数学
一、单选题
1．已知向量 ， ，若 ，则实数 a 的值为
A． B．2 或 C． 或 1 D．
2．设 ， ， ，若 ，则 与 的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位长度，所得函数的图
像关于 轴对称，则 的最小值是（ ） A． B． C． D．
4．从区间 随机抽取 个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成 n 个数对
， ，…， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 个，则用随机
模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
A． B． C． D．
5．某学校随机抽查了本校 20 个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：
min），根据所得数据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是[0，5），[5，10），…，
[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
A． B．
C． D．
6．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取 2 个球，以下给出
了四组事件 ①至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球；②至少有 1 个黄球与都是黄球；
③恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球；④至少有 1 个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有（ ） A．0 组 B．1 组 C．2 组 D．3 组
7．若 ， ， 均为实数，则下面三个结论均是正确的：
① ；② ；③若 ， ，则 ；
对向量 ， ， ，用类比的思想可得到以下四个结论：
① ；② ；③若 ， ，则 ；其中结论正确的
有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
8．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜
钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的
图形，其中圆的半径为 r，正方形的边长为 a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自
阴影部分的概率是 p，则圆周率π的值为（ ）
( ),2m a= ( )1,1n a= + / /m n ( )
2
3
− 1− 2− 2−
( )1,3a = − ( )1,1b = c a kb= + b c⊥ a c
5
5
2 5
5
2
3
2 2
3
sin 3 cosy x x= − x ( 0)m m >
y m
12
π−
12
π
6
π−
6
π
[ ]0,1 2n 1x 2x nx 1y 2y ny( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y m
π
4n
m
2n
m
4m
n
2m
n
a b c
ab ba= ( ) ( )ab c a bc= ab bc= 0b≠ 0a c− =
a b c
a b b a⋅ = ⋅ ( ) ( )a a cb bc⋅ = ⋅ a b b c⋅ = ⋅ 0b ≠ a c= A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次．四人
测试成绩对应的条形图如下：
以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同 C．众数不完全相同 D．丁的方差最大
10．已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数 的最小正周期是 B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到
11．已知 A 是函数 的最大值，若存在实
数 使得对任意实数 x，总有 成立，则 的最小值为
（ ）A． B． C． D．
12．如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中（O 为原点），
．点 P（x，y）是弧 上任意一点，则 xy+x+y 的最
大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
13．已知 ，则 ________.
14．从某单位 45 名职工中随机抽取 6 名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这 6
( )
2
21
a
p r− ( )
2
21
a
p r+ ( )1
a
p r− ( )1
a
p r+
2( ) sin 2 2sin 1f x x x= − +
( )f x 2π ( )f x 5[ , ]8 8
π π
( )f x
16x
π=
( )f x 2 sin 2y x=
4
π
3 3 3( ) sin 2019 sin 20192 6 2 3f x x x
π π = + + −
1,x 2x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ 1 2| |A x x⋅ −
2019
π 2
2019
π
673
π 3
2019
π
( ) 21 0 3A AOB， ， π∠ = AB
3 1
4 2
− 3 3 1
4 2
+ 12 2
+
3sin 06 5 2
π πϕ ϕ − = < 0>ω 0 2
πϕ< <
x
2
π
,36M
π
( )f x
( )y f x=
6
π
( )y g x= ( )y g x=
0
2,3 3x
π π ∈ −
( )0 32 logg x m+ ≤
m
P 1AB = P A B P
PT 1PT = PAB α∠ = B BC PT⊥ C
PAB α
α ABTP（3）求 的取值范围.
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．C
5．B
6．A
7．A
8．A
9．D
10．B
11．C
12．D
13．
14．35
15．
16．① ③ ④
17．（1） （2）
18．(1) ；(2) 且 .
19．（1） ；2.16（百台）；（2）
20．(1) (2)390 分钟. (3)
21．（1） ；（2） ；（3） .
PA PB PC+ +
4 3 3
10
−
12
π −
2 2 1sin ,cos ,tan 2 23 3
α α α= − = − = 2 2-4
2
3
π 17 2t− < < − 14
2t ≠ −
ˆ 0.32 0.24y x= + 1
5P =
0.0020m = 7
15P =
( ) 3sin 2 6f x x
π = +
( ) 3cosg x x= 322．（1） ；（2） 时，四边形 的面积最大；（3）1 sin 2 (0 )4 2
πα α ∈， ， 3
8
πα = ABTP
11, 22
+
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