x′ = + [ ) ( ),0 cos 0,1 . 0,12 xx x e π ∈ − ∈ ∈ 时， ( ) 0g x′ > [ )0,x∈ +∞ ( ) 0 cos 1 cos 0g x e x x′ ≥ + = + ≥ ( ), 02x g x π  ′∈ − +∞ ≥ 时， ( ) ( ) 2f x g x π ′ = − + ∞ 在 ， ( )02 1 1 0, 0 1 02f e e f ππ − ′ ′− = − < − = = >   ( ) 2f x π ′ − + ∞ 在区间 ， 0 0 ,02x x π ∈ −  ，且 ( ) 02f x x π −  在 ， ( )0,x +∞ ( )f x 0x 02 0 ,0 , 1 1 02 2x f e e ππ π −   ′∈ − − = − < − =      且 1 12 2 4 2 2 1 1 4 2 2f e e π π π −      ′ − = − = −         12 2e e π > >14 所以 ， 即 ， ， 故极小值点 ， 且 ， 即 由（*）式，得 . 由 ， 得 ， 所以 ， 即 . （12 分） 22.解：（1）由题意知： 所以样本平均数为 （万元）， 所以 ， 所以 ， 1 12 2 2 1 1 2e π      <       04f π ′ 0 ,04x π ∈ −   ( ) 0 0 0sin 0xf x e x′ = + = ( )0 0sin .xe x= − ∗ ( ) 0 0 0cosxf x e x= − ( )0 0 0sin cos 2 sin 4x x x π = − + = − +   0 ,04x π ∈ −   0 0,4 4x π π + ∈   ( )02 sin 1,04x π − + ∈ −   ( )01 0f x− < < 2 0.1 4 0.15 6 0.45 8 0.2 10 0.1 6.1x = × + × + × + × + × = ( )2~ 6.1,2.1Z N ( ) ( )2 , 1.9,8.2µ σ µ σ− + =15 而 . 故 1 万户农户中，Z 落在区间 的户数约为 . （4 分） （2）（I）每次取球都恰有 的概率取到红球. 则有 ， ， 故 为等比数列. （7 分） （II）由（I）可知，当 ， . 故 Y 的数学期望为 设 , 则 ， 两式作差得 ， .（12分） ( ) ( ) ( )1 12 2 2 0.81862 2P P z P Zµ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ− < Ζ < + = − < < + + − < < + = ( )1.9 8.2， 10000 0.8186=8186× 1 5 ( ) 1 11 1 1 41 5 5 5 5 n n P X n − −   = = − =        ( ) ( ) 1 1 4 1 45 5 51 4 5 5 n n P X n P X n −   = +  = ==       ( ){ }( ),1 10P X n n N n∗= ∈ ≤ ≤ ( ) ( )9n P X n P Y n≤ = = =时， ( ) 9410 5P Y  = =    ( ) 8 91 4 1 4 1 41 2 9 105 5 5 5 5 5E Y    = × + × × +⋅⋅⋅+ × × + ×       8 91 4 4 41 2 9 105 5 5 5     = + × +⋅⋅⋅+ × + ×          84 41 2 95 5S  = + × +⋅⋅⋅+ ×   2 94 4 4 41 2 95 5 5 5S    = × + × +⋅⋅⋅+ ×       91 45 145 5S  = − ×   ( ) 9 91 4 410 5 14 105 5 5E Y S    ∴ = + × = − × +       9 94 45 4 5 4 0.1342 4.4635 5    × = − × ≈ − × ≈      16